第4章 相似三角形章末达标检测卷
【浙教版】
考试时间：100分钟；满分：100分
学校:________ ___姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得 分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2019?盘锦）如图，点在的边上，以原点为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到△，点在上的对应点的坐标为
A． B． C． D．
2．（3分）（2019春?乳山市期末）若，，则
A． B． C． D．5
3．（3分）（2019?宽城区校级模拟）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是
A． B．
C． D．
4．（3分）（2019秋?平谷区校级月考）在中，，于，若，，则的值是
A． B． C．2 D．4
5．（3分）（2019春?乳山市期末）如图①，，点在线段上，且满足如图②，以图①中的，长为边建构矩形，以长为边建构正方形，则矩形的面积为
A． B． C． D．
6．（3分）（2019?凉山州）如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于，则
A． B． C． D．
7．（3分）（2019春?文登区期中）如图，在中，已知，．小红同学由此得出了以下四个结论①②③④，能其中正确结论的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）（2019?长春模拟）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何？”译文如下：如图，今有山位于树的西面．山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺人站在离树3里的地方，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地7尺，则山的高为（保留到整数，1丈尺）
A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈
9．（3分）（2019春?碑林区校级期末）如图，在中，点是边的中点，，是的中点，的延长线交于点，则等于
A． B． C． D．
10．（3分）（2019春?常熟市期末）如图，四边形是正方形，以为底边向正方形外部作等腰直角三角形，连接，分别交，于点，．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
得 分
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）（2018秋?嘉定区期末）如果3是数和6的比例中项，那么 ．
12．（3分）（2018秋?仪征市期末）科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是，则蝴蝶身体的长度约为 （精确到．
13．（3分）（2018春?芜湖期中）如图所示，的三边都不相等，现沿线段把剪成两个小三角形，且为等腰三角形，和相似．已知，则的度数为 ．
14．（3分）（2019?青海）如图是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的端必须向上翘起，已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压 ．
15．（3分）（2019春?太仓市期末）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且连结，并延长交于点，则 ．
16．（3分）（2019?泰兴市一模）如图，四边形中，，，，，，点是边上一动点，若与相似，且满足条件的点恰有2个，则的值为 ．
评卷人
得 分
三．解答题（共5小题，满分46分）
17．（6分）（2018秋?永登县期末）已知、、是的三边，且满足，且，请你探索的形状．
18．（8分）（2019?广西模拟）如图，三个顶点坐标分别为，，．
（1）将向右平移4个单位，请画出平移后的△；
（2）以原点为位似中心，将△放大为原来的2倍，得到△，请在网格内画出△；
（3）请在轴上找出点，使得点到与点距离之和最小，请直接写出点的坐标 ．
19．（8分）（2019春?相城区期末）如图，在锐角△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N，∠BAM＝∠EAN
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）若DE＝4，BC＝6，求的值．
20．（10分）（2018秋?浦东新区月考）如图，点为内部一点，点、、分别为线段、、上一点，且，．
（1）求证：；
（2）当时，求的值．
21．（8分）（2018秋?新野县期中）小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
22．（12分）（2019?宽城区校级模拟）【探究】如图①，在等边中，，点、分别为边、上的点，连结、，若，，求的长．
【拓展】如图②，在中，，点为边上的点，连结，若，若， ．
第4章 相似三角形章末达标检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2019?盘锦）如图，点在的边上，以原点为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到△，点在上的对应点的坐标为
A． B． C． D．
【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，进而结合已知得出答案．
【答案】解：点在的边上，以原点为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到△，
点在上的对应点的坐标为：．
故选：．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
2．（3分）（2019春?乳山市期末）若，，则
A． B． C． D．5
【分析】依据，，即可得到，，代入代数式化简求值即可．
【答案】解： ，，
，，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，用含的代数式表示和是解决问题的关键．
3．（3分）（2019?宽城区校级模拟）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是
A． B．
C． D．
【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．
【答案】解：根据勾股定理，，，
所以，夹直角的两边的比为，
观各选项，只有选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故选：．
【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
4．（3分）（2019秋?平谷区校级月考）在中，，于，若，，则的值是
A． B． C．2 D．4
【分析】利用射影定理得到，然后把，代入计算即可．
【答案】解：根据射影定理得，
即，
所以．
故选：．
【点睛】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
5．（3分）（2019春?乳山市期末）如图①，，点在线段上，且满足如图②，以图①中的，长为边建构矩形，以长为边建构正方形，则矩形的面积为
A． B． C． D．
【分析】利用黄金比进行计算即可．
【答案】解：由得，
，
，
因为为正方形，所以，
，
矩形的面积：．
故选：．
【点睛】本题考查了黄金分割的意义，熟练利用黄金比计算是解题的关键．
6．（3分）（2019?凉山州）如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于，则
A． B． C． D．
【分析】过作的平行线交与，由中位线的知识可得出，根据已知和平行线分线段成比例得出，，，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出的比．
【答案】解：如图，过作，交于，
是的中点，
是的中点．
又，
，
，，
设，，又，
，，
，
，，
，，
故选：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．
7．（3分）（2019春?文登区期中）如图，在中，已知，．小红同学由此得出了以下四个结论①②③④，能其中正确结论的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【答案】解：，
，故①错误，③正确；
，
，，故④正确；
，故③正确，
故选：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练正确平行线分线段成比例定理是解题的关键．
8．（3分）（2019?长春模拟）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何？”译文如下：如图，今有山位于树的西面．山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺人站在离树3里的地方，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地7尺，则山的高为（保留到整数，1丈尺）
A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈
【分析】由题意得到里尺，尺，里，过作于，交于，于是得到尺，里，里，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【答案】解：由题意得，里尺，尺，里，
过作于，交于，
则尺，里，里，
，
，
，
，
丈，
答：山的高为164丈．
故选：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
9．（3分）（2019春?碑林区校级期末）如图，在中，点是边的中点，，是的中点，的延长线交于点，则等于
A． B． C． D．
【分析】连接，根据三角形的面积公式得到，根据相似三角形的性质得到，计算得到答案．
【答案】解：连接，
是的中点，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
10．（3分）（2019春?常熟市期末）如图，四边形是正方形，以为底边向正方形外部作等腰直角三角形，连接，分别交，于点，．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由四边形是正方形，是等腰直角三角形，得到，根据平行线的性质得到，推出，得到；故①正确；由，，得到，于是得到与不相似，故②错误；过作，则，，根据相似三角形的性质得到，设，，得到，故③错误；设，，求得，得到，推出，故④正确．
【答案】解：四边形是正方形，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
；故①正确；
，
，
，
，
与不相似，故②错误；
过作，则，，
，
，
设，，
，
，
，故③错误；
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，故④正确．
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）（2018秋?嘉定区期末）如果3是数和6的比例中项，那么 ．
【分析】根据内项之积等于外项之积可得，再解方程即可．
【答案】解：由题意得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，关键是根据题意列出方程．
12．（3分）（2018秋?仪征市期末）科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是，则蝴蝶身体的长度约为 2.5 （精确到．
【分析】设蝴蝶身体的长度为，根据黄金比为列式计算即可．
【答案】解：设蝴蝶身体的长度为，
由题意得，，
解得，，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比为是解题的关键．
13．（3分）（2018春?芜湖期中）如图所示，的三边都不相等，现沿线段把剪成两个小三角形，且为等腰三角形，和相似．已知，则的度数为 或 ．
【分析】由是等腰三角形，，推出，即，分两种情形讨论①当时，②当时，分别求解即可．
【答案】解：，
，
是等腰三角形，，
，即，
①当时，，
，
②当时，，
，
故答案为或．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
14．（3分）（2019?青海）如图是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的端必须向上翘起，已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压 50 ．
【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度．
【答案】解：如图；、都与水平线垂直，即；
易知：；
，
杠杆的动力臂与阻力臂之比为，
，即；
当时，；
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点向下压．
故答案为：50．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键．
15．（3分）（2019春?太仓市期末）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且连结，并延长交于点，则 ．
【分析】过点作的平行线，得到的中点，再用平行线分线段成比例定理得到，然后求出的值．
【答案】解：如图：过点作交于，
是边上的中线，
，
．
，
．
．
故答案为．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据题目告诉的值，可以过点作的平行线，得到的中点，再根据平行线分线段成比例定理得到，进而求出的值．
16．（3分）（2019?泰兴市一模）如图，四边形中，，，，，，点是边上一动点，若与相似，且满足条件的点恰有2个，则的值为 3 ．
【分析】由平行线得出，当时，，得出，得出①，当时，，得出，即②，由①②得：，得出，即可．
【答案】解：，，
，
，
当时，，
，即，
①，
当时，，
，即②，
由①②得：，
解得：，
，
；
故答案为：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、分类讨论；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题，满分46分）
17．（6分）（2018秋?永登县期末）已知、、是的三边，且满足，且，请你探索的形状．
【分析】令第一个等式等于，表示出，，，代入第二个等式求出的值，即可作出判断．
【答案】解：设，
可得，，，
代入得：，
解得：，
，，，
则为直角三角形．
【点睛】此题考查了比例的性质，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
18．（8分）（2019?广西模拟）如图，三个顶点坐标分别为，，．
（1）将向右平移4个单位，请画出平移后的△；
（2）以原点为位似中心，将△放大为原来的2倍，得到△，请在网格内画出△；
（3）请在轴上找出点，使得点到与点距离之和最小，请直接写出点的坐标 ．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出各点坐标，进而得出答案；
（2）连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接并延长至，使，然后顺次连接即可；
（3）利用最短路径问题解决，首先作点关于轴的对称点，再连接与轴的交点即为所求．
【答案】解：（1）如图所示△所求．
（2）如图所示△为所求．
（3）如图所示点为所求，．
故答案是：．
【点睛】本题考查了利用位似变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
19．（8分）（2019春?相城区期末）如图，在锐角△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N，∠BAM＝∠EAN
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）若DE＝4，BC＝6，求的值．
【分析】（1）由余角的性质可得∠AEN＝∠ABM，且∠BAC＝∠DAE，可证△AED∽△ABC；
（2）由相似三角形的性质可得，通过证明△ANE∽△AMB，可得＝．
【答案】证明：（1）∵AM⊥BC，AN⊥DE
∴∠ANE＝∠AMB＝90°，
∵∠BAM＝∠NAE
∴∠AEN＝∠ABM，且∠BAC＝∠DAE
∴△AED∽△ABC
（2）∵△AED∽△ABC
∴
∵∠ANE＝∠AMB＝90°，∠BAM＝∠NAE
∴△ANE∽△AMB
∴＝
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
20．（10分）（2018秋?浦东新区月考）如图，点为内部一点，点、、分别为线段、、上一点，且，．
（1）求证：；
（2）当时，求的值．
【分析】（1）先根据相似比的性质得出，，故可得出，由此即可得出结论；
（2）先根据得出，再由得出，故可得出，同理可得，，故可得出根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．
【答案】解：（1），
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，即，
同理可得，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（8分）（2018秋?新野县期中）小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
【分析】先根据等角对等边得出∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠BOD）和∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD），进而利用平行线的判定得出即可，再证明Rt△OEM∽Rt△ABH，进而得出AH的长即可．
【答案】解：∵AB、CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠BOD），
同理可证：∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD），
∴∠OAC＝∠OBD，
∴AC∥BD，
在Rt△OEM中，OM＝＝30（cm），
过点A作AH⊥BD于点H，
同理可证：EF∥BD，
∴∠ABH＝∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH，
∴，AH＝＝120（cm），
所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数解题是解决问题的关键．
22．（12分）（2019?宽城区校级模拟）【探究】如图①，在等边中，，点、分别为边、上的点，连结、，若，，求的长．
【拓展】如图②，在中，，点为边上的点，连结，若，若， ．
【分析】【探究】过点作于，由等边三角形的性质得出，由勾股定理求出，则，由勾股定理求出，证得，得出，解得，即可得出结果；
【拓展】过点作于，易证是等腰直角三角形，则，，由勾股定理求出，证得，得出，求出，，则即可得出结果．
【答案】【探究】解：是等边三角形，
，，
过点作于，如图①所示：
则，，
，
，
根据三角形的内角和定理得，，
，
，
，
，
，
，
即：，
解得：，
；
【拓展】解：过点作于，如图②所示：
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
