第3章 圆的基本性质章末达标检测卷
【浙教版】
考试时间：100分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级： ___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得 分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2019?邗江区校级一模）如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，且，已知，则等于
A． B． C． D．
2．（3分）（2019?涡阳县二模）如图，内接于，若，则的度数是
A． B． C． D．
3．（3分）（2018秋?富阳区期中）在中， 已知，，是的中点， 以为圆心作一个为半径的圆，则，，三点在圆内的有 个 ．
A ． 0 B ． 1 C． 2 D ． 3
4．（3分）（2018秋?湛江校级期末）如图，是的直径，点在上，半径，如果，那么的度数为
A． B． C． D．
5．（3分）（2019秋?滨城区校级月考）已知的半径为，弦，且，，则弦和之间的距离为 ．
A．14或2 B．14 C．2 D．6
6．（3分）（2019?十堰）如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则
A．3 B． C． D．
7．（3分）（2018秋?龙岩期末）如图，、、分别切于、、，交、于、两点，若，则的度数为
A． B． C． D．
8．（3分）（2019春?杏花岭区校级月考）如图示，内切于，切点分别为点，点，点已知，，连结，，则的度数为
A． B． C． D．
9．（3分）（2019?阜宁县一模）如图，边长为2的正方形的四个顶点分别在扇形的半径、和上，且点是线段的中点，则的长为
A． B． C． D．
10．（3分）（2019春?江汉区校级月考）如图，四边形内接于，，．劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，则弦的长是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
得 分
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2018秋?滨江区期末）的弦长为，弦所对的圆心角为，则弦的弦心距为 ．
12．（3分）（2019?碑林区校级三模）若一个正多边形的一个外角为，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是 ．
13．（3分）（2019春?海淀区校级期末）已知：如图，在中，，以为直径作圆交于，交于．若，则的度数为 ．
14．（3分）（2019?中山市一模）如图，在中，，，以为圆心，为半径作半圆，以为圆心，为半径作弧，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）（2019?滨州二模）如图，四边形内接于，点是的内心，，点在的延长线上，则的度数为 ．
16．（3分）（2019?清江浦区一模）正的边长为4，的半径为2，是上动点，为中点，则的最大值为 ．
评卷人
得 分
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2018秋?淮阴区期末）如图，弦垂直于的直径，垂足为，且，，求的半径．
18．（8分）（2019春?沂水县期中）如图，以的一边为直径的半圆与其它两边，的交点分别为，，且．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）已知半圆的半径为5，，求的长．
19．（8分）（2019?雁塔区校级模拟）已知等边内接于，为弧的中点，连接、，过作的平行线，交的延长线于点．
（1）求证：与相切；
（2）若长为6，求长．
20．（8分）（2019?齐齐哈尔一模）中，，点在上，，以为直径作交于点，交于点，且点为切点，连接、．
（1）求证：平分；
（2）求阴影部分面积．（结果保留
21．（10分）（2018秋?武昌区期中）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．
（1）求证：＝
（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．
22．（10分）（2018秋?下城区期中）（1）已知：如图1，是的内接正三角形，点为劣弧上一动点．求证：；
（2）已知：如图2，四边形是的内接正方形，点为劣弧上一动点．求证：．
第3章 圆的基本性质章末达标检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2019?邗江区校级一模）如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，且，已知，则等于
A． B． C． D．
【分析】根据圆的半径相等，可得等腰三角形；根据三角形的外角的性质，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
【答案】解：如图：
，得
．
由是的外角，得．
由，得．
由是三角形的外角，得．
由，得．
解得．
故选：．
【点睛】本题考查了圆的认识，利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键，又利用了三角形外角的性质．
2．（3分）（2019?涡阳县二模）如图，内接于，若，则的度数是
A． B． C． D．
【分析】连接，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后根据圆周角的定理求的度数．
【答案】解：连接，如图，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
3．（3分）（2018秋?富阳区期中）在中， 已知，，是的中点， 以为圆心作一个为半径的圆，则，，三点在圆内的有 个 ．
A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
【分析】由，是的中点， 可得，然后由圆的半径，根据勾股定理得到，根据点与圆的位置关系的判定方法可判断点在内 ．
【答案】解：，，是的中点，
，
的半径，且，
点与点在上，
连接，
，
，
点在内，
故选：．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系： 设的半径为，点到圆心的距离，则有： 点在圆外；点在圆上；点在圆内．
4．（3分）（2018秋?湛江校级期末）如图，是的直径，点在上，半径，如果，那么的度数为
A． B． C． D．
【分析】先求出，利用平行线的性质得出，再由圆周角定理和直角三角形的性质求出的度数即可．
【答案】解：，
，
又，
，
是的直径，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和平行线的性质是解题关键．
5．（3分）（2019秋?滨城区校级月考）已知的半径为，弦，且，，则弦和之间的距离为 ．
A．14或2 B．14 C．2 D．6
【分析】分两种情况进行讨论：①弦和在圆心同侧；②弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【答案】解：①当弦和在圆心同侧时，如图1，
，，
，，
，
，，
；
②当弦和在圆心异侧时，如图2，
，，
，，
，
，，
；
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
6．（3分）（2019?十堰）如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则
A．3 B． C． D．
【分析】连接，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到，，从而得到，所以，然后利用勾股定理计算的长．
【答案】解：连接，如图，
平分，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．
7．（3分）（2018秋?龙岩期末）如图，、、分别切于、、，交、于、两点，若，则的度数为
A． B． C． D．
【分析】由、、分别切于、、，交、于、两点，根据切线长定理即可得：，，然后由等边对等角与三角形外角的性质，可求得，，继而求得的度数．
【答案】解：、、分别切于、、，交、于、两点，
，，
，，
，，
，，
即，，
，
．
故选：．
【点睛】此题考查了切线长定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
8．（3分）（2019春?杏花岭区校级月考）如图示，内切于，切点分别为点，点，点已知，，连结，，则的度数为
A． B． C． D．
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，连接、，利用切线的性质得到，则根据四边形内角和计算出，然后利用圆周角定理得到的度数．
【答案】解：，
，
，
连接、，
内切于，切点分别为点，点，
，，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质和圆周角定理．
9．（3分）（2019?阜宁县一模）如图，边长为2的正方形的四个顶点分别在扇形的半径、和上，且点是线段的中点，则的长为
A． B． C． D．
【分析】连接，求出长，根据勾股定理求出，求出，根据弧长公式求出即可．
【答案】解：连接，
四边形是正方形，
，，
为的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
为的中点，，
，
，
，
的长为，
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，弧长公式，等知识点，能求出长和的度数是解此题的关键．
10．（3分）（2019春?江汉区校级月考）如图，四边形内接于，，．劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，则弦的长是
A． B． C． D．
【分析】作于，连接，如图，利用垂径定理得到，再根据折叠的性质得到，则，于是可计算出，，接着利用为直径时，即时，对角线最大，根据圆周角得到此时，再判断为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质计算出的长．
【答案】解：作于，连接，如图，则，
劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心，
，
，
，
，
当为直径时，即时，对角线最大，则此时，
，
此时为等腰直角三角形，
．
故选：．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了折叠的性质和垂径定理．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）（2018秋?滨江区期末）的弦长为，弦所对的圆心角为，则弦的弦心距为 2 ．
【分析】于，如图，根据垂径定理得，再利用，，得到，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出．
【答案】解：作于，如图，
，
，
，
而，
，
，
即的弦心距为．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
12．（3分）（2019?碑林区校级三模）若一个正多边形的一个外角为，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是 ．
【分析】由一个正多边形的一个外角为，可得是正六边形，然后从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的三边引垂线，构建直角三角形，解三角形即可．
【答案】解：一个正多边形的一个外角为，
，
这个正多边形是正六边形，
设这个正六边形的半径是，
则外接圆的半径，
内切圆的半径是正六边形的边心距，即是，
它的内切圆半径与外接圆半径之比是．
故答案为．
【点睛】考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．
13．（3分）（2019春?海淀区校级期末）已知：如图，在中，，以为直径作圆交于，交于．若，则的度数为 ．
【分析】取的中点，连接，由等腰中，，可解答．
【答案】解：取的中点，连接，
为直径，
，
，
，
则的度数为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
14．（3分）（2019?中山市一模）如图，在中，，，以为圆心，为半径作半圆，以为圆心，为半径作弧，则图中阴影部分的面积为 8 ．
【分析】根据题意和图形可以求得的长，然后根据图形，可知阴影部分的面积是半圆的面积减去扇形的面积和弓形的面积，从而可以解答本题．
【答案】解：在中，，，
，
图中阴影部分的面积为：，
故答案为：8．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）（2019?滨州二模）如图，四边形内接于，点是的内心，，点在的延长线上，则的度数为 ．
【分析】由点是的内心知、，从而求得
，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
【答案】解：点是的内心，
、，
，
，
又四边形内接于，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
16．（3分）（2019?清江浦区一模）正的边长为4，的半径为2，是上动点，为中点，则的最大值为 ．
【分析】连接，通过圆的半径和等边三角形的边长，点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，可以判断点，，三点共线，此时与圆相切时的值最大，利用三角形的性质即可求解；
【答案】解：连接，
的半径是2，
与边交于的中点，
为中点，
点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，
当点，，三点共线，此时与圆相切时，的值最大，
，，
，
为中点，是的中点，
，
；
故答案为．
【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，等边三角形的性质；利用中位线的性质，直角三角形的边角关系是求解的关键．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2018秋?淮阴区期末）如图，弦垂直于的直径，垂足为，且，，求的半径．
【分析】连接．设的半径为．根据，构建方程即可解决问题．
【答案】解：连接．
的直径，
，
设的半径为．
是直角三角形，
，
，
，
的半径为．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（8分）（2019春?沂水县期中）如图，以的一边为直径的半圆与其它两边，的交点分别为，，且．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）已知半圆的半径为5，，求的长．
【分析】（1）结论：为等腰三角形．证明即可解决问题．
（2）利用勾股定理求出，再利用面积法解决问题即可．
【答案】解：（1）为等腰三角形．
理由如下：连结，如图，
，
，即平分，
为直径，
，
，
，，
，
，
为等腰三角形；
（2）为等腰三角形，，
，
在中，，，
，
为直径，
，
，
，
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（8分）（2019?雁塔区校级模拟）已知等边内接于，为弧的中点，连接、，过作的平行线，交的延长线于点．
（1）求证：与相切；
（2）若长为6，求长．
【分析】（1）连接，，由等边三角形的性质可得，求出，则，结论得证；
（2）由条件可得，，可求出．
【答案】（1）证明：连接，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
与相切；
（2）四边形是圆的内接四边形，
，
，
为弧的中点，
，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质解题．
20．（8分）（2019?齐齐哈尔一模）中，，点在上，，以为直径作交于点，交于点，且点为切点，连接、．
（1）求证：平分；
（2）求阴影部分面积．（结果保留
【分析】（1）欲证明平分，只要证明即可．
（2）根据阴扇形，计算即可．
【答案】（1）证明：连接交于．
切于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
（2）连接．是直径，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，，
．
【点睛】本题考查扇形的面积，角平分线的定义，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21．（10分）（2018秋?武昌区期中）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．
（1）求证：＝
（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．
【分析】（1）连BO并延长BO交AC于T．只要证明BT⊥AC，利用垂径定理即可解决问题；
（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．在Rt△AFC中，求出CF，AF即可解决问题；
【解答】（1）证明：连BO并延长BO交AC于T．
∵AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA，
又∵∠BAC+∠OAB＝90°，
∴∠BAC+∠OBA＝90°，
∴∠BTA＝90°，
∴BT⊥AC，
∴＝．
（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA＝90°，
∴∠OAB+∠AED＝90°，
∵∠OAB+∠BAC＝90°，
∴∠AED＝∠BAC＝∠FEC，
∵AF为⊙O直径，
∴∠ACF＝90°，
同理：∠FCE＝∠BAC，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴FE＝FC，
∵AO＝3，AE＝4，
∴OE＝1，FE＝FC＝2，
在Rt△FCA中
∴AC＝＝4
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆心角，弧，弦之间的关系、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）（2018秋?下城区期中）（1）已知：如图1，是的内接正三角形，点为劣弧上一动点．求证：；
（2）已知：如图2，四边形是的内接正方形，点为劣弧上一动点．求证：．
【分析】（1）延长至，使，连接，证明是等边三角形．利用，，，得到，所以；
（2）过点作交于，证明，所以，可得；
【答案】证明：（1）延长至，使，连接，如图1，
、、、四点共圆，
，
，
，，
是等边三角形，
，；
又，，
，
、为等边三角形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）过点作交于，如图2，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
【点睛】本题主要考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质和全等三角形的判定方法才能灵活运用解决综合性的习题．
