2020年浙教新版九年级上册数学《第3章 圆的基本性质》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年浙教新版九年级上册数学《第3章 圆的基本性质》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 631.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-19 11:13:04 | ||
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文档简介
2020年浙教新版九年级上册数学《第3章 圆的基本性质》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＝b B．a＜b C．a＞b D．不能确定
2．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（ ）
A．5 B． C．2 D．
3．我国著名的引滦工程的主干线输水管的截面如图所示，直径为2.6米，水最深为2.5米，则水面AB的宽为（ ）
A．0.9 米 B．1.0 米 C．1.1米 D．1.2米
4．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y＝90 B．2x+y＝90 C．2x+y＝180 D．x＝y
5．如图，以AB为直径的半⊙O上有两点D，E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠EOB＝72°，则∠C的度数是（ ）
A．24° B．30° C．36° D．60°
6．下列物体的运动不是旋转的是（ ）
A．坐在摩天轮里的小朋友 B．正在走动的时针
C．骑自行车的人 D．正在转动的风车叶片
7．如图，将Rt△ABC（∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55° B．70° C．125° D．145°
8．如图四个圆形网案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（ ）
A．（，）或（﹣，﹣） B．（，）或（﹣，﹣）
C．（﹣，﹣）或（，） D．（﹣，﹣）或（，）
10．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二．填空题（共8小题）
11．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA，若∠AOC＝105°，则∠D＝ 度．
12．如图，MN为⊙O的直径，MN＝10，AB为⊙O的弦，已知MN⊥AB于点P，AB＝8，现要作⊙O的另一条弦CD，使得CD＝6且CD∥AB，则PC的长度为 ．
13．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是 cm．
14．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 ．
15．如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C＝25°，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图2），则灰斗柄AB绕点C转动的角度为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，若点D在AB上，则此时旋转角的大小为 （用含α的式子表示）．
17．如图所示的图案，可以看成是由字母“Y”绕中心每次旋转 度构成的．
18．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2018的坐标为 ．
三．解答题（共8小题）
19．已知线段AB＝4cm，以3cm长为半径作圆，使它经过点A、B，能作几个这样的？请作出符合要求的图．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，OD⊥BC于E．
（1）求证：OD∥AC；
（2）若BC＝8，DE＝3，求⊙O的直径．
21．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
22．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且＝，连接AB，BC，CD．求证：△CDE≌△ABC．
23．小明与小刚约好下午4：30在书店门口集合，一同去买课外用书．当小明下午4：00出门赶到书店门口时（路上用去的时间不超过1小时），却没有见到小刚．他怀疑自己迟到了，于是朝书店墙上的时钟一看，只见钟面上的时针与分针刚好重合在一起．请你运用学过的数学知识计算一下，这时的准确时间是多少？
24．如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．
（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；
（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是 （直接写出结论，不必证明）
25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）
（1）若△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出图形并写出△A1B1C1的各顶点的坐标．
2020年浙教新版九年级上册数学《第3章 圆的基本性质》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＝b B．a＜b C．a＞b D．不能确定
【分析】根据图形，得两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，则根据圆周长公式，得二人所走的路程相等．
【解答】解：设小明走的半圆的半径是R．则小明所走的路程是：πR．
设小红所走的两个半圆的半径分别是：r1与r2，则r1+r2＝R．小红所走的路程是：πr1+πr2＝π（r1+r2）＝πR．因而a＝b．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的认识，注意计算两个小半圆周长的时候，可以提取，则两个小半圆的直径之和是大半圆的直径．
2．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（ ）
A．5 B． C．2 D．
【分析】先根据垂径定理得出M、N分别是AB与AC的中点，故MN是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论．
【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，
∴M、N分别是AB与AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝2，
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理；熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
3．我国著名的引滦工程的主干线输水管的截面如图所示，直径为2.6米，水最深为2.5米，则水面AB的宽为（ ）
A．0.9 米 B．1.0 米 C．1.1米 D．1.2米
【分析】作OC⊥AB交圆于C，交AB于D，连接OA，根据勾股定理求出AD，根据垂径定理解答．
【解答】解：作OC⊥AB交圆于C，交AB于D，连接OA，
则OA＝1.3，OD＝1.2，
由勾股定理得，AD＝＝0.5，
则AB＝2AD＝1.0（米），
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
4．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y＝90 B．2x+y＝90 C．2x+y＝180 D．x＝y
【分析】连接BC，根据圆周角定理求出∠B，根据平行线的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：连接BC，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣x°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝x°，
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA＝x°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°，
∴x+y＝90，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．
5．如图，以AB为直径的半⊙O上有两点D，E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠EOB＝72°，则∠C的度数是（ ）
A．24° B．30° C．36° D．60°
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的外角的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵OE＝OD，DC＝OE，
∴DC＝DO，
∴∠C＝∠DOC，
∴∠ODE＝2∠C，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∴∠OED＝2∠C，
∵∠BOE＝∠C+∠OED，
∴∠C+2∠C＝72°，
解得，∠C＝24°，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握等腰三角形的性质、三角形的外角的性质是解题的关键．
6．下列物体的运动不是旋转的是（ ）
A．坐在摩天轮里的小朋友 B．正在走动的时针
C．骑自行车的人 D．正在转动的风车叶片
【分析】根据旋转的定义来判断即可．
【解答】解：骑自行车的人在前进的过程中没有发生旋转．
故选：C．
【点评】本题主要考查了生活中的旋转现象，解题的关键是要正确理解旋转的特征：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
7．如图，将Rt△ABC（∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55° B．70° C．125° D．145°
【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数是多少；然后根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，可得旋转角的度数等于∠BAB1的度数，据此解答即可．
【解答】解：∵∠B＝35°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣90°＝55°，
∵点C，A，B1在同一条直线上，
∴∠BAB1＝180°﹣∠BAC＝180°﹣55°＝125°，
即旋转角等于125°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
8．如图四个圆形网案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】观察图形，从图形的性质可以确定旋转角，然后进行判断即可得到答案．
【解答】解：A图形顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合，A不正确；
B图形顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合，B不正确；
C图形顺时针旋转180°后，能与原图形完全重合，C不正确；
D图形顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
9．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（ ）
A．（，）或（﹣，﹣） B．（，）或（﹣，﹣）
C．（﹣，﹣）或（，） D．（﹣，﹣）或（，）
【分析】根据题意只研究点B的旋转即可，OB与x轴夹角为45°，分别按顺时针和逆时针旋转75°后，与y轴负向、x轴正向分别夹角为30°，由此计算坐标即可．
【解答】解：由点B坐标为（2，﹣2）
则OB＝2，且OB与x轴、y轴夹角为45°
当点B绕原点逆时针转动75°时，
OB1与x轴正向夹角为30°
则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（，）；
同理，当点B绕原点顺时针转动75°时，
OB1与y轴负半轴夹角为30°，
则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（﹣，﹣）；
故选：C．
【点评】本题为坐标旋转变换问题，考查了图形旋转的性质、特殊角锐角三角函数值，解答时注意分类讨论和确定象限符号．
10．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据旋转的性质，观察图形，中心角是由四个角度相同的角组成，结合周角是360°求解．
【解答】解：∵中心角是由四个角度相同的角组成，
∴旋转的角度是360°÷4＝90°．
故选：D．
【点评】本题把旋转的性质和一个周角是360°结合求解．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
二．填空题（共8小题）
11．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA，若∠AOC＝105°，则∠D＝ 25 度．
【分析】解答此题要作辅助线OB，根据OA＝OB＝BD＝半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角和内角的关系解决．
【解答】解：连接OB，
∵BD＝OA，OA＝OB
所以△AOB和△BOD为等腰三角形，
设∠D＝x度，则∠OBA＝2x°，
因为OB＝OA，
所以∠A＝2x°，
在△AOB中，2x+2x+（105﹣x）＝180，
解得x＝25，
即∠D＝25°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的基本性质，以及三角形内角和定理，难易程度适中．
12．如图，MN为⊙O的直径，MN＝10，AB为⊙O的弦，已知MN⊥AB于点P，AB＝8，现要作⊙O的另一条弦CD，使得CD＝6且CD∥AB，则PC的长度为 或 ．
【分析】分AB、CD在圆心O的两侧、AB、CD在圆心O的同侧两种情况，根据垂径定理、勾股定理计算即可．
【解答】解：当AB、CD在圆心O的两侧时，如图，连接OA、OC，
∵AB∥CD，MN⊥AB，
∴AP＝AB＝4，MN⊥CD，
∴CQ＝CD＝3，
在Rt△OAP中，OP＝＝3，
同理：OQ＝4，
则PQ＝OQ+OP＝7，
∴PC＝＝＝，
当AB、CD在圆心O的同侧时，PQ＝OQ﹣OP＝1，
∴PC＝＝＝；
故答案为：或．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理以及分类讨论，掌握垂径定理和勾股定理，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
13．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是 37.5 cm．
【分析】根据切线的性质和已知条件证出O、D、C共线，根据垂径定理求得AD＝30cm，然后根据勾股定理得出方程，解方程即可求得半径．
【解答】解：如图，设点O为圆环的圆心，连接OA和OD，
∵AB是内圆O的切线，
∴AB⊥OD，
∴∠ADO＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝180°，
∴O、D、C共线，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝30cm，
∴设OA为rcm，则OD＝（r﹣15）cm，
根据题意得：r2＝（r﹣15）2+302，
解得：r＝37.5．
∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm；
故答案为：37.5．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
14．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 或2 ．
【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，如图①，根据已知条件得到BD＝×2×3＝2，如图②，BD＝×2×3＝4，求得OD＝1，OE＝2，DE＝1，连接OD，根据勾股定理得到结论，
【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝×2×3＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝1，
∴OE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝，
∴边CD＝＝；
如图②，BD＝×2×3＝4，
同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝＝2，
∴边CD＝＝＝2，
故答案为或2．
【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
15．如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C＝25°，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图2），则灰斗柄AB绕点C转动的角度为 105° ．
【分析】连结AC并且延长至E，根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解．
【解答】解：如图：连结AC并且延长至E，
∠DCE＝180°﹣∠DCB﹣∠ACB＝105°．
故灰斗柄AB绕点C转动的角度为105°．
故答案为：105°．
【点评】考查了生活中的旋转现象，本题关键是由角的和差关系得到∠DCE的度数．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，若点D在AB上，则此时旋转角的大小为 2α （用含α的式子表示）．
【分析】由直角三角形的性质得出∠B＝90°﹣α，由旋转的性质得出CD＝CB，由等腰三角形的性质得出∠CDB＝∠B＝90°﹣α，由三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝α，
∴∠B＝90°﹣α，
由旋转的性质得：CD＝CB，
∴∠CDB＝∠B＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α；
故答案为：2α．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
17．如图所示的图案，可以看成是由字母“Y”绕中心每次旋转 36 度构成的．
【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．利用基本图形和旋转次数，即可得到旋转的角度．
【解答】解：根据图形可得：这是一个由字母“Y”绕着中心连续旋转9次，每次旋转36度角形成的图案．
故答案为：36．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
18．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2018的坐标为 （10090，4） ．
【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求得B2018的坐标．
【解答】解：∵AO＝，BO＝4，
∴AB＝，
∴OA+AB1+B1C2＝++4＝10，
∴B2的横坐标为：10，且B2C2＝4，
∴B4的横坐标为：2×10＝20，
∴点B2018的横坐标为：1009×10＝10090．
∴点B2018的纵坐标为：4．
故点B2018的坐标为（10090，4）．
故答案为：（10090，4）．
【点评】此题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是本题的关键．题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力．
三．解答题（共8小题）
19．已知线段AB＝4cm，以3cm长为半径作圆，使它经过点A、B，能作几个这样的？请作出符合要求的图．
【分析】先作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆即可．
【解答】解：这样的圆能画2个．如图：
作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆，
则⊙O1和⊙O2为所求圆．
【点评】本题考查了圆的认识，解题的关键是找出圆心O1和O2．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，OD⊥BC于E．
（1）求证：OD∥AC；
（2）若BC＝8，DE＝3，求⊙O的直径．
【分析】（1）由圆周角定理得出∠C＝90°，再由垂径定理得出∠OEB＝∠C＝90°，即可得出结论；
（2）令⊙O的半径为r，由垂径定理得出BE＝CE＝BC＝4，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出⊙O的直径．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，
∵OD⊥BC，∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OD∥AC；
（2）解：令⊙O的半径为r，
根据垂径定理可得：BE＝CE＝BC＝4，
由勾股定理得：r2＝42+（r﹣3）2，
解得：r＝，
所以⊙O的直径为．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键．
21．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
【分析】（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，根据勾股定理计算；
（2）分水位上升到圆心以下、水位上升到圆心以上两种情况，根据垂径定理、勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，
由垂径定理得：BC＝AB＝0.3，
在Rt△OBC中，OC＝＝0.4
CD＝0.5﹣0.4＝0.1，
此时的水深为0.1米；
（2）当水位上升到圆心以下时 水面宽0.8 米
则OC＝＝0.3，
水面上升的高度为：0.3﹣0.2＝0.1米；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：0.4+0.3＝0.7米，
综上可得，水面上升的高度为 0.1米或 0.7米．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
22．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且＝，连接AB，BC，CD．求证：△CDE≌△ABC．
【分析】连接DF，根据圆内接四边形的性质得到∠CAE＝∠DFE、∠B＝∠CDE，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到BC＝DE，根据全等三角形的判定定理证明即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC＝∠CDE，
∵＝，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS）．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．
23．小明与小刚约好下午4：30在书店门口集合，一同去买课外用书．当小明下午4：00出门赶到书店门口时（路上用去的时间不超过1小时），却没有见到小刚．他怀疑自己迟到了，于是朝书店墙上的时钟一看，只见钟面上的时针与分针刚好重合在一起．请你运用学过的数学知识计算一下，这时的准确时间是多少？
【分析】利用分针与时针的速度关系，列出方程求出时针走的圆心角的度数，再由时针走1°相当于2分钟，即可求出准确时间．
【解答】解：分针的速度是时针速度的12倍，设时针走了x°，则分针走了12x°，
∵小明下午4：00出门赶到书店门口时（路上用去的时间不超过1小时），且时针与分针刚好重合在一起．
∴12x°﹣x°＝120°，解得x°＝°，
∵时针走1°相当于2分钟，
∴时针走过的分钟为°×2＝21分．
∴这时准确的时间为4时21分．
【点评】本题主要考查了生活中的旋转现象，解题的关键是求出时针走了多少度．
24．如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．
（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；
（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是 OC＝OM﹣ON （直接写出结论，不必证明）
【分析】（1）作∠OCG＝60°，交OA于G，证明△OCG是等边三角形，得出OC＝OG，∠CGM＝60°＝∠CON，证出∠OCN＝∠GCM，证明△OCN≌△GCM（ASA），得出ON＝GM，即可得出结论；
（2）作∠OCG＝60°，交OA于G，证明△OCG是等边三角形，得出OC＝OG，∠CGM＝60°＝∠CON，证出∠OCN＝∠GCM，证明△OCN≌△GCM（ASA），得出ON＝GM，即可得出结论．
【解答】（1）证明：作∠OCG＝60°，交OA于G，如图1所示：
∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，
∴∠CON＝∠COG＝60°，
∴∠OCG＝∠COG，
∴OC＝CG，
∴△OCG是等边三角形，
∴OC＝OG，∠CGM＝60°＝∠CON，
∵∠MCN＝∠OCG＝60°，
∴∠OCN＝∠GCM，
在△OCN和△GCM中，，
∴△OCN≌△GCM（ASA），
∴ON＝GM，
∵OG＝OM+GM，
∴OC＝OM+ON；
（2）解：OC＝OM﹣ON，理由如下：
作∠OCG＝60°，交OA于G，如图2所示：
∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，
∴∠CON＝∠COG＝60°，
∴∠CON＝120°，∠OCG＝∠COG，
∴OC＝CG，
∴△OCG是等边三角形，
∴OC＝OG，∠CGO＝60°，
∴∠CGM＝120°＝∠CON，
∵∠MCN＝∠OCG＝60°，
∴∠OCN＝∠GCM，
在△OCN和△GCM中，，
∴△OCN≌△GCM（ASA），
∴ON＝GM，
∵OG＝OM﹣GM，
∴OC＝OM﹣ON；
故答案为：OC＝OM﹣ON
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）
（1）若△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．
【分析】（1）依据△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，点C1的坐标为（4，0），即可得到顶点A1，B1的坐标；
（2）依据△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，即可得出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）依据△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，即可得到△A3B3C3的各顶点的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，顶点A1，B1的坐标分别为（2，2）和（3，﹣2）；
（2）如图所示，A2的坐标为（3，﹣5）；B2的坐标为（2，﹣1）；C2的坐标为（1，﹣3）；
（3）如图所示，△A3B3C3即为所求；A3的坐标为（5，3），B3的坐标为（1，2），C3的坐标为（3，1）．
【点评】本题主要考查平移变换和旋转变换，熟练掌握平移变换和旋转变换的定义是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出图形并写出△A1B1C1的各顶点的坐标．
【分析】根据关于原点成中心对称的图形横纵坐标都互为相反数即可得结论．
【解答】解：如图所示：
△A1B1C1即为所求作的图形．
A1（3，﹣5），B1（2，﹣1），C1（1，﹣3）．
【点评】本题考查了旋转变换、中心对称图形，解决本题的关键是掌握中心对称图形的坐标特征．
一．选择题（共10小题）
1．如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＝b B．a＜b C．a＞b D．不能确定
2．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（ ）
A．5 B． C．2 D．
3．我国著名的引滦工程的主干线输水管的截面如图所示，直径为2.6米，水最深为2.5米，则水面AB的宽为（ ）
A．0.9 米 B．1.0 米 C．1.1米 D．1.2米
4．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y＝90 B．2x+y＝90 C．2x+y＝180 D．x＝y
5．如图，以AB为直径的半⊙O上有两点D，E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠EOB＝72°，则∠C的度数是（ ）
A．24° B．30° C．36° D．60°
6．下列物体的运动不是旋转的是（ ）
A．坐在摩天轮里的小朋友 B．正在走动的时针
C．骑自行车的人 D．正在转动的风车叶片
7．如图，将Rt△ABC（∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55° B．70° C．125° D．145°
8．如图四个圆形网案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（ ）
A．（，）或（﹣，﹣） B．（，）或（﹣，﹣）
C．（﹣，﹣）或（，） D．（﹣，﹣）或（，）
10．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二．填空题（共8小题）
11．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA，若∠AOC＝105°，则∠D＝ 度．
12．如图，MN为⊙O的直径，MN＝10，AB为⊙O的弦，已知MN⊥AB于点P，AB＝8，现要作⊙O的另一条弦CD，使得CD＝6且CD∥AB，则PC的长度为 ．
13．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是 cm．
14．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 ．
15．如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C＝25°，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图2），则灰斗柄AB绕点C转动的角度为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，若点D在AB上，则此时旋转角的大小为 （用含α的式子表示）．
17．如图所示的图案，可以看成是由字母“Y”绕中心每次旋转 度构成的．
18．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2018的坐标为 ．
三．解答题（共8小题）
19．已知线段AB＝4cm，以3cm长为半径作圆，使它经过点A、B，能作几个这样的？请作出符合要求的图．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，OD⊥BC于E．
（1）求证：OD∥AC；
（2）若BC＝8，DE＝3，求⊙O的直径．
21．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
22．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且＝，连接AB，BC，CD．求证：△CDE≌△ABC．
23．小明与小刚约好下午4：30在书店门口集合，一同去买课外用书．当小明下午4：00出门赶到书店门口时（路上用去的时间不超过1小时），却没有见到小刚．他怀疑自己迟到了，于是朝书店墙上的时钟一看，只见钟面上的时针与分针刚好重合在一起．请你运用学过的数学知识计算一下，这时的准确时间是多少？
24．如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．
（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；
（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是 （直接写出结论，不必证明）
25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）
（1）若△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出图形并写出△A1B1C1的各顶点的坐标．
2020年浙教新版九年级上册数学《第3章 圆的基本性质》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＝b B．a＜b C．a＞b D．不能确定
【分析】根据图形，得两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，则根据圆周长公式，得二人所走的路程相等．
【解答】解：设小明走的半圆的半径是R．则小明所走的路程是：πR．
设小红所走的两个半圆的半径分别是：r1与r2，则r1+r2＝R．小红所走的路程是：πr1+πr2＝π（r1+r2）＝πR．因而a＝b．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的认识，注意计算两个小半圆周长的时候，可以提取，则两个小半圆的直径之和是大半圆的直径．
2．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（ ）
A．5 B． C．2 D．
【分析】先根据垂径定理得出M、N分别是AB与AC的中点，故MN是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论．
【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，
∴M、N分别是AB与AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝2，
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理；熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
3．我国著名的引滦工程的主干线输水管的截面如图所示，直径为2.6米，水最深为2.5米，则水面AB的宽为（ ）
A．0.9 米 B．1.0 米 C．1.1米 D．1.2米
【分析】作OC⊥AB交圆于C，交AB于D，连接OA，根据勾股定理求出AD，根据垂径定理解答．
【解答】解：作OC⊥AB交圆于C，交AB于D，连接OA，
则OA＝1.3，OD＝1.2，
由勾股定理得，AD＝＝0.5，
则AB＝2AD＝1.0（米），
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
4．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y＝90 B．2x+y＝90 C．2x+y＝180 D．x＝y
【分析】连接BC，根据圆周角定理求出∠B，根据平行线的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：连接BC，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣x°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝x°，
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA＝x°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°，
∴x+y＝90，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．
5．如图，以AB为直径的半⊙O上有两点D，E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠EOB＝72°，则∠C的度数是（ ）
A．24° B．30° C．36° D．60°
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的外角的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵OE＝OD，DC＝OE，
∴DC＝DO，
∴∠C＝∠DOC，
∴∠ODE＝2∠C，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∴∠OED＝2∠C，
∵∠BOE＝∠C+∠OED，
∴∠C+2∠C＝72°，
解得，∠C＝24°，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握等腰三角形的性质、三角形的外角的性质是解题的关键．
6．下列物体的运动不是旋转的是（ ）
A．坐在摩天轮里的小朋友 B．正在走动的时针
C．骑自行车的人 D．正在转动的风车叶片
【分析】根据旋转的定义来判断即可．
【解答】解：骑自行车的人在前进的过程中没有发生旋转．
故选：C．
【点评】本题主要考查了生活中的旋转现象，解题的关键是要正确理解旋转的特征：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
7．如图，将Rt△ABC（∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55° B．70° C．125° D．145°
【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数是多少；然后根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，可得旋转角的度数等于∠BAB1的度数，据此解答即可．
【解答】解：∵∠B＝35°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣90°＝55°，
∵点C，A，B1在同一条直线上，
∴∠BAB1＝180°﹣∠BAC＝180°﹣55°＝125°，
即旋转角等于125°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
8．如图四个圆形网案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】观察图形，从图形的性质可以确定旋转角，然后进行判断即可得到答案．
【解答】解：A图形顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合，A不正确；
B图形顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合，B不正确；
C图形顺时针旋转180°后，能与原图形完全重合，C不正确；
D图形顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
9．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（ ）
A．（，）或（﹣，﹣） B．（，）或（﹣，﹣）
C．（﹣，﹣）或（，） D．（﹣，﹣）或（，）
【分析】根据题意只研究点B的旋转即可，OB与x轴夹角为45°，分别按顺时针和逆时针旋转75°后，与y轴负向、x轴正向分别夹角为30°，由此计算坐标即可．
【解答】解：由点B坐标为（2，﹣2）
则OB＝2，且OB与x轴、y轴夹角为45°
当点B绕原点逆时针转动75°时，
OB1与x轴正向夹角为30°
则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（，）；
同理，当点B绕原点顺时针转动75°时，
OB1与y轴负半轴夹角为30°，
则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（﹣，﹣）；
故选：C．
【点评】本题为坐标旋转变换问题，考查了图形旋转的性质、特殊角锐角三角函数值，解答时注意分类讨论和确定象限符号．
10．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据旋转的性质，观察图形，中心角是由四个角度相同的角组成，结合周角是360°求解．
【解答】解：∵中心角是由四个角度相同的角组成，
∴旋转的角度是360°÷4＝90°．
故选：D．
【点评】本题把旋转的性质和一个周角是360°结合求解．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
二．填空题（共8小题）
11．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA，若∠AOC＝105°，则∠D＝ 25 度．
【分析】解答此题要作辅助线OB，根据OA＝OB＝BD＝半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角和内角的关系解决．
【解答】解：连接OB，
∵BD＝OA，OA＝OB
所以△AOB和△BOD为等腰三角形，
设∠D＝x度，则∠OBA＝2x°，
因为OB＝OA，
所以∠A＝2x°，
在△AOB中，2x+2x+（105﹣x）＝180，
解得x＝25，
即∠D＝25°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的基本性质，以及三角形内角和定理，难易程度适中．
12．如图，MN为⊙O的直径，MN＝10，AB为⊙O的弦，已知MN⊥AB于点P，AB＝8，现要作⊙O的另一条弦CD，使得CD＝6且CD∥AB，则PC的长度为 或 ．
【分析】分AB、CD在圆心O的两侧、AB、CD在圆心O的同侧两种情况，根据垂径定理、勾股定理计算即可．
【解答】解：当AB、CD在圆心O的两侧时，如图，连接OA、OC，
∵AB∥CD，MN⊥AB，
∴AP＝AB＝4，MN⊥CD，
∴CQ＝CD＝3，
在Rt△OAP中，OP＝＝3，
同理：OQ＝4，
则PQ＝OQ+OP＝7，
∴PC＝＝＝，
当AB、CD在圆心O的同侧时，PQ＝OQ﹣OP＝1，
∴PC＝＝＝；
故答案为：或．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理以及分类讨论，掌握垂径定理和勾股定理，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
13．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是 37.5 cm．
【分析】根据切线的性质和已知条件证出O、D、C共线，根据垂径定理求得AD＝30cm，然后根据勾股定理得出方程，解方程即可求得半径．
【解答】解：如图，设点O为圆环的圆心，连接OA和OD，
∵AB是内圆O的切线，
∴AB⊥OD，
∴∠ADO＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝180°，
∴O、D、C共线，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝30cm，
∴设OA为rcm，则OD＝（r﹣15）cm，
根据题意得：r2＝（r﹣15）2+302，
解得：r＝37.5．
∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm；
故答案为：37.5．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
14．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 或2 ．
【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，如图①，根据已知条件得到BD＝×2×3＝2，如图②，BD＝×2×3＝4，求得OD＝1，OE＝2，DE＝1，连接OD，根据勾股定理得到结论，
【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝×2×3＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝1，
∴OE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝，
∴边CD＝＝；
如图②，BD＝×2×3＝4，
同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝＝2，
∴边CD＝＝＝2，
故答案为或2．
【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
15．如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C＝25°，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图2），则灰斗柄AB绕点C转动的角度为 105° ．
【分析】连结AC并且延长至E，根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解．
【解答】解：如图：连结AC并且延长至E，
∠DCE＝180°﹣∠DCB﹣∠ACB＝105°．
故灰斗柄AB绕点C转动的角度为105°．
故答案为：105°．
【点评】考查了生活中的旋转现象，本题关键是由角的和差关系得到∠DCE的度数．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，若点D在AB上，则此时旋转角的大小为 2α （用含α的式子表示）．
【分析】由直角三角形的性质得出∠B＝90°﹣α，由旋转的性质得出CD＝CB，由等腰三角形的性质得出∠CDB＝∠B＝90°﹣α，由三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝α，
∴∠B＝90°﹣α，
由旋转的性质得：CD＝CB，
∴∠CDB＝∠B＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α；
故答案为：2α．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
17．如图所示的图案，可以看成是由字母“Y”绕中心每次旋转 36 度构成的．
【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．利用基本图形和旋转次数，即可得到旋转的角度．
【解答】解：根据图形可得：这是一个由字母“Y”绕着中心连续旋转9次，每次旋转36度角形成的图案．
故答案为：36．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
18．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2018的坐标为 （10090，4） ．
【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求得B2018的坐标．
【解答】解：∵AO＝，BO＝4，
∴AB＝，
∴OA+AB1+B1C2＝++4＝10，
∴B2的横坐标为：10，且B2C2＝4，
∴B4的横坐标为：2×10＝20，
∴点B2018的横坐标为：1009×10＝10090．
∴点B2018的纵坐标为：4．
故点B2018的坐标为（10090，4）．
故答案为：（10090，4）．
【点评】此题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是本题的关键．题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力．
三．解答题（共8小题）
19．已知线段AB＝4cm，以3cm长为半径作圆，使它经过点A、B，能作几个这样的？请作出符合要求的图．
【分析】先作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆即可．
【解答】解：这样的圆能画2个．如图：
作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆，
则⊙O1和⊙O2为所求圆．
【点评】本题考查了圆的认识，解题的关键是找出圆心O1和O2．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，OD⊥BC于E．
（1）求证：OD∥AC；
（2）若BC＝8，DE＝3，求⊙O的直径．
【分析】（1）由圆周角定理得出∠C＝90°，再由垂径定理得出∠OEB＝∠C＝90°，即可得出结论；
（2）令⊙O的半径为r，由垂径定理得出BE＝CE＝BC＝4，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出⊙O的直径．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，
∵OD⊥BC，∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OD∥AC；
（2）解：令⊙O的半径为r，
根据垂径定理可得：BE＝CE＝BC＝4，
由勾股定理得：r2＝42+（r﹣3）2，
解得：r＝，
所以⊙O的直径为．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键．
21．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
【分析】（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，根据勾股定理计算；
（2）分水位上升到圆心以下、水位上升到圆心以上两种情况，根据垂径定理、勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，
由垂径定理得：BC＝AB＝0.3，
在Rt△OBC中，OC＝＝0.4
CD＝0.5﹣0.4＝0.1，
此时的水深为0.1米；
（2）当水位上升到圆心以下时 水面宽0.8 米
则OC＝＝0.3，
水面上升的高度为：0.3﹣0.2＝0.1米；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：0.4+0.3＝0.7米，
综上可得，水面上升的高度为 0.1米或 0.7米．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
22．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且＝，连接AB，BC，CD．求证：△CDE≌△ABC．
【分析】连接DF，根据圆内接四边形的性质得到∠CAE＝∠DFE、∠B＝∠CDE，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到BC＝DE，根据全等三角形的判定定理证明即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC＝∠CDE，
∵＝，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS）．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．
23．小明与小刚约好下午4：30在书店门口集合，一同去买课外用书．当小明下午4：00出门赶到书店门口时（路上用去的时间不超过1小时），却没有见到小刚．他怀疑自己迟到了，于是朝书店墙上的时钟一看，只见钟面上的时针与分针刚好重合在一起．请你运用学过的数学知识计算一下，这时的准确时间是多少？
【分析】利用分针与时针的速度关系，列出方程求出时针走的圆心角的度数，再由时针走1°相当于2分钟，即可求出准确时间．
【解答】解：分针的速度是时针速度的12倍，设时针走了x°，则分针走了12x°，
∵小明下午4：00出门赶到书店门口时（路上用去的时间不超过1小时），且时针与分针刚好重合在一起．
∴12x°﹣x°＝120°，解得x°＝°，
∵时针走1°相当于2分钟，
∴时针走过的分钟为°×2＝21分．
∴这时准确的时间为4时21分．
【点评】本题主要考查了生活中的旋转现象，解题的关键是求出时针走了多少度．
24．如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．
（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；
（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是 OC＝OM﹣ON （直接写出结论，不必证明）
【分析】（1）作∠OCG＝60°，交OA于G，证明△OCG是等边三角形，得出OC＝OG，∠CGM＝60°＝∠CON，证出∠OCN＝∠GCM，证明△OCN≌△GCM（ASA），得出ON＝GM，即可得出结论；
（2）作∠OCG＝60°，交OA于G，证明△OCG是等边三角形，得出OC＝OG，∠CGM＝60°＝∠CON，证出∠OCN＝∠GCM，证明△OCN≌△GCM（ASA），得出ON＝GM，即可得出结论．
【解答】（1）证明：作∠OCG＝60°，交OA于G，如图1所示：
∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，
∴∠CON＝∠COG＝60°，
∴∠OCG＝∠COG，
∴OC＝CG，
∴△OCG是等边三角形，
∴OC＝OG，∠CGM＝60°＝∠CON，
∵∠MCN＝∠OCG＝60°，
∴∠OCN＝∠GCM，
在△OCN和△GCM中，，
∴△OCN≌△GCM（ASA），
∴ON＝GM，
∵OG＝OM+GM，
∴OC＝OM+ON；
（2）解：OC＝OM﹣ON，理由如下：
作∠OCG＝60°，交OA于G，如图2所示：
∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，
∴∠CON＝∠COG＝60°，
∴∠CON＝120°，∠OCG＝∠COG，
∴OC＝CG，
∴△OCG是等边三角形，
∴OC＝OG，∠CGO＝60°，
∴∠CGM＝120°＝∠CON，
∵∠MCN＝∠OCG＝60°，
∴∠OCN＝∠GCM，
在△OCN和△GCM中，，
∴△OCN≌△GCM（ASA），
∴ON＝GM，
∵OG＝OM﹣GM，
∴OC＝OM﹣ON；
故答案为：OC＝OM﹣ON
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）
（1）若△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．
【分析】（1）依据△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，点C1的坐标为（4，0），即可得到顶点A1，B1的坐标；
（2）依据△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，即可得出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）依据△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，即可得到△A3B3C3的各顶点的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，顶点A1，B1的坐标分别为（2，2）和（3，﹣2）；
（2）如图所示，A2的坐标为（3，﹣5）；B2的坐标为（2，﹣1）；C2的坐标为（1，﹣3）；
（3）如图所示，△A3B3C3即为所求；A3的坐标为（5，3），B3的坐标为（1，2），C3的坐标为（3，1）．
【点评】本题主要考查平移变换和旋转变换，熟练掌握平移变换和旋转变换的定义是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出图形并写出△A1B1C1的各顶点的坐标．
【分析】根据关于原点成中心对称的图形横纵坐标都互为相反数即可得结论．
【解答】解：如图所示：
△A1B1C1即为所求作的图形．
A1（3，﹣5），B1（2，﹣1），C1（1，﹣3）．
【点评】本题考查了旋转变换、中心对称图形，解决本题的关键是掌握中心对称图形的坐标特征．
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