专题1.4 相似三角形章末重难点题型【举一反三】
【浙教版】
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【考点1 比例线段的概念】
【方法点拨】解（1）如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写成．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：．②a、d叫比例外项，b、c叫比例内项, a、c叫比例前项，b、d叫比例后项，d叫第四比例项，如果b=c，即 那么b叫做a、d的比例中项， 此时有。
【例1】（2018秋?兴庆区校级期中）下列四组线段中，不成比例线段的是（ ）
A．2cm，5cm，10cm，25cm B．4cm，7cm，4cm，7cm
C．2cm，/cm，/cm，4cm D．/cm，/cm，2/cm，5/cm
【变式1-1】（2018秋?长清区校级月考）下列a、b、c、d四条线段，成比例线段的是（ ）
A．a＝12，b＝4，c＝5，d＝12
B．a＝15，b＝3，c＝5，d＝1
C．a＝13，b＝2，c＝8，d＝12
D．a＝5，b＝0.02，c＝0.7，d＝0.3
【变式1-2】（2019?杨浦区一模）如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，那么b：c等于（ ）
A．4：3 B．3：4 C．2：3 D．3：2
【变式1-3】（2018秋?浦东新区月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（ ）
A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．
【考点2 黄金分割】
【方法点拨】解黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即 简记为：
注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形
【例2】（2018秋?宝应县期末）已知线段AB＝10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，则PA＝ cm．（精确到0.1）
【变式2-1】（2018秋?碑林区校级月考）五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D
分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为/，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周
长为 ．
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【变式2-2】（2018秋?姜堰区校级月考）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给
人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约 cm的高跟鞋才能达到
黄金比的美感效果（精确到1cm）．
【变式2-3】（2018秋?雁塔区校级月考）一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美
观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为 米．
【考点3 比例的基本性质】
【方法点拨】（1）基本性质：①；②．
（2）反比性质(把比的前项、后项交换)： ．
（3）等比性质：如果，那么．
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：；其中．
【例3】（2018秋?长清区校级月考）已知/，
（1）求/的值；
（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．
【变式3-1】（2018秋?襄汾县期中）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足/，a+b+c＝12，试判断△ABC的形状．
【变式3-2】（2018春?南票区期末）若k＝/＝/＝/，且a+b+c≠0，求k的值．
【变式3-3】（2018秋?碑林区校级月考）已知/＝/＝/＝/＝k，求k值．
【考点4 平行线分线段成比例】
【方法点拨】平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
（1）三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.
（2）平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.
【例4】（2019?下城区二模）如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，
l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；
（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
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【变式4-1】（2018秋?浦东新区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并
延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，/＝/．
（1）若BD＝20，求BG的长；
（2）求/的值．
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【变式4-2】（2018秋?房山区校级月考）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．
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【变式4-3】（2019秋?新华区校级期中）如图所示，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，且/，射线CF交AB于E点，求/．
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【考点5 作位似变换】
【方法点拨】画位似图形的一般步骤：
（1） 确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）
（2） 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.
（3） 根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.
（4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤
注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，
或在图形上（图形边上或顶点上）。
②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）
③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）
（5） 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),
【例5】（2018秋?市中区期末）如图，是规格为9×9的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中画出平面直角坐标系，使A的坐标为（﹣2，4），B的坐标为（﹣4，2）；
（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点C的坐标是 ，△ABC的周长是 （结果保留根号）；
（3）把△ABC以点C为位似中心向右放大后得到△A1B1C，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△A1B1C的图形并写出点A1的坐标．
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【变式5-1】（2019?兴庆区校级三模）如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（2，2），C（4，6）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）
（1）画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1：2，直接写出点C2的坐标和△A2B2C2的面积．
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【变式5-2】（2019?芜湖三模）在坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将△A1B1C1按照2：1放大后的位似图形△A2B2C2；
（3）△A2B2C2面积为 ．（直接写出答案）
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【变式5-3】（2019春?吴江区期末）如图，在正方形网格中，四边形TABC的顶点坐标分别为T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，2）．
（1）以点T（1，1）为位似中心，在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍，放大后点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′画出四边形TA′B′C′；
（2）写出点A′，B′，C′的坐标：
A′（ ），B′（ ），C′（ ）；
（3）在（1）中，若D（a，b）为线段AC上任一点，则变化后点D的对应点D′的坐标为（ ）．
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【考点6 相似三角形的判定】
【方法点拨】解1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
【例6】（2018秋?宜宾县期中）已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：
（1）△BAF∽△BCE．
（2）△BEF∽△BCA．
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【变式6-1】（2019秋?望江县期末）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB?AD；
（2）求证：△AFD∽△CFE．
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【变式6-2】（2019秋?鼓楼区期末）如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4．
求证：（1）△ABD∽△CBE；
（2）△ABC∽△DBE．
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【变式6-3】（2019秋?灌云县期末）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）△ABE与△BEF相似吗？为什么？
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【考点7 相似三角形的性质】
【方法点拨】相似三角形的性质：
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【例7】（2019秋?丰县月考）如图，在△ABC和△DBE中，/＝/＝/，且∠DBA＝∠CBE．
（1）若△ABC与△DBE的周长之差为10cm，求△ABC的周长；
（2）若△ABC与△DBE的面积之和为170cm2，求△DBE的面积．
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【变式7-1】（2019秋?济宁期中）△ABC∽△A′B′C′，/，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：
（1）A′B′边上的中线C′D′的长；
（2）△A′B′C′的周长；
（3）△ABC的面积．
【变式7-2】（2016秋?萧山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，求S△DOE：S△AOC的值．
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【变式7-3】课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一
边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
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【考点8 相似三角形的应用】
【例8】（2019春?南关区校级期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm．EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
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【变式8-1】（2019?荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．
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【变式8-2】（2019?雁塔区校级模拟）随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关注，环保宣传也随处可见．如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C处射进房间的地板F处，中午阳光恰好从窗户的最低点处射进房间的地板E处，小云测得窗户距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝3m．请根据以上测量数据，求环保宣传牌AB的高度．
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【变式8-3】（2019?凤翔县二模）如图，小华和小康想用标杆来测量河对岸的树AB的高，两人在确保无安全隐患的情况下，小康在F处竖立了一根标杆EF，小华走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小华在C处蹲下，小康平移标杆到H处时，小华恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，CH⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量过程及测量数据，请你求出树AB的高度．
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【考点9 相似三角形的判定和性质】
【例9】（2019春?常熟市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB～△CFB；
（2）求证：/；
（3）若CE＝5，EF＝2/，BD＝6．求AD的长．
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【变式9-1】（2019春?溧水区期末）如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD＝BE＝4，AE＝3，求CD的值．
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【变式9-2】（2019?武昌区模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，BC＝nAC
（1）如图1，当n＝/时，则/的值为 ；（直接写出结果）
（2）如图2，点P是BC的中点，过点P作PF⊥AP交AB于F，求/的值；（用含n的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，若PF＝BF，则n＝ ．（直接写出结果）
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【变式9-3】（2019?大连二模）如图，在锐角△ABC中，高AD与高BE相交于点F，∠EBC的平分线BG与AC相交于G，与AD相交于点H，且点H是BG的中点．
（1）图中与∠DAC相等的角是 ；
（2）求证：EG＝2DH；
（3）若DH＝1，AH＝kBH，求CG的长（用含k的代数式表示）．
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【考点10 相似证明中的比例式】
【例10】（2019?凉山州）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD?CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．
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【变式10-1】（2019?玄武区二模）如图，O是菱形ABCD对角线BD上的一点，且OC＝OD，连接OA．
（1）求证：∠AOC＝2∠ABC；
（2）求证：CD2＝OD?BD．
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【变式10-2】（2019?宁洱县模拟）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．
求证：FD2＝FB?FC．
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【变式10-3】（2019?合肥二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△ADE；
（2）求证：EB2＝EF?EG；
（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．
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【考点11 利用相似三角形的性质解决动点问题】
【例11】（2019春?莱州市期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设点F的运动时间为t秒．
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（1）如图1，连接DE，AF．若DE⊥AF，求t的值；
（2）如图2，连结EF，DF．当t为何值时，△EBF∽△DCF？
【变式11-1】（2019春?润州区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC＝9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
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【变式11-2】（2019?冷水江市校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
（3）当点M运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？
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【变式11-3】（2019?茂南区校级一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．
求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
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【考点12 一线三等角】
【例12】（2018秋?宝山区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上移动（点D不与点B、C重合），满足∠EDF＝∠B，且点E、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）当点D移动到BC的中点时，求证：点E关于直线DF的对称点在直线AC上．
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【变式12-1】（2019?姜堰区一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞0）．P为边BC上一动点（不与B、C重合），过P点作PE⊥AP交直线CD于E．
（1）求证：△ABP∽△PCE；
（2）当P为BC中点时，E恰好为CD的中点，求m的值；
（3）若m＝12，DE＝1，求BP的长．
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【变式12-2】（2018春?新泰市期末）△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．
（1）如图1，求证：DE?CD＝DF?BE；
（2）如图2，若D为BC中点，连接EF．求证：ED平分∠BEF．
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【变式12-3】（2018?合肥一模）如图1，点D为正△ABC的BC边上一点（D不与点B，C重合），点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝∠B．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）设BD＝a，CD＝b，△BDE的面积为S1，△CDF的面积为S2，求S1?S2（用含a，b的式子表示）；
（3）如图2，若点D为BC边的中点，求证：DF2＝EF?FC．
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专题1.4 相似三角形章末重难点题型【举一反三】
【浙教版】
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【考点1 比例线段的概念】
【方法点拨】解（1）如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写成．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：．②a、d叫比例外项，b、c叫比例内项, a、c叫比例前项，b、d叫比例后项，d叫第四比例项，如果b=c，即 那么b叫做a、d的比例中项， 此时有。
【例1】（2018秋?兴庆区校级期中）下列四组线段中，不成比例线段的是（ ）
A．2cm，5cm，10cm，25cm B．4cm，7cm，4cm，7cm
C．2cm，/cm，/cm，4cm D．/cm，/cm，2/cm，5/cm
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【答案】解：A．2×25＝5×10，四组线段中能成比例，不符合题意；
B．4×7＝4×7，四组线段中能成比例，不符合题意；
C．/×4≠/×2，四组线段不能成比例，符合题意；
D．/×5/＝/×2/，四组线段中能成比例，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
【变式1-1】（2018秋?长清区校级月考）下列a、b、c、d四条线段，成比例线段的是（ ）
A．a＝12，b＝4，c＝5，d＝12
B．a＝15，b＝3，c＝5，d＝1
C．a＝13，b＝2，c＝8，d＝12
D．a＝5，b＝0.02，c＝0.7，d＝0.3
【分析】根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
【答案】解：A．4×12≠5×12，所以不成比例，不符合题意；
B．1×15＝3×5，所以成比例，符合题意；
C．2×13≠8×12，所以不成比例，不符合题意；
D．0.02×5≠0.3×0.7，所以不成比例，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
【变式1-2】（2019?杨浦区一模）如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，那么b：c等于（ ）
A．4：3 B．3：4 C．2：3 D．3：2
【分析】根据比例中项的概念可得a：b＝b：c，则可求得b：c值．
【答案】解：∵a：b＝3：2，b是a和c的比例中项，
即a：b＝b：c，
∴b：c＝3：2．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例中项的概念．在线段a，b，c中，若b2＝ac，则b是a，c的比例中项．
【变式1-3】（2018秋?浦东新区月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（ ）
A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．
【分析】设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据比例尺的定理列出方程，解之可得．
【答案】解：设地图上，甲乙两地的距离是xcm，
根据题意，得：/＝/，
解得：x＝80，
即地图上，甲乙两地的距离是80cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．
【考点2 黄金分割】
【方法点拨】解黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即 简记为：
注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形
【例2】（2018秋?宝应县期末）已知线段AB＝10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，则PA＝ cm．（精确到0.1）
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，那么AP＝/AB≈0.618AB，代入计算即可．
【答案】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB），且AB＝10cm，
∴AP＝/AB≈0.618×10≈6.2（cm）．
故答案为6.2．
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念．应该熟记黄金分割的公式：较长的线段＝原线段×/．
【变式2-1】（2018秋?碑林区校级月考）五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D
分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为/，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周
长为 ．
/
【分析】根据点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可得AC＝BD＝/AB，BC＝/AB，再根据CD＝BD﹣BC求出CD的长度，然后乘以5即可求解．
【答案】解：∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，
∴AC＝BD＝/AB＝/﹣1，BC＝/AB＝3﹣/，
∴CD＝BD﹣BC＝（/﹣1）﹣（3﹣/）＝2/﹣4，
∴五边形CDEFG的周长＝5（2/﹣4）＝10/﹣20．
故答案为10/﹣20．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点．
【变式2-2】（2018秋?姜堰区校级月考）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给
人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约 cm的高跟鞋才能达到
黄金比的美感效果（精确到1cm）．
【分析】设她要穿xcm的高跟鞋，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【答案】解：设她要穿xcm的高跟鞋，
由题意得，/＝0.618，
解得x＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是黄金分割的知识，根据题意列出方程是解题的关键，注意要准确找出等量关系．
【变式2-3】（2018秋?雁塔区校级月考）一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美
观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为 米．
【分析】根据黄金比为/进行计算，即可得到答案．
【答案】解：如图，设舞台AB的长度为10米，C是黄金分割点，AC＞BC，
则AC＝/AB＝5（/﹣1）米，
∴BC＝AB﹣AC＝10﹣5（/﹣1）＝15﹣5/米，
故答案为：15﹣5/．
/
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值0.618叫做黄金比．
【考点3 比例的基本性质】
【方法点拨】（1）基本性质：①；②．
（2）反比性质(把比的前项、后项交换)： ．
（3）等比性质：如果，那么．
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：；其中．
【例3】（2018秋?长清区校级月考）已知/，
（1）求/的值；
（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．
【分析】设/＝k，于是得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入代数式即可得到结论．
【答案】解：∵/，
∴设/＝k，
∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴（1）/＝/＝/；
（2）∵x﹣2y+4z＝24，
∴2k﹣6k+16k＝24，
∴k＝2，
∴x+y+z＝2k+3k+4k＝9k＝18．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
【变式3-1】（2018秋?襄汾县期中）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足/，a+b+c＝12，试判断△ABC的形状．
【分析】设/＝k，表示a、b、c的长，代入a+b+c＝12中，计算k的值，可得三边的长，根据勾股定理的逆定理可得结论．
【答案】解：△ABC是直角三角形，理由是：
设/＝k，
则a＝2k﹣2，b＝3k﹣4，c＝4k﹣9，
∵a+b+c＝12，
∴2k﹣2+3k﹣4+4k﹣9＝12，
k＝3，
∴a＝4，b＝5，c＝3，
∴a2+c2＝42+32＝25＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了比例的性质、勾股定理的逆定理，设参数表示三边的长是关键，熟练掌握勾股定理的逆定理．
【变式3-2】（2018春?南票区期末）若k＝/＝/＝/，且a+b+c≠0，求k的值．
【分析】根据比例的性质，即可解答．
【答案】解：∵k＝/＝/＝/，且a+b+c≠0，
∴k＝/＝/＝﹣1．
【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是熟记比例的性质．
【变式3-3】（2018秋?碑林区校级月考）已知/＝/＝/＝/＝k，求k值．
【分析】依据等比性质可得，/＝k，分两种情况讨论，即可得到k的值．
【答案】解：∵/＝/＝/＝/＝k，
∴由等比性质可得，/＝k，
当a+b+c+d≠0时，k＝/＝/；
当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，
∴k＝/＝/＝﹣2；
综上所述，k的值为/或﹣2．
【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
【考点4 平行线分线段成比例】
【方法点拨】平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
（1）三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.
（2）平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.
【例4】（2019?下城区二模）如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，
l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；
（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
/
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．
（2）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．
【答案】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴/，
即/，
解得：AC＝12；
（2）∵l1∥l2∥l3，
∴/，
∵AB＝4，AC＝12，
∴BC＝8，
∴OB＝2，
∴/．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【变式4-1】（2018秋?浦东新区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并
延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，/＝/．
（1）若BD＝20，求BG的长；
（2）求/的值．
/
【分析】（1））由GF∥BC推出/＝/即可解决问题；
（2）由AB∥CD，AB＝CD，推出/＝/，/＝/，可得/＝/解决问题；
【答案】解：（1）∵GF∥BC，
∴/＝/，
∵BD＝20，/＝/
∴BG＝8．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴/＝/，
∴/＝/，
∴/＝/，
∴/＝/．
/
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式4-2】（2018秋?房山区校级月考）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．
/
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EF∥CD得到/，由DE∥BC得到/，然后利用等量代换可得到结论；
（2）根据比例的性质由AD：BD＝2：1可计算出AD＝10，则利用AF：FD＝AD：DB得到AF＝2DF，然后利用2DF+DF＝10可计算出DF．
【答案】（1）证明：∵EF∥CD，
∴/，
∵DE∥BC，
∴/
∴/＝/．
（2）∵AD：BD＝2：1，
∴BD＝/AD，
∴AD+/AD＝15，
∴AD＝10，
∵AF：FD＝AD：DB，
∴AF：FD＝2：1，
∴AF＝2DF，
∵AF+DF＝10，
∴2DF+DF＝10，
∴DF＝/．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【变式4-3】（2019秋?新华区校级期中）如图所示，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，且/，射线CF交AB于E点，求/．
/
【分析】取CE的中点G，连接DG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DG∥BE，DG＝/BE，然后求出/，再根据平行线分线段成比例定理可得/＝/，从而得解．
【答案】解：如图，取CE的中点G，连接DG，
∵AD是BC边上的中线，
∴DG是△BCE的中位线，
∴DG∥BE，DG＝/BE，
∵/＝/，
∴/＝/，
∴/＝/＝/．
/
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，作出合适的辅助线是解题的关键．
【考点5 作位似变换】
【方法点拨】画位似图形的一般步骤：
（1） 确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）
（2） 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.
（3） 根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.
（4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤
注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，
或在图形上（图形边上或顶点上）。
②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）
③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）
（5） 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),
【例5】（2018秋?市中区期末）如图，是规格为9×9的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中画出平面直角坐标系，使A的坐标为（﹣2，4），B的坐标为（﹣4，2）；
（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点C的坐标是 ，△ABC的周长是 （结果保留根号）；
（3）把△ABC以点C为位似中心向右放大后得到△A1B1C，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△A1B1C的图形并写出点A1的坐标．
/
【分析】（1）利用A、B两点坐标画出直角坐标系；
（2）在AB的垂直平分线上可确定满足条件的C点，从而得到C点坐标，然后计算出AB、CA得到△ABC的周长；
（3）延长AC到A1，使A1C＝2CA，延长BC到B1，使B1C＝2CB，从而得到△A1B1C，然后写出点A1的坐标．
【答案】解：（1）如图，
（2）如图，C点为作，C点坐标为（﹣1，1），
AB＝2/，CA＝CB＝/＝/，
所以△ABC的周长＝2/+2/；
故答案为（﹣1，1）；2/+2/；
（3）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（1，﹣5）．
/
【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
【变式5-1】（2019?兴庆区校级三模）如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（2，2），C（4，6）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）
（1）画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1：2，直接写出点C2的坐标和△A2B2C2的面积．
/
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而结合三角形面积求法得出答案．
【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
点B1的坐标为：（2，﹣3）；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
点C2的坐标为：（﹣2，﹣3）；
△A2B2C2的面积为：4﹣/×1×1﹣/×1×2﹣/×1×2＝1.5．
/
【点睛】此题主要考查了平移变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
【变式5-2】（2019?芜湖三模）在坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将△A1B1C1按照2：1放大后的位似图形△A2B2C2；
（3）△A2B2C2面积为 ．（直接写出答案）
/
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）延长MA1到A2使MA2＝2MA1，延长MB1到B2使MB2＝2MB1，延长MC1到C2使MC2＝2MC1，从而得到△A2B2C2；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出）△A2B2C2面积．
【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
/
（3）△A2B2C2面积＝8×4﹣/×4×2﹣/×6×2﹣/×8×2＝14．
故答案为14．
【点睛】本题考查了位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换．
【变式5-3】（2019春?吴江区期末）如图，在正方形网格中，四边形TABC的顶点坐标分别为T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，2）．
（1）以点T（1，1）为位似中心，在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍，放大后点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′画出四边形TA′B′C′；
（2）写出点A′，B′，C′的坐标：
A′（ ），B′（ ），C′（ ）；
（3）在（1）中，若D（a，b）为线段AC上任一点，则变化后点D的对应点D′的坐标为（ ）．
/
【分析】（1）利用位似图形的性质得出变化后图形即可；
（2）利用已知图形得出对应点坐标；
（3）利用各点变化规律，进而得出答案．
【答案】解：（1）如图所示：四边形TA′B′C′即为所求；
（2）A′（3，5），B′（5，5），C′（7，3）；
故答案为：（3，5），（5，5），（7，3）；
（3）在（1）中，∵A（2，3），B（3，3），C（4，2），
A′（2×2﹣1＝3，2×3﹣1＝5），B′（2×3﹣1＝5，2×3﹣1＝5），C′（2×4﹣1＝7，2×2﹣1＝3）；
∴D（a，b）为线段AC上任一点，
则变化后点D的对应点D′的坐标为（2a﹣1，2b﹣1）．
故答案为：（2a﹣1，2b﹣1）．
/
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，根据题意得出对应点坐标是解题关键．
【考点6 相似三角形的判定】
【方法点拨】解1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
【例6】（2018秋?宜宾县期中）已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：
（1）△BAF∽△BCE．
（2）△BEF∽△BCA．
/
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；
（2）根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似即可证明；
【答案】解：（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AFB＝∠CEB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BAF∽△BCE．
（2）∵△BAF∽△BCE，
∴/＝/，
∴/＝/，
∵∠B＝∠B，
∴△BEF∽△BCA．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
【变式6-1】（2019秋?望江县期末）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB?AD；
（2）求证：△AFD∽△CFE．
/
【分析】（1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据直角三角形的性质得到CE＝BE＝AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠ECA，推出AD∥CE即可解决问题；
【答案】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AB?AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE＝BE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式6-2】（2019秋?鼓楼区期末）如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4．
求证：（1）△ABD∽△CBE；
（2）△ABC∽△DBE．
/
【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE；
（2）先利用得到∠1＝∠2得到∠ABC＝∠DBE，再利用△ABD∽△CBE得/＝/，根据比例的性质得到/＝/，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABC与△DBE相似．
【答案】解：（1）相似．理由如下：
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴△ABD∽△CBE；
（2）相似．理由如下：
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DBC＝∠2+DBC，即∠ABC＝∠DBE，
∵△ABD∽△CBE，
∴/＝/，
∴/＝/，
∴△ABC∽△DBE．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似；三组对应边的比相等的两个三角形相似．
【变式6-3】（2019秋?灌云县期末）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）△ABE与△BEF相似吗？为什么？
/
【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定证明即可；
（2）利用相似三角形的性质和判定解答即可．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
设AB＝AD＝CD＝4a，
∵E为边AD的中点，CF＝3FD，
∴AE＝DE＝2a，DF＝a，
∴/，/
∴/
又∵∠A＝∠D＝90°
∴△ABE∽△DEF．
（2）∵△ABE∽△DEF，
∴/
∴∠AEB＝∠DFE∠ABE＝∠DEF
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠BEF＝90°
又∵/，∠A＝90°
∴/，∠A＝∠BEF＝90°
∴△ABE∽△EBF．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了正方形的性质．
【考点7 相似三角形的性质】
【方法点拨】相似三角形的性质：
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【例7】（2019秋?丰县月考）如图，在△ABC和△DBE中，/＝/＝/，且∠DBA＝∠CBE．
（1）若△ABC与△DBE的周长之差为10cm，求△ABC的周长；
（2）若△ABC与△DBE的面积之和为170cm2，求△DBE的面积．
/
【分析】（1）根据相似三角形的判定得到△ABC∽△BDE，由相似三角形的性质得到△ABC的周长和△DBE的周长的比值，再结合已知条件△ABC与△DBE的周长之差为10cm，即可求出△ABC的周长；
（2）根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方，可求得S△ABC：S△BDE的值，再根据已知条件△ABC与△DBE的面积之和为170cm2，即可求出△DBE的面积．
【答案】解：
（1）设DE与BC相交于点F，
∵∠DBA＝∠CBE，
∴∠BDA+∠DBF＝∠CBE+∠BDF，
∴∠ABC＝∠EBD，
∵/＝/＝/，
∴△ABC∽△BDE，
∴△ABC的周长：△DBE的周长＝5：3，
∴△ABC的周长＝/△DBE的周长，
∵△ABC和△DBE的周长之差为10cm，
∴△ABC的周长﹣△DBE的周长＝/△DBE的周长＝10，
∴△DBE的周长＝15cm，
∴△ABC的周长＝25cm；
（2）∵△ABC∽△BDE，
∴/＝（/）2＝/，
∴S△ABC＝/S△BDE，
∵△ABC和△DBE的面积之和为170cm2，
∴/S△BDE＝170，
∴S△DBE＝45cm2．
/
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积和周长的计算，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【变式7-1】（2019秋?济宁期中）△ABC∽△A′B′C′，/，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：
（1）A′B′边上的中线C′D′的长；
（2）△A′B′C′的周长；
（3）△ABC的面积．
【分析】（1）根据相似三角形的对应中线的比等于相似比，解答出即可；
（2）根据相似三角形的周长之比也等于相似比，解答出即可；
（3）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，解答出即可；
【答案】解：（1）∵△ABC∽△A′B′C′，/，AB边上的中线CD＝4cm，
∴/＝/，
∴C′D′＝4cm×2＝8cm，
∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm；
（2）∵△ABC∽△A′B′C′，/，△ABC的周长为20cm，
∴/＝/，
∴C△A′B′C′＝20cm×2＝40cm，
∴△A′B′C′的周长为40cm；
（3）∵△ABC∽△A′B′C′，/，△A′B′C′的面积是64cm2，
∴/＝/＝/，
∴S△ABC＝64cm2÷4＝16cm2，
∴△ABC的面积是16cm2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【变式7-2】（2016秋?萧山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，求S△DOE：S△AOC的值．
/
【分析】由已知得出BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到/，由相似三角形的性质即可解决问题．
【答案】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴/＝/，
∴S△DOE：S△AOC＝（/）＝/．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证出BE：BC＝1：4是解决问题的关键解题的关键．
【变式7-3】课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一
边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
/
/
【分析】（1）设PN＝2y（mm），则PQ＝y（mm），然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；
（2）设PN＝x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．
【答案】解：（1）设矩形的边长PN＝2y（mm），则PQ＝y（mm），由条件可得△APN∽△ABC，
∴/＝/，
即/＝/，
解得y＝/，
∴PN＝/×2＝/（mm），
答：这个矩形零件的两条边长分别为/mm，/mm；
（2）设PN＝x（mm），矩形PQMN的面积为S（mm2），
由条件可得△APN∽△ABC，
∴/＝/，
即/＝/，
解得PQ＝80﹣/x．
∴S＝PN?PQ＝x（80﹣/x）＝﹣/x2+80x＝﹣/（x﹣60）2+2400，
∴S的最大值为2400mm2，此时PN＝60mm，PQ＝80﹣/×60＝40（mm）．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键，此题规律性较强，是道好题．
【考点8 相似三角形的应用】
【例8】（2019春?南关区校级期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm．EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
/
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【答案】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D
∴△DEF∽△DCB
∴/，
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m，
∴/，
∴BC＝7.5米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
【变式8-1】（2019?荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．
/
【分析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，根据GF∥AC得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【答案】解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，
连接GF并延长交OE于点H，
∵FH∥AO，
∴△AOM∽△FHM，
∴/
∵GF∥AC，
∴△MAC∽△MFG，
∴/，
即：/，
∴/，
∴OE＝32，
答：楼的高度OE为32米．
/
【点睛】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
【变式8-2】（2019?雁塔区校级模拟）随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关注，环保宣传也随处可见．如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C处射进房间的地板F处，中午阳光恰好从窗户的最低点处射进房间的地板E处，小云测得窗户距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝3m．请根据以上测量数据，求环保宣传牌AB的高度．
/
【分析】首先根据DO＝OE＝0.8m，可得∠DEB＝45°，然后证明AB＝BE，再证明△ABF∽△COF，可得/＝/，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．
【答案】解：∵DO⊥BF，
∴∠DOE＝90°，
∵OD＝1m，OE＝1m，
∴∠DEB＝45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
设AB＝EB＝xm，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴/＝/，
/＝/，
解得：x＝10．
经检验：x＝10是原方程的解．
答：AB的高度是10m．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是求出AB＝BE，根据相似三角形的判定方法证明△ABF∽△COF．
【变式8-3】（2019?凤翔县二模）如图，小华和小康想用标杆来测量河对岸的树AB的高，两人在确保无安全隐患的情况下，小康在F处竖立了一根标杆EF，小华走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小华在C处蹲下，小康平移标杆到H处时，小华恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，CH⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量过程及测量数据，请你求出树AB的高度．
/
【分析】根据相似三角形的性质得方程，解方程组即可得到结论．
【答案】解：过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，
/
由题意可得：∠EDN＝∠BDP，∠BPD＝∠END，∠GMK＝∠BMQ
∠BQM＝∠GKM，DP＝MQ＝AC，DN＝CF，MK＝CH，
∴△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，
∴/，/
∴/，/
∴AB＝8.8米
∴树AB的高度为8.8米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
【考点9 相似三角形的判定和性质】
【例9】（2019春?常熟市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB～△CFB；
（2）求证：/；
（3）若CE＝5，EF＝2/，BD＝6．求AD的长．
/
【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断．
（2）首先证明CE＝CF，利用相似三角形的性质即可解决问题．
（3）解直角三角形求出FH，CH，利用相似三角形的性质求出DF，AD即可．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△AEB∽△CFB．
（2）证明：∵∠ABE＝∠CBE，∠A＝∠BCD，
∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵△AEB∽△CFB，
∴/＝/，
∴/＝/．
（3）解：如图，作CH⊥EF于H．
/
∵CE＝CF，CH⊥EF，
∴EH＝FH＝/，
∴CH＝/＝/＝2/，
由△BFD∽△CFH，
∴/＝/，
∴/＝/，
∴DF＝3，CD＝CF+DF＝8，
由△ACD∽△CBD，
∴/＝/，
∴/＝/，
∴AD＝/．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式9-1】（2019春?溧水区期末）如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD＝BE＝4，AE＝3，求CD的值．
/
【分析】（1）由垂直得出∠AFE＝∠AGC＝90°，则∠AEF+∠EAF＝90°，∠GAC+∠ACG＝90°，由∠EAF＝∠GAC得出∠AEF＝∠ACG，即可得出结论；
（2）由△ADE∽△ABC得出/＝/，求出AB＝BE+AE＝7，则/＝/，求出AC＝/，则CD＝AC﹣AD＝/．
【答案】（1）证明：AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°，
∴∠AEF+∠EAF＝90°，∠GAC+∠ACG＝90°，
∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AEF＝∠ACG，
∵∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴/＝/，
∵AD＝BE＝4，AE＝3，
∴AB＝BE+AE＝4+3＝7，
∴/＝/，
解得：AC＝/，
∴CD＝AC﹣AD＝/﹣4＝/．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式9-2】（2019?武昌区模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，BC＝nAC
（1）如图1，当n＝/时，则/的值为 ；（直接写出结果）
（2）如图2，点P是BC的中点，过点P作PF⊥AP交AB于F，求/的值；（用含n的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，若PF＝BF，则n＝ ．（直接写出结果）
/
【分析】（1）设AC＝2k，BC＝3k，求出AD，BD即可解决问题．
（2）过点P作PG∥AC交AB于点G．证明△PCE∽△PGF，即可解决问题．
（3）设PF＝x，AP＝nx，利用勾股定理构建方程求出n即可．
【答案】解：（1）如图1中，
/
∵BC＝/AC，
∴可以假设AC＝2k，BC＝3k，
∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴AB＝/k，
∵/?AC?BC＝/?AB?CD，
∴CD＝/k，
∴AD＝/＝/k，BD＝/k，
∴/＝/，
故答案为/．
（2）过点P作PG∥AC交AB于点G．
/
∴∠PGF＝∠CAD，∠GPC＝90°，
∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠PCE＝90°，
∴∠PCE＝∠CAD，
∴∠PCE＝∠PGF，
又∵PF⊥AP，
∴∠CPE+∠APG＝∠FPG+∠APG＝90°，
∴∠CPE＝∠GPF，
∴△PCE∽△PGF，
∴/＝/，
又∵点P是BC的中点，
∴AC＝2PG，
∴/＝/＝n．
（3）由（2）可知/＝n，则可以假设PF＝x，AP＝nx，
∵∠GPB＝90°，PF＝BF，则PF＝BF＝GF＝x，则AG＝2x，
∵△PCE∽△PGF，
∴/＝/，则CE＝PF＝nx，
又∵∠ACB＝90°，则AE＝PE＝nx，
在Rt△APF中，AP2+PF2＝AF2，
则x2+（2nx）2＝（3x）2，
∴n＝/，
故答案为/．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式9-3】（2019?大连二模）如图，在锐角△ABC中，高AD与高BE相交于点F，∠EBC的平分线BG与AC相交于G，与AD相交于点H，且点H是BG的中点．
（1）图中与∠DAC相等的角是 ；
（2）求证：EG＝2DH；
（3）若DH＝1，AH＝kBH，求CG的长（用含k的代数式表示）．
/
【分析】（1）根据等角的余角相等解决问题即可．
（2）证明△BDH∽△BEG．可得/，解决问题即可．
（3）如图，过点G作GP⊥BC，垂足为P．连接EH．由△AHG∽△HEG，可得/．即/推出HG＝2k．推出AH＝AG＝2k2，由△CGP∽△CAD．推出/，构建方程即可解决问题．
【答案】解：（1）∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AEF＝∠BDF＝90°，
∵∠EAF+∠AFE＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∠AFE＝∠BFD，
∴∠CBE＝∠EAF．
故答案为∠CBE．
（2）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°．
∵BG平分∠EBC，
∴∠EBG＝∠GBC．
∴△BDH∽△BEG．
∴/
∵点H是BG的中点，
∴/．
∴EG＝2DH．
（3）如图，过点G作GP⊥BC，垂足为P．连接EH．
/
∵∠EBG＝∠GBC，BE⊥AC，GP⊥BC，
∴GP＝EG＝2DH＝2．
∵BH＝HG，∠BEC＝90°，
∴EH＝BH＝HG．
∴∠HEG＝HGE，
∵∠EGH+∠EBG＝∠BHD+∠GBC＝90°，∠EBG＝∠GBC，
∴∠EGH＝∠BHD，
∵∠AHG＝∠BHD，
∴∠AHG＝∠AGH＝∠HEG，
∴AH＝AG，△AHG∽△HEG，
∴/．即/
∴HG＝2k．
∴AH＝AG＝2k2，
∵∠GPB＝∠ADB＝90°，
∴GP∥AD，
∴△CGP∽△CAD．
∴/，
即/，
∴/．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【考点10 相似证明中的比例式】
【例10】（2019?凉山州）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD?CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．
/
【分析】（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得/，可得结论；
（2）由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝AD?CD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得/，即可求MN的长．
【答案】证明：（1）∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD
∴/
∴BD2＝AD?CD
（2）∵BM∥CD
∴∠MBD＝∠BDC
∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°
∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA
∴BM＝MD＝AM＝4
∵BD2＝AD?CD，且CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝48，
∴BC2＝BD2﹣CD2＝12
∴MC2＝MB2+BC2＝28
∴MC＝2/
∵BM∥CD
∴△MNB∽△CND
∴/，且MC＝2/
∴MN＝/
/
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
【变式10-1】（2019?玄武区二模）如图，O是菱形ABCD对角线BD上的一点，且OC＝OD，连接OA．
（1）求证：∠AOC＝2∠ABC；
（2）求证：CD2＝OD?BD．
/
【分析】（1）连接AC，利用菱形的性质解答即可；
（2）利用菱形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【答案】证明：（1）连接AC．
/
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，∠ADC＝∠ABC．
∵O是BD上一点，
∴OA＝OC．
∵OC＝OD，∴AO＝OD，∠ODC＝∠OCD．
∴∠BOC＝∠ODC+∠OCD＝2∠ODC．
同理：∠AOB＝2∠ADO，
∴∠AOC＝2（∠ADO+∠ODC）＝2∠ADC．
又∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠AOC＝2∠ABC．
∴∠AOC＝2∠ADC，
又∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠AOC＝2∠ABC．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD．
∴∠BDC＝∠CBD．
由（1）得∠ODC＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠DBC．
在△CDO和△BDC中
∵∠ODC＝∠CDB，∠OCD＝∠CBD
∴△CDO∽△BDC．
∴/＝/，
即CD2＝OD?BD．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据菱形的性质和相似三角形的判定和性质解答．
【变式10-2】（2019?宁洱县模拟）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．
求证：FD2＝FB?FC．
/
【分析】证明△FDC∽△FBD，即可解决问题
【答案】证明：∵E是Rt△ACD斜边AC的中点，
∴DE＝AE
∴∠A＝∠ADE
∵∠ADE＝∠BDF，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠FDC＝∠BDF+∠BDC，∠FBD＝∠ACB+∠A（外角定理），∠BDC＝∠ACB＝90°，
∴∠FDC＝∠FBD，
∵∠F＝∠F，
∴△FDC∽△FBD，
∴/＝/，
即FD2＝FB?FC．
/
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
【变式10-3】（2019?合肥二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△ADE；
（2）求证：EB2＝EF?EG；
（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．
/
【分析】（1）用SAS证明即可；
（2）先证明△EDF∽△EGD，得到ED2＝EF?EG，代换ED＝EB即可；
（3）根据已知先求出BE和EF值，再根据EB2＝EF?EG求出EG值，最后用BG＝BE+EG计算即可．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
又AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS）；
（2）∵AB∥CG，
∴∠ABG＝∠EGD，
由（1）得△ABE≌△ADE，
∴ED＝EB，∠ABG＝∠ADE，
∴∠EGD＝∠ADE，
∵∠FED＝∠DEG，
∴△EDF∽△EGD，
∴/，
所以ED2＝EF?EG；
∴EB2＝EF?EG；
（3）∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC＝AB＝4．
连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA＝OC＝2，OB＝2/，
∵AE：EC＝1：3，
∴AE＝OE＝1．
∴BE＝/．
∵AD∥BC，
∴/，
∴EF＝/BE＝/．
由（2）得EB2＝EF?EG，
∴EG＝/，
∴BG＝BE+EG＝4/．
/
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．线段间的转化是解题的关键．
【考点10 相似证明中的比例式】
【例10】（2019?凉山州）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD?CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．
/
【分析】（1）利用正方形的性质及条件，得出△ABF≌△DAE，由AE＝BF列式计算．
（2）利用△EBF∽△DCF，得出/，列出方程求解．
【答案】解：（1）∵DE⊥AF，
∴∠AOE＝90°，
∴∠BAF+∠AEO＝90°，
∵∠ADE+∠AEO＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABF＝∠DAE＝90°，
∴△ABF≌△DAE（ASA）
∴AE＝BF，
∴1+t＝2t，
解得t＝1．
（2）如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝4，
∵BF＝2t，AE＝1+t，
∴FC＝4﹣2t，BE＝4﹣1﹣t＝3﹣t，
当△EBF∽△DCF时，
/，
∴/＝/，
解得，t＝/，t＝/（舍去），
故t＝/．
所以当t＝/时，△EBF∽△DCF；
/
/
【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是把四边形与坐标系相结合求解．
【变式10-1】（2019?玄武区二模）如图，O是菱形ABCD对角线BD上的一点，且OC＝OD，连接OA．
（1）求证：∠AOC＝2∠ABC；
（2）求证：CD2＝OD?BD．
/
【分析】（1）由勾股定理求得AB＝10，由三角形面积公式得出/AC?BC＝/AB?CD，即可得出结果；
（2）由勾股定理求得AD＝6.4，过点Q作QH⊥CD于H，则QH∥AD，则△CHQ∽△CDA，得出/＝/，即/＝/，求出QH＝0.8t，S＝/QH?CP，即可得出结果；S△ABC＝/AC?BC＝24，S△CPQ：S△ABC＝9：100，即/＝/，解得t1＝3，t2＝1.8．
【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝/＝/＝10，
∵/AC?BC＝/AB?CD，
∴/×8×6＝/×10CD，
解得：CD＝4.8；
（2）AD＝/＝/＝6.4，
过点Q作QH⊥CD于H，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴QH∥AD，
∴△CHQ∽△CDA，
∴/＝/，即/＝/，
∴QH＝0.8t，
∴S＝/QH?CP＝/×0.8t×（4.8﹣t）＝﹣0.4t2+1.92t；
∵S△ABC＝/AC?BC＝/×8×6＝24，
S△CPQ：S△ABC＝9：100，即：/＝/，
整理得：5t2﹣24t+27＝0，
解得：t1＝3，t2＝1.8，
∴在运动过程中存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC＝9：100，t的值为：3或1.8．
/
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键．
【变式10-2】（2019?宁洱县模拟）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．
求证：FD2＝FB?FC．
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【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，得到一对直角相等，再由AM垂直于MN，得到∠AMN为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）由（1）得出的相似三角形，可得对应边成比例，根据BM＝x与AB＝4，表示出CN，由CN为上底，AB为下底，BC为高，利用梯形的面积公式列出y与x的函数关系式，利用二次函数的性质确定出梯形ABCN面积最大时M的位置，并求出最大面积即可；
（3）当点M运动到BC中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，由一对直角相等，要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有AB：AM＝BM：MN，表示出BM，由（1）的结论表示出CM，可得出BM＝CM，即此时M为BC的中点．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN＝90°，
∴∠CMN+∠AMB＝90°．
在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB＝90°，
∴∠BAM＝∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN，BM＝x，
∴AB：MC＝BM：CN，即/，
整理得：CN＝/，
∴y＝S梯形ABCN＝/×（/+4）×4＝﹣/x2+2x+8＝﹣/（x﹣2）2+10（0＜x＜4），
则当x＝2，即M点运动到BC的中点时，梯形ABCN的面积最大，最大值为10；
（3）当点M运动到BC中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，理由如下：
解：∵∠B＝∠AMN＝90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有/，即BM＝/，
由（1）知/，即MC＝/，
∴BM＝MC，
则当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN．
【点睛】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，梯形的面积求法，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
【变式10-3】（2019?合肥二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△ADE；
（2）求证：EB2＝EF?EG；
（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．
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【分析】（1）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ＝/CP×CQ求解；
（2）在Rt△CPQ中，由（1）可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；
（3）应分两种情况，当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据/＝/，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据/＝/，可求出时间t．
【答案】解：（1）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为S＝/cm2；
（2）当t＝3秒时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，
由勾股定理得PQ＝/；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，/，即/，解得t＝3秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，/，即/，解得t＝/秒．
因此t＝3秒或t＝/秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点睛】本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解．
【考点11 利用相似三角形的性质解决动点问题】
【例11】（2019春?莱州市期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设点F的运动时间为t秒．
/
（1）如图1，连接DE，AF．若DE⊥AF，求t的值；
（2）如图2，连结EF，DF．当t为何值时，△EBF∽△DCF？
【分析】（1）利用正方形的性质及条件，得出△ABF≌△DAE，由AE＝BF列式计算．
（2）利用△EBF∽△DCF，得出/，列出方程求解．
【答案】解：（1）∵DE⊥AF，
∴∠AOE＝90°，
∴∠BAF+∠AEO＝90°，
∵∠ADE+∠AEO＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABF＝∠DAE＝90°，
∴△ABF≌△DAE（ASA）
∴AE＝BF，
∴1+t＝2t，
解得t＝1．
（2）如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝4，
∵BF＝2t，AE＝1+t，
∴FC＝4﹣2t，BE＝4﹣1﹣t＝3﹣t，
当△EBF∽△DCF时，
/，
∴/＝/，
解得，t＝/，t＝/（舍去），
故t＝/．
所以当t＝/时，△EBF∽△DCF；
/
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【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是把四边形与坐标系相结合求解．
【变式11-1】（2019春?润州区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC＝9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
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【分析】（1）由勾股定理求得AB＝10，由三角形面积公式得出/AC?BC＝/AB?CD，即可得出结果；
（2）由勾股定理求得AD＝6.4，过点Q作QH⊥CD于H，则QH∥AD，则△CHQ∽△CDA，得出/＝/，即/＝/，求出QH＝0.8t，S＝/QH?CP，即可得出结果；S△ABC＝/AC?BC＝24，S△CPQ：S△ABC＝9：100，即/＝/，解得t1＝3，t2＝1.8．
【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝/＝/＝10，
∵/AC?BC＝/AB?CD，
∴/×8×6＝/×10CD，
解得：CD＝4.8；
（2）AD＝/＝/＝6.4，
过点Q作QH⊥CD于H，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴QH∥AD，
∴△CHQ∽△CDA，
∴/＝/，即/＝/，
∴QH＝0.8t，
∴S＝/QH?CP＝/×0.8t×（4.8﹣t）＝﹣0.4t2+1.92t；
∵S△ABC＝/AC?BC＝/×8×6＝24，
S△CPQ：S△ABC＝9：100，即：/＝/，
整理得：5t2﹣24t+27＝0，
解得：t1＝3，t2＝1.8，
∴在运动过程中存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC＝9：100，t的值为：3或1.8．
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【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键．
【变式11-2】（2019?冷水江市校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
（3）当点M运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？
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【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，得到一对直角相等，再由AM垂直于MN，得到∠AMN为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）由（1）得出的相似三角形，可得对应边成比例，根据BM＝x与AB＝4，表示出CN，由CN为上底，AB为下底，BC为高，利用梯形的面积公式列出y与x的函数关系式，利用二次函数的性质确定出梯形ABCN面积最大时M的位置，并求出最大面积即可；
（3）当点M运动到BC中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，由一对直角相等，要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有AB：AM＝BM：MN，表示出BM，由（1）的结论表示出CM，可得出BM＝CM，即此时M为BC的中点．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN＝90°，
∴∠CMN+∠AMB＝90°．
在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB＝90°，
∴∠BAM＝∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN，BM＝x，
∴AB：MC＝BM：CN，即/，
整理得：CN＝/，
∴y＝S梯形ABCN＝/×（/+4）×4＝﹣/x2+2x+8＝﹣/（x﹣2）2+10（0＜x＜4），
则当x＝2，即M点运动到BC的中点时，梯形ABCN的面积最大，最大值为10；
（3）当点M运动到BC中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，理由如下：
解：∵∠B＝∠AMN＝90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有/，即BM＝/，
由（1）知/，即MC＝/，
∴BM＝MC，
则当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN．
【点睛】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，梯形的面积求法，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
【变式11-3】（2019?茂南区校级一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．
求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
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【分析】（1）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ＝/CP×CQ求解；
（2）在Rt△CPQ中，由（1）可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；
（3）应分两种情况，当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据/＝/，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据/＝/，可求出时间t．
【答案】解：（1）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为S＝/cm2；
（2）当t＝3秒时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，
由勾股定理得PQ＝/；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，/，即/，解得t＝3秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，/，即/，解得t＝/秒．
因此t＝3秒或t＝/秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点睛】本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解．
【考点12 一线三等角】
【例12】（2018秋?宝山区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上移动（点D不与点B、C重合），满足∠EDF＝∠B，且点E、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）当点D移动到BC的中点时，求证：点E关于直线DF的对称点在直线AC上．
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【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的内角和定理和平角的定义得到∠BED＝∠CDF，于是得到△BDE∽△CFD；
（2）根据相似三角形的性质得到对应边成比例，等量代换得到比例式，判定相似三角形，最后根据相似三角形的性质得出FD平分∠EFC，进而得到结论．
【答案】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE，
∠CDF＝180°﹣∠EDF﹣∠BDE，
∵∠EDF＝∠B，
∴∠BED＝∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；
（2）如图，连接EF，
∵△BDE∽△CFD，
∴/＝/，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴/＝/，
∵∠EDF＝∠C，
∴△DEF∽△CDF，
∴∠DFE＝∠CFD，
∴FD平分∠EFC，
∴点E关于直线DF的对称点在直线AC上．
/
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式12-1】（2019?姜堰区一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞0）．P为边BC上一动点（不与B、C重合），过P点作PE⊥AP交直线CD于E．
（1）求证：△ABP∽△PCE；
（2）当P为BC中点时，E恰好为CD的中点，求m的值；
（3）若m＝12，DE＝1，求BP的长．
/
【分析】（1）根据∠B＝90°，PE⊥AP，即可得到∠BAP＝∠CPE，再根据∠B＝∠C＝90°，即可得出△ABP∽△PCE；
（2）当P为BC中点时，E恰好为CD的中点时，BP＝CP＝/m，CE＝2，根据△ABP∽△PCE，可得/＝/，进而得到/＝/，据此可得m的值为/；
（3）设BP的长为x，根据△ABP∽△PCE，可得/，再分两种情况进行讨论：当点E在线段CD上时，CE＝2，当点E在CD的延长线上时，CE＝5，分别求得BP的长．
【答案】解：（1）∵矩形ABCD中，∠B＝90°，PE⊥AP，
∴∠BAP+∠APB＝90°，∠CPE+∠APB＝90°，
∴∠BAP＝∠CPE，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△PCE；
（2）当P为BC中点时，E恰好为CD的中点时，BP＝CP＝/m，CE＝2，
∵△ABP∽△PCE，
∴/＝/，
∴/＝/，
解得m1＝4/，m2＝﹣4/（舍去），
∴m的值为/；
（3）设BP的长为x，
∵△ABP∽△PCE，
∴/，
当点E在线段CD上时，CE＝2，
∴/
解得x1＝/，x2＝/；
当点E在CD的延长线上时，CE＝5，
∴/，
解得x3＝2，x4＝10，
∴BP的长为/，/，2，10．
/
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质的运用，解题时注意分类思想的运用．解决问题的关键是掌握：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【变式12-2】（2018春?新泰市期末）△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．
（1）如图1，求证：DE?CD＝DF?BE；
（2）如图2，若D为BC中点，连接EF．求证：ED平分∠BEF．
/
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【答案】证明：（1）∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠BDE+∠DEB＝180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，
∴∠FDC＝∠DEB，
∴△BDE∽△CFD，
∴/，
即DE?CD＝DF?BE；
（2）由（1）可得：△BDE∽△CFD，
∴/，
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∴/，
∵∠B＝∠EDF，
∴△BDE∽△DFE，
∴∠BED＝∠DEF，
∴ED平分∠BEF．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质解答．
【变式12-3】（2018?合肥一模）如图1，点D为正△ABC的BC边上一点（D不与点B，C重合），点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝∠B．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）设BD＝a，CD＝b，△BDE的面积为S1，△CDF的面积为S2，求S1?S2（用含a，b的式子表示）；
（3）如图2，若点D为BC边的中点，求证：DF2＝EF?FC．
/
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；
（2）如图2中，分别过E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，S1＝/?BD?EG＝/?BD?EG＝/?a?BE?sin60°＝/?a?BE，S2＝/?CD?FH＝/?b?CF，可得S1?S2＝/ab?BE?CF，由（1）得△BDE∽△CFD，/＝/，即BE?FC＝BD?CD＝ab，即可推出S1?S2＝/a2b2；
（3）想办法证明△DFE∽△CFD，推出/＝/，即DF2＝EF?FC；
【答案】（1）证明：如图1中，
/
在△BDE中，∠BDE+∠DEB+∠B＝180°，又∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，
∴∠BDE+∠DEB+∠B＝∠BDE+∠EDF+∠FDC，
∵∠EDF＝∠B，
∴∠DEB＝∠FDC，
又∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CFD．
（2）如图2中，分别过E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，
/
S1＝/?BD?EG＝/?BD?EG＝/?a?BE?sin60°＝/?a?BE，S2＝/?CD?FH＝/?b?CF，
∴S1?S2＝/ab?BE?CF
由（1）得△BDE∽△CFD，
∴/＝/，即BE?FC＝BD?CD＝ab，
∴S1?S2＝/a2b2．
（3）由（1）得△BDE∽△CFD，
∴/＝/，
又BD＝CD，
∴/＝/，
又∠EDF＝∠C＝60°，
∴△DFE∽△CFD，
∴/＝/，即DF2＝EF?FC．
【点睛】本题考查相似形综合题、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形的相似的条件
