第二章 一元二次方程单元测试卷A卷(含解析)

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浙教版八年级数学下册 第二章 一元二次方程
单元测试卷 A卷
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
2．方程化成一般形式后，它的各项系数之和是　　
A． B．0 C．4 D．2
3．下列一元二次方程没有实数根的是　　
A． B． C． D．
4．若是方程的解，则的值为　　
A． B．2 C． D．
5．用配方法解方程，下列配方结果正确的是　　
A． B． C． D．
6．方程的解是　　
A． B． C．， D．，
7．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出个支干，则可列方程　　
A． B． C． D．
8．已知，，则，的大小关系是　　
A．不能确定 B． C． D．
9．已知关于的一元二次方程，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为和4，那么：　　
A．3 B． C．9 D．12
10．已知，是方程的两实数根，那么的最小值为　
A．8 B．2 C．10 D．32
二．填空题（共8小题）
11．一元二次方程的根是　　．
12．已知关于的方程，若两根之和为0，则　　．
13．已知一元二次方程的一个根是1，则的值是　　；方程的另一个根是　　．
14．已知，则的根是　 　．
15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为　 　．
16．现定义运算“★”，对于任意实数、，都有★，如：3★，若★，则实数的值是　 　．
17．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是　　．

18．我市某服装生产商今年第一季度的销售利润是640万元，由于技术改进，生产效率得到提高，该服装生产商的销售利润逐月上升，第三季度的销售利润达到了1000万元．若该服装生产商第二、三季度的利润平均增长率都相同．则该服装生产商第二、三季度的利润平均增长率为　　．
三．解答题（共7小题）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
20．已知一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若的两边、的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5．当是等腰三角形时，求的值．
21．已知关于的一元二次方程
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程只有一个小于4的根，求的取值范围；
（3）若，为方程的两个根，且，判断动点所形成的数图象是否经过点，并说明理由．
22．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？

23．某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件．
（1）已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；
（2）聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？
24．阅读材料：已知方程，且，求的值．
解：由及，
可知，，
又，．
可变形为
，
根据和的特征．
、是方程的两个不相等的实数根，
则，即．
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：，且，求的值．
25．如图所示，中，，，．
（1）点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，经过几秒，点，之间的距离为？
（2）点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，经过几秒，使的面积等于？
（3）若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，几秒后，的面积为？




参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、是一元二次方程，故本选项符合题意；
、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
、不是方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
2．方程化成一般形式后，它的各项系数之和是　　
A． B．0 C．4 D．2
【解答】解：，
移项得：，
它的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是3．
各项系数之和是，
故选：．
3．下列一元二次方程没有实数根的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、，，，
△，
方程有两个不相等的实数根；
、，，，
△，
方程有两个不相等的实数根；
、，，，
△，
方程没有实数根；
、，，，
△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
4．若是方程的解，则的值为　　
A． B．2 C． D．
【解答】解：是一元二次方程的解，
，
解得，．
故选：．
5．用配方法解方程，下列配方结果正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：



故选：．
6．方程的解是　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：，
，
，
，，
，，
故选：．
7．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出个支干，则可列方程　　
A． B． C． D．
【解答】解：设主干长出个支干，则长出个小分支，
根据题意得：．
故选：．
8．已知，，则，的大小关系是　　
A．不能确定 B． C． D．
【解答】解：，，

，
故选：．
9．已知关于的一元二次方程，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为和4，那么：　　
A．3 B． C．9 D．12
【解答】解：由于乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为和4，
所以设一元二次方程为：，则，，
所以；
故选：．
10．已知，是方程的两实数根，那么的最小值为　
A．8 B．2 C．10 D．32
【解答】解：一元二次方程有两个实根；
△；
解得：或；
，是关于的一元二次方程的两个实根；
，；




；
当时，有最小值
当时，有最小值
则的最小值为2，
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．一元二次方程的根是　，　．
【解答】解：，
，
，
，，
，，
故答案为：，．
12．已知关于的方程，若两根之和为0，则　2　．
【解答】解：关于的方程的两根之和为0，
，
解得：，
故答案为：2．
13．已知一元二次方程的一个根是1，则的值是　1　；方程的另一个根是　　．
【解答】解：设方程的另一个根为，
则根据根与系数的关系得：，，
解得：，，
即方程的另一个根为，
故答案为：1，．
14．已知，则的根是　3或　．
【解答】解：，
，，，
，，，
，
，
，
，，
，，
故答案为：3或．
15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为　且　．
【解答】解：
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△且，即且，
解得且，
故答案为：且．
16．现定义运算“★”，对于任意实数、，都有★，如：3★，若★，则实数的值是　或4　．
【解答】解：根据题中的新定义将★变形得：
，即，
因式分解得：，
解得：，，
则实数的值是或4．
故答案为：或4
17．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是　2　．

【解答】解：设小道进出口的宽度为米，依题意得，
整理，得．
解得，，．
（不合题意，舍去），
．
答：小道进出口的宽度应为2米．
故答案为：2．
18．我市某服装生产商今年第一季度的销售利润是640万元，由于技术改进，生产效率得到提高，该服装生产商的销售利润逐月上升，第三季度的销售利润达到了1000万元．若该服装生产商第二、三季度的利润平均增长率都相同．则该服装生产商第二、三季度的利润平均增长率为　　．
【解答】解：设服装生产商第二、三季度的利润平均增长率为，
根据题意得：，
解得：或（不合题意，舍去）．
答：该服装生产商第二、三季度的利润平均增长率为．
故答案是：．
三．解答题（共7小题）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）；
解：移项，得，
分解因式，得，
化简，得，
，，
，；

（2），
，
，，
，；

（3）．
解：将方程化为，
，，，
，
，
，．
20．已知一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若的两边、的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5．当是等腰三角形时，求的值．
【解答】（1）证明：△，
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：△，
，
、中有一个数为5．
当时，原方程为：，即，
解得：，．
当时，原方程为，
，．
、5、5能围成等腰三角形，
符合题意；
当时，原方程为，
解得：，．
、5、6能围成等腰三角形，
符合题意．
综上所述：的值为4或5．
21．已知关于的一元二次方程
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程只有一个小于4的根，求的取值范围；
（3）若，为方程的两个根，且，判断动点所形成的数图象是否经过点，并说明理由．
【解答】（1）证明：△，
该一元二次方程总有两个实数根；

（2）解：关于的一元二次方程
，，
由一元二次方程的求根公式得：
，
该方程只有一个小于4的根

；

（3）由韦达定理得：，




动点可表示为
当时，
动点所形成的数图象经过点．
22．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？

【解答】解：（1）设通道的宽为米，
根据题意得：
解得：（舍去）或，
答：甬道的宽为6米；

（2）设月租金上涨元，停车场的月租金收入为14400元，
根据题意得：
整理，得
解得：，
由于是惠民工程，所以符合题意．
答：每个车位的月租金上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元．
23．某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件．
（1）已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；
（2）聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？
【解答】解：（1）设每次降价的百分率为，

解得，，（舍去），
即每次降价的百分率是；
（2）设店主将售价降价元，

解得，，
，，
即应把售价定为185元或175元．
24．阅读材料：已知方程，且，求的值．
解：由及，
可知，，
又，．
可变形为
，
根据和的特征．
、是方程的两个不相等的实数根，
则，即．
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：，且，求的值．
【解答】解：由，且，可知，，
又，
．
可变形为
，
根据和的特征．
、是方程的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得，，
．
，
．
25．如图所示，中，，，．
（1）点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，经过几秒，点，之间的距离为？
（2）点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，经过几秒，使的面积等于？
（3）若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，几秒后，的面积为？

【解答】解：（1）设经过秒，点，之间的距离为，
则，，
，
，
在中，
由勾股定理得：
化简得：
△
点，之间的距离不可能为．
（2）设经过秒，使的面积等于，由题意得：

解得：，
检验发现，均符合题意
经过2秒或4秒，的面积等于．
（3）①点在线段上，点在线段上
设经过秒，，依题意有


解得；（舍，
符合题意；
②点在线段上，点在射线上
设经过秒，，依题意有


解得
符合题意；
③点在射线上，点在射线上
设经过秒，，依题意有

解得，（舍
符合题意；
经过秒，5秒，秒后，的面积为．








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