2020年浙教新版九年级上册数学第3章圆的基本性质单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年浙教新版九年级上册数学第3章圆的基本性质单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 612.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-06 14:05:58 | ||
图片预览
文档简介
2020年浙教新版九年级上册数学《第3章 圆的基本性质》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（ ）
A．一倍 B．二倍 C．三倍 D．四倍
2．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
3．下列说法正确的是（ ）
A．同弧或等弧所对的圆心角相等
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．弧长相等的弧一定是等弧
D．平分弦的直径必垂直于弦
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC＝110°，则∠ABD的度数是（ ）
A．35° B．46° C．55° D．70°
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（ ）
A．128° B．100° C．64° D．32°
6．下列图形中，由原图旋转得到的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转50°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为130°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
8．下列图形中，是轴对称图形但不是旋转对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，3），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣1，3） D．（1，﹣3）
10．如下左图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．圆周上有6个点，任两点间连一条线段，则这些线段在圆内的交点最多有 个．
12．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，若CM＝4，则AB的长为 ．
13．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有 个．
14．如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠CBD＝75°，则∠AOC＝ ．
15．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 ．
17．如图，将香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转，当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为 ．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2019的坐标为 ．
三．解答题（共8小题）
19．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长．
20．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上，求证：＝；
21．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC，BC交于点E，D，且BD＝CD．
（1）求证：∠B＝∠C．
（2）过点D作DF⊥OD，过点F作FH⊥AB，若AB＝5，CD＝，求AH的值．
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．
23．在三角形ABC中，∠ACB＝80°（如图），将三角形ABC绕着点C逆时针旋转得到三角形DEC（点D、E分别与点A、B对应），如果∠ACD与∠ACE的度数之比为5：3，当旋转角大于0°且小于360°时，求旋转角的度数．
24．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点C在直线m上，m∥AB，∠DBE＝45°，其中点D、E分别在直线AC、m上，将∠DBE绕点B旋转（点D、E都不与点C重合）．
（1）当点D在边AC上时（如图1），设CE＝x，CD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当△BCE为等腰三角形时，求CD的长．
25．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．
（1）连接BD，如图1，若α＝80°，则∠BDC的度数为 ；（直接写出结果）
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE．若∠CED＝90°，求α的值．
26．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）①若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；
②将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
（2）在x轴上找一点P，使PB1+PC1最小，此时PB1+PC1的值为 ．
2020年浙教新版九年级上册数学《第3章 圆的基本性质》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（ ）
A．一倍 B．二倍 C．三倍 D．四倍
【分析】根据圆的半径的计算公式即可解决．
【解答】解：设圆的原来的半径是R，增加1倍，半径即是2R，
则增加的面积是4πR2﹣πR2＝3πR2，即增加了3倍．
故选：C．
【点评】能够根据圆面积公式计算增加后的面积．
2．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【分析】连接OP，OQ，根据M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BC的中点，利用中位线定理得到OH+OI＝（AC+BC）＝13和PH+QI＝6，从而利用AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI求解．
【解答】解：连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，
∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，
∴H、I是AC、BC的中点，
∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，
∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，
∴PH+QI＝13﹣7＝6，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，
故选：C．
【点评】本题考查了中位线定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，题目中还考查了垂径定理和轴对称的知识，有难度．
3．下列说法正确的是（ ）
A．同弧或等弧所对的圆心角相等
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．弧长相等的弧一定是等弧
D．平分弦的直径必垂直于弦
【分析】根据等弧和同弧的意义即可得出同弧或等弧所对的圆心角相等，即可判断A，举出反例即可判断B、D；根据在同圆或等圆中，弧长相等的弧是等弧，即可判断C．
【解答】解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，故本选项正确；
B、如图
∠EBF＝∠CAD，但是弧EF≠弧CD，故本选项错误；
C、在同圆或等圆中，弧长相等的弧是等弧，故本选项错误；
D、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，如图，弦AB和直径CD就不垂直，
故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了对圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC＝110°，则∠ABD的度数是（ ）
A．35° B．46° C．55° D．70°
【分析】连接BC，根据圆周角定理求得∠ABC的度数，然后根据直角三角形的锐角互余即可求解．
【解答】解：连接BC，
∵∠AOC＝110°，
∴∠ABC＝∠AOC═55°，
∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠ABD＝∠ABC＝55°，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理以及圆周角定理，根据圆周角定理把求∠ABD的问题转化成求等腰三角形的底角的问题．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（ ）
A．128° B．100° C．64° D．32°
【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A＝∠DCE＝64°，由圆周角定理知，∠BOD＝2∠A＝128°．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝∠DCE＝64°，
∴∠BOD＝2∠A＝128°．
故选：A．
【点评】本题利用了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．下列图形中，由原图旋转得到的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键，据此解答即可．
【解答】解：A、是由图形通过轴对称得到的；
B、是由图形通过轴对称得到的；
C、是通过轴对称和旋转得到的；
D、是由图形通过顺时针旋转90°得到的．
故选：D．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
7．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转50°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为130°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】先根据∠AOC的度数为130°，∠AOD＝∠BOC＝50°，可得∠AOB＝80°，再根据△AOD中，AO＝DO，可得∠A＝65°，进而得出△ABO中，∠B＝180°﹣80°﹣65°＝35°．
【解答】解：∵∠AOC的度数为130°，∠AOD＝∠BOC＝50°，
∴∠AOB＝130°﹣50°＝80°，
∵△AOD中，AO＝DO，
∴∠A＝（180°﹣50°）＝65°，
∴△ABO中，∠B＝180°﹣80°﹣65°＝35°，
由旋转可得，∠C＝∠B＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．
8．下列图形中，是轴对称图形但不是旋转对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与旋转对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转一定的角度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，这个点叫做旋转中心．
然后对各图形分析后即可得解．
【解答】解：A、绕中心旋转60°能与原图重合，属于旋转对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是旋转对称图形，故本选项正确；
C、绕中心旋转72°能与原图重合，属于旋转对称图形，故本选项错误；
D、绕中心旋转120°能与原图重合，属于旋转对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查旋转对称图形与轴对称图形的概念，解题关键是对这两类图形的特点进行熟练掌握，属于中档题．
9．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，3），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣1，3） D．（1，﹣3）
【分析】依据旋转的性质，即可得出△AOB≌△A'OC，进而得到A'C＝AB＝1，CO＝BO＝3，据此可得点A'的坐标为（3，﹣1）．
【解答】解：如图所示，由旋转可得：∠AOA'＝∠BOC＝90°，AO＝A'O，
∴∠AOB＝∠A'OC，而∠ABO＝∠A'CO＝90°，
∴△AOB≌△A'OC，
∴A'C＝AB＝1，CO＝BO＝3，
∴点A'的坐标为（3，﹣1），
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：图形或点旋转之后，要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
10．如下左图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是（ ）
A． B． C． D．
【分析】认真观察旋转得到的图案，找到旋转中心，即可判断．
【解答】解：A、顺时针，连续旋转60度，三次即可得到．
B、不能作为“基本图案”．
C、旋转180度，即可得到．
D、旋转60度即可．
故选：B．
【点评】本题考查了图形的旋转变化，难度不大，但易错．
二．填空题（共8小题）
11．圆周上有6个点，任两点间连一条线段，则这些线段在圆内的交点最多有 15 个．
【分析】要求最多的交点数，本题等价于将6个点4个分组共有多少组，进而得出答案．
【解答】解：每4个圆周上点就可以有一个内部交点，所以当这些交点不重合的时候，圆内交点最多，
所以，本题等价于将6个点4个分组共有多少组，
显然应该是：＝15．
故答案为：15．
【点评】求交点的最多数，得出即将6个点4个分组共有多少组是解题关键．
12．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，若CM＝4，则AB的长为 16 ．
【分析】连接OA，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理求出AB＝2AM．
【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，
∴OA＝OC＝10，
∵CM＝4，
∴OM＝10﹣4＝6，
在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM＝＝8，
∴由垂径定理得：AB＝2AM＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．
13．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有 12 个．
【分析】因为P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，根据题意，x2+y2＝25，若x、y都是整数，其实质就是求方程的整数解．
【解答】解：∵P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，
即圆周上的任意一点到原点的距离为5，
由题意得：＝5，即x2+y2＝25，
又∵x、y都是整数，
∴方程的整数解分别是：x＝0，y＝5；x＝3，y＝4；x＝4，y＝3；
x＝5，y＝0；x＝﹣3，y＝4；x＝﹣4，y＝3；
x＝﹣5，y＝0；x＝﹣3，y＝﹣4；x＝﹣4，y＝﹣3；
x＝0，y＝﹣5；x＝3，y＝﹣4；x＝4，y＝﹣3．
共12对，所以点的坐标有12个．
分别是：（0，5）；（3，4）；（4，3）；（5，0）；（﹣3，4）；（﹣4，3）；（﹣5，0）；（﹣3，﹣4）；（﹣4，﹣3）；（0，﹣5）；（3，﹣4）；（4，﹣3）．
【点评】本题结合圆和直角三角形的知识，考查了二元二次方程的整数解和点的坐标问题．
14．如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠CBD＝75°，则∠AOC＝ 150° ．
【分析】首先在优弧AC上取点E，连接AE，CE，由圆的内接四边形的性质，可得∠CBD＝∠E，由圆周角定理可求得∠AOC的度数．
【解答】解：在优弧AC上取点E，连接AE，CE，
∵∠ABC＝180°﹣∠E，∠ABC＝180°﹣∠CBD，∠CBD＝75°，
∴∠E＝∠CBD＝75°．
∴∠AOC＝2∠E＝150°，
故答案为：150°．
【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质以及圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
15．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是 6秒或19.5秒 ．
【分析】设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45﹣12，即t≤33．利用平行线的判定，构建方程解决问题即可．
【解答】解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），
∴t≤45﹣12，即t≤33．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：
①如图1，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；
②如图2，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；
综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．
故答案为：6秒或19.5秒．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 9 ．
【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B＝AB＝6，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA＝30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC＝S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB＝6，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，
∴S△A1BA＝×6×3＝9，
又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，
S△A1BC1＝S△ABC，
∴S阴影＝S△A1BA＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．
17．如图，将香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转，当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为 72° ．
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，
故当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为72°．
故答案为：72°．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2019的坐标为 （4037，1） ．
【分析】根据题意可以求得P2的纵坐标为﹣1，P3的纵坐标为1，P4的纵坐标为﹣1，P5的纵坐标为1，…，从而发现其中的变化的规律，从而可以求得P2019的坐标．
【解答】解：作P1⊥x轴于H，
∵A（0，0），B（2，0），
∴AB＝2，
∵△AP1B是等腰直角三角形，
∴P1H＝AB＝1，AH＝BH＝1，
∴P1的纵坐标为1，
∵△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C；把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，
∴P2的纵坐标为﹣1，P3的纵坐标为1，P4的纵坐标为﹣1，P5的纵坐标为1，…，
∴P2019的纵坐标为1，横坐标为2019×2﹣1＝4037，
即P2019（4037，1）．
故答案为：（4037，1）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解答本题的关键是发现各点的变化规律，求出相应的点的坐标．
三．解答题（共8小题）
19．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长．
【分析】连接OB，由垂径定理得出AB＝2BM，由勾股定理求出BM，即可求出AB．
【解答】解：连接OB，
则OB＝×10＝5，
∵OM⊥AB，OM过O，
∴AB＝2AM＝2BM，
在Rt△OMB中，由勾股定理得：BM＝＝＝4，
∴AB＝2BM＝8．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．
20．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上，求证：＝；
【分析】连结OM、ON，证明Rt△OMC≌Rt△OND，根据全等三角形的性质得到∠COM＝∠DON，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明．
【解答】证明：连结OM、ON，
∵AB是⊙O的直径，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，
∴OC＝OD，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴∠COM＝∠DON，
∴＝．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC，BC交于点E，D，且BD＝CD．
（1）求证：∠B＝∠C．
（2）过点D作DF⊥OD，过点F作FH⊥AB，若AB＝5，CD＝，求AH的值．
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质可得结论；
（2）先利用勾股定理计算AD的长，证明△ADB∽△DFC，列比例式可得CF＝1，DF＝2，作辅助线，证明四边形OGFD是矩形，根据同角的三角函数可得FH的长，最后利用勾股定理可得结论．
【解答】证明：（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
（2）在Rt△ADB中，AB＝5，CD＝BD＝，
∴AD＝＝＝2，
∵∠B＝∠C，∠DFC＝∠ADB＝90°，
∴△ADB∽△DFC，
∴，
∴，
∴CF＝1，DF＝2，
∴AF＝AC﹣CF＝5﹣1＝4，
过O作OG⊥AC于G，
∵∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，
∴四边形OGFD是矩形，
∴OG＝DF＝2，
∴sin∠FAH＝，
∴，FH＝，
Rt△AFH中，AH＝＝．
【点评】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，有一定的难度．
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DCE＝∠BAD，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BAD，证明即可；
（2）证明△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵＝，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ADC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴CD＝3．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
23．在三角形ABC中，∠ACB＝80°（如图），将三角形ABC绕着点C逆时针旋转得到三角形DEC（点D、E分别与点A、B对应），如果∠ACD与∠ACE的度数之比为5：3，当旋转角大于0°且小于360°时，求旋转角的度数．
【分析】分两种情况，①CE在AC右侧时，②CE在AC左侧时，根据∠ACD与∠ACE的度数之比为5：3，求出旋转角∠ACD度数即可．
【解答】解：①当CE在AC右侧时，如图1所示．
根据旋转性质可知∠DCE＝80°，所以∠ACD＝80°×＝50°，
即旋转角的度数为50°．
②当CE在AC左侧时，
设∠ACD＝x°，则∠ACE＝x﹣80°，
所以x：（x﹣80）＝5：3，解得x＝200
则旋转角∠ACD＝200°．
综上所述旋转角的度数为50°或200°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质的同时考查了分类讨论思想．
24．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点C在直线m上，m∥AB，∠DBE＝45°，其中点D、E分别在直线AC、m上，将∠DBE绕点B旋转（点D、E都不与点C重合）．
（1）当点D在边AC上时（如图1），设CE＝x，CD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当△BCE为等腰三角形时，求CD的长．
【分析】（1）证明△ADB∽△CEB，通过比例式找到y与x的关系；
（2）分情况讨论，①当BE＝CE时，C、D重合，不符合题意，舍去；
②当BC＝BE时，如图1；③当BC＝CE时，有两种图形（如图2、3）．画出对应图形后，根据等腰三角形的性质，求出底角度数，再转化为边之间的关系即可求解．
【解答】解：（1）∵m∥AB，∴∠ECB＝∠CBA＝45°．
∴∠A＝∠ECB＝45°．
∵∠DBA＝45°﹣∠CBD，∠EBC＝45°﹣∠CBD，
∴∠DBA＝∠EBC．
∴△ADB∽△CEB．
∴，即．
∴y＝2﹣x（0＜x＜）；
（2）①当BE＝CE时，C、D重合，不符合题意，舍去；
②当BC＝BE时，如图1，∵∠ECB＝45°，
∴∠CEB＝45°，
∴∠CBE＝90°．
则∠CBD＝90°﹣∠DBE＝45°．
∴∠ABD＝45°+45°＝90°．
∵∠A＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD＝4，
∴CD＝4﹣2＝2；
③当BC＝CE时，
Ⅰ．如图2，∵∠ECB＝45°，
∴∠CBE＝67.5°．
∴∠ABD＝∠CBE＝67.5°．
∴∠ADB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°．
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB＝2．
∴CD＝2﹣2；
Ⅱ．如图3，则∠BCE＝135°，
∴∠CBE＝22.5°．
∴∠ABD＝22.5°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠ADB＝45°﹣22.5°＝22.5°．
∴AD＝AB＝2．
∴CD＝2+2．
所以当△BCE为等腰三角形时，CD的长为2或2+2或2﹣2．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，还考查了分类讨论思想，解题的关键是画出对应图形进行求解．
25．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．
（1）连接BD，如图1，若α＝80°，则∠BDC的度数为 30° ；（直接写出结果）
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE．若∠CED＝90°，求α的值．
【分析】（1）根据图形旋转的性质可知AB＝AC＝AD，再等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，连接EM．先根据AAS定理得出△AEB≌△AMC，故可得出AE＝AM，∠BAE＝∠CAM，所以△AEM是等边三角形．根据AC＝AD，AM⊥CD可知CM＝DM．再根据三角形内角和定理可得出结论．
【解答】解：（1）∵线段AC，AD由AB旋转而成，
∴AB＝AC＝AD．
∴△ABD中，∠ADB＝（180°﹣60°﹣80°）＝20°，
△ACD中，∠ADC＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠BDC＝50°﹣20°＝30°．
故答案为：30°．
（2）如图2，过点A作AM⊥CD于点M，连接EM．
∵∠AMD＝90°，
∴∠AMC＝90°．
在△AEB与△AMC中，
，
∴△AEB≌△AMC（AAS）．
∴AE＝AM，∠BAE＝∠CAM．
∴∠EAM＝∠EAC+∠CAM＝∠EAC+∠BAE＝∠BAC＝60°．
∴△AEM是等边三角形．
∴EM＝AM＝AE．
∵AC＝AD，AM⊥CD，
∴CM＝DM．
又∵∠DEC＝90°，
∴EM＝CM＝DM．
∴AM＝CM＝DM．
∴∠ACM＝∠CAM，∠ADM＝∠DAM，
∴△ACD中，α＝∠CAD＝×180°＝90°．
【点评】本题考查的是图形旋转的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质的运用，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
26．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）①若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；
②将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
（2）在x轴上找一点P，使PB1+PC1最小，此时PB1+PC1的值为 ．
【分析】（1）①根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，从而得到△A1B1C1；
②利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2；
（2）作C1点关于x轴的对称点C′，连接B1C′交x轴于P点，则PC1＝PC′，则PB1+PC1＝PB1+PC′＝B1C′，利用两点之间线段最短可得到此时PB1+PC1的值最小值，然后利用勾股定理计算出B1C′即可．
【解答】解：（1）①如图，△A1B1C1所作；
②如图，△AB2C2为所作；
（2）如图，作C1点关于x轴的对称点C′，连接B1C′交x轴于P点，连接PC1，
则PC1＝PC′，PB1+PC1＝PB1+PC′＝B1C′＝＝，
所以PB1+PC1的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
一．选择题（共10小题）
1．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（ ）
A．一倍 B．二倍 C．三倍 D．四倍
2．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
3．下列说法正确的是（ ）
A．同弧或等弧所对的圆心角相等
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．弧长相等的弧一定是等弧
D．平分弦的直径必垂直于弦
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC＝110°，则∠ABD的度数是（ ）
A．35° B．46° C．55° D．70°
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（ ）
A．128° B．100° C．64° D．32°
6．下列图形中，由原图旋转得到的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转50°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为130°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
8．下列图形中，是轴对称图形但不是旋转对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，3），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣1，3） D．（1，﹣3）
10．如下左图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．圆周上有6个点，任两点间连一条线段，则这些线段在圆内的交点最多有 个．
12．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，若CM＝4，则AB的长为 ．
13．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有 个．
14．如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠CBD＝75°，则∠AOC＝ ．
15．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 ．
17．如图，将香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转，当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为 ．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2019的坐标为 ．
三．解答题（共8小题）
19．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长．
20．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上，求证：＝；
21．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC，BC交于点E，D，且BD＝CD．
（1）求证：∠B＝∠C．
（2）过点D作DF⊥OD，过点F作FH⊥AB，若AB＝5，CD＝，求AH的值．
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．
23．在三角形ABC中，∠ACB＝80°（如图），将三角形ABC绕着点C逆时针旋转得到三角形DEC（点D、E分别与点A、B对应），如果∠ACD与∠ACE的度数之比为5：3，当旋转角大于0°且小于360°时，求旋转角的度数．
24．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点C在直线m上，m∥AB，∠DBE＝45°，其中点D、E分别在直线AC、m上，将∠DBE绕点B旋转（点D、E都不与点C重合）．
（1）当点D在边AC上时（如图1），设CE＝x，CD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当△BCE为等腰三角形时，求CD的长．
25．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．
（1）连接BD，如图1，若α＝80°，则∠BDC的度数为 ；（直接写出结果）
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE．若∠CED＝90°，求α的值．
26．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）①若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；
②将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
（2）在x轴上找一点P，使PB1+PC1最小，此时PB1+PC1的值为 ．
2020年浙教新版九年级上册数学《第3章 圆的基本性质》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（ ）
A．一倍 B．二倍 C．三倍 D．四倍
【分析】根据圆的半径的计算公式即可解决．
【解答】解：设圆的原来的半径是R，增加1倍，半径即是2R，
则增加的面积是4πR2﹣πR2＝3πR2，即增加了3倍．
故选：C．
【点评】能够根据圆面积公式计算增加后的面积．
2．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【分析】连接OP，OQ，根据M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BC的中点，利用中位线定理得到OH+OI＝（AC+BC）＝13和PH+QI＝6，从而利用AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI求解．
【解答】解：连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，
∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，
∴H、I是AC、BC的中点，
∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，
∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，
∴PH+QI＝13﹣7＝6，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，
故选：C．
【点评】本题考查了中位线定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，题目中还考查了垂径定理和轴对称的知识，有难度．
3．下列说法正确的是（ ）
A．同弧或等弧所对的圆心角相等
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．弧长相等的弧一定是等弧
D．平分弦的直径必垂直于弦
【分析】根据等弧和同弧的意义即可得出同弧或等弧所对的圆心角相等，即可判断A，举出反例即可判断B、D；根据在同圆或等圆中，弧长相等的弧是等弧，即可判断C．
【解答】解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，故本选项正确；
B、如图
∠EBF＝∠CAD，但是弧EF≠弧CD，故本选项错误；
C、在同圆或等圆中，弧长相等的弧是等弧，故本选项错误；
D、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，如图，弦AB和直径CD就不垂直，
故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了对圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC＝110°，则∠ABD的度数是（ ）
A．35° B．46° C．55° D．70°
【分析】连接BC，根据圆周角定理求得∠ABC的度数，然后根据直角三角形的锐角互余即可求解．
【解答】解：连接BC，
∵∠AOC＝110°，
∴∠ABC＝∠AOC═55°，
∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠ABD＝∠ABC＝55°，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理以及圆周角定理，根据圆周角定理把求∠ABD的问题转化成求等腰三角形的底角的问题．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（ ）
A．128° B．100° C．64° D．32°
【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A＝∠DCE＝64°，由圆周角定理知，∠BOD＝2∠A＝128°．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝∠DCE＝64°，
∴∠BOD＝2∠A＝128°．
故选：A．
【点评】本题利用了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．下列图形中，由原图旋转得到的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键，据此解答即可．
【解答】解：A、是由图形通过轴对称得到的；
B、是由图形通过轴对称得到的；
C、是通过轴对称和旋转得到的；
D、是由图形通过顺时针旋转90°得到的．
故选：D．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
7．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转50°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为130°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】先根据∠AOC的度数为130°，∠AOD＝∠BOC＝50°，可得∠AOB＝80°，再根据△AOD中，AO＝DO，可得∠A＝65°，进而得出△ABO中，∠B＝180°﹣80°﹣65°＝35°．
【解答】解：∵∠AOC的度数为130°，∠AOD＝∠BOC＝50°，
∴∠AOB＝130°﹣50°＝80°，
∵△AOD中，AO＝DO，
∴∠A＝（180°﹣50°）＝65°，
∴△ABO中，∠B＝180°﹣80°﹣65°＝35°，
由旋转可得，∠C＝∠B＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．
8．下列图形中，是轴对称图形但不是旋转对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与旋转对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转一定的角度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，这个点叫做旋转中心．
然后对各图形分析后即可得解．
【解答】解：A、绕中心旋转60°能与原图重合，属于旋转对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是旋转对称图形，故本选项正确；
C、绕中心旋转72°能与原图重合，属于旋转对称图形，故本选项错误；
D、绕中心旋转120°能与原图重合，属于旋转对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查旋转对称图形与轴对称图形的概念，解题关键是对这两类图形的特点进行熟练掌握，属于中档题．
9．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，3），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣1，3） D．（1，﹣3）
【分析】依据旋转的性质，即可得出△AOB≌△A'OC，进而得到A'C＝AB＝1，CO＝BO＝3，据此可得点A'的坐标为（3，﹣1）．
【解答】解：如图所示，由旋转可得：∠AOA'＝∠BOC＝90°，AO＝A'O，
∴∠AOB＝∠A'OC，而∠ABO＝∠A'CO＝90°，
∴△AOB≌△A'OC，
∴A'C＝AB＝1，CO＝BO＝3，
∴点A'的坐标为（3，﹣1），
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：图形或点旋转之后，要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
10．如下左图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是（ ）
A． B． C． D．
【分析】认真观察旋转得到的图案，找到旋转中心，即可判断．
【解答】解：A、顺时针，连续旋转60度，三次即可得到．
B、不能作为“基本图案”．
C、旋转180度，即可得到．
D、旋转60度即可．
故选：B．
【点评】本题考查了图形的旋转变化，难度不大，但易错．
二．填空题（共8小题）
11．圆周上有6个点，任两点间连一条线段，则这些线段在圆内的交点最多有 15 个．
【分析】要求最多的交点数，本题等价于将6个点4个分组共有多少组，进而得出答案．
【解答】解：每4个圆周上点就可以有一个内部交点，所以当这些交点不重合的时候，圆内交点最多，
所以，本题等价于将6个点4个分组共有多少组，
显然应该是：＝15．
故答案为：15．
【点评】求交点的最多数，得出即将6个点4个分组共有多少组是解题关键．
12．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，若CM＝4，则AB的长为 16 ．
【分析】连接OA，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理求出AB＝2AM．
【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，
∴OA＝OC＝10，
∵CM＝4，
∴OM＝10﹣4＝6，
在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM＝＝8，
∴由垂径定理得：AB＝2AM＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．
13．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有 12 个．
【分析】因为P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，根据题意，x2+y2＝25，若x、y都是整数，其实质就是求方程的整数解．
【解答】解：∵P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，
即圆周上的任意一点到原点的距离为5，
由题意得：＝5，即x2+y2＝25，
又∵x、y都是整数，
∴方程的整数解分别是：x＝0，y＝5；x＝3，y＝4；x＝4，y＝3；
x＝5，y＝0；x＝﹣3，y＝4；x＝﹣4，y＝3；
x＝﹣5，y＝0；x＝﹣3，y＝﹣4；x＝﹣4，y＝﹣3；
x＝0，y＝﹣5；x＝3，y＝﹣4；x＝4，y＝﹣3．
共12对，所以点的坐标有12个．
分别是：（0，5）；（3，4）；（4，3）；（5，0）；（﹣3，4）；（﹣4，3）；（﹣5，0）；（﹣3，﹣4）；（﹣4，﹣3）；（0，﹣5）；（3，﹣4）；（4，﹣3）．
【点评】本题结合圆和直角三角形的知识，考查了二元二次方程的整数解和点的坐标问题．
14．如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠CBD＝75°，则∠AOC＝ 150° ．
【分析】首先在优弧AC上取点E，连接AE，CE，由圆的内接四边形的性质，可得∠CBD＝∠E，由圆周角定理可求得∠AOC的度数．
【解答】解：在优弧AC上取点E，连接AE，CE，
∵∠ABC＝180°﹣∠E，∠ABC＝180°﹣∠CBD，∠CBD＝75°，
∴∠E＝∠CBD＝75°．
∴∠AOC＝2∠E＝150°，
故答案为：150°．
【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质以及圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
15．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是 6秒或19.5秒 ．
【分析】设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45﹣12，即t≤33．利用平行线的判定，构建方程解决问题即可．
【解答】解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），
∴t≤45﹣12，即t≤33．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：
①如图1，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；
②如图2，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；
综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．
故答案为：6秒或19.5秒．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 9 ．
【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B＝AB＝6，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA＝30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC＝S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB＝6，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，
∴S△A1BA＝×6×3＝9，
又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，
S△A1BC1＝S△ABC，
∴S阴影＝S△A1BA＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．
17．如图，将香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转，当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为 72° ．
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，
故当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为72°．
故答案为：72°．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2019的坐标为 （4037，1） ．
【分析】根据题意可以求得P2的纵坐标为﹣1，P3的纵坐标为1，P4的纵坐标为﹣1，P5的纵坐标为1，…，从而发现其中的变化的规律，从而可以求得P2019的坐标．
【解答】解：作P1⊥x轴于H，
∵A（0，0），B（2，0），
∴AB＝2，
∵△AP1B是等腰直角三角形，
∴P1H＝AB＝1，AH＝BH＝1，
∴P1的纵坐标为1，
∵△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C；把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，
∴P2的纵坐标为﹣1，P3的纵坐标为1，P4的纵坐标为﹣1，P5的纵坐标为1，…，
∴P2019的纵坐标为1，横坐标为2019×2﹣1＝4037，
即P2019（4037，1）．
故答案为：（4037，1）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解答本题的关键是发现各点的变化规律，求出相应的点的坐标．
三．解答题（共8小题）
19．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长．
【分析】连接OB，由垂径定理得出AB＝2BM，由勾股定理求出BM，即可求出AB．
【解答】解：连接OB，
则OB＝×10＝5，
∵OM⊥AB，OM过O，
∴AB＝2AM＝2BM，
在Rt△OMB中，由勾股定理得：BM＝＝＝4，
∴AB＝2BM＝8．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．
20．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上，求证：＝；
【分析】连结OM、ON，证明Rt△OMC≌Rt△OND，根据全等三角形的性质得到∠COM＝∠DON，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明．
【解答】证明：连结OM、ON，
∵AB是⊙O的直径，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，
∴OC＝OD，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴∠COM＝∠DON，
∴＝．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC，BC交于点E，D，且BD＝CD．
（1）求证：∠B＝∠C．
（2）过点D作DF⊥OD，过点F作FH⊥AB，若AB＝5，CD＝，求AH的值．
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质可得结论；
（2）先利用勾股定理计算AD的长，证明△ADB∽△DFC，列比例式可得CF＝1，DF＝2，作辅助线，证明四边形OGFD是矩形，根据同角的三角函数可得FH的长，最后利用勾股定理可得结论．
【解答】证明：（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
（2）在Rt△ADB中，AB＝5，CD＝BD＝，
∴AD＝＝＝2，
∵∠B＝∠C，∠DFC＝∠ADB＝90°，
∴△ADB∽△DFC，
∴，
∴，
∴CF＝1，DF＝2，
∴AF＝AC﹣CF＝5﹣1＝4，
过O作OG⊥AC于G，
∵∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，
∴四边形OGFD是矩形，
∴OG＝DF＝2，
∴sin∠FAH＝，
∴，FH＝，
Rt△AFH中，AH＝＝．
【点评】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，有一定的难度．
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DCE＝∠BAD，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BAD，证明即可；
（2）证明△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵＝，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ADC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴CD＝3．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
23．在三角形ABC中，∠ACB＝80°（如图），将三角形ABC绕着点C逆时针旋转得到三角形DEC（点D、E分别与点A、B对应），如果∠ACD与∠ACE的度数之比为5：3，当旋转角大于0°且小于360°时，求旋转角的度数．
【分析】分两种情况，①CE在AC右侧时，②CE在AC左侧时，根据∠ACD与∠ACE的度数之比为5：3，求出旋转角∠ACD度数即可．
【解答】解：①当CE在AC右侧时，如图1所示．
根据旋转性质可知∠DCE＝80°，所以∠ACD＝80°×＝50°，
即旋转角的度数为50°．
②当CE在AC左侧时，
设∠ACD＝x°，则∠ACE＝x﹣80°，
所以x：（x﹣80）＝5：3，解得x＝200
则旋转角∠ACD＝200°．
综上所述旋转角的度数为50°或200°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质的同时考查了分类讨论思想．
24．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点C在直线m上，m∥AB，∠DBE＝45°，其中点D、E分别在直线AC、m上，将∠DBE绕点B旋转（点D、E都不与点C重合）．
（1）当点D在边AC上时（如图1），设CE＝x，CD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当△BCE为等腰三角形时，求CD的长．
【分析】（1）证明△ADB∽△CEB，通过比例式找到y与x的关系；
（2）分情况讨论，①当BE＝CE时，C、D重合，不符合题意，舍去；
②当BC＝BE时，如图1；③当BC＝CE时，有两种图形（如图2、3）．画出对应图形后，根据等腰三角形的性质，求出底角度数，再转化为边之间的关系即可求解．
【解答】解：（1）∵m∥AB，∴∠ECB＝∠CBA＝45°．
∴∠A＝∠ECB＝45°．
∵∠DBA＝45°﹣∠CBD，∠EBC＝45°﹣∠CBD，
∴∠DBA＝∠EBC．
∴△ADB∽△CEB．
∴，即．
∴y＝2﹣x（0＜x＜）；
（2）①当BE＝CE时，C、D重合，不符合题意，舍去；
②当BC＝BE时，如图1，∵∠ECB＝45°，
∴∠CEB＝45°，
∴∠CBE＝90°．
则∠CBD＝90°﹣∠DBE＝45°．
∴∠ABD＝45°+45°＝90°．
∵∠A＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD＝4，
∴CD＝4﹣2＝2；
③当BC＝CE时，
Ⅰ．如图2，∵∠ECB＝45°，
∴∠CBE＝67.5°．
∴∠ABD＝∠CBE＝67.5°．
∴∠ADB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°．
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB＝2．
∴CD＝2﹣2；
Ⅱ．如图3，则∠BCE＝135°，
∴∠CBE＝22.5°．
∴∠ABD＝22.5°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠ADB＝45°﹣22.5°＝22.5°．
∴AD＝AB＝2．
∴CD＝2+2．
所以当△BCE为等腰三角形时，CD的长为2或2+2或2﹣2．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，还考查了分类讨论思想，解题的关键是画出对应图形进行求解．
25．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．
（1）连接BD，如图1，若α＝80°，则∠BDC的度数为 30° ；（直接写出结果）
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE．若∠CED＝90°，求α的值．
【分析】（1）根据图形旋转的性质可知AB＝AC＝AD，再等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，连接EM．先根据AAS定理得出△AEB≌△AMC，故可得出AE＝AM，∠BAE＝∠CAM，所以△AEM是等边三角形．根据AC＝AD，AM⊥CD可知CM＝DM．再根据三角形内角和定理可得出结论．
【解答】解：（1）∵线段AC，AD由AB旋转而成，
∴AB＝AC＝AD．
∴△ABD中，∠ADB＝（180°﹣60°﹣80°）＝20°，
△ACD中，∠ADC＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠BDC＝50°﹣20°＝30°．
故答案为：30°．
（2）如图2，过点A作AM⊥CD于点M，连接EM．
∵∠AMD＝90°，
∴∠AMC＝90°．
在△AEB与△AMC中，
，
∴△AEB≌△AMC（AAS）．
∴AE＝AM，∠BAE＝∠CAM．
∴∠EAM＝∠EAC+∠CAM＝∠EAC+∠BAE＝∠BAC＝60°．
∴△AEM是等边三角形．
∴EM＝AM＝AE．
∵AC＝AD，AM⊥CD，
∴CM＝DM．
又∵∠DEC＝90°，
∴EM＝CM＝DM．
∴AM＝CM＝DM．
∴∠ACM＝∠CAM，∠ADM＝∠DAM，
∴△ACD中，α＝∠CAD＝×180°＝90°．
【点评】本题考查的是图形旋转的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质的运用，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
26．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）①若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；
②将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
（2）在x轴上找一点P，使PB1+PC1最小，此时PB1+PC1的值为 ．
【分析】（1）①根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，从而得到△A1B1C1；
②利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2；
（2）作C1点关于x轴的对称点C′，连接B1C′交x轴于P点，则PC1＝PC′，则PB1+PC1＝PB1+PC′＝B1C′，利用两点之间线段最短可得到此时PB1+PC1的值最小值，然后利用勾股定理计算出B1C′即可．
【解答】解：（1）①如图，△A1B1C1所作；
②如图，△AB2C2为所作；
（2）如图，作C1点关于x轴的对称点C′，连接B1C′交x轴于P点，连接PC1，
则PC1＝PC′，PB1+PC1＝PB1+PC′＝B1C′＝＝，
所以PB1+PC1的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
同课章节目录