2020年浙教版八年级数学下册《第1章 二次根式》单元测试卷（解析版）

2020年浙教新版八年级数学下册《第1章 二次根式》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列的式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．使式子有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x＞﹣3且x≠2 C．x≥3且x≠2 D．x≥﹣3且x≠2
4．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
5．化简，得（　　）
A．（x﹣1） B．（1﹣x） C．﹣（x+1） D．（x﹣1）
6．计算的结果为（　　）
A． B．±5 C．﹣5 D．5
7．在根式①②③④中，最简二次根式是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
8．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
9．如果，那么（　　）
A．x≥0 B．x≥6
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
10．计算÷×结果为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．若，，则x与y关系是（　　）
A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．xy＝1
12．已知：a＝，b＝，则a与b的关系为（　　）
A．a＝b B．ab＝1 C．ab＝﹣1 D．a＝﹣b
二．填空题（共8小题）
13．使式子有意义的最小整数m是　 　．
14．要使二次根式有意义，字母x的取值范围必须满足的条件是　 　．
15．＝　 　．
16．当x＝　 　时，既是最简二次根式，被开方数又相同．
17．计算：（2）2＝　 　．
18．观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝﹣，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
第4个等式：a4＝＝﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an＝　 　；
（2）a1+a2+a3+…+an＝　 　．
19．二次根式与的和是一个二次根式，则正整数a的最小值为　 　；其和为　 　．
20．计算的结果是　 　．
三．解答题（共8小题）
21．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
22．若x、y都是实数，且y＝+，求xy的值．
23．观察下列各式：
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）＝　 　
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：　 　；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
24．．
25．观察下列等式：
①；
②；
③；…
回答下列问题：
（1）利用你的观察到的规律，化简：；
（2）计算：．
26．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
27．计算：（）﹣（）．
28．计算：
（1）
（2）．



2020年浙教新版八年级数学下册《第1章 二次根式》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列的式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可．
【解答】解：A、当x＝0时，﹣x﹣2＜0，无意义，故本选项错误；
B、当x＝﹣1时，无意义；故本选项错误；
C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、当x＝±1时，x2﹣2＝﹣1＜0，无意义；故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
2．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【解答】解：A、被开方数为负数，二次根式无意义，故错误；
B、是三次根式，故错误；
C、x2+1＞0一定成立，被开方数是非负数，故正确；
D、当x＜1时，二次根式无意义，故错误．
故选：C．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
3．使式子有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x＞﹣3且x≠2 C．x≥3且x≠2 D．x≥﹣3且x≠2
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件，即可得出x的取值范围．
【解答】解：由题意，得：，
解得：x≥﹣3且x≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，注意掌握：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
4．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
5．化简，得（　　）
A．（x﹣1） B．（1﹣x） C．﹣（x+1） D．（x﹣1）
【分析】根据二次根式有意义的条件，得到x的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简．
【解答】解：要使式子有意义，则解得x＜0
∴原式＝|x|+
＝﹣x+
＝（1﹣x）．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，然后由二次根式的性质，对代数式化简．
6．计算的结果为（　　）
A． B．±5 C．﹣5 D．5
【分析】根据算术平方根的定义即可判断．
【解答】解：＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的化简，关键是理解以下几点：①定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a＝0时，＝0；当a＜0时，②性质：＝|a|．
7．在根式①②③④中，最简二次根式是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：①是最简二次根式；
②＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③是最简二次根式；
④＝3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．
①③是最简二次根式，故选C．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
8．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含开得尽方的因数，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C正确；
D、被开方数含开得尽方的因数，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
9．如果，那么（　　）
A．x≥0 B．x≥6
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
【分析】根据二次根式的性质＝×（a≥0，b≥0）得出x≥0且x﹣6≥0，求出组成的不等式组的解集即可．
【解答】解：∵，
∴x≥0且x﹣6≥0，
∴x≥6，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法的应用，注意：要使＝×成立，必须a≥0，b≥0．
10．计算÷×结果为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据二次根式的乘除法法则，被开方数相乘除，根指数不变，进行计算，最后化成最简根式即可．
【解答】解：原式＝＝＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查对二次根式的乘除法，二次根式的性质，最简二次根式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算和化简是解此题的关键．
11．若，，则x与y关系是（　　）
A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．xy＝1
【分析】先把y进行分母有理化得到y＝2+，即可得到x与y的关系．
【解答】解：∵y＝＝＝2+，
而x＝2+，
∴x＝y．
故选：B．
【点评】本题考查了分母有理化：把代数式中分母中的根号去掉的过程，叫分母有理化．的有理化因式为（a≥0），﹣的有理化因式为+．
12．已知：a＝，b＝，则a与b的关系为（　　）
A．a＝b B．ab＝1 C．ab＝﹣1 D．a＝﹣b
【分析】将b化简得﹣（），可知a、b的关系．
【解答】解：b＝＝﹣（），而a＝，
所以a与b的关系为a＝﹣b．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的分母有理化的方法．
二．填空题（共8小题）
13．使式子有意义的最小整数m是　3　．
【分析】根据二次根式的性质直接求出m的值即可．
【解答】解：∵中，m﹣3≥0，
∴m≥3，
∴使式子有意义的最小整数m是3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，得出m﹣3的取值范围是解题关键．
14．要使二次根式有意义，字母x的取值范围必须满足的条件是　x≥1　．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可知：x﹣1≥0，求出字母x的取值范围．
【解答】解：∵二次根式有意义，∴x﹣1≥0，
∴x≥1，
故答案为x≥1．
【点评】主要考查了二次根式的概念和性质：
概念：式子（a≥0）叫二次根式；
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
15．＝　5　．
【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可．
【解答】解：原式＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．
16．当x＝　﹣5　时，既是最简二次根式，被开方数又相同．
【分析】最简二次根式是根号内没有再被开方的数，令两被开方数相等，解出x，然后检验是不是最简二次根式．
【解答】解：若既是最简二次根式，
则x2+3x＝x+15，
解得x＝﹣5或3，
当x＝3时，被开方数x+15＝18，两式不是最简二次根式，
故x＝﹣5．
【点评】本题主要考查最简二次根式的知识点，不是很难．
17．计算：（2）2＝　12　．
【分析】运用二次根式积的乘方方法运算．
【解答】解：（2）2＝12，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查二次根式积的乘方，解题的关键是各项都要乘方．
18．观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝﹣，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
第4个等式：a4＝＝﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an＝　＝﹣；　；
（2）a1+a2+a3+…+an＝　﹣1　．
【分析】（1）根据题意可知，a1＝＝﹣1，a2＝＝﹣，a3＝＝2﹣，a4＝＝﹣2，…由此得出第n个等式：an＝＝﹣；
（2）将每一个等式化简即可求得答案．
【解答】解：（1）∵第1个等式：a1＝＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝﹣，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
第4个等式：a4＝＝﹣2，
∴第n个等式：an＝＝﹣；
（2）a1+a2+a3+…+an
＝（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）
＝﹣1．
故答案为＝﹣；﹣1．
【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
19．二次根式与的和是一个二次根式，则正整数a的最小值为　6　；其和为　﹣　．
【分析】如果二次根式与的和是一个二次根式，那么二次根式与是同类二次根式，所以根据同类二次根式的定义先求出a的值，再把两根式合并即可．
【解答】解：∵二次根式与的和是一个二次根式，
∴两根式为同类二次根式，
则分两种情况：
①是最简二次根式，
那么3x＝2ax，
解得a＝，不合题意，舍去；
②不是最简二次根式，
∵是最简二次根式，且a取最小正整数，
∵开方后为，
∴a＝6．
∴当a＝6时，＝2，
则+＝﹣3+2＝﹣．
【点评】化成最简二次根式后，被开方数相同．这样的二次根式叫做同类二次根式．
20．计算的结果是　　．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝3﹣2
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，在解答此类题目时要先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．
三．解答题（共8小题）
21．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
【分析】根据≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．
【解答】解：∵≥0，
∴当a＝﹣时，有最小值，是0．
则+1的最小值是1．
【点评】本题考查了二次根式的性质，任何非负数的算术平方根是非负数．
22．若x、y都是实数，且y＝+，求xy的值．
【分析】根据二次方根被开方数的取值范围求x的值．
【解答】解：由x、y是实数，可知
解得，此时y＝4，
∴xy＝×4＝6．
【点评】根据与同时成立，得到x的值是解答问题的关键．
23．观察下列各式：
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）＝　1　
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：　＝1+　；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解答】解：（1）＝1＝1；故答案为：1；
（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；
（3）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．
24．．
【分析】运用（a≥0，b＞0）直接进行计算．也可以先分子做减法运算，再分子、分母做除法运算．
【解答】解：原式＝＝＝3﹣2＝1．
【点评】对于二次根式的乘除法，应结合给出的算式的特点灵活进行计算．
25．观察下列等式：
①；
②；
③；…
回答下列问题：
（1）利用你的观察到的规律，化简：；
（2）计算：．
【分析】（1）根据已知的3个等式发现规律：＝﹣，把n＝22代入即可求解；
（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可．
【解答】解：（1）＝﹣；

（2）计算： +++…+
＝﹣1+﹣+2﹣+…+﹣
＝﹣1
＝9．
【点评】此题的关键是分母有理化，得出规律：＝﹣是解题的关键．
26．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
【分析】由同类二次根式的定义，可得方程组：，解此方程组即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
∴m＝±2，n＝±．
【点评】此题考查了同类二次根式的概念．注意同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
27．计算：（）﹣（）．
【分析】先将二次根式化为最简，然后去括号，合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝（2﹣）﹣（+）
＝2﹣﹣﹣
＝﹣．
【点评】此题考查了二次根式的加减法，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
28．计算：
（1）
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的性质化简得到原式＝6﹣5+3，然后进行加减运算；
（2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算．
【解答】解：（1）原式＝6﹣5+3
＝4；
（2）原式＝9﹣2+1+2+2
＝10+2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．