2020年浙教版八年级上册数学《第1章 三角形的初步认识》单元测试卷（解析版）

2020年浙教版八年级上册数学《第1章 三角形的初步认识》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．图中共有三角形的个数为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，△ABC中，∠BAC是钝角，AD⊥BC、EB⊥BC、FC⊥BC，（　　）

A．AD是△ABC的高 B．EB是△ABC的高
C．FC是△ABC的高 D．AE、AF是△ABC的高
3．如图所示，AD、BF、CE分别是△ABC的三条高线，则下列△ABC的面积表述正确的是（　　）

A． AB?BF B． AB?CE C． BC?BF D． AC?CE
4．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的三条中线交于一点
B．三角形的三条高都在三角形内部
C．三角形不一定具有稳定性
D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部
5．在下列各题中，属于尺规作图的是（　　）
A．利用三角板画45°的角
B．用直尺和三角板画平行线
C．用直尺画一工件边缘的垂线
D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
6．在学习三角形的高线时，小明利用直角三角板的直角，作△ABC中AC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图是尺规作图法作∠AOB的平分线OC时的痕迹图，能判定△OMC≌△ONC的理由是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
8．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一个角等于已知角．③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．下列命题正确的是（　　）
A．等弧对等弦
B．在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．经过切点的直线是圆的切线
10．下列语句是命题的是（　　）
（1）两点之间，线段最短；
（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．
（4）过直线外一点作已知直线的垂线；
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
11．某校七年级、八年级的学生人数相同，九年级的学生人数是八年级学生人数的，已知七年级的男生人数与八年级的女生人数相同，九年级男生人数占三个年级男生人数的，那么三个年级的男生与女生的比为（　　）
A． B． C． D．
12．小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
二．填空题（共8小题）
13．如图所示，图中有　 　个三角形，　 　个直角三角形．

14．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝　 　cm．

15．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A、B两点在格点上，点C也是该网格中的格点，那么使△ABC的面积为1的点C的个数有　 　个．

16．只用　 　的直尺和　 　进行的作图称为尺规作图．
17．在数学课上，老师提出如下问题：

小云的作法如下：

老师说：“小云的作法正确．”
请回答：小云的作图依据是　 　．
18．如图，在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为　 　cm2．

19．下列说法正确的是　 　．
①在同一平面内，a，b，c为直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c．
②“若ac＞bc，则a＞b”的逆命题是真命题．
③若M（a，2），N（1，b）关于x轴对称，则a+b＝﹣1．
④一个多边形的边数增加1条时，内角和增加180°，外角和不变．
⑤的整数部分是a，小数部分是b，则ab＝3﹣3．
20．学校广播室要从八年级（2）班选一名广播员，小明、小华和小英普通话都不相上下，并且都争着要去．老师决定用抽签的办法确定，结果三个人都争着先抽，以为第一个抽签的人抽中的可能性大一些； 这时，小华从兜里拿出两枚一元的硬币，并说将两枚硬币同时向上抛出，如果两个都是正面朝上，小明去；如果两个都是反面朝上，小英去；如果两个一正一反，小华自己去．那么，你认为　 　（填“老师”或“小华”）的办法公平合理，理由是　 　．
三．解答题（共8小题）
21．如图所示，A、B、C、D四点可以构成多少个三角形？请写出上述三角形．

22．如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．

23．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，
（1）若AE＝3cm，S△ABC＝12cm2．求DC的长．
（2）若∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小．

24．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．
（1）猜想∠E的度数，并说明理由；
（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．
①依题意在图1中补全图形；
②直接写出∠AFC的度数＝　 　；
（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM＝∠AFC，（a＞1）设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN＝∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m的值为　 　，n的值为　 　（用a表示）．

25．如图，点D是AB的中点，
（1）过点D画DE∥BC，交AC于点E，过点E画EF∥AB交BC于点F；
（2）用圆规或量角器检验：在所画图中，有哪些线段、哪些角相等？都写出来．

26．请将宽为3cm、长为ncm的长方形（n为正整数）分割成若干小正方形，要求小正方形的边长是正整数且个数最少．例如，当n＝5cm时，此长方形可分割成如右图的4个小正方形．
请回答下列问题：
（1）n＝16时，可分割成几个小正方形？
（2）当长方形被分割成20个小正方形时，求n所有可能的值；
（3）一般地，n＞3时，此长方形可分割成多少个小正方形．

27．已知m，n为实数且满足条件m+n＝﹣4，m≥3n，判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由．
命题①：点（m，n）必在第三象限．
命题②：动点（m，n）始终在一条射线上．
命题③：有最大值3．
28．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个判断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c，以其中两个判断为条件，一个判断为结论组成一个真命题，这样的命题有哪些？试写出来．



2020年浙教版八年级上册数学《第1章 三角形的初步认识》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．图中共有三角形的个数为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．
【解答】解：图中有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，
共6个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏．
2．如图，△ABC中，∠BAC是钝角，AD⊥BC、EB⊥BC、FC⊥BC，（　　）

A．AD是△ABC的高 B．EB是△ABC的高
C．FC是△ABC的高 D．AE、AF是△ABC的高
【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．
【解答】解：△ABC中，画BC边上的高，是线段AD．
故选：A．
【点评】考查了三角形的高的概念，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
3．如图所示，AD、BF、CE分别是△ABC的三条高线，则下列△ABC的面积表述正确的是（　　）

A． AB?BF B． AB?CE C． BC?BF D． AC?CE
【分析】根据三角形面积公式以及三角形的高的定义即可求解．
【解答】解：∵AD、BF、CE分别是△ABC的三条高线，
∴求△ABC的面积正确的公式是S△ABC＝BC?AD＝AC?BF＝AB?CE．
故选：B．
【点评】考查了三角形的高的定义，三角形的面积公式，关键是熟练掌握三角形面积公式．
4．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的三条中线交于一点
B．三角形的三条高都在三角形内部
C．三角形不一定具有稳定性
D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部
【分析】依据三角形角平分线、中线以及高线的概念，即可得到正确结论．
【解答】解：A．三角形的三条中线交于一点，正确；
B．锐角三角形的三条高都在三角形内部，错误；
C．三角形一定具有稳定性，错误；
D．三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形角平分线、中线以及高线的概念，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
5．在下列各题中，属于尺规作图的是（　　）
A．利用三角板画45°的角
B．用直尺和三角板画平行线
C．用直尺画一工件边缘的垂线
D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【解答】解：A、利用三角板画45°的角不符合尺规作图的定义，错误；
B、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义，错误；
C、用直尺画一工件边缘的垂线不符合尺规作图的定义，错误；
D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义，正确．
故选：D．
【点评】本题考查尺规作图的定义，解题的关键是理解尺规作图的定义，属于中考基础题．
6．在学习三角形的高线时，小明利用直角三角板的直角，作△ABC中AC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：A．不能作出△ABC中AC边上的高线，故本选项错误；
B．作出△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；
C．作出△ABC中AC边上的高线，故本选项正确；
D．作出△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
7．如图是尺规作图法作∠AOB的平分线OC时的痕迹图，能判定△OMC≌△ONC的理由是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【分析】根据角平分线的作图方法解答．
【解答】解：根据角平分线的作法可知，OM＝ON，CM＝CN，
又∵OC是公共边，
∴△OMC≌△ONC的根据是“SSS”．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定，熟悉角平分线的作法，找出相等的条件是解题的关键．
8．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一个角等于已知角．③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案．
【解答】解：①作一个角的平分线的作法正确；
②作一个角等于已知角的方法正确；
③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
9．下列命题正确的是（　　）
A．等弧对等弦
B．在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．经过切点的直线是圆的切线
【分析】根据圆心角定理、圆周角定理、垂径定理、切线的判定定理判断即可．
【解答】解：A、等弧对等弦，正确；
B、在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，错误；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，错误；
D、经过切点且垂直于过切点的半径的直线是圆的切线，错误；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．下列语句是命题的是（　　）
（1）两点之间，线段最短；
（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．
（4）过直线外一点作已知直线的垂线；
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
【分析】根据命题的概念判断即可．
【解答】解：（1）两点之间，线段最短，是命题；
（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？不是命题；
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，是命题；
（4）过直线外一点作已知直线的垂线，不是命题；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
11．某校七年级、八年级的学生人数相同，九年级的学生人数是八年级学生人数的，已知七年级的男生人数与八年级的女生人数相同，九年级男生人数占三个年级男生人数的，那么三个年级的男生与女生的比为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设七年级总人数，男生人数，九年级男生人数为未知数，分别表示出各个年级的女生，相加后让男生总人数与之相比即可．
【解答】解：设七年级总人数为x，则八年级总人数为x，九年级总人数为x；
设七年级男生人数为a，则女生人数为x﹣a；八年级女生人数为a，男生人数为x﹣a；
设九年级男生人数为b，则女生人数为x﹣b，
∵九年级男生人数占三个年级男生人数的，
∴三个年级男生人数为5b；＝，
∴x＝4b，
∵三个年级女生总人数为x﹣a+a+x﹣b＝×4b﹣b＝，
∴三个年级的男生与女生的比为5b：＝，
故选：D．
【点评】考查推理与论证；设出多个未知数，表示出各个年级的男生人数与女生人数是解决本题的关键．
12．小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，然后根据题目数量和三人解答的题目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解．
【解答】解：设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，
由题意得，，
①×2﹣②得，z﹣x＝20，
所以，难题比容易题多20道．
故选：B．
【点评】此类题注意运用方程的知识进行求解，观察系数的特点巧妙求解更简便．
二．填空题（共8小题）
13．如图所示，图中有　5　个三角形，　4　个直角三角形．

【分析】三角形有：△ABC、△ADE、△ADB、△ADC、△CDE；
根据直角三角形性质，直角三角形有：△ADE、△ADB、△ADC、△CDE．
【解答】解：由分析知：图中有5个三角形，4个直角三角形．
【点评】本题考查三角形和直角三角形的判定，认真列举即可．
14．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝　10　cm．

【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE＝BE，再根据AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．
【解答】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE＝BE，
又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，
∴AC﹣AB＝2cm，
即AC﹣8＝2cm，
∴AC＝10cm，
故答案为：10；
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
15．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A、B两点在格点上，点C也是该网格中的格点，那么使△ABC的面积为1的点C的个数有　4　个．

【分析】取底边为1，根据高是2可得，其面积为1，故满足条件的点共有4个．
【解答】解：如图，
使△ABC的面积为1的点C共有4个．
故答案为：4．

【点评】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．
16．只用　没有刻度的　的直尺和　圆规　进行的作图称为尺规作图．
【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【解答】解：只用没有刻度的直尺和圆规进行的作图称为尺规作图．
故答案为：没有刻度的，圆规．
【点评】本题主要考查了尺规作图的定义，其基本要求：它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．
17．在数学课上，老师提出如下问题：

小云的作法如下：

老师说：“小云的作法正确．”
请回答：小云的作图依据是　四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行　．
【分析】先根据作图得到四边形ABCD是菱形，再根据菱形的性质，即可得到AD∥l．
【解答】解：根据作图可得，AB＝BC＝AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱形），
∴AD∥BC（菱形的对边平行），
即AD∥l，

故答案为：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．
【点评】本题主要考查了复杂作图以及菱形的判定与性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18．如图，在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为　或5或10　cm2．

【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上，（2）一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上，三种情况讨论．（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．
【解答】解：分三种情况计算：
（1）当AE＝AF＝5厘米时，

∴S△AEF＝AE?AF＝×5×5＝厘米2，
（2）当AE＝EF＝5厘米时，如图

BF＝＝＝2厘米，
∴S△AEF＝?AE?BF＝×5×2＝5厘米2，
（3）当AE＝EF＝5厘米时，如图

DF＝＝＝4厘米，
∴S△AEF＝AE?DF＝×5×4＝10厘米2．
故答案为：，5，10．
【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论．
19．下列说法正确的是　①③④　．
①在同一平面内，a，b，c为直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c．
②“若ac＞bc，则a＞b”的逆命题是真命题．
③若M（a，2），N（1，b）关于x轴对称，则a+b＝﹣1．
④一个多边形的边数增加1条时，内角和增加180°，外角和不变．
⑤的整数部分是a，小数部分是b，则ab＝3﹣3．
【分析】根据平行线的判定定理，不等式的性质，关于x轴对称的点的坐标特征，多边形的内角和和外角和，算术平方根的估算方法解答．
【解答】解：在同一平面内，a，b，c为直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，①正确；
“若ac＞bc，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac＞bc”，是假命题，②错误；
若M（a，2），N（1，b）关于x轴对称，则a＝1，b＝﹣2，
∴a+b＝﹣1，③正确；
一个多边形的边数增加1条时，内角和增加180°，外角和不变，④正确；
的整数部分是a，小数部分是b，
则a＝3，b＝﹣3，
∴ab＝3﹣9，⑤错误；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
20．学校广播室要从八年级（2）班选一名广播员，小明、小华和小英普通话都不相上下，并且都争着要去．老师决定用抽签的办法确定，结果三个人都争着先抽，以为第一个抽签的人抽中的可能性大一些； 这时，小华从兜里拿出两枚一元的硬币，并说将两枚硬币同时向上抛出，如果两个都是正面朝上，小明去；如果两个都是反面朝上，小英去；如果两个一正一反，小华自己去．那么，你认为　老师　（填“老师”或“小华”）的办法公平合理，理由是　老师的办法中，三人的机会相等，而小华的办法中，三人机会不等　．
【分析】根据题意求出老师的办法中，每人抽取的概率（都是）；再求出小华的办法中，每人抽取的概率，看三人的概率是否相等即可．
【解答】解：老师，
因为老师的办法，不管谁先抽均有的机会；
而小华的办法中，有正反，正正，反正，反反4种情况，
小明和小英的机会各占，而小华的机会占＝，
即老师的办法中，三人的机会相等，而小华的办法中，三人机会不等，
故答案为：老师；老师的办法中，三人的机会相等，而小华的办法中，三人机会不等．
【点评】本题考查了对推理与论证的应用，关键是分别求出老师和小华的办法中，每人的概率，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
三．解答题（共8小题）
21．如图所示，A、B、C、D四点可以构成多少个三角形？请写出上述三角形．

【分析】分别找出图中的三角形即可．
【解答】解：图中共有7个，△ABC，△ABD，△ACD，△BCD，一共4个．

【点评】此题主要考查了三角形，关键是要细心、仔细的数出三角形的个数．
22．如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．

【分析】由BD是中线，可得，△ABD的面积与△CBD的面积的比为1：1，AD＝CD，又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，可得AB﹣BC＝6cm，2AB+BC＝21cm，继而求得答案．
【解答】解：∵BD是中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，
∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，
∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC，
∴2AB+BC＝21cm②，
联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．
【点评】此题考查了三角形面积与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
23．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，
（1）若AE＝3cm，S△ABC＝12cm2．求DC的长．
（2）若∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小．

【分析】（1）利用三角形的中线平分三角形面积得出S△ADC＝6cm2，进而利用三角形面积得出CD的长，即可得出BC的长．
（2）依据∠B＝40°，∠C＝50°，可知△ABC为直角三角形，再根据AD为中线，即可得到△ABD为等腰三角形，即可得到∠ADE的度数，进而得出∠DAE的度数．
【解答】解：（1）∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，
∴S△ADC＝6cm2，
∴×AE×CD＝6，
∴×3×CD＝6，
解得：CD＝4（cm）；
（2）∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝90°，
又∵AD为中线，
∴AD＝BC＝BD，
∴∠ADE＝2∠B＝80°，
又∵AE⊥BC，
∴∠DAE＝10°

【点评】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出S△ADC是解题关键．
24．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．
（1）猜想∠E的度数，并说明理由；
（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．
①依题意在图1中补全图形；
②直接写出∠AFC的度数＝　67.5°　；
（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM＝∠AFC，（a＞1）设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN＝∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m的值为　a﹣1　，n的值为　﹣a　（用a表示）．

【分析】（1）设∠CAF＝x，∠ACE＝y，根据直角三角形的两锐角互余得：∠ACB+∠BAC＝90°，可得x﹣y＝45，由外角的性质得：∠E＝∠CAF﹣∠ACE＝x﹣y＝45°；
（2）①分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．②根据三角形的内角和定理和对顶角相等列等式，可得结论；
（3）先根据条件画图，设∠FAH＝α，根据三角形的内角和定理列式：∠E+∠EAF＝∠AFC+∠FCH，∠FAH+∠AFM＝∠AHN+∠FPH，分别表示∠FCH和∠FPH，代入已知可得m，n的值．
【解答】解：（1）∠E＝45°
理由如下：∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACB，
∴∠DAC＝2∠2，∠ACB＝2∠1，
∵∠DAC＝∠B+∠ACB，∠B＝90°，
∴2∠2＝90°+2∠1，
∴∠2＝45°+∠1，
又∵∠2＝∠E+∠1
∴∠E＝45°；

（2）①如图所示：
②如图2所示，∵CF平分∠ECB，
∴∠ECF＝y，
∵∠E+∠EAF＝∠F+∠ECF，
∴45°+∠EAF＝∠F+y①，
同理可得：∠E+∠EAB＝∠B+∠ECB，
∴45°+2∠EAF＝90°+y，
∴∠EAF＝②，
把②代入①得：45°+＝∠F+y，
∴∠AFC＝67.5°；
故答案为：67.5°；

（3）如图3，设∠FAH＝α，
∵AF平分∠EAB，
∴∠FAH＝∠EAF＝α，
∵∠AFM＝∠AFC＝×67.5°，
∵∠E+∠EAF＝∠AFC+∠FCH，
∴45+α＝67.5+∠FCH，
∴∠FCH＝α﹣22.5①，
∵∠AHN＝∠AHC＝（∠B+∠BCH）＝（90°+2∠FCH），
∵∠FAH+∠AFM＝∠AHN+∠FPH，
∴α+×67.5°＝（90°+2∠FCH）+∠FPH，②
把①代入②得：∠FPH＝，
∵∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH，
∴α﹣22.5°＝mα+n?，
即α﹣22.5°＝（m+×n）α+×22.5°，
∴，
解得：m＝a﹣1，n＝﹣a．
故答案为：a﹣1，﹣a．



【点评】本题考查了三角形内角和与外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．
25．如图，点D是AB的中点，
（1）过点D画DE∥BC，交AC于点E，过点E画EF∥AB交BC于点F；
（2）用圆规或量角器检验：在所画图中，有哪些线段、哪些角相等？都写出来．

【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）利用圆规度量线段的长，利用量角器度量角的度数可得结论．
【解答】解：（1）如图所示，

（2）经过度量得：相等的线段有：AD＝BD＝EF，AE＝CE，ED＝BF＝CF；
相等的角有：∠ADE＝∠B＝∠EFC＝∠DEF，∠AED＝∠C，∠BDE＝∠BFE，∠A＝∠CEF．
【点评】本题主要考查了平行线的画法和量角器的使用，注意线段相等和角相等时不要漏解．
26．请将宽为3cm、长为ncm的长方形（n为正整数）分割成若干小正方形，要求小正方形的边长是正整数且个数最少．例如，当n＝5cm时，此长方形可分割成如右图的4个小正方形．
请回答下列问题：
（1）n＝16时，可分割成几个小正方形？
（2）当长方形被分割成20个小正方形时，求n所有可能的值；
（3）一般地，n＞3时，此长方形可分割成多少个小正方形．

【分析】（1）根据已知条件即可求解；
（2）根据已知条件和（1）所得结果即可求解；
（3）根据（1）和（2）的隐含的规律分情况求解．
【解答】解：（1）n＝16时，可分割成8个小正方形；
（2）当长方形被分割成20个小正方形时，n所有可能的值为60或52或53；
（3）n＞3时，此长方形可分割成小正方形为：
n＝3k时，有k个小正方形；
n═3k+1，有（k+3）个小正方形；
n＝3k+2，有（k+3）个小正方形．
【点评】本题考查了应用与设计作图，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
27．已知m，n为实数且满足条件m+n＝﹣4，m≥3n，判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由．
命题①：点（m，n）必在第三象限．
命题②：动点（m，n）始终在一条射线上．
命题③：有最大值3．
【分析】根据题意列出不等式，分别求出m、n的范围，根据点的坐标、一次函数的性质、不等式的性质判断即可．
【解答】解：∵m+n＝﹣4，
∴m＝﹣4﹣n，
∴﹣4﹣n≥3n，
解得，n≤﹣1，
∵n＝﹣4﹣m，即﹣4﹣m≤﹣1，
∴m≥﹣3，
当m＝0时，n＝﹣4，符合题意，当（0，﹣4）不在第三象限，命题①是假命题；
动点（m，n）始终在以（﹣3，﹣1）为顶点的一条射线y＝﹣4﹣x上，命题②是真命题；
∵m≥3n，n≤﹣1，
∴≤3，即有最大值3，命题③是真命题．
【点评】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是熟悉一次函数的性质以及不等式的解法．
28．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个判断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c，以其中两个判断为条件，一个判断为结论组成一个真命题，这样的命题有哪些？试写出来．
【分析】根据平行线的性质与判定，找出符合要求的正确的命题即可．
【解答】解：（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c；
（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c；
（3）如果b∥c，a∥c，那么a∥b；
（4）如果b∥c，a⊥b，那么a⊥c；
（5）如果b∥c，a⊥c，那么a⊥b；
（6）如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c．
【点评】此题考查了命题与定理，用到的知识点是平行线的性质与判定，关键是熟练掌握有关性质．