2020年浙教版九年级上册数学第4章相似三角形单元测试卷(解析版)

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名称 2020年浙教版九年级上册数学第4章相似三角形单元测试卷(解析版)
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资源类型 教案
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2020-01-11 13:01:33

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文档简介

2020年浙教版九年级上册数学《第4章 相似三角形》单元测试卷
一.选择题(共12小题)
1.如果2m=3n(n≠0),那么下列比例式中正确的是(  )
A. B. C. D.
2.已知3x=7y(y≠0),则下列比例式成立的是(  )
A.= B.= C.= D.=
3.在比例尺为1:1000000的地图上量得A,B两地的距离是20cm,那么A、B两地的实际距离是(  )
A.2000000cm B.2000m C.200km D.2000km
4.在比例尺为1:1000000的地图上量得A、B两地的距离是25cm,那么A、B两地的实际距离是(  )
A.2500m B.250km C.2500km D.2500000cm
5.如图,已知线段AB,过点B作AB的垂线,并在垂线上取BC=AB;连接AC,以点C为圆心,CB为半径画弧,交AC于点D;再以点A为圆心,AD为半径画弧,交AB于点P,则的值是(  )

A. B. C. D.
6.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)
以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a+x(b﹣a),这里x被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x恰好使得,据此可得,最佳乐观系数x的值等于(  )
A. B. C. D.
7.在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,如果AD=1,BD=3,那么由下列条件能够判断DE∥BC的是(  )
A. B. C. D.
8.如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上,下面比例式中,不能判断ED∥BC的是(  )

A. B. C. D.
9.在一张比例尺为1:50 000的地图上,一块多边形地区的面积是320cm2,这个地区的实际面积是(  )
A.8×107m2 B.8×108m2 C.8×1010m2 D.8×1011m2
10.我国国土面积约为960万平方千米,画在比例尺为1:1000万的地图上的面积约是(  )
A.960平方千米 B.960平方米
C.960平方分米 D.960平方厘米
11.如果△ABC∽△A′B′C′,BC=3,B′C′=1.8,则△A′B′C′与△ABC的相似比为(  )
A.5:3 B.3:2 C.2:3 D.3:5
12.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x,那么x的值(  )

A.只有1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.有无数个
二.填空题(共8小题)
13.已知==≠0,则的值是   .
14.在比例尺为1:1 000 000的地图上,测得A、B两城市的距离是17.5cm,则A、B两城市的实际距离是   km.
15.电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图,若舞台AB长为20米,主持人现站在A处,请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体?(结果精确到0.1米)   .

16.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,若DE∥BC,AD=4,BD=2,则=   .

17.相似多边形对应边之比叫做   ,两个相似多边形的最长边分别为10cm和20cm,其中一个多边形的最短边为5cm,则另一个多边形的最短边为   .
18.如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”,点A,B,C,D分别是“果圆”与坐标轴的交点,抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣8,AB为半圆的直径,点M为半圆的圆心,点P为x轴正半轴上的一点,若△COP∽△CPD,则点P的坐标是   .

19.如图,在2×4的正方形方格中,有格点△ABC(我们把顶点在正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形),则与△ABC相似但不全等的格点三角形共有   个.

20.如图,EF∥BC,FD∥AB,BD=BC,则BE:EA等于   .

三.解答题(共8小题)
21.已知===k,求k的值.
22.已知:线段a、b、c,且==.
(1)求的值.
(2)如线段a、b、c满足a+b+c=27,求a﹣b+c的值.
23.葡萄在销售时,要求“葡萄”用双层上盖的长方体纸箱封装(上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍),如图1

(1)实际运用:如果要求纸箱的高为0.5米,底面是黄金矩形(宽与长的比是黄金比,取黄金比为0.6),体积为0.3立方米.
①按方案1(如图)做一个纸箱,需要矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是多少平方米?
②小明认为,如果从节省材料的角度考虑,采用方案2(如图)的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优,你认为呢?请说明理由.
(2)拓展思维:水果商打算在产地购进一批“葡萄”,但他感觉(1)中的纸箱体积太大,搬运吃力,要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半,你认为水果商的要求能办到吗?请利用函数图象验证.

24.已知:如图,△ABC中,DE∥BC,AD+EC=9,DB=4,AE=5,求AD的长.

25.已知矩形ABCD中,AD=3,AB=1.
(1)若EF把矩形分成两个小的矩形,如图所示,其中矩形ABEF与矩形ABCD相似.求AF:AD的值;
(2)若在矩形ABCD内不重叠地放两个长是宽的3倍的小长方形,且每个小长方形的每条边与矩形ABCD的边平行,求这两个小长方形周长和的最大值.

26.已知△ABC中.AB=15cm,BC=20cm,AC=25cm,另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′=50cm,求△A′B′C′的周长和面积.
27.如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,使得AE⊥DE;
(1)求证:△ABE∽△ECD;
(2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的长;
(3)当△AED∽△ECD时,请写出线段AD、AB、CD之间数量关系,并说明理由.

28.如图在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)如AF=3,AG=5,求△ADE与△ABC的周长之比.




2020年浙教版九年级上册数学《第4章 相似三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.如果2m=3n(n≠0),那么下列比例式中正确的是(  )
A. B. C. D.
【分析】内项之积等于外项之积,依据比例的基本性质进行判断即可.
【解答】解:A.由,可得2m=3n,符合题意;
B.由,可得mn=6,不符合题意;
C.由,可得3m=2n,不符合题意;
D.由,可得mn=6,不符合题意;
故选:A.
【点评】本题主要考查了比例的基本性质,解决问题的关键是掌握:内项之积等于外项之积.
2.已知3x=7y(y≠0),则下列比例式成立的是(  )
A.= B.= C.= D.=
【分析】直接利用比例的性质得出x,y之间关系,进而得出答案.
【解答】解:A、=,可以化成:3y=7x,故此选项不合题意;
B、=,可以化成:3x=7y,故此选项符合题意;
C、=,可以化成:7x=3y,故此选项不合题意;
D、=,可以化成:xy=21,故此选项不合题意.
故选:B.
【点评】此题主要考查了比例的性质,正确掌握比例的基本性质:内项之积等于外项之积是解题关键.
3.在比例尺为1:1000000的地图上量得A,B两地的距离是20cm,那么A、B两地的实际距离是(  )
A.2000000cm B.2000m C.200km D.2000km
【分析】比例尺=图上距离:实际距离,根据比例尺关系可直接得出A、B两地的实际距离.
【解答】解:根据比例尺=图上距离:实际距离,
得A、B两地的实际距离为20×1000000=20000000(cm),
25000000cm=200km.
故A、B两地的实际距离是200km.
故选:C.
【点评】本题考查了比例线段,能够根据比例尺正确进行计算,注意单位的换算.
4.在比例尺为1:1000000的地图上量得A、B两地的距离是25cm,那么A、B两地的实际距离是(  )
A.2500m B.250km C.2500km D.2500000cm
【分析】比例尺=图上距离:实际距离,根据比例尺关系可直接得出A、B两地的实际距离.
【解答】解:根据比例尺=图上距离:实际距离,
得A、B两地的实际距离为25×1000000=25000000(cm),
25000000=250km.
故A、B两地的实际距离是250km.
故选:B.
【点评】本题考查了比例线段,能够根据比例尺正确进行计算,注意单位的换算.
5.如图,已知线段AB,过点B作AB的垂线,并在垂线上取BC=AB;连接AC,以点C为圆心,CB为半径画弧,交AC于点D;再以点A为圆心,AD为半径画弧,交AB于点P,则的值是(  )

A. B. C. D.
【分析】设AB=2a,BC=a,则AC=a,利用勾股定理求得AP的长,即可得出的值.
【解答】解:∵BC⊥AB,
∴∠ABC=90°,
设AB=2a,BC=a,则AC=a,
∵CD=BC=a,
∴AD=AC﹣CD=(﹣1)a,
∵AP=AD,
∴AP=(﹣1)a,
∴=.
故选:A.
【点评】本题考查了勾股定理以及黄金分割的运用,正确掌握勾股定理是解题的关键.
6.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)
以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a+x(b﹣a),这里x被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x恰好使得,据此可得,最佳乐观系数x的值等于(  )
A. B. C. D.
【分析】根据题设条件,由,知[x(b﹣a)]2=(b﹣a)2﹣x(b﹣a)2,由此能求出最佳乐观系数x的值.
【解答】解:∵c﹣a=x(b﹣a),b﹣c=(b﹣a)﹣x(b﹣a),,
∴[x(b﹣a)]2=(b﹣a)2﹣x(b﹣a)2,
∴x2+x﹣1=0,
解得x=,
∵0<x<1,
∴x=.
故选:D.
【点评】本题考查黄金分割的应用,解题时要注意一元二次方程的求解方法.
7.在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,如果AD=1,BD=3,那么由下列条件能够判断DE∥BC的是(  )
A. B. C. D.
【分析】先求出比例式,再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC,根据相似推出∠ADE=∠B,根据平行线的判定得出即可.
【解答】解:∵AD=1,BD=3,
∴=,
当=时,=,
∵∠DAE=∠BAC,
∴△ADE∽△ABC,
∴∠ADE=∠B,
∴DE∥BC,
根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC,
故选:D.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理,相似三角形的性质和判定的应用,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.
8.如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上,下面比例式中,不能判断ED∥BC的是(  )

A. B. C. D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理,对各选项进行逐一判断即可.
【解答】解:A.当时,能判断ED∥BC;
B.当时,能判断ED∥BC;
C.当时,不能判断ED∥BC;
D.当时,能判断ED∥BC;
故选:C.
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理,如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.
9.在一张比例尺为1:50 000的地图上,一块多边形地区的面积是320cm2,这个地区的实际面积是(  )
A.8×107m2 B.8×108m2 C.8×1010m2 D.8×1011m2
【分析】相似多边形的面积之比等于相似比的平方,据此求解,注意单位.
【解答】解:设这个地区的实际面积是xcm2,由题意得,
320:x=(1:50000)2,
解得,x=8×1011,
8×1011cm2=8×107m2,
故选:A.
【点评】本题考查相似多边形的性质.相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比,而面积之比等于相似比的平方.
10.我国国土面积约为960万平方千米,画在比例尺为1:1000万的地图上的面积约是(  )
A.960平方千米 B.960平方米
C.960平方分米 D.960平方厘米
【分析】相似多边形的面积比等于相似比的平方,据此求解,注意统一单位.
【解答】解:960万平方千米=9.6×1016平方厘米,
设画在地图上的面积约为x平方厘米,则
x:9.6×1016=(1:1000万)2,
解得x=960.
则画在地图上的面积约为960平方厘米.
故选:D.
【点评】本题考查相似多边形的性质.相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比,而面积之比等于相似比的平方.
11.如果△ABC∽△A′B′C′,BC=3,B′C′=1.8,则△A′B′C′与△ABC的相似比为(  )
A.5:3 B.3:2 C.2:3 D.3:5
【分析】根据题意,易证△A′B′C′∽△ABC,又相似比等于对应边的比,列出比例式计算即可得出.
【解答】解:∵B′C′:BC=1.8:3=3:5,
∴△A′B′C′与△ABC的相似比为3:5.故选D.
【点评】此题主要考查相似三角形的性质的运用.
12.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x,那么x的值(  )

A.只有1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.有无数个
【分析】先将第一个直角三角形分两种情况求出第三边,按从小到大排序,同理:第二个直角三角形也分两种情况,求出第三边,判断即可得出结论.
【解答】解:∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8,
当6和8是直角边时,斜边为10,直角三角形的三边为6,8,10
当8为斜边时,两条直角边为2和6,此直角三角形的三边为2,6,8,
∵另一个直角三角形的边长分别是3和4及x,
当3和为4直角边时,斜边x=5,直角三角形的三边为3,4,5,
∴,满足这两个直角三角形相似的条件;
当3和x为直角边时,4便是斜边,则:根据勾股定理得,x=,
∴此直角三角形的三边为,3,4,
∴,
∴x=5或.
∴x的值可以有2个.
故选:B.
【点评】此题考查了相似三角形的性质与勾股定理.此题难度不大,注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用.
二.填空题(共8小题)
13.已知==≠0,则的值是  .
【分析】设===k,则a=2k,b=3k,c=4k,代入代数式化简求值即可.
【解答】解:设===k,则a=2k,b=3k,c=4k,
∴===.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了比例的性质,利用设k法进行计算是解决问题的关键.
14.在比例尺为1:1 000 000的地图上,测得A、B两城市的距离是17.5cm,则A、B两城市的实际距离是 175 km.
【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离,列出比例式直接求解即可.
【解答】解:设A、B两城市的实际距离是x,则:
1:1000000=17.5:x,
∴x=17500000cm,
∵17500000cm=175km,
∴A、B两城市的实际距离是175km.
【点评】由比例尺的计算方法求解.注意单位的统一.
15.电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图,若舞台AB长为20米,主持人现站在A处,请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体?(结果精确到0.1米) 7.6米 .

【分析】要求至少走多少米,根据黄金比,只需保证走到AB的1﹣0.618=0.382倍处即可,因为此点为线段AB的一个黄金分割点.
【解答】解:根据黄金比得:20×(1﹣0.618)≈7.6米,
∵黄金分割点有2个,
∴20﹣7.6=12.4,
由于7.6<12.4米
∴主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体.
故答案为:7.6米.
【点评】本题主要考查了黄金分割,此题注意要求的是至少走多少,即为黄金分割中的较短线段.
16.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,若DE∥BC,AD=4,BD=2,则=  .

【分析】由DE∥BC判定△ADE∽△ABC,得出比例式,进一步求得答案即可.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴=,
∵AD=4,DB=2,
∴=,
∴=.
故答案为:.

【点评】此题考查相似三角形的判定与性质,掌握三角形的判定方法是解决问题的关键.
17.相似多边形对应边之比叫做 相似比 ,两个相似多边形的最长边分别为10cm和20cm,其中一个多边形的最短边为5cm,则另一个多边形的最短边为 2.5cm或10cm .
【分析】根据相似多边形的对应边对应成比例,列式求解.注意“其中一个多边形的最短边为5cm”,不确定是较大的多边形的短边,还是较小的多边形的短边,分别考虑.
【解答】解:相似多边形对应边之比叫做 相似比,
设最短边为x,由题意得,
10:20=5:x,或10:20=x:5,
∴x=10或2.5.
故答案为:相似比,2.5cm或10cm.
【点评】本题考查相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边对应成比例.
18.如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”,点A,B,C,D分别是“果圆”与坐标轴的交点,抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣8,AB为半圆的直径,点M为半圆的圆心,点P为x轴正半轴上的一点,若△COP∽△CPD,则点P的坐标是 (4,0) .

【分析】连接CM,依据抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣8,即可得到AB=10,OD=8,依据△COP∽△CPD,可得∠COP=∠CPD=90°,依据射影定理,即可得到OP2=CO×OD,进而得出OP的长,可得点P的坐标.
【解答】解:如图所示,连接CM,
令y=0,则x2﹣3x﹣8=0,
解得x1=﹣2,x2=8,
∴AO=2,BO=8,
∴AB=10,CM=5,OM=3,
∴Rt△COM中,OC=4,
令x=0,则y=﹣8,
∴OD=8,
若△COP∽△CPD,则∠COP=∠CPD=90°,
又∵OP⊥CD,
∴OP2=CO×OD,
即OP==4,
又∵点P为x轴正半轴上的一点,
∴点P的坐标为(4,0),
故答案为:(4,0).

【点评】本题是二次函数综合题型,主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、射影定理的综合运用,读懂题目信息,理解“果圆”的定义是解题的关键.
19.如图,在2×4的正方形方格中,有格点△ABC(我们把顶点在正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形),则与△ABC相似但不全等的格点三角形共有 20 个.

【分析】先运用勾股定理求出格点△ABC的三边,再根据相似三角形的判定定理:如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似,即可找出图中存在的与△ABC相似但不全等的格点三角形.
【解答】解:∵三角形的三边长为:AB=1,BC=,AC=
∵在2×4的正方形方格中最大的线段为2
∴可将三角形扩大倍,这样的三角形有16个,
扩大2倍,这样的三角形有4个.
∴共有20个.
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质:
①如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;
②如果两个三角形的两条对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角形相似;
③如果两个三角形的两个对应角相等,那么这两个三角形相似.平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似.相似三角形的对应边成比例,对应角相等.
20.如图,EF∥BC,FD∥AB,BD=BC,则BE:EA等于  .

【分析】由EF∥BC,FD∥AB,推导出成比例线段得到BE:EA=CD:DB,依据BD=BC,可求BE:EA的值.
【解答】解:∵EF∥BC,FD∥AB,
∴BE:EA=CF:FA,CF:FA=CD:DB,
∴BE:EA=CD:DB.
∵BD=BC,
∴CD:DB=2:3,即BE:EA=.
故答案为.
【点评】本题主要考查平行线间成比例线段问题,解题的关键是找准对应线段的比.
三.解答题(共8小题)
21.已知===k,求k的值.
【分析】分a+b+c≠0时,利用合比性质解答即可,a+b+c=0时,用c表示出a+b,计算即可得解.
【解答】解:①a+b+c≠0时,∵===k,
∴k==2;
②a+b+c=0时,a+b=﹣c,a+c=﹣b,b+c=﹣a,
所以,k==﹣1,
综上所述,k的值为2或﹣1.
【点评】本题考查了比例的性质,主要利用了等比性质,易错点在于要分情况讨论.
22.已知:线段a、b、c,且==.
(1)求的值.
(2)如线段a、b、c满足a+b+c=27,求a﹣b+c的值.
【分析】(1)根据比例的性质得出=,即可得出的值;
(2)首先设===k,则a=2k,b=3k,c=4k,利用a+b+c=27求出k的值,即可得出答案.
【解答】解:(1)∵=,
∴=,
∴=;

(2)设===k,则a=2k,b=3k,c=4k,
∵a+b+c=27,
∴2k+3k+4k=27,
∴k=3,
∴a=6,b=9,c=12,
∴a﹣b+c=6﹣9+12=9.
【点评】此题主要考查了比例的性质,根据已知得出a=2k,b=3k,c=4k进而得出k的值是解题关键.
23.葡萄在销售时,要求“葡萄”用双层上盖的长方体纸箱封装(上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍),如图1

(1)实际运用:如果要求纸箱的高为0.5米,底面是黄金矩形(宽与长的比是黄金比,取黄金比为0.6),体积为0.3立方米.
①按方案1(如图)做一个纸箱,需要矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是多少平方米?
②小明认为,如果从节省材料的角度考虑,采用方案2(如图)的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优,你认为呢?请说明理由.
(2)拓展思维:水果商打算在产地购进一批“葡萄”,但他感觉(1)中的纸箱体积太大,搬运吃力,要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半,你认为水果商的要求能办到吗?请利用函数图象验证.

【分析】(1)①利用宽与长的比是黄金比,取黄金比为0.6,假设底面长为x,宽就为0.6x,再利用图形得出QM=+0.5+1+0.5+=3,FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2,进而求出即可;
②根据菱形的性质得出,对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积即可得出答案;
(2)根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方得出即可.
【解答】解:(1)①∵纸箱的高为0.5米,底面是黄金矩形(宽与长的比是黄金比,取黄金比为0.6),体积为0.3立方米,
∴假设底面长为x,宽就为0.6x,
∴体积为:0.6x?x?0.5=0.3,
解得:x=1,
∴AD=1,CD=0.6,
DW=KA=DT=JC=0.5,FT=JH=CD=0.3,
WQ=MK=AD=,
∴QM=+0.5+1+0.5+=3,
FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2,
∴矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是3×2.2=6.6(平方米);
②如图,连接A2C2,B2D2相交于O2,

设△D2EF中EF边上的高为h1,△A2NM中NM边上的高为h2,
由△D2EF∽△D2MQ得,
=,
解得:h1=0.4,
同理可得出:h2=,
∴A2C2=,B2D2=3,
又四边形A2B2C2D2是菱形,
故S菱形A2B2C2D2=5.625(平方米),
∴从节省材料的角度考虑,
采用方案2(如图)的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优.
(2)水果商的要求不能办到.
设底面的长与宽分别为 x、y,
则 x+y=0.8,xy=0.3,
即 y=0.8﹣x 和 y=,
在 y=0.8﹣x 中,
当x=0.8,y=0,x=0,y=0.8,
在y=中,
当x=1,y=0.3,
x=0.3,y=1,画出其图象如图所示.

因为两个函数图象无交点,故水果商的要求无法办到.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及正方形性质与菱形性质等知识,根据题意得出DW=KA=DT=JC=0.5,FT=JH=CD=0.3,WQ=MK=AD=是解决问题的关键.
24.已知:如图,△ABC中,DE∥BC,AD+EC=9,DB=4,AE=5,求AD的长.

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出=,代入得出=,求出AD即可.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴=,
∵AD+EC=9,DB=4,AE=5,
∴EC=9﹣AD,
∴=,
解得:AD=4或5,
答:AD的值是4或5.
【点评】本题考查了平行线分线段定理的应用,关键是得出比例式=,注意:根据平行线得出的比例是对应成比例,题目比较好,难度不大.
25.已知矩形ABCD中,AD=3,AB=1.
(1)若EF把矩形分成两个小的矩形,如图所示,其中矩形ABEF与矩形ABCD相似.求AF:AD的值;
(2)若在矩形ABCD内不重叠地放两个长是宽的3倍的小长方形,且每个小长方形的每条边与矩形ABCD的边平行,求这两个小长方形周长和的最大值.

【分析】(1)设AF=x,再根据矩形ABEF与矩形ABCD相似即可求出x的值,进而得出AF:AD的值;
(2)由于小矩形放置的位置不确定,故应分三种情况讨论:
①两个小矩形都“竖放”;②两个小矩形都“横放”;③两个小矩形一个“横放”,一个“竖放”.
【解答】解:(1)设AF=x,
∵矩形ABEF与矩形ABCD相似,AD=3,AB=1,
∴=,即=,解得x=,
∴AF:AD=:3=1:9;

(2)解:两个小矩形的放置情况有如下几种:
①两个小矩形都“竖放”,如图(一),在这种放法下,周长和最大的两个小矩形,边长分别为1和,
故此时周长和的最大值为.

②两个小矩形都“横放”,如图(二)及图(三)所示,这时两个小矩形的周长和的最大值是
2(a+3a)+2[1﹣a+3(1﹣a)]=8.

③两个小矩形一个“横放”,一个“竖放”,如图(四),这时两个小矩形的周长和为
2(a+3a)+2(3﹣a+)=8+,

因为0<3a≤1,即0<a≤,故当a=时,此时两个小矩形的周长和最大为,
综上三种情形,知所求的最大值为.
故答案为:.

【点评】本题考查的是相似多边形的性质,即相似多边形的对应边成比例,解答此题时要注意分类讨论.
26.已知△ABC中.AB=15cm,BC=20cm,AC=25cm,另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′=50cm,求△A′B′C′的周长和面积.
【分析】根据△ABC中,AB=15cm,BC=20cm,AC=25cm,可得△ABC的周长和面积,利用最长边可求得两三角形的相似比,再根据周长比等于相似比,可求得△A′B′C′的周长,根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方,可得△A′B′C′的面积.
【解答】解:∵△ABC中,AB=15cm,BC=20cm,AC=25cm,
∴△ABC的周长=60cm,AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,
∴△ABC的面积=×15×20=150cm2,
∵△ABC∽△A′B′C′,且△ABC中最长边为25cm,△A′B′C′的最长边长为50cm,
∴相似比为,
∴=,即=,
解得C△A′B′C′=120cm,
∵=()2,
∴=,
解得S△A′B′C′=600cm2.
【点评】本题主要考查相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比,相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键.
27.如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,使得AE⊥DE;
(1)求证:△ABE∽△ECD;
(2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的长;
(3)当△AED∽△ECD时,请写出线段AD、AB、CD之间数量关系,并说明理由.

【分析】(1)先根据同角的余角相等可得:∠DEC=∠A,利用两角相等证明三角形相似;
(2)先根据勾股定理得:BE=3,根据△ABE∽△ECD,列比例式可得结论;
(3)先根据△AED∽△ECD,证明∠EAD=∠DEC,可得∠ADE=∠EDC,证明Rt△DFE≌Rt△DCE(HL),则DF=DC,同理可得:AF=AB,相加可得结论.
【解答】(1)证明:∵AB⊥BC,DC⊥BC,
∴∠B=∠C=90°,∠BAE+∠AEB=90°,
∵AE⊥DE,
∴∠AED=90°,
∴∠AEB+∠DEC=90°,
∴∠DEC=∠BAE,
∴△ABE∽△ECD;
(2)解:Rt△ABE中,∵AB=4,AE=5,
∴BE=3,
∵BC=5,
∴EC=5﹣3=2,
由(1)得:△ABE∽△ECD,
∴,
∴,
∴CD=;
(3)解:线段AD、AB、CD之间数量关系:AD=AB+CD;
理由是:过E作EF⊥AD于F,
∵△AED∽△ECD,
∴∠EAD=∠DEC,
∵∠AED=∠C,
∴∠ADE=∠EDC,
∵DC⊥BC,
∴EF=EC,
∵DE=DE,
∴Rt△DFE≌Rt△DCE(HL),
∴DF=DC,
同理可得:△ABE≌△AFE,
∴AF=AB,
∴AD=AF+DF=AB+CD.

【点评】此题考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握,第3问中如果是直接求证AD=AB+CD,比问“线段AD、AB、CD之间数量关系,并说明理由”,这种方法要简单一些,注意作辅助线将AD分成两条线段..
28.如图在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)如AF=3,AG=5,求△ADE与△ABC的周长之比.

【分析】(1)由于AG⊥BC,AF⊥DE,所以∠AFE=∠AGC=90°,从而可证明∠AED=∠ACB,进而可证明△ADE∽△ABC;
(2)依据△ADE∽△ABC,利用相似三角形的周长之比等于对应高之比,即可得到结论.
【解答】解:(1)∵AG⊥BC,AF⊥DE,
∴∠AFE=∠AGC=90°,
∵∠EAF=∠GAC,
∴∠AED=∠ACB,
∵∠EAD=∠BAC,
∴△ADE∽△ABC;

(2)由(1)可得△ADE∽△ABC,
又∵AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,
∴△ADE与△ABC的周长之比==.
【点评】本题考查相似三角形的判定,解题的关键是熟练运用相似三角形的判定,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用.