2020年浙教新版九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年浙教新版九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 640.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-23 10:21:40 | ||
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文档简介
2020年浙教新版九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．圆最长弦为12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么（ ）
A．d＜6cm B．6cm＜d＜12cm C．d≥6cm D．d＞12cm
3．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C． D．2
4．如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．13 D．14
5．有下列结论：（1）平分弦的直径垂直于弦；（2）圆周角的度数等于圆心角的一半；（3）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；（5）三角形的外心到三边的距离相等；（6）垂直于半径的直线是圆的切线．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA＝2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：
（甲）以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，则直线PB即为所求；
（乙）作OP的中垂线，交圆O于B点，则直线PB即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
7．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：
（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．4 B．8 C．4或6 D．4或8
9．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（ ）
A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
10．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
11．如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．140° C．70° D．80°
12．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．3 B． C．6 D．
二．填空题（共8小题）
13．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．
16．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连接AE，对于下列结论：①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③＝；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论选项是 ．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝ cm时，BC与⊙A相切．
19．已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝ 度．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于 度．
三．解答题（共8小题）
21．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
22．如图，AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A，四边形ABCD是平行四边形，BC交⊙O于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5cm，弦CE的长为8cm，求AB的长．
23．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝25°．求∠P的度数．
24．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长．
25．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系并证明；
（2）若⊙O的半径为2，AC＝3，求BD的长度．
27．已知如图，△ABC中AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC＝6，cosC＝，求⊙O的直径．
28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
2020年浙教新版九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选：A．
【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
2．圆最长弦为12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么（ ）
A．d＜6cm B．6cm＜d＜12cm C．d≥6cm D．d＞12cm
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．圆最长弦为12，则可知圆的直径为12，那么圆的半径为6．至此可确定直线与圆相交时，d的取值范围．
【解答】解：由题意得
圆的直径为12，那么圆的半径为6．
则当直线与圆相交时，直线与圆心的距离d＜6cm．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．
3．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C． D．2
【分析】由题意可得OP⊥AB，AP＝BP，根据勾股定理可得AP的长，即可求AB的长．
【解答】解：如图：连接OP，AO
∵AB是⊙O切线
∴OP⊥AB，
∴AP＝PB＝AB
在Rt△APO中，AP＝＝
∴AB＝2
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，熟练运用垂径定理是本题是关键．
4．如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．13 D．14
【分析】根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案．
【解答】解：连接PE、PF、PG，AP，
由题意可知：∠PEC＝∠PFA＝PGA＝90°，
∴S△PBC＝BC?PE＝×4×2＝4，
∴由切线长定理可知：S△PFC+S△PBG＝S△PBC＝4，
∴S四边形AFPG＝S△ABC+S△PFC+S△PBG+S△PBC＝5+4+4＝13，
∴由切线长定理可知：S△APG＝S四边形AFPG＝，
∴＝×AG?PG，
∴AG＝，
由切线长定理可知：CE＝CF，BE＝BG，
∴△ABC的周长为AC+AB+CE+BE
＝AC+AB+CF+BG
＝AF+AG
＝2AG
＝13，
故选：C．
【点评】本题考查切线长定理，解题的关键是画出辅助线，熟练运用切线长定理，本题属于中等题型．
5．有下列结论：（1）平分弦的直径垂直于弦；（2）圆周角的度数等于圆心角的一半；（3）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；（5）三角形的外心到三边的距离相等；（6）垂直于半径的直线是圆的切线．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据圆周角定理、垂径定理知识，运用排除法，逐题分析判断．
【解答】解：（1）应强调这条弦不是直径；故本选项错误；
（2）应强调在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数等于圆心角的一半；故本选项错误；
（3）等弧弧所对的圆周角的度数等于圆心角的一半；故本选项正确；
（4）必须不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，故本选项错误；
（5）三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误；
（6）应该是过圆上一点且垂直圆的半径的直线是圆的切线；故本选项错误；
综上所述，正确的个数是1个；
故选：A．
【点评】本题综合考查了切线的判定、垂径定理、圆周角定理、确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心．本题属于基础题，在做题过程中，多一份细心就会多一份收获的．
6．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA＝2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：
（甲）以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，则直线PB即为所求；
（乙）作OP的中垂线，交圆O于B点，则直线PB即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】（甲）由OP＝BP，得出∠OBP＝∠BOP，所以∠OBP≠90°，故（甲）错误；
（乙）根据线段的垂直平分线得出OB＝PB，OM＝PM，由已知条件OA＝2AP，得出OM＝OA＝OB，从而得出∠BOP＝∠BPO≠45°，即∠OBP≠90°，故（乙）错误；
【解答】解：（甲）如图1，∵以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，
∴OP＝BP，
∴∠OBP＝∠BOP，
∴∠OBP≠90°，
∴PB不是⊙O的切线，
∴（甲）错误；
（乙）如图2，∵作OP的中垂线，交圆O于B点，交OP于M，
∴OB＝PB，OM＝PM，
∵OA＝2AP，
∴OM＝OA＝OB，
∴∠BOP＝∠BPO≠45°，
∴∠OBP≠90°，
∴（乙）错误，
故选：B．
【点评】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质以及直角三角形的判定等．
7．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：
（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO＝90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO＝∠PDO＝90°，得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出：∠CPB＝∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO＝PO＝AB；
（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，则DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，求出即可．
【解答】解：（1）连接CO，DO，
∵PC与⊙O相切，切点为C，
∴∠PCO＝90°，
在△PCO和△PDO中，
，
∴△PCO≌△PDO（SSS），
∴∠PCO＝∠PDO＝90°，
∴PD与⊙O相切，
故（1）正确；
（2）由（1）得：∠CPB＝∠BPD，
在△CPB和△DPB中，
，
∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC＝BD，
∴PC＝PD＝BC＝BD，
∴四边形PCBD是菱形，
故（2）正确；
（3）连接AC，
∵PC＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
在△PCO和△BCA中，
，
∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴AC＝CO，
∴AC＝CO＝AO，
∴∠COA＝60°，
∴∠CPO＝30°，
∴CO＝PO＝AB，
∴PO＝AB，
故（3）正确；
（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，
∴DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，
∴∠PDB＝120°，
故（4）正确；
正确个数有4个，
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．4 B．8 C．4或6 D．4或8
【分析】由题意判定CD是圆的切线，从其性质在△P1EO中求得OP1，从而求得．
【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P能在直线CD的左侧或右侧，
∴P1E⊥CD
又∵∠AOD＝30°，r＝1cm
∴在△OEP1中OP1＝2cm
又∵OP＝6cm
∴P1P＝4cm
∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1＝4（秒）或4+（6﹣4）×2÷1＝8（秒），
∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，从切线入手从而解得．
9．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（ ）
A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
【分析】分两种情况讨论：点C在劣弧AB上；点C在优弧AMB上；再根据弦切角定理和切线的性质求得∠ACB．
【解答】解：如图，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠ACB＝55°，
当点C在劣弧AB上，
∵∠AOB＝110°，
∴弧ACB的度数为250°，
∴∠ACB＝125°．
故选：D．
【点评】本题考查了弦切角定理和和切线的性质，是基础知识要熟练掌握．
10．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
【分析】本题首先根据三角形的内角和定理求得∠C的度数，再根据弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半进行求解．
【解答】解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴的度数＝2∠C＝100°．
故选：C．
【点评】此题综合考查了弦切角定理和三角形的内角和定理．
11．如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．140° C．70° D．80°
【分析】连接OA，OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP＝90°，
同理∠OBP＝90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠ACB＝∠AOB＝70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确求得∠AOB的度数，是解决本题的关键．
12．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．3 B． C．6 D．
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝AC＝3、∠OAB＝60°，根据OB＝ABtan∠OAB可得答案．
【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝3，
∴光盘的直径为6，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用．
二．填空题（共8小题）
13．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是 3≤r≤5 ．
【分析】由于BD＞AB＞BC，根据点与圆的位置关系得到3≤r≤5．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴BD＝AC＝＝5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；
故答案为：3≤r≤5
【点评】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 ．
【分析】如图，连接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K．由题意MN＝2MH＝2，OM＝，推出欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可．
【解答】解：如图，连接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K．
∵OH⊥MN，
∴MH＝HN，
∴MN＝2MH＝2，
∵∠DCE＝90°，OD＝OE，
∴OC＝OD＝OE＝OM＝，
∴欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可，
∵OC＝，
∴点O的运动轨迹是以C为圆心为半径的圆，
在Rt△ACB中，∵BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
∵?AB?CK＝?AC?BC，
∴CK＝，
当C，O，H共线，且与CK重合时，OH的值最小，
∴OH的最小值为﹣＝，
∴MN的最大值＝2＝，
故答案为．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．
【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ＝，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．
【解答】解：连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，OQ＝＝，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为＝．
故答案为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
16．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为 + ．
【分析】设AD与圆的切点为G，连接BG，通过解直角三角形求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式求得三个扇形的面积，进而就可求得阴影的面积．
【解答】解：设AD与圆的切点为G，连接BG，
∴BG⊥AD，
∵∠A＝60°，BG⊥AD，
∴∠ABG＝30°，
在直角△ABG中，BG＝AB＝×2＝，AG＝1，
∴圆B的半径为，
∴S△ABG＝×1×＝
在菱形ABCD中，∠A＝60°，则∠ABC＝120°，
∴∠EBF＝120°，
∴S阴影＝2（S△ABG﹣S扇形）+S扇形FBE＝2×（﹣）+＝+．
故答案为： +．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及切线的性质以及扇形面积等知识，正确利用菱形的性质和切线的性质求出圆的半径是解题关键．
17．如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连接AE，对于下列结论：①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③＝；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论选项是 ①②④ ．
【分析】根据圆周角定理得∠ADB＝90°，则BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD＝DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定与相等，则可对③进行判断；利用DA＝DC＝DE可判断∠AEC＝90°，即CE⊥AE，根据平行线的性质得到AB⊥AE，然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
而AB＝CB，
∴AD＝DC，所以①正确；
∵AB＝CB，
∴∠1＝∠2，
而CD＝ED，
∴∠3＝∠4，
∵CF∥AB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴△CBA∽△CDE，所以②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，
∴∠1不能确定等于45°，
∴和不能确定相等，所以③错误；
∵DA＝DC＝DE，
∴点E在以AC为直径的圆上，
∴∠AEC＝90°，
∴CE⊥AE，
而CF∥AB，
∴AB⊥AE，
∴AE为⊙O的切线，所以④正确．
故答案为①②④．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝ 6 cm时，BC与⊙A相切．
【分析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴AD＝AB，即AB＝2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD＝3cm，
则AB＝2AD＝6cm．
故答案是：6．
【点评】本题考查了切线的判定．此题利用了切线的定义和含30度角的直角三角形的性质得到AB的长度的．
19．已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝ 30 度．
【分析】在Rt△AOB中，已知了直径AB和OA的长，即可求得∠OAB、∠OBA的度数；而由弦切角定理知∠OAB＝∠BOC，进而可由三角形的外角性质求出∠ACO的度数．
【解答】解：∵AB＝2，OA＝，
∴cos∠BAO＝＝，
∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°；
∵OC是⊙M的切线，
∴∠BOC＝∠BAO＝30°，
∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质、弦切角定理以及三角形的外角性质，难度不大．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于 55 度．
【分析】根据弦切角等于弦切角所夹的弧所对的圆周角求出∠A＝∠PCB，再根据直径所对的圆周角是直角得出∠A与∠B互余，计算即可求解．
【解答】解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，
∴∠A＝∠PCB＝35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴35°+∠B＝90°，
解得∠B＝55°．
故答案为：55．
【点评】本题主要考查了弦切角定理与直径所对的圆周角是直角的性质，是基础题，比较简单．
三．解答题（共8小题）
21．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）连接BD，利用直径所对的圆周角是直角得两个直角三角形，再由角平分线得：∠ACD＝∠DCB＝45°，
由同弧所对的圆周角相等可知：△ADB是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出直角边AD＝5，AC的长也是利用勾股定理列式求得；
（2）连接半径OC，证明垂直即可；利用直角三角形中一直角边是斜边的一半得：这条直角边所对的锐角为30°，依次求得∠COB、∠CEP、∠PCE的度数，最后求得∠OCP＝90°，结论得出．
【解答】解：（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°'，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∠DAB＝∠DCB＝45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∵AB＝10，
∴AD＝BD＝＝5，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴AC＝＝5，
答：AC＝5，AD＝5；
（2）直线PC与⊙O相切，理由是：
连接OC，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴∠BAC＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠OCD＝45°﹣30°＝15°，
∴∠CEP＝∠COB+∠OCD＝15°+60°＝75°，
∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠CEP＝75°，
∴∠OCP＝∠OCD+∠ECP＝15°+75°＝90°，
∴直线PC与⊙O相切．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交；重点是相切，本题是常考题型，在判断直线和圆的位置关系时，首先要看直线与圆有几个交点，根据交点的个数来确定其位置关系，在证明直线和圆相切时有两种方法：①有半径，证明垂直，②有垂直，证半径；本题属于第①种情况．
22．如图，AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A，四边形ABCD是平行四边形，BC交⊙O于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5cm，弦CE的长为8cm，求AB的长．
【分析】（1）根据题意，易得∠BAC＝90°，又由四边形ABCD是平行四边形，结合平行四边形的性质AB∥CD，可得∠BAC＝∠DCA＝90°，故直线CD与⊙O相切，
（2）连接AE，易得△CAE∽△CBA，进而可得＝，在Rt△AEC中，由勾股定理可得AE的值，代入关系式，可得答案．
【解答】解：（1）直线CD与⊙O相切，
理由：∵AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A，
∴AC⊥AB，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）连接AE，
∵AC为圆的直径，
∴∠AEC＝90°，
∵AB与⊙O相切于点A，
∴AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAC＝90°，
又∵∠ACE＝∠BCA，
∴△CAE∽△CBA，
∴＝①，
又∵AC＝2AO＝10cm，EC＝8cm，
∴根据勾股定理可得，AE＝＝6（cm），
代入关系式①得，＝，
解得AB＝7.5cm．
【点评】主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，以及坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系．
23．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝25°．求∠P的度数．
【分析】根据切线性质得出PA＝PB，∠PAO＝90°，求出∠PAB的度数，得出∠PAB＝∠PBA，根据三角形的内角和定理求出即可．
【解答】解：
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，
∴AC⊥AP，
∴∠CAP＝90°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
【点评】本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中，熟记切线的性质定理是解题的关键．
24．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长．
【分析】（1）连接OC．只要证明AE∥OC即可解决问题；
（2）根据角平分线的性质定理可知CE＝CF，利用面积法求出CF即可；
【解答】（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠OCD＝∠AEC，
∴AE∥OC，
∴∠EAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAE．
（2）作CF⊥AB于F．
在Rt△OCD中，∵OC＝3，OD＝5，
∴CD＝4，
∵?OC?CD＝?OD?CF，
∴CF＝，
∵AC平分∠DAE，CE⊥AE，CF⊥AD，
∴CE＝CF＝．
【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、角平分线的性质定理、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
25．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．
【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系并证明；
（2）若⊙O的半径为2，AC＝3，求BD的长度．
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB＝90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）由OD∥AC，证得△BDO∽△BCA，根据相似三角形的性质得出＝，解得BE＝2，然后根据勾股定理即可求得BD的长度．
【解答】解：（1）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠CAD＝∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（2）由（1）知OD∥AC．
∴△BDO∽△BCA．
∴＝．
∵⊙O的半径为2，
∴DO＝OE＝2，AE＝4．
∴＝．
∴BE＝2．
∴BO＝4，
∴在Rt△BDO中，BD＝＝2．
【点评】本题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
27．已知如图，△ABC中AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC＝6，cosC＝，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OM．根据OB＝OM，得∠1＝∠3，结合BM平分∠ABC交AE于点M，得∠1＝∠2，则OM∥BE；根据等腰三角形三线合一的性质，得AE⊥BC，则OM⊥AE，从而证明结论；
（2）设圆的半径是r．根据等腰三角形三线合一的性质，得BE＝CE＝3，再根据解直角三角形的知识求得AB＝12，则OA＝12﹣r，从而根据平行线分线段成比例定理求解．
【解答】（1）证明：连接OM．
∵OB＝OM，
∴∠1＝∠3，
又BM平分∠ABC交AE于点M，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴OM∥BE．
∵AB＝AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE与⊙O相切；
（2）解：设圆的半径是r．
∵AB＝AC，AE是角平分线，
∴BE＝CE＝3，∠ABC＝∠C，
又cosC＝，
∴AB＝BE÷cosB＝12，则OA＝12﹣r．
∵OM∥BE，
∴，
即，
解得r＝2.4．
则圆的直径是4.8．
【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质、平行线的判定及性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理以及解直角三角形的知识．连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．
28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
【分析】（1）连接OE，证明∠OEA＝90°即可；
（2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出OH的长，进而求出CE的长．
【解答】（1）证明：连接OE．
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠C，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEA＝90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，
由题意可知四边形OECH为矩形，
∴OH＝CE，
∵BF＝6，
∴BH＝3，
在Rt△BHO中，OB＝5，
∴OH＝＝4，
∴CE＝4．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．
一．选择题（共12小题）
1．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．圆最长弦为12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么（ ）
A．d＜6cm B．6cm＜d＜12cm C．d≥6cm D．d＞12cm
3．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C． D．2
4．如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．13 D．14
5．有下列结论：（1）平分弦的直径垂直于弦；（2）圆周角的度数等于圆心角的一半；（3）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；（5）三角形的外心到三边的距离相等；（6）垂直于半径的直线是圆的切线．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA＝2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：
（甲）以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，则直线PB即为所求；
（乙）作OP的中垂线，交圆O于B点，则直线PB即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
7．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：
（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．4 B．8 C．4或6 D．4或8
9．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（ ）
A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
10．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
11．如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．140° C．70° D．80°
12．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．3 B． C．6 D．
二．填空题（共8小题）
13．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．
16．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连接AE，对于下列结论：①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③＝；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论选项是 ．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝ cm时，BC与⊙A相切．
19．已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝ 度．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于 度．
三．解答题（共8小题）
21．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
22．如图，AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A，四边形ABCD是平行四边形，BC交⊙O于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5cm，弦CE的长为8cm，求AB的长．
23．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝25°．求∠P的度数．
24．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长．
25．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系并证明；
（2）若⊙O的半径为2，AC＝3，求BD的长度．
27．已知如图，△ABC中AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC＝6，cosC＝，求⊙O的直径．
28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
2020年浙教新版九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选：A．
【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
2．圆最长弦为12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么（ ）
A．d＜6cm B．6cm＜d＜12cm C．d≥6cm D．d＞12cm
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．圆最长弦为12，则可知圆的直径为12，那么圆的半径为6．至此可确定直线与圆相交时，d的取值范围．
【解答】解：由题意得
圆的直径为12，那么圆的半径为6．
则当直线与圆相交时，直线与圆心的距离d＜6cm．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．
3．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C． D．2
【分析】由题意可得OP⊥AB，AP＝BP，根据勾股定理可得AP的长，即可求AB的长．
【解答】解：如图：连接OP，AO
∵AB是⊙O切线
∴OP⊥AB，
∴AP＝PB＝AB
在Rt△APO中，AP＝＝
∴AB＝2
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，熟练运用垂径定理是本题是关键．
4．如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．13 D．14
【分析】根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案．
【解答】解：连接PE、PF、PG，AP，
由题意可知：∠PEC＝∠PFA＝PGA＝90°，
∴S△PBC＝BC?PE＝×4×2＝4，
∴由切线长定理可知：S△PFC+S△PBG＝S△PBC＝4，
∴S四边形AFPG＝S△ABC+S△PFC+S△PBG+S△PBC＝5+4+4＝13，
∴由切线长定理可知：S△APG＝S四边形AFPG＝，
∴＝×AG?PG，
∴AG＝，
由切线长定理可知：CE＝CF，BE＝BG，
∴△ABC的周长为AC+AB+CE+BE
＝AC+AB+CF+BG
＝AF+AG
＝2AG
＝13，
故选：C．
【点评】本题考查切线长定理，解题的关键是画出辅助线，熟练运用切线长定理，本题属于中等题型．
5．有下列结论：（1）平分弦的直径垂直于弦；（2）圆周角的度数等于圆心角的一半；（3）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；（5）三角形的外心到三边的距离相等；（6）垂直于半径的直线是圆的切线．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据圆周角定理、垂径定理知识，运用排除法，逐题分析判断．
【解答】解：（1）应强调这条弦不是直径；故本选项错误；
（2）应强调在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数等于圆心角的一半；故本选项错误；
（3）等弧弧所对的圆周角的度数等于圆心角的一半；故本选项正确；
（4）必须不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，故本选项错误；
（5）三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误；
（6）应该是过圆上一点且垂直圆的半径的直线是圆的切线；故本选项错误；
综上所述，正确的个数是1个；
故选：A．
【点评】本题综合考查了切线的判定、垂径定理、圆周角定理、确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心．本题属于基础题，在做题过程中，多一份细心就会多一份收获的．
6．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA＝2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：
（甲）以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，则直线PB即为所求；
（乙）作OP的中垂线，交圆O于B点，则直线PB即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】（甲）由OP＝BP，得出∠OBP＝∠BOP，所以∠OBP≠90°，故（甲）错误；
（乙）根据线段的垂直平分线得出OB＝PB，OM＝PM，由已知条件OA＝2AP，得出OM＝OA＝OB，从而得出∠BOP＝∠BPO≠45°，即∠OBP≠90°，故（乙）错误；
【解答】解：（甲）如图1，∵以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，
∴OP＝BP，
∴∠OBP＝∠BOP，
∴∠OBP≠90°，
∴PB不是⊙O的切线，
∴（甲）错误；
（乙）如图2，∵作OP的中垂线，交圆O于B点，交OP于M，
∴OB＝PB，OM＝PM，
∵OA＝2AP，
∴OM＝OA＝OB，
∴∠BOP＝∠BPO≠45°，
∴∠OBP≠90°，
∴（乙）错误，
故选：B．
【点评】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质以及直角三角形的判定等．
7．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：
（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO＝90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO＝∠PDO＝90°，得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出：∠CPB＝∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO＝PO＝AB；
（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，则DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，求出即可．
【解答】解：（1）连接CO，DO，
∵PC与⊙O相切，切点为C，
∴∠PCO＝90°，
在△PCO和△PDO中，
，
∴△PCO≌△PDO（SSS），
∴∠PCO＝∠PDO＝90°，
∴PD与⊙O相切，
故（1）正确；
（2）由（1）得：∠CPB＝∠BPD，
在△CPB和△DPB中，
，
∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC＝BD，
∴PC＝PD＝BC＝BD，
∴四边形PCBD是菱形，
故（2）正确；
（3）连接AC，
∵PC＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
在△PCO和△BCA中，
，
∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴AC＝CO，
∴AC＝CO＝AO，
∴∠COA＝60°，
∴∠CPO＝30°，
∴CO＝PO＝AB，
∴PO＝AB，
故（3）正确；
（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，
∴DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，
∴∠PDB＝120°，
故（4）正确；
正确个数有4个，
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．4 B．8 C．4或6 D．4或8
【分析】由题意判定CD是圆的切线，从其性质在△P1EO中求得OP1，从而求得．
【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P能在直线CD的左侧或右侧，
∴P1E⊥CD
又∵∠AOD＝30°，r＝1cm
∴在△OEP1中OP1＝2cm
又∵OP＝6cm
∴P1P＝4cm
∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1＝4（秒）或4+（6﹣4）×2÷1＝8（秒），
∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，从切线入手从而解得．
9．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（ ）
A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
【分析】分两种情况讨论：点C在劣弧AB上；点C在优弧AMB上；再根据弦切角定理和切线的性质求得∠ACB．
【解答】解：如图，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠ACB＝55°，
当点C在劣弧AB上，
∵∠AOB＝110°，
∴弧ACB的度数为250°，
∴∠ACB＝125°．
故选：D．
【点评】本题考查了弦切角定理和和切线的性质，是基础知识要熟练掌握．
10．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
【分析】本题首先根据三角形的内角和定理求得∠C的度数，再根据弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半进行求解．
【解答】解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴的度数＝2∠C＝100°．
故选：C．
【点评】此题综合考查了弦切角定理和三角形的内角和定理．
11．如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．140° C．70° D．80°
【分析】连接OA，OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP＝90°，
同理∠OBP＝90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠ACB＝∠AOB＝70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确求得∠AOB的度数，是解决本题的关键．
12．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．3 B． C．6 D．
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝AC＝3、∠OAB＝60°，根据OB＝ABtan∠OAB可得答案．
【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝3，
∴光盘的直径为6，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用．
二．填空题（共8小题）
13．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是 3≤r≤5 ．
【分析】由于BD＞AB＞BC，根据点与圆的位置关系得到3≤r≤5．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴BD＝AC＝＝5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；
故答案为：3≤r≤5
【点评】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 ．
【分析】如图，连接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K．由题意MN＝2MH＝2，OM＝，推出欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可．
【解答】解：如图，连接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K．
∵OH⊥MN，
∴MH＝HN，
∴MN＝2MH＝2，
∵∠DCE＝90°，OD＝OE，
∴OC＝OD＝OE＝OM＝，
∴欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可，
∵OC＝，
∴点O的运动轨迹是以C为圆心为半径的圆，
在Rt△ACB中，∵BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
∵?AB?CK＝?AC?BC，
∴CK＝，
当C，O，H共线，且与CK重合时，OH的值最小，
∴OH的最小值为﹣＝，
∴MN的最大值＝2＝，
故答案为．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．
【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ＝，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．
【解答】解：连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，OQ＝＝，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为＝．
故答案为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
16．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为 + ．
【分析】设AD与圆的切点为G，连接BG，通过解直角三角形求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式求得三个扇形的面积，进而就可求得阴影的面积．
【解答】解：设AD与圆的切点为G，连接BG，
∴BG⊥AD，
∵∠A＝60°，BG⊥AD，
∴∠ABG＝30°，
在直角△ABG中，BG＝AB＝×2＝，AG＝1，
∴圆B的半径为，
∴S△ABG＝×1×＝
在菱形ABCD中，∠A＝60°，则∠ABC＝120°，
∴∠EBF＝120°，
∴S阴影＝2（S△ABG﹣S扇形）+S扇形FBE＝2×（﹣）+＝+．
故答案为： +．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及切线的性质以及扇形面积等知识，正确利用菱形的性质和切线的性质求出圆的半径是解题关键．
17．如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连接AE，对于下列结论：①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③＝；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论选项是 ①②④ ．
【分析】根据圆周角定理得∠ADB＝90°，则BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD＝DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定与相等，则可对③进行判断；利用DA＝DC＝DE可判断∠AEC＝90°，即CE⊥AE，根据平行线的性质得到AB⊥AE，然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
而AB＝CB，
∴AD＝DC，所以①正确；
∵AB＝CB，
∴∠1＝∠2，
而CD＝ED，
∴∠3＝∠4，
∵CF∥AB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴△CBA∽△CDE，所以②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，
∴∠1不能确定等于45°，
∴和不能确定相等，所以③错误；
∵DA＝DC＝DE，
∴点E在以AC为直径的圆上，
∴∠AEC＝90°，
∴CE⊥AE，
而CF∥AB，
∴AB⊥AE，
∴AE为⊙O的切线，所以④正确．
故答案为①②④．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝ 6 cm时，BC与⊙A相切．
【分析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴AD＝AB，即AB＝2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD＝3cm，
则AB＝2AD＝6cm．
故答案是：6．
【点评】本题考查了切线的判定．此题利用了切线的定义和含30度角的直角三角形的性质得到AB的长度的．
19．已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝ 30 度．
【分析】在Rt△AOB中，已知了直径AB和OA的长，即可求得∠OAB、∠OBA的度数；而由弦切角定理知∠OAB＝∠BOC，进而可由三角形的外角性质求出∠ACO的度数．
【解答】解：∵AB＝2，OA＝，
∴cos∠BAO＝＝，
∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°；
∵OC是⊙M的切线，
∴∠BOC＝∠BAO＝30°，
∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质、弦切角定理以及三角形的外角性质，难度不大．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于 55 度．
【分析】根据弦切角等于弦切角所夹的弧所对的圆周角求出∠A＝∠PCB，再根据直径所对的圆周角是直角得出∠A与∠B互余，计算即可求解．
【解答】解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，
∴∠A＝∠PCB＝35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴35°+∠B＝90°，
解得∠B＝55°．
故答案为：55．
【点评】本题主要考查了弦切角定理与直径所对的圆周角是直角的性质，是基础题，比较简单．
三．解答题（共8小题）
21．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）连接BD，利用直径所对的圆周角是直角得两个直角三角形，再由角平分线得：∠ACD＝∠DCB＝45°，
由同弧所对的圆周角相等可知：△ADB是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出直角边AD＝5，AC的长也是利用勾股定理列式求得；
（2）连接半径OC，证明垂直即可；利用直角三角形中一直角边是斜边的一半得：这条直角边所对的锐角为30°，依次求得∠COB、∠CEP、∠PCE的度数，最后求得∠OCP＝90°，结论得出．
【解答】解：（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°'，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∠DAB＝∠DCB＝45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∵AB＝10，
∴AD＝BD＝＝5，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴AC＝＝5，
答：AC＝5，AD＝5；
（2）直线PC与⊙O相切，理由是：
连接OC，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴∠BAC＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠OCD＝45°﹣30°＝15°，
∴∠CEP＝∠COB+∠OCD＝15°+60°＝75°，
∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠CEP＝75°，
∴∠OCP＝∠OCD+∠ECP＝15°+75°＝90°，
∴直线PC与⊙O相切．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交；重点是相切，本题是常考题型，在判断直线和圆的位置关系时，首先要看直线与圆有几个交点，根据交点的个数来确定其位置关系，在证明直线和圆相切时有两种方法：①有半径，证明垂直，②有垂直，证半径；本题属于第①种情况．
22．如图，AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A，四边形ABCD是平行四边形，BC交⊙O于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5cm，弦CE的长为8cm，求AB的长．
【分析】（1）根据题意，易得∠BAC＝90°，又由四边形ABCD是平行四边形，结合平行四边形的性质AB∥CD，可得∠BAC＝∠DCA＝90°，故直线CD与⊙O相切，
（2）连接AE，易得△CAE∽△CBA，进而可得＝，在Rt△AEC中，由勾股定理可得AE的值，代入关系式，可得答案．
【解答】解：（1）直线CD与⊙O相切，
理由：∵AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A，
∴AC⊥AB，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）连接AE，
∵AC为圆的直径，
∴∠AEC＝90°，
∵AB与⊙O相切于点A，
∴AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAC＝90°，
又∵∠ACE＝∠BCA，
∴△CAE∽△CBA，
∴＝①，
又∵AC＝2AO＝10cm，EC＝8cm，
∴根据勾股定理可得，AE＝＝6（cm），
代入关系式①得，＝，
解得AB＝7.5cm．
【点评】主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，以及坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系．
23．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝25°．求∠P的度数．
【分析】根据切线性质得出PA＝PB，∠PAO＝90°，求出∠PAB的度数，得出∠PAB＝∠PBA，根据三角形的内角和定理求出即可．
【解答】解：
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，
∴AC⊥AP，
∴∠CAP＝90°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
【点评】本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中，熟记切线的性质定理是解题的关键．
24．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长．
【分析】（1）连接OC．只要证明AE∥OC即可解决问题；
（2）根据角平分线的性质定理可知CE＝CF，利用面积法求出CF即可；
【解答】（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠OCD＝∠AEC，
∴AE∥OC，
∴∠EAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAE．
（2）作CF⊥AB于F．
在Rt△OCD中，∵OC＝3，OD＝5，
∴CD＝4，
∵?OC?CD＝?OD?CF，
∴CF＝，
∵AC平分∠DAE，CE⊥AE，CF⊥AD，
∴CE＝CF＝．
【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、角平分线的性质定理、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
25．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．
【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系并证明；
（2）若⊙O的半径为2，AC＝3，求BD的长度．
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB＝90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）由OD∥AC，证得△BDO∽△BCA，根据相似三角形的性质得出＝，解得BE＝2，然后根据勾股定理即可求得BD的长度．
【解答】解：（1）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠CAD＝∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（2）由（1）知OD∥AC．
∴△BDO∽△BCA．
∴＝．
∵⊙O的半径为2，
∴DO＝OE＝2，AE＝4．
∴＝．
∴BE＝2．
∴BO＝4，
∴在Rt△BDO中，BD＝＝2．
【点评】本题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
27．已知如图，△ABC中AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC＝6，cosC＝，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OM．根据OB＝OM，得∠1＝∠3，结合BM平分∠ABC交AE于点M，得∠1＝∠2，则OM∥BE；根据等腰三角形三线合一的性质，得AE⊥BC，则OM⊥AE，从而证明结论；
（2）设圆的半径是r．根据等腰三角形三线合一的性质，得BE＝CE＝3，再根据解直角三角形的知识求得AB＝12，则OA＝12﹣r，从而根据平行线分线段成比例定理求解．
【解答】（1）证明：连接OM．
∵OB＝OM，
∴∠1＝∠3，
又BM平分∠ABC交AE于点M，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴OM∥BE．
∵AB＝AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE与⊙O相切；
（2）解：设圆的半径是r．
∵AB＝AC，AE是角平分线，
∴BE＝CE＝3，∠ABC＝∠C，
又cosC＝，
∴AB＝BE÷cosB＝12，则OA＝12﹣r．
∵OM∥BE，
∴，
即，
解得r＝2.4．
则圆的直径是4.8．
【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质、平行线的判定及性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理以及解直角三角形的知识．连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．
28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
【分析】（1）连接OE，证明∠OEA＝90°即可；
（2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出OH的长，进而求出CE的长．
【解答】（1）证明：连接OE．
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠C，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEA＝90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，
由题意可知四边形OECH为矩形，
∴OH＝CE，
∵BF＝6，
∴BH＝3，
在Rt△BHO中，OB＝5，
∴OH＝＝4，
∴CE＝4．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．