2020年浙教新版八年级上册数学《第1章 三角形的初步认识》单元测试卷（解析版）

2020年浙教新版八年级上册数学《第1章 三角形的初步认识》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，AC为BC的垂线，CD为AB的垂线，DE为BC的垂线，点D和E分别在△ABC的边AB和BC上，下说说法：①△ABC中，AC是BC边上的高；②△BCD中，DE是BC边上的高；③△ABE中，DE是BE边上的高；④△ACD中，AD是CD边上的高．其中正确的个数有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，点A1、B1、C1分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，点A2、B2、C2分别为△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，若△ABC的面积为1，则△A2B2C2的面积为（　　）

A． B． C． D．
3．如图所示是一个起重机的示意图，在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（　　）

A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形具有稳定性
C．三角形两边之差小于第三边
D．直角三角形
4．在△ABC中，AD是BC边上中线，G是重心，若GD＝6，那么AG的长为（　　）
A．9 B．12 C．3 D．2
5．下列画图语句中正确的是（　　）
A．画射线OP＝5cm B．画射线OA的反向延长线
C．画出A、B两点的中点 D．画出A、B两点的距离
6．下列作图语句正确的是（　　）
A．作线段AB，使α＝AB
B．延长线段AB到C，使AC＝BC
C．作∠AOB，使∠AOB＝∠α
D．以O为圆心作弧
7．下列关于用尺规作图的结论错误的是（　　）
A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出
B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出
C．已知一个直角三角形的二条边，那么这个三角形一定可以作出
D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出
8．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
9．下列命题中，为假命题的是（　　）
A．等腰三角形是轴对称图形
B．三角形的外角大于它的一个内角
C．三角形的中线是一条线段
D．两边及其夹角分别相等的两三角形全等
10．一同学在n天假期中观察：
（1）下了7次雨，在上午或下午
（2）当下午下雨时，上午是晴天
（3）一共有5个下午是晴天
（4）一共有6个上午是晴天
则n最小为（　　）
A．7 B．9 C．10 D．11
二．填空题（共8小题）
11．图中可数出的三角形个数为　 　个．
12．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　 　 cm．
13．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为　 　．

14．用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③作射线OC．
则射线OC为∠AOB的平分线．
由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是　 　．

15．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）

（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数　 　．
（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为　 　．
16．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（Ⅰ）△ABC的面积等于　 　；
（Ⅱ）若四边形DEFG是正方形，且点D，E在边CA上，点F在边AB上，点G在边BC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点E，点G，并简要说明点E，点G的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．

17．举反例说明命题“对于任意实数x，x2+2x﹣1的值总是正数”是假命题，你举的反例是　 　．（写出一个x的值即可）
18．课间，刘老师与甲、乙两同学做了一个游戏，刘老师的生日是m月n日，刘老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后刘老师列出来了10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话之后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，刘老师的生日是　 　．
三．解答题（共8小题）
19．已知：△ABC的周长为24cm，三边长a，b，c满足a：b＝3：4，c＝2a﹣b，求△ABC的三边长．
20．如图，△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长．

21．如图，已知长方形ABCD的长为a（即AD＝BC＝a），宽为b（即AB＝DC＝b），点E和点F分别是长AD和宽DC的中点．
（1）用含a，b的式子表示阴影部分（即三角形BEF）的面积；（写出解答过程）
（2）若三角形EDF的面积是10，计算三角形BEF的面积．（写出解答过程）

22．如图，已知：AB∥CD．
（1）在图中，用尺规作∠ACD的平分线交AB于E点；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）判断△ACE的形状，并证明．

23．如图所示，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图：
（1）画线段AB；
（2）画∠CDB；
（3）找一点P，使点P既在直线AD上，又在直线BC上．

24．课堂上，老师在黑板上出了一道题：在同一平面内，若∠AOB＝70°，∠BOC＝15°24′36″，求∠AOC的度数．
下面是七年级同学小明在黑板上写的解题过程：
解：根据题意可画出图（如图1）
因为∠AOB＝70°，∠BOC＝15°24′36″，
所以∠AOC＝∠AOB+∠BOC
＝70°+15°24′36″
＝85°24′36″
即得到∠AOC＝85°24′36″
同学们在下面议论，都说小明解答不全面，还有另一种情况．请按下列要求完成这道题的求解．
（1）依照图1，用尺规作图的方法将另一种解法的图形在图2中补充完整．
（2）结合第（1）小题的图形写出求∠AOC的度数的完整过程．

25．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，在以下三个论断“EA＝ED，EF⊥AD，FB＝FC”中选择两个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．
已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，　 　．
求证：　 　．
证明：

26．问题提出：巴什博弈（BashGame）：有100个棋子，两个人轮流从这堆子中取棋子，规定每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
问题深究：我们研究数学问题时，我们经常采用将一般问题特殊化的策略，因此我们首先取几个特殊值试试．
探究（1）：3个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若自己先拿一个棋子，对手拿两个从而获胜：若白己先拿两个祺了，对手拿一个从而获胜，所以3个棋子时，后拿可胜．
探究（2）：4个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若自己先拿一个棋子，剩余三个棋子，对方拿一个，自己拿两个从而获胜；对方拿两个，自己拿一个从而获胜．所以4个棋子时，先手先拿1个棋子可获胜．
探究（3）：5个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若自己先拿两个棋子，剩余三个棋子，对方拿一个，自己拿两个从而获胜；对方拿两个，自已拿一个从而获胜，所以5个棋子时，先手先拿2个棋子可获胜．
探究（4）：6个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若对方先拿一个，再按探究（3）的拿法，自已可获胜；若对方先拿两个，再按照探究（2）的拿法，自己可获胜，所以6个棋子时，后拿可胜．
探究（5）：7个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若自己先拿一个棋子，剩余六个棋子，若对方再拿一个自己再拿　 　个可获胜；若对方再拿两个，自己再拿　 　个可获胜，所以7个棋子时，先手先拿1个棋子可获胜．
……
探究总结：
（1）当总棋子个数　 　个时，后拿可胜；
（2）当总棋子个数　 　个时，先拿可胜．
问题解决：有100个棋子，两个人轮流从这堆棋子中取棋子，规定每人每次可拿1个或2个棋子，最后拿光者获胜．要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
问题拓展：13个棋子，每人每次可拿一个，两个或三个棋子，最后拿光着获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？



2020年浙教新版八年级上册数学《第1章 三角形的初步认识》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，AC为BC的垂线，CD为AB的垂线，DE为BC的垂线，点D和E分别在△ABC的边AB和BC上，下说说法：①△ABC中，AC是BC边上的高；②△BCD中，DE是BC边上的高；③△ABE中，DE是BE边上的高；④△ACD中，AD是CD边上的高．其中正确的个数有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据三角形高的定义分别进行判断．
【解答】解：△ABC中，AC为BC的垂线，则AC是BC边上的高，所以①正确；
△BCD中，DE为BC的垂线，则DE是BC边上的高，所以②正确；
△ABE中，DE为BC的垂线，AC是BE边上的高，所以③错误；
△ACD中，CD为AB的垂线，则AD是CD边上的高，所以④正确．
故其中正确的个数有3个．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
2．如图，点A1、B1、C1分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，点A2、B2、C2分别为△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，若△ABC的面积为1，则△A2B2C2的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由于A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A1B1C1∽△ABC，且相似比为，面积比为，就可求出＝，同样地方法得出△A2B2C2的面积＝．
【解答】解：∵A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1B1、A1C1、B1C1是△ABC的中位线，
∴△A1B1C1∽△ABC，且相似比为，
∴：S△ABC＝1：4，且S△ABC＝1，
∴＝．
∵A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2且相似比为，
∴△A2B2C2的面积＝．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用．
3．如图所示是一个起重机的示意图，在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（　　）

A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形具有稳定性
C．三角形两边之差小于第三边
D．直角三角形
【分析】根据三角形的稳定性解答．
【解答】解：在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是三角形具有稳定性，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
4．在△ABC中，AD是BC边上中线，G是重心，若GD＝6，那么AG的长为（　　）
A．9 B．12 C．3 D．2
【分析】根据重心的性质解答即可．
【解答】解：如图，∵G是重心，
∴AG＝2GD＝12．
故选：B．

【点评】本题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
5．下列画图语句中正确的是（　　）
A．画射线OP＝5cm B．画射线OA的反向延长线
C．画出A、B两点的中点 D．画出A、B两点的距离
【分析】利用射线的定义，线段中点及距离的定义判定即可．
【解答】解：A、画射线OP＝5cm，错误，射线没有长度，
B、画射线OA的反向延长线，正确．
C、画出A、B两点的中点，错误，中点是线段的不是两点的，
D、画出A、B两点的距离，错误，画出的是线段不是距离．
故选：B．
【点评】本题主要考查了射线及线段的中点，距离，解题的关键是熟记射线的定义，线段中点及距离的定义．
6．下列作图语句正确的是（　　）
A．作线段AB，使α＝AB
B．延长线段AB到C，使AC＝BC
C．作∠AOB，使∠AOB＝∠α
D．以O为圆心作弧
【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论．
【解答】解：A、应为：作线段AB，使AB＝α，故本选项错误；
B、应为：延长线段AB到C，BC＝AB，故本选项错误；
C、作∠AOB，使∠AOB＝∠α，故本选项正确；
D、需要说明半径的长，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查尺规作图的定义：只能用没有刻度的直尺和圆规．
7．下列关于用尺规作图的结论错误的是（　　）
A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出
B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出
C．已知一个直角三角形的二条边，那么这个三角形一定可以作出
D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出
【分析】A．根据一个三角形的两角与一边，AAS或ASA，这个三角形一定可以作出；
B．已知一个三角形的两边与一角，这个三角形不一定能作出；
C．一个直角三角形的二条边，HL或SAS，这个三角形一定可以作出；
D．已知一个三角形的三条边，SSS，那么这个三角形一定可以作出．
【解答】解：A．根据一个三角形的两角与一边，AAS或ASA，这个三角形一定可以作出；
所以A选项不符合题意；
B．已知一个三角形的两边与一角，不一定作出这个三角形，
所以B选项符号题意；
C．已知一个直角三角形的二条边，这个三角形一定可以作出；
所以C选项不符合题意；
D．已知一个三角形的三条边，这个三角形一定可以作出．
所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是全等三角形的判定方法．
8．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】根据尺规作角的平分线的过程即可得结论．
【解答】解：根据作图的过程可知：
OC＝OD，CE＝DE，OE＝OE
∴△OCE≌△ODE（SSS）
∴∠COE＝∠DOE
故选：A．
【点评】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，解决本题的关键掌握是作角平分线的过程．
9．下列命题中，为假命题的是（　　）
A．等腰三角形是轴对称图形
B．三角形的外角大于它的一个内角
C．三角形的中线是一条线段
D．两边及其夹角分别相等的两三角形全等
【分析】根据轴对称图形的概念、三角形的外角性质、三角形的中线的概念、全等三角形的判定定理判断．
【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，是真命题；
B、三角形的外角大于与它不相邻的一个内角，是假命题；
C、三角形的中线是一条线段，是真命题；
D、两边及其夹角分别相等的两三角形全等，是真命题；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．一同学在n天假期中观察：
（1）下了7次雨，在上午或下午
（2）当下午下雨时，上午是晴天
（3）一共有5个下午是晴天
（4）一共有6个上午是晴天
则n最小为（　　）
A．7 B．9 C．10 D．11
【分析】此题可以依据题目的四个条件，通过假设列举排除法进行推理论证．如设下了7次雨，上午7天、下午0天；上午0天、下午7天；
上午6天、下午1天；上午1天，下午6天；…然后按题的要求论证得出答案．
【解答】解：由已知，设
（1）若上午或下午下雨7天，则应有下午或上午下雨0天，下午或上午晴7天，与一共有5个下午是晴天和一共有6个上午是晴天都不符，假设错误．
（2）若上午或下午下雨6天，则应有下午或上午下雨1天，下午或上午晴6天，与一共有5个下午是晴天不符，假设错误．
（3）若上午或下午下雨5天，则应有下午或上午下雨2天，下午或上午晴5天，与一共有6个上午是晴天不符，假设错误．
（4）若上午或下午下雨4天，则应有下午或上午下雨3天，那么都加3个上下午都晴天，此时上午晴6天，下午晴7天与条件不符
假设错误．
（5）若上午或下午下雨4天，则应有下午或上午下雨3天，那么都加2个上下午都晴天，则有5个下午是晴天和有6个上午是晴天
，与所有条件相符合．即4+3+2＝9．
故选：B．
【点评】此题考查学生运用假设列举排除法进行论证解题的能力．解答此题关键是假设下了7次雨，上午7天、下午0天；上午0天、下午7天；上午6天、下午1天；上午1天，下午6天；…然后按题的要求论证得出答案．
二．填空题（共8小题）
11．图中可数出的三角形个数为　48　个．
【分析】因为图中线段DE上的每条线段都对着两个三角形，故数出线段条数即可求出三角形的个数，以及以AC为轴，左右还有6个，即可得出总数．
【解答】
解：如图，共有6+5+4+3+2+1＝21条线段，
则有三角形21×2＝42个．
以AC为轴，左右还有6个，
∴三角形个数一共有48个，
故答案为：48．
【点评】此题考查了线段的条数的数法，解题过程中利用了转化思想，将三角形个数问题转化为线段条数问题是解题的关键．
12．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　3或7　 cm．
【分析】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD，然后依据△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，代入数据计算即可得解．
【解答】解：如图，∵AD是△ABC中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD周长﹣△ADC的周长＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC，
∵△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，
∴|BA﹣5|＝2，
∴解得BA＝7或3．
故答案为：3或7．

【点评】本题考查了三角形的中线的定义，求出两三角形的周长的差＝|BA﹣AC|是解题关键．
13．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为　3　．

【分析】证出△GEC∽△ABC，由相似三角形的性质得出＝（）2＝，得出＝＝，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，
∴AB∥EG，
∴△GEC∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴＝＝，
∵BC＝6，
∴EC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质；证明三角形相似是解题的关键．
14．用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③作射线OC．
则射线OC为∠AOB的平分线．
由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是　SSS　．

【分析】根据尺规作图的过程即可得结论．
【解答】解：由作图过程可知：
OD＝OE，DC＝EC，OC＝OC
∴△ODC≌△OEC（SSS）
∴∠DOC＝∠EOC
∴OC为∠AOB的平分线．
故答案为SSS．
【点评】本题考查了基本作图、全等三角形的判定，解决本题的关键是理解作图过程．
15．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）

（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数　90°、135°、45°　．
（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为　20°或40°　．
【分析】（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线即可；
（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线即可；
（3）分两种情况：AD为等腰三角形的腰或底作图即可得结论．
【解答】解：
（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线；
（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线．
每个等腰三角形顶角的度数为：90°、135°、45°．
故答案为：90°、135°、45°．
（3）如下图作△ABC，

①如图1：当AD＝AE时，
∵2x+x＝30+30，
∴x＝20．
②如图2：当AD＝DE时，
∵2x+x+30+30＝180．
∴x＝40．
所以x的所有可能的值为20°或40°．
故答案为20°或40°．
【点评】本题考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面主要考查了三角形的内角与外角的关系及等腰三角形的知识，是一道有难度的题目．
16．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（Ⅰ）△ABC的面积等于　6　；
（Ⅱ）若四边形DEFG是正方形，且点D，E在边CA上，点F在边AB上，点G在边BC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点E，点G，并简要说明点E，点G的位置是如何找到的（不要求证明）　把BC平均分成5份，CG是其中的3份，过G点作GD⊥AC于D，作FG⊥DG于G，交AB于F，再过F点作FE⊥AC于E　．

【分析】（Ⅰ）根据三角形面积公式即可求解；
（Ⅱ）作出∠ACB的角平分线交AB于F，再过F点作FE⊥AC于E，作FG⊥BC于G，过G点作GD⊥AC于D，根据角平分线的性质、矩形的判定以及正方形的判定，可得四边形DEFG即为所求正方形．
【解答】解：（Ⅰ）4×3÷2＝6．
故△ABC的面积等于6．
（Ⅱ）如图所示，把BC平均分成5份，CG是其中的3份，过G点作GD⊥AC于D，作FG⊥DG于G，交AB于F，再过F点作FE⊥AC于E，四边形DEFG即为所求正方形．

故答案为：6；把BC平均分成5份，CG是其中的3份，过G点作GD⊥AC于D，作FG⊥DG于G，交AB于F，再过F点作FE⊥AC于E．
【点评】此题考查了作图﹣应用与设计作图、三角形的面积以及正方形的性质、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质及正方形的性质作出正确的图形是解本题的关键．
17．举反例说明命题“对于任意实数x，x2+2x﹣1的值总是正数”是假命题，你举的反例是　x＝0　．（写出一个x的值即可）
【分析】把x＝0代入代数式，得到代数式的值为﹣1，说明命题“对于任意实数x，x2+2x﹣1的值总是正数”是假命题．
【解答】解：当x＝0时，x2+2x﹣1＝﹣1是负数，
当x＝0时，命题“对于任意实数x，x2+2x﹣1的值总是正数”是假命题，
故答案为：x＝0．
【点评】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
18．课间，刘老师与甲、乙两同学做了一个游戏，刘老师的生日是m月n日，刘老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后刘老师列出来了10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话之后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，刘老师的生日是　8月4日　．
【分析】甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”可以排除五个日期，乙听了甲的话之后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”再排除两个日期，由此能够得出结果．
【解答】解：甲只知道生日的月份，而给出的每个月都有两个以上的日期，甲说：“我不知道”，
根据甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”
由甲知道5月，9月是不正确的，可以排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；
乙听了甲的话之后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”
而剩余的5个日期中乙不能确定生日，说明一定不是7日，排除2月7日，8月7日，
甲接着说：“哦，现在我也知道了．”
现在可以得出刘老师的生日是8月4日．
故答案为：8月4日．
【点评】本题考查了推理与论证，列出进行简单的推理，以及学生的分析解决问题的能力，解题的关键是正确理解题意，能够根据叙述合理运用排除法进行求解．
三．解答题（共8小题）
19．已知：△ABC的周长为24cm，三边长a，b，c满足a：b＝3：4，c＝2a﹣b，求△ABC的三边长．
【分析】隐形方程为a+b+c＝24，然后再联立两方程得出方程组，解出a、b、c即可．
【解答】解：由题意得，
解得：．
故△ABC的三边长为8cm， cm， cm．
【点评】本题考查了三角形，三元一次方程组的应用，解答本题的关键是得出隐形方程a+b+c＝24，难度一般．
20．如图，△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长．

【分析】设AC＝x，根据题意用x表示出AB，根据中点的性质得到AD＝DC＝x，根据三角形周长公式计算即可．
【解答】解：设AC＝x，则AB＝2x，
∵BD是中线，
∴AD＝DC＝x，
由题意得，2x+x＝30，
解得，x＝12，
则AC＝12，AB＝24，
BC＝20﹣×12＝14．
答：AB＝24，BC＝14．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键．
21．如图，已知长方形ABCD的长为a（即AD＝BC＝a），宽为b（即AB＝DC＝b），点E和点F分别是长AD和宽DC的中点．
（1）用含a，b的式子表示阴影部分（即三角形BEF）的面积；（写出解答过程）
（2）若三角形EDF的面积是10，计算三角形BEF的面积．（写出解答过程）

【分析】（1）根据面积差可得阴影部分的面积；
（2）先根据三角形EDF的面积是10，列式可得ab的值，代入（1）中的结论可得结果．
【解答】解：（1）∵点E和点F分别是长AD和宽DC的中点．
∴AE＝ED＝a，CF＝DF＝b，
S△BEF＝S长方形ABCD﹣S△AEB﹣S△DEF﹣S△BCF，
＝ab﹣﹣﹣，
＝ab﹣ab﹣ab﹣ab，
＝ab；
（2）∵三角形EDF的面积是10，即＝10，
ab＝10，
ab＝80，
∴三角形BEF的面积＝ab＝＝30．
【点评】此题考查的是列代数式和计算三角形的面积，用到的知识点是三角形和矩形面积的计算方法．
22．如图，已知：AB∥CD．
（1）在图中，用尺规作∠ACD的平分线交AB于E点；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）判断△ACE的形状，并证明．

【分析】（1）作∠ACD的平分线交AB于E点即可；
（2）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠ACE＝∠AEC，进而得出△ACE是等腰三角形．
【解答】解：（1）如图即为所求：

（2）△ACE是等腰三角形．
证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD，
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠ECD，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴△ACE是等腰三角形．
【点评】本题考查基本作图、平行线的性质、等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定方法．
23．如图所示，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图：
（1）画线段AB；
（2）画∠CDB；
（3）找一点P，使点P既在直线AD上，又在直线BC上．

【分析】（1）用直尺画线段AB即可；
（2）作射线DC、DB即可画出∠CDB；
（3）画直线AD、BC，两条直线相交于点P．
【解答】解：（1）如图所示：线段AB即为所求作的图形；
（2）如图所示：∠CDB即为所求作的角；
（3）直线AD和BC的交点即为所求作的点P．

【点评】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是掌握画线段、直线、射线、角的方法．
24．课堂上，老师在黑板上出了一道题：在同一平面内，若∠AOB＝70°，∠BOC＝15°24′36″，求∠AOC的度数．
下面是七年级同学小明在黑板上写的解题过程：
解：根据题意可画出图（如图1）
因为∠AOB＝70°，∠BOC＝15°24′36″，
所以∠AOC＝∠AOB+∠BOC
＝70°+15°24′36″
＝85°24′36″
即得到∠AOC＝85°24′36″
同学们在下面议论，都说小明解答不全面，还有另一种情况．请按下列要求完成这道题的求解．
（1）依照图1，用尺规作图的方法将另一种解法的图形在图2中补充完整．
（2）结合第（1）小题的图形写出求∠AOC的度数的完整过程．

【分析】（1）利用尺规作图的方法在∠AOB的内部画∠BOC即可；
（2）结合（1）的图形根据小明的求解过程即可得结论．
【解答】解：
（1）根据题意画出图2
即为另一种情况的图形．
（2）因为∠AOB＝70°，∠BOC＝15°24′36″，
所以∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC
＝70°﹣15°24′36″
＝54°35′24″
即得到∠AOC＝54°35′24″
答：∠AOC的度数为85°24′36″或54°35′24″．
【点评】本题考查了应用与设计作图、度分秒的换算、角的计算，解决本题的关键是在∠AOB的内部画∠BOC．
25．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，在以下三个论断“EA＝ED，EF⊥AD，FB＝FC”中选择两个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．
已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，　EA＝ED，FB＝FC　．
求证：　EF⊥AD　．
证明：

【分析】根据题意写出已知、求证，根据线段垂直平分线的判定定理证明．
【解答】已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，EA＝ED，FB＝FC，
求证：EF⊥AD，
证明：∵EF＝ED，
∴点E在线段AD的垂直平分线上，
∵FB＝FB
∴点F在线段BC的垂直平分线上，
∵AB＝DC，
∴点F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF⊥AD，
故答案为：EA＝ED，FB＝FC；EF⊥AD．
【点评】本题考查的是命题和定理、线段垂直平分线的判定，掌握到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上是解题的关键．
26．问题提出：巴什博弈（BashGame）：有100个棋子，两个人轮流从这堆子中取棋子，规定每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
问题深究：我们研究数学问题时，我们经常采用将一般问题特殊化的策略，因此我们首先取几个特殊值试试．
探究（1）：3个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若自己先拿一个棋子，对手拿两个从而获胜：若白己先拿两个祺了，对手拿一个从而获胜，所以3个棋子时，后拿可胜．
探究（2）：4个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若自己先拿一个棋子，剩余三个棋子，对方拿一个，自己拿两个从而获胜；对方拿两个，自己拿一个从而获胜．所以4个棋子时，先手先拿1个棋子可获胜．
探究（3）：5个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若自己先拿两个棋子，剩余三个棋子，对方拿一个，自己拿两个从而获胜；对方拿两个，自已拿一个从而获胜，所以5个棋子时，先手先拿2个棋子可获胜．
探究（4）：6个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若对方先拿一个，再按探究（3）的拿法，自已可获胜；若对方先拿两个，再按照探究（2）的拿法，自己可获胜，所以6个棋子时，后拿可胜．
探究（5）：7个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若自己先拿一个棋子，剩余六个棋子，若对方再拿一个自己再拿　两　个可获胜；若对方再拿两个，自己再拿　一　个可获胜，所以7个棋子时，先手先拿1个棋子可获胜．
……
探究总结：
（1）当总棋子个数　为被3整除的　个时，后拿可胜；
（2）当总棋子个数　为被3除余1或2的　个时，先拿可胜．
问题解决：有100个棋子，两个人轮流从这堆棋子中取棋子，规定每人每次可拿1个或2个棋子，最后拿光者获胜．要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
问题拓展：13个棋子，每人每次可拿一个，两个或三个棋子，最后拿光着获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
【分析】问题深究：7个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，若自己先拿一个棋子，剩余六个棋子，
①若对方再拿一个自己再拿两个，若对方再拿一个自己再拿两个获胜，若对方再拿两个自己再拿一个获胜；
②若对方再拿两个，自己再拿一个，若对方再拿一个自己再拿两个获胜，若对方再拿两个自己再拿一个获胜；
（1）观察得出规律，即可得出答案；
（2）当总棋子个数为被3除余1或2的个时，
①当总棋子个数为被3除余1的个时，自己先拿一个棋子，然后再每次只要与对方拿的个数相加等于3，先拿可胜；
②当总棋子个数为被3除余2的个时，自己先拿两个棋子，然后再每次只要与对方拿的个数相加等于3，先拿可胜；
问题解决：由100÷3＝33…1，得出自己先拿一个棋子，然后再每次只要与对方拿的个数相加等于3，先拿可胜；
问题拓展：由13÷4＝3…1，得出自己先拿一个棋子，然后再每次只要与对方拿的个数相加等于4，先拿可胜．
【解答】问题深究：
解：7个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，若自己先拿一个棋子，剩余六个棋子，
①若对方再拿一个自己再拿两个，若对方再拿一个自己再拿两个获胜，若对方再拿两个自己再拿一个获胜；
②若对方再拿两个，自己再拿一个，若对方再拿一个自己再拿两个获胜，若对方再拿两个自己再拿一个获胜；
故答案为：两；一；
（1）观察得出规律：当总棋子个数为被3整除的个时，每次只要与对方拿的个数相加等于3，后拿可胜；
故答案为：被3整除的；
（2）当总棋子个数为被3除余1或2的个时，
①当总棋子个数为被3除余1的个时，自己先拿一个棋子，然后再每次只要与对方拿的个数相加等于3，先拿可胜；
②当总棋子个数为被3除余2的个时，自己先拿两个棋子，然后再每次只要与对方拿的个数相加等于3，先拿可胜；
故答案为：为被3除余1或2的；
问题解决：
解：先拿；理由如下：
∵100÷3＝33…1，
∴自己先拿一个棋子，然后再每次只要与对方拿的个数相加等于3，先拿可胜；
问题拓展：
解：先拿；理由如下：
∵13÷4＝3…1，
∴自己先拿一个棋子，然后再每次只要与对方拿的个数相加等于4，先拿可胜．
【点评】本题考查了推理与论证；理解题意，从中得出规律是解题的关键．