2020年浙教新版九年级数学下册第二章直线与圆的位置关系单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年浙教新版九年级数学下册第二章直线与圆的位置关系单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 673.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-06 14:24:28 | ||
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文档简介
2020年浙教新版九年级数学下册《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2．如图，⊙O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB＝8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm
3．已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB＝65°，则∠APB等于（ ）
A．65° B．50° C．45° D．40°
4．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
5．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
C．和半径垂直的直线是圆的切线
D．一个三角形只有一个外接圆
6．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（ ）
A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD
7．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：
（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．4 B．8 C．4或6 D．4或8
9．如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
10．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
11．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
12．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
二．填空题（共8小题）
13．已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系为 ．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是 ．
15．如图，AB是⊙O直径，CD切⊙O于E，BC⊥CD，AD⊥CD交⊙O于F，∠A＝60°，AB＝4，求阴影部分面积 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是 ．
17．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是 ．（不添加其他字母和线条）
18．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 ．
19．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC＝35°，则∠P＝ 度．
20．如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝ ．
三．解答题（共8小题）
21．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长．
22．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF的长．
23．梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，以AD为直径的⊙O交AB于E，⊙O的切线EF交BC于F，求证：
（1）EF⊥BC；
（2）BF?BC＝BE?AE．
24．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．
25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，＝，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE＝1，AC＝4，求阴影部分的面积．
26．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinB＝，BD＝5，求BF的长．
27．如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连结PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若tan∠BAD＝，且OC＝4，求BD的长．
28．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果半径的长为3，tanD＝，求AE的长．
2020年浙教新版九年级数学下册《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【分析】可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较，若圆心到y轴的距离大于圆心距，y轴与圆相离；小于圆心距，y轴与圆相交；等于圆心距，y轴与圆相切．
【解答】解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4，
所以圆与y轴相交，
故选：C．
【点评】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切．
2．如图，⊙O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB＝8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm
【分析】根据垂径定理得到BH＝AB＝×8＝4，再利用勾股定理计算出OH，然后利用切线和平移的性质分类讨论：当向下平移时，直线l平移的距离为半径减去OH；当向上平移时，直线l平移的距离为半径加上OH．
【解答】解：连接OB，
∵AB⊥OC，
∴AH＝BH，
∴BH＝AB＝×8＝4，
在Rt△BOH中，OB＝OC＝5，
∴OH＝＝3，
又∵将直线l通过平移使直线l与⊙O相切，
∴直线l垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点，
∴当向下平移时，直线l平移的距离＝5﹣3＝2（cm）；
当向上平移时，直线l平移的距离＝5+3＝8（cm）．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了平移的性质、切线的性质以及勾股定理．
3．已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB＝65°，则∠APB等于（ ）
A．65° B．50° C．45° D．40°
【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可．
【解答】解：连接OA，OB，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
由圆周角定理知，∠AOB＝2∠ACB＝130°，
∴∠APB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、以及四边形的内角和为360度．
4．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【分析】首先连接OC，由切线的性质可得OC⊥CE，又由圆周角定理，可求得∠COB的度数，继而可求得答案．
【解答】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
即∠OCE＝90°，
∵∠COB＝2∠CDB＝50°，
∴∠E＝90°﹣∠COB＝40°．
故选：A．
【点评】本题考查了切线性质，三角形的外角性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
C．和半径垂直的直线是圆的切线
D．一个三角形只有一个外接圆
【分析】A、假如三点共线时，此时三点不能确定一个圆，故三点不一定确定一个圆，应为：不在同一条直线山的三点确定一个圆，本选项错误；
B、三角形的内心为三角形三内角平分线的交点，根据角平分线的性质得到此点到三角形三边的距离相等，故本选项错误；
C、和半径垂直的直线不一定为圆的切线，应为和半径垂直且过半径外端点的直线为圆的切线，本选项错误；
D、一个三角形只有一个外接圆，本选项正确．
【解答】解：A、当三点在同一条直线上时，三点就不能确定一个圆，
应为：不在同一条直线上的三点确定一个圆，本选项错误；
B、由三角形的内心即为三角形三内角平分线的交点，
得到三角形的内心到三角形三边的距离相等，
而三角形的外心即为三边垂直平分线的交点，
故三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，本选项错误；
C、和半径垂直的直线不一定为圆的切线，
应为和半径垂直且过半径外端点的直线为圆的切线，本选项错误；
D、一个三角形只有一个外接圆，本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了切线的性质，确定圆的条件，三角形的内心与内切圆，以及三角形的外心与外接圆，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
6．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（ ）
A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD
【分析】根据AB＝AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE＝90°，可以证明DE是⊙O的切线．
根据CD＝BD，AO＝BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线．
根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO＝90°，可以证明DE是⊙O的切线．
【解答】解：当AB＝AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵AO＝BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
所以B正确．
当CD＝BD时，AO＝BO，∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线．
所以C正确．
当AC∥OD时，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．
所以D正确．
故选：A．
【点评】本题考查的是切线的判断，利用条件判断DE是⊙O的切线，确定正确选项．
7．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：
（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO＝90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO＝∠PDO＝90°，得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出：∠CPB＝∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO＝PO＝AB；
（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，则DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，求出即可．
【解答】解：（1）连接CO，DO，
∵PC与⊙O相切，切点为C，
∴∠PCO＝90°，
在△PCO和△PDO中，
，
∴△PCO≌△PDO（SSS），
∴∠PCO＝∠PDO＝90°，
∴PD与⊙O相切，
故（1）正确；
（2）由（1）得：∠CPB＝∠BPD，
在△CPB和△DPB中，
，
∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC＝BD，
∴PC＝PD＝BC＝BD，
∴四边形PCBD是菱形，
故（2）正确；
（3）连接AC，
∵PC＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
在△PCO和△BCA中，
，
∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴AC＝CO，
∴AC＝CO＝AO，
∴∠COA＝60°，
∴∠CPO＝30°，
∴CO＝PO＝AB，
∴PO＝AB，
故（3）正确；
（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，
∴DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，
∴∠PDB＝120°，
故（4）正确；
正确个数有4个，
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．4 B．8 C．4或6 D．4或8
【分析】由题意判定CD是圆的切线，从其性质在△P1EO中求得OP1，从而求得．
【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P能在直线CD的左侧或右侧，
∴P1E⊥CD
又∵∠AOD＝30°，r＝1cm
∴在△OEP1中OP1＝2cm
又∵OP＝6cm
∴P1P＝4cm
∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1＝4（秒）或4+（6﹣4）×2÷1＝8（秒），
∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，从切线入手从而解得．
9．如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【分析】设点E是优弧TB上一点，连接TE、BE，根据圆内接四边形的对角互补知，∠E＝180°﹣∠A＝80°，再根据弦切角定理知，∠DTB＝∠E＝80°．
【解答】解：∵四边形ABET是圆内接四边形，
∴∠E＝180°﹣∠A＝80°，
又CD是⊙O的切线，T为切点，
∴∠BTD＝∠E＝80°．
故选：D．
【点评】本题利用了圆内接四边形的性质和弦切角定理求解．
10．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【分析】由于弦切角∠DAC所夹弧的圆周角正好是∠B，因此可直接利用弦切角定理求解．
【解答】解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，
∴∠CAD＝∠B＝60°．（弦切角定理）
故选：B．
【点评】本题主要考查弦切角定理的应用．
11．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【分析】由切线长定理可得PA＝PB，CA＝CE，DE＝DB，由于△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，故可求得三角形的周长．
【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10，
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用．
12．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，BE＝BF，CG＝CF，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴BC＝＝10，
∴BE+CG＝10（cm）．
故选：D．
【点评】此题主要是考查了切线长定理．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．
二．填空题（共8小题）
13．已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系为 相交 ．
【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线L的距离为3，
∵5＞3，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故答案为：相交．
【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是 3＜r≤4或r＝2.4 ．
【分析】此题注意两种情况：
（1）圆与AB相切时；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时．
根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．
【解答】解：如图，∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB＝5．
分两种情况：
（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r＝2.4．
【点评】本题利用的知识点：勾股定理和垂线段最短的定理；直角三角形的面积公式求解；直线与圆的位置关系与数量之间的联系．
15．如图，AB是⊙O直径，CD切⊙O于E，BC⊥CD，AD⊥CD交⊙O于F，∠A＝60°，AB＝4，求阴影部分面积 3﹣π ．
【分析】连接OE、OF、BF，解直角三角形求出BF长，求出BC+AD＝4，利用面积的和差即可求出答案．
【解答】解：设AD交⊙O于F，
连接OE、OF、BF，如图，
∵AB为⊙O直径，AB＝4，
∴OE＝AB＝2，∠AFB＝90°，
∵∠A＝60°，
∴AF＝AB＝2，BF＝AF＝2，
∵根据圆周角定理得：∠BOF＝2∠A＝120°，
∴∠AOF＝180°﹣120°＝60°，
∵CD切⊙O于E，BC⊥CD，AD⊥CD，
∴∠C＝∠OED＝∠D＝90°，
∴OE∥BC∥AD，
∵O为AB中点，
∴CE＝ED，
∴BC+AD＝2OE＝AB＝4，
∴阴影部分的面积S＝S梯形BCDF﹣（S扇形AOF﹣S△BOF）
＝（BC+AD）×BF﹣+×2×1
＝×4×2﹣π﹣
＝3﹣π，
故答案为：3﹣π．
【点评】本题考查了扇形的面积、解直角三角形、梯形的有关内容等知识点，能求出BF、BC+AD的长是解此题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是 2 ．
【分析】如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定理求出HB，在Rt△AOM中求出OM即可．
【解答】解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H．
∵⊙M与x轴相切于点A（8，0），
∴AM⊥OA，OA＝8，
∴∠OAM＝∠MH0＝∠HOA＝90°，
∴四边形OAMH是矩形，
∴AM＝OH，
∵MH⊥BC，
∴HC＝HB＝6，
∴OH＝AM＝10，
在Rt△AOM中，OM＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．
17．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是 D为BC中点（答案不唯一） ．（不添加其他字母和线条）
【分析】根据切线的判定方法知，能使BD成为切线的条件就是能使OD垂直于DE的条件，从所有的条件中找到一个即可．
【解答】解：连接OD，
当DE与圆相切时，ED⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∵AO＝BO，
∴D是BC的中点．
故答案为：D是BC的中点．
【点评】本题是一道典型的条件开放题，解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论．
18．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 ∠ABC＝90° ．
【分析】根据切线的判定方法知，能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件，进而得出答案即可．
【解答】解：当△ABC为直角三角形时，即∠ABC＝90°时，
BC与圆相切，
∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝90°，
∴BC是⊙O的切线，（经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：∠ABC＝90°．
【点评】此题主要考查了切线的判定，本题是一道典型的条件开放题，解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论．
19．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC＝35°，则∠P＝ 70 度．
【分析】连接OB，首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠BOA的度数；由于∠OAP和∠OBP都是直角，由四边形的内角和为360°可知：∠AOB和∠P互补，由此可求出∠P的度数．
【解答】解：连接OB；
∵PA、PB都是⊙O的切线，且切点为A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°；
在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝180°﹣2∠BAC；
∴∠P＝2∠BAC＝70°．
【点评】此题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．
20．如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝ 40° ．
【分析】连接BD，由圆内接四边形的性质，求得∠BAD，再由弦切角定理得∠ADP＝∠ABD，从而得出答案．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，
∴∠BAD＝50°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠40°
∵PD切⊙O于D，
∴∠ADP＝∠ABD＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了圆周角定理和弦切角定理，是基础知识比较简单．
三．解答题（共8小题）
21．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长．
【分析】（1）利用垂径定理的推论结合平行线的性质得出∠EDO＝90°，进而得出答案；
（2）结合已知利用圆周角定理以及勾股定理得出AB的长．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO并延长到圆上一点N，交BC于点F，
∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴＝，
∴DO⊥BC，
∵DE∥BC，
∴∠EDO＝90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）连接AO并延长到圆上一点M，连接BM，
∵BC∥DE，
∴∠ACB＝∠E＝60°，
∴∠M＝60°，
∵⊙O的半径为5，
∴AM＝10，
∴BM＝5，则AB＝＝5．
【点评】此题主要考查了切线的判定以及勾股定理、垂径定理推论等知识，正确作出辅助线是解题关键．
22．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF的长．
【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据斜边上的中线性质得MC＝MG＝ME，所以∠G＝∠1，接着证明∠1+∠2＝90°，从而得到∠OCM＝90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；
（2）先证明∠G＝∠A，再证明∠EMC＝∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．
【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，
∴∠G+∠GBD＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵M点为GE的中点，
∴MC＝MG＝ME，
∴∠G＝∠1，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠2，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠OCM＝90°，
∴OC⊥CM，
∴CM为⊙O的切线；
（2）∵∠1+∠3+∠4＝90°，∠5+∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠5，
而∠1＝∠G，∠5＝∠A，
∴∠G＝∠A，
∵∠4＝2∠A，
∴∠4＝2∠G，
而∠EMC＝∠G+∠1＝2∠G，
∴∠EMC＝∠4，
而∠FEC＝∠CEM，
∴△EFC∽△ECM，
∴＝＝，即＝＝，
∴CE＝4，EF＝，
∴MF＝ME﹣EF＝6﹣＝．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d＝r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了圆周角定理．
23．梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，以AD为直径的⊙O交AB于E，⊙O的切线EF交BC于F，求证：
（1）EF⊥BC；
（2）BF?BC＝BE?AE．
【分析】（1）根据已知利用切线的性质可得到∠BEF+∠B＝90°，即EF⊥BC；
（2）利用两组角对应相等的两个三角形相似得到△ADE∽△BEF，再根据相似三角形的对应边成比例和AD＝BC，即可得到BF?BC＝BE?AE．
【解答】证明：（1）连接OE，
∵∠DEF+∠DEO＝90°，∠ADE+∠OEA＝90°，
∴∠DEF＝∠OEA．
∵OA＝OE，AD＝BC，
∴∠OEA＝∠A＝∠B．
∴∠A＝∠B＝∠DEF．
∵∠DEF+∠BEF＝90°，
∴∠BEF+∠B＝90°．
∴EF⊥BC；
（2）∵∠A＝∠B，∠AED＝∠BFE＝90°，
∴△ADE∽△BEF．
∴．
∵AD＝BC，
∴．
∴BF?BC＝BE?AE．
【点评】此题考查了相似三角形的性质与判定，切线的性质等知识及其运用能力．
24．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．
【分析】（1）连接OC，易证OC∥AD，所以∠OCA＝∠DAC，由因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠OCA；
（2）连接BE，AB是⊙O的直径，所以∠AEB＝90°，从而可知∠BEF＝∠DAE＝18°，由圆周角定理可知：∠BAF＝∠BEF＝18°
【解答】解：（1）连接OC、
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
（2）连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AED+∠BEF＝90°，
∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠BEF＝∠DAE＝18°，
∵，
∴∠BAF＝∠BEF＝18°
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，圆周角定理等知识，题目较为综合．
25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，＝，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE＝1，AC＝4，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理，由＝得到∠BAD＝∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE＝∠BAD，所以∠ACD＝∠DCE；
（2）连结OD，如图，利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；
（3）作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD＝EH＝2，则CH＝HE﹣CE＝1，于是有∠HOC＝30°，得到∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积＝S扇形OCD﹣S△OCD进行计算．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠BAD＝∠ACD，
∵∠DCE＝∠BAD，
∴∠ACD＝∠DCE，
即CD平分∠ACE；
（2）解：直线ED与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
而∠OCD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠ODC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，
∴OD＝EH，
∵CE＝1，AC＝4，
∴OC＝OD＝2，
∴CH＝HE﹣CE＝2﹣1＝1，
在Rt△OHC中，∠HOC＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形OCD﹣S△OCD
＝﹣?22
＝π﹣．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形的计算．
26．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinB＝，BD＝5，求BF的长．
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理得出∠1＝∠2．证出∠C＝∠BAD．由圆周角定理证出∠DAC+∠BAD＝90°，得出∠BAC＝90°，即可得出结论．
（2）过点F作FG⊥AB于点G．由三角函数得出，设AD＝2m，则AB＝3m，由勾股定理求出BD＝m．求出m＝．得出AD＝，AB＝．证出FG＝FD．设BF＝x，则FG＝FD＝5﹣x．由三角函数得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示．
∵E是弧BD的中点，
∴，
∴∠1＝∠2．
∴∠BAD＝2∠1．
∵∠ACB＝2∠1，
∴∠C＝∠BAD．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∴∠DAC+∠C＝90°．
∵∠C＝∠BAD，
∴∠DAC+∠BAD＝90°．
∴∠BAC＝90°．
即AB⊥AC．
又∵AC过半径外端，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：过点F作FG⊥AB于点G．如图2所示：
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，，
设AD＝2m，则AB＝3m，
由勾股定理得：BD＝＝m．
∵BD＝5，
∴m＝．
∴AD＝，AB＝．
∵∠1＝∠2，∠ADB＝90°，
∴FG＝FD．
设BF＝x，则FG＝FD＝5﹣x．
在Rt△BGF中，∠BGF＝90°，，
∴．
解得：＝3．
∴BF＝3．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理，由三角函数得出方程是解决问题（2）的关键．
27．如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连结PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若tan∠BAD＝，且OC＝4，求BD的长．
【分析】（1）连接OB，由SSS证明△PAO≌△PBO，得出∠PAO＝∠PBO＝90°即可；
（2）连接BE，证明△PAC∽△AOC，证出OC是△ABE的中位线，由三角形中位线定理得出BE＝2OC，由△DBE∽△DPO可求出．
【解答】解：（1）连结OB，则OA＝OB．如图1，
∵OP⊥AB，
∴AC＝BC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA＝PB．
在△PAO和△PBO中，
∵，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠PBO＝∠PAO．
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠PBO＝90°，
∴∠PAO＝90°，即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连结BE．如图2，
∵在Rt△AOC中，tan∠BAD＝tan∠CAO＝＝，且OC＝4，
∴AC＝6，则BC＝6．
在Rt△APO中，
∵AC⊥OP，
∴△PAC∽△AOC，
∴AC2＝OC?PC，解得PC＝9，
∴OP＝PC+OC＝13．
在Rt△PBC中，由勾股定理，得PB＝＝3，
∵AC＝BC，OA＝OE，即OC为△ABE的中位线．
∴OC＝BE，OC∥BE，
∴BE＝2OC＝8．
∵BE∥OP，
∴△DBE∽△DPO，
∴＝，即＝，
解得BD＝．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握切线的判定，能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中是解答问题（2）的关键．
28．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果半径的长为3，tanD＝，求AE的长．
【分析】（1）连接OC，如图，由弧BC＝弧CF得到∠BAC＝∠FAC，加上∠OCA＝∠OAC．则∠OCA＝∠FAC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先在Rt△OCD中利用正切定义计算出CD＝4，再利用勾股定理计算出OD＝5，则sinD＝，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义可求出AE的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵点C为弧BF的中点，
∴弧BC＝弧CF．
∴∠BAC＝∠FAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC．
∴∠OCA＝∠FAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OCD中，∵tanD＝＝，OC＝3，
∴CD＝4，
∴OD＝＝5，
∴AD＝OD+AO＝8，
在Rt△ADE中，∵sinD＝＝＝，
∴AE＝．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
一．选择题（共12小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2．如图，⊙O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB＝8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm
3．已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB＝65°，则∠APB等于（ ）
A．65° B．50° C．45° D．40°
4．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
5．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
C．和半径垂直的直线是圆的切线
D．一个三角形只有一个外接圆
6．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（ ）
A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD
7．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：
（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．4 B．8 C．4或6 D．4或8
9．如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
10．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
11．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
12．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
二．填空题（共8小题）
13．已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系为 ．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是 ．
15．如图，AB是⊙O直径，CD切⊙O于E，BC⊥CD，AD⊥CD交⊙O于F，∠A＝60°，AB＝4，求阴影部分面积 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是 ．
17．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是 ．（不添加其他字母和线条）
18．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 ．
19．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC＝35°，则∠P＝ 度．
20．如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝ ．
三．解答题（共8小题）
21．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长．
22．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF的长．
23．梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，以AD为直径的⊙O交AB于E，⊙O的切线EF交BC于F，求证：
（1）EF⊥BC；
（2）BF?BC＝BE?AE．
24．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．
25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，＝，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE＝1，AC＝4，求阴影部分的面积．
26．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinB＝，BD＝5，求BF的长．
27．如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连结PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若tan∠BAD＝，且OC＝4，求BD的长．
28．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果半径的长为3，tanD＝，求AE的长．
2020年浙教新版九年级数学下册《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【分析】可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较，若圆心到y轴的距离大于圆心距，y轴与圆相离；小于圆心距，y轴与圆相交；等于圆心距，y轴与圆相切．
【解答】解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4，
所以圆与y轴相交，
故选：C．
【点评】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切．
2．如图，⊙O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB＝8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm
【分析】根据垂径定理得到BH＝AB＝×8＝4，再利用勾股定理计算出OH，然后利用切线和平移的性质分类讨论：当向下平移时，直线l平移的距离为半径减去OH；当向上平移时，直线l平移的距离为半径加上OH．
【解答】解：连接OB，
∵AB⊥OC，
∴AH＝BH，
∴BH＝AB＝×8＝4，
在Rt△BOH中，OB＝OC＝5，
∴OH＝＝3，
又∵将直线l通过平移使直线l与⊙O相切，
∴直线l垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点，
∴当向下平移时，直线l平移的距离＝5﹣3＝2（cm）；
当向上平移时，直线l平移的距离＝5+3＝8（cm）．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了平移的性质、切线的性质以及勾股定理．
3．已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB＝65°，则∠APB等于（ ）
A．65° B．50° C．45° D．40°
【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可．
【解答】解：连接OA，OB，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
由圆周角定理知，∠AOB＝2∠ACB＝130°，
∴∠APB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、以及四边形的内角和为360度．
4．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【分析】首先连接OC，由切线的性质可得OC⊥CE，又由圆周角定理，可求得∠COB的度数，继而可求得答案．
【解答】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
即∠OCE＝90°，
∵∠COB＝2∠CDB＝50°，
∴∠E＝90°﹣∠COB＝40°．
故选：A．
【点评】本题考查了切线性质，三角形的外角性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
C．和半径垂直的直线是圆的切线
D．一个三角形只有一个外接圆
【分析】A、假如三点共线时，此时三点不能确定一个圆，故三点不一定确定一个圆，应为：不在同一条直线山的三点确定一个圆，本选项错误；
B、三角形的内心为三角形三内角平分线的交点，根据角平分线的性质得到此点到三角形三边的距离相等，故本选项错误；
C、和半径垂直的直线不一定为圆的切线，应为和半径垂直且过半径外端点的直线为圆的切线，本选项错误；
D、一个三角形只有一个外接圆，本选项正确．
【解答】解：A、当三点在同一条直线上时，三点就不能确定一个圆，
应为：不在同一条直线上的三点确定一个圆，本选项错误；
B、由三角形的内心即为三角形三内角平分线的交点，
得到三角形的内心到三角形三边的距离相等，
而三角形的外心即为三边垂直平分线的交点，
故三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，本选项错误；
C、和半径垂直的直线不一定为圆的切线，
应为和半径垂直且过半径外端点的直线为圆的切线，本选项错误；
D、一个三角形只有一个外接圆，本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了切线的性质，确定圆的条件，三角形的内心与内切圆，以及三角形的外心与外接圆，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
6．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（ ）
A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD
【分析】根据AB＝AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE＝90°，可以证明DE是⊙O的切线．
根据CD＝BD，AO＝BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线．
根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO＝90°，可以证明DE是⊙O的切线．
【解答】解：当AB＝AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵AO＝BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
所以B正确．
当CD＝BD时，AO＝BO，∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线．
所以C正确．
当AC∥OD时，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．
所以D正确．
故选：A．
【点评】本题考查的是切线的判断，利用条件判断DE是⊙O的切线，确定正确选项．
7．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：
（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO＝90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO＝∠PDO＝90°，得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出：∠CPB＝∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO＝PO＝AB；
（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，则DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，求出即可．
【解答】解：（1）连接CO，DO，
∵PC与⊙O相切，切点为C，
∴∠PCO＝90°，
在△PCO和△PDO中，
，
∴△PCO≌△PDO（SSS），
∴∠PCO＝∠PDO＝90°，
∴PD与⊙O相切，
故（1）正确；
（2）由（1）得：∠CPB＝∠BPD，
在△CPB和△DPB中，
，
∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC＝BD，
∴PC＝PD＝BC＝BD，
∴四边形PCBD是菱形，
故（2）正确；
（3）连接AC，
∵PC＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
在△PCO和△BCA中，
，
∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴AC＝CO，
∴AC＝CO＝AO，
∴∠COA＝60°，
∴∠CPO＝30°，
∴CO＝PO＝AB，
∴PO＝AB，
故（3）正确；
（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，
∴DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，
∴∠PDB＝120°，
故（4）正确；
正确个数有4个，
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．4 B．8 C．4或6 D．4或8
【分析】由题意判定CD是圆的切线，从其性质在△P1EO中求得OP1，从而求得．
【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P能在直线CD的左侧或右侧，
∴P1E⊥CD
又∵∠AOD＝30°，r＝1cm
∴在△OEP1中OP1＝2cm
又∵OP＝6cm
∴P1P＝4cm
∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1＝4（秒）或4+（6﹣4）×2÷1＝8（秒），
∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，从切线入手从而解得．
9．如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【分析】设点E是优弧TB上一点，连接TE、BE，根据圆内接四边形的对角互补知，∠E＝180°﹣∠A＝80°，再根据弦切角定理知，∠DTB＝∠E＝80°．
【解答】解：∵四边形ABET是圆内接四边形，
∴∠E＝180°﹣∠A＝80°，
又CD是⊙O的切线，T为切点，
∴∠BTD＝∠E＝80°．
故选：D．
【点评】本题利用了圆内接四边形的性质和弦切角定理求解．
10．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【分析】由于弦切角∠DAC所夹弧的圆周角正好是∠B，因此可直接利用弦切角定理求解．
【解答】解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，
∴∠CAD＝∠B＝60°．（弦切角定理）
故选：B．
【点评】本题主要考查弦切角定理的应用．
11．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【分析】由切线长定理可得PA＝PB，CA＝CE，DE＝DB，由于△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，故可求得三角形的周长．
【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10，
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用．
12．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，BE＝BF，CG＝CF，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴BC＝＝10，
∴BE+CG＝10（cm）．
故选：D．
【点评】此题主要是考查了切线长定理．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．
二．填空题（共8小题）
13．已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系为 相交 ．
【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线L的距离为3，
∵5＞3，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故答案为：相交．
【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是 3＜r≤4或r＝2.4 ．
【分析】此题注意两种情况：
（1）圆与AB相切时；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时．
根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．
【解答】解：如图，∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB＝5．
分两种情况：
（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r＝2.4．
【点评】本题利用的知识点：勾股定理和垂线段最短的定理；直角三角形的面积公式求解；直线与圆的位置关系与数量之间的联系．
15．如图，AB是⊙O直径，CD切⊙O于E，BC⊥CD，AD⊥CD交⊙O于F，∠A＝60°，AB＝4，求阴影部分面积 3﹣π ．
【分析】连接OE、OF、BF，解直角三角形求出BF长，求出BC+AD＝4，利用面积的和差即可求出答案．
【解答】解：设AD交⊙O于F，
连接OE、OF、BF，如图，
∵AB为⊙O直径，AB＝4，
∴OE＝AB＝2，∠AFB＝90°，
∵∠A＝60°，
∴AF＝AB＝2，BF＝AF＝2，
∵根据圆周角定理得：∠BOF＝2∠A＝120°，
∴∠AOF＝180°﹣120°＝60°，
∵CD切⊙O于E，BC⊥CD，AD⊥CD，
∴∠C＝∠OED＝∠D＝90°，
∴OE∥BC∥AD，
∵O为AB中点，
∴CE＝ED，
∴BC+AD＝2OE＝AB＝4，
∴阴影部分的面积S＝S梯形BCDF﹣（S扇形AOF﹣S△BOF）
＝（BC+AD）×BF﹣+×2×1
＝×4×2﹣π﹣
＝3﹣π，
故答案为：3﹣π．
【点评】本题考查了扇形的面积、解直角三角形、梯形的有关内容等知识点，能求出BF、BC+AD的长是解此题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是 2 ．
【分析】如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定理求出HB，在Rt△AOM中求出OM即可．
【解答】解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H．
∵⊙M与x轴相切于点A（8，0），
∴AM⊥OA，OA＝8，
∴∠OAM＝∠MH0＝∠HOA＝90°，
∴四边形OAMH是矩形，
∴AM＝OH，
∵MH⊥BC，
∴HC＝HB＝6，
∴OH＝AM＝10，
在Rt△AOM中，OM＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．
17．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是 D为BC中点（答案不唯一） ．（不添加其他字母和线条）
【分析】根据切线的判定方法知，能使BD成为切线的条件就是能使OD垂直于DE的条件，从所有的条件中找到一个即可．
【解答】解：连接OD，
当DE与圆相切时，ED⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∵AO＝BO，
∴D是BC的中点．
故答案为：D是BC的中点．
【点评】本题是一道典型的条件开放题，解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论．
18．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 ∠ABC＝90° ．
【分析】根据切线的判定方法知，能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件，进而得出答案即可．
【解答】解：当△ABC为直角三角形时，即∠ABC＝90°时，
BC与圆相切，
∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝90°，
∴BC是⊙O的切线，（经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：∠ABC＝90°．
【点评】此题主要考查了切线的判定，本题是一道典型的条件开放题，解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论．
19．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC＝35°，则∠P＝ 70 度．
【分析】连接OB，首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠BOA的度数；由于∠OAP和∠OBP都是直角，由四边形的内角和为360°可知：∠AOB和∠P互补，由此可求出∠P的度数．
【解答】解：连接OB；
∵PA、PB都是⊙O的切线，且切点为A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°；
在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝180°﹣2∠BAC；
∴∠P＝2∠BAC＝70°．
【点评】此题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．
20．如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝ 40° ．
【分析】连接BD，由圆内接四边形的性质，求得∠BAD，再由弦切角定理得∠ADP＝∠ABD，从而得出答案．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，
∴∠BAD＝50°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠40°
∵PD切⊙O于D，
∴∠ADP＝∠ABD＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了圆周角定理和弦切角定理，是基础知识比较简单．
三．解答题（共8小题）
21．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长．
【分析】（1）利用垂径定理的推论结合平行线的性质得出∠EDO＝90°，进而得出答案；
（2）结合已知利用圆周角定理以及勾股定理得出AB的长．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO并延长到圆上一点N，交BC于点F，
∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴＝，
∴DO⊥BC，
∵DE∥BC，
∴∠EDO＝90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）连接AO并延长到圆上一点M，连接BM，
∵BC∥DE，
∴∠ACB＝∠E＝60°，
∴∠M＝60°，
∵⊙O的半径为5，
∴AM＝10，
∴BM＝5，则AB＝＝5．
【点评】此题主要考查了切线的判定以及勾股定理、垂径定理推论等知识，正确作出辅助线是解题关键．
22．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF的长．
【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据斜边上的中线性质得MC＝MG＝ME，所以∠G＝∠1，接着证明∠1+∠2＝90°，从而得到∠OCM＝90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；
（2）先证明∠G＝∠A，再证明∠EMC＝∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．
【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，
∴∠G+∠GBD＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵M点为GE的中点，
∴MC＝MG＝ME，
∴∠G＝∠1，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠2，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠OCM＝90°，
∴OC⊥CM，
∴CM为⊙O的切线；
（2）∵∠1+∠3+∠4＝90°，∠5+∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠5，
而∠1＝∠G，∠5＝∠A，
∴∠G＝∠A，
∵∠4＝2∠A，
∴∠4＝2∠G，
而∠EMC＝∠G+∠1＝2∠G，
∴∠EMC＝∠4，
而∠FEC＝∠CEM，
∴△EFC∽△ECM，
∴＝＝，即＝＝，
∴CE＝4，EF＝，
∴MF＝ME﹣EF＝6﹣＝．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d＝r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了圆周角定理．
23．梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，以AD为直径的⊙O交AB于E，⊙O的切线EF交BC于F，求证：
（1）EF⊥BC；
（2）BF?BC＝BE?AE．
【分析】（1）根据已知利用切线的性质可得到∠BEF+∠B＝90°，即EF⊥BC；
（2）利用两组角对应相等的两个三角形相似得到△ADE∽△BEF，再根据相似三角形的对应边成比例和AD＝BC，即可得到BF?BC＝BE?AE．
【解答】证明：（1）连接OE，
∵∠DEF+∠DEO＝90°，∠ADE+∠OEA＝90°，
∴∠DEF＝∠OEA．
∵OA＝OE，AD＝BC，
∴∠OEA＝∠A＝∠B．
∴∠A＝∠B＝∠DEF．
∵∠DEF+∠BEF＝90°，
∴∠BEF+∠B＝90°．
∴EF⊥BC；
（2）∵∠A＝∠B，∠AED＝∠BFE＝90°，
∴△ADE∽△BEF．
∴．
∵AD＝BC，
∴．
∴BF?BC＝BE?AE．
【点评】此题考查了相似三角形的性质与判定，切线的性质等知识及其运用能力．
24．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．
【分析】（1）连接OC，易证OC∥AD，所以∠OCA＝∠DAC，由因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠OCA；
（2）连接BE，AB是⊙O的直径，所以∠AEB＝90°，从而可知∠BEF＝∠DAE＝18°，由圆周角定理可知：∠BAF＝∠BEF＝18°
【解答】解：（1）连接OC、
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
（2）连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AED+∠BEF＝90°，
∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠BEF＝∠DAE＝18°，
∵，
∴∠BAF＝∠BEF＝18°
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，圆周角定理等知识，题目较为综合．
25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，＝，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE＝1，AC＝4，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理，由＝得到∠BAD＝∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE＝∠BAD，所以∠ACD＝∠DCE；
（2）连结OD，如图，利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；
（3）作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD＝EH＝2，则CH＝HE﹣CE＝1，于是有∠HOC＝30°，得到∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积＝S扇形OCD﹣S△OCD进行计算．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠BAD＝∠ACD，
∵∠DCE＝∠BAD，
∴∠ACD＝∠DCE，
即CD平分∠ACE；
（2）解：直线ED与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
而∠OCD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠ODC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，
∴OD＝EH，
∵CE＝1，AC＝4，
∴OC＝OD＝2，
∴CH＝HE﹣CE＝2﹣1＝1，
在Rt△OHC中，∠HOC＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形OCD﹣S△OCD
＝﹣?22
＝π﹣．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形的计算．
26．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinB＝，BD＝5，求BF的长．
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理得出∠1＝∠2．证出∠C＝∠BAD．由圆周角定理证出∠DAC+∠BAD＝90°，得出∠BAC＝90°，即可得出结论．
（2）过点F作FG⊥AB于点G．由三角函数得出，设AD＝2m，则AB＝3m，由勾股定理求出BD＝m．求出m＝．得出AD＝，AB＝．证出FG＝FD．设BF＝x，则FG＝FD＝5﹣x．由三角函数得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示．
∵E是弧BD的中点，
∴，
∴∠1＝∠2．
∴∠BAD＝2∠1．
∵∠ACB＝2∠1，
∴∠C＝∠BAD．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∴∠DAC+∠C＝90°．
∵∠C＝∠BAD，
∴∠DAC+∠BAD＝90°．
∴∠BAC＝90°．
即AB⊥AC．
又∵AC过半径外端，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：过点F作FG⊥AB于点G．如图2所示：
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，，
设AD＝2m，则AB＝3m，
由勾股定理得：BD＝＝m．
∵BD＝5，
∴m＝．
∴AD＝，AB＝．
∵∠1＝∠2，∠ADB＝90°，
∴FG＝FD．
设BF＝x，则FG＝FD＝5﹣x．
在Rt△BGF中，∠BGF＝90°，，
∴．
解得：＝3．
∴BF＝3．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理，由三角函数得出方程是解决问题（2）的关键．
27．如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连结PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若tan∠BAD＝，且OC＝4，求BD的长．
【分析】（1）连接OB，由SSS证明△PAO≌△PBO，得出∠PAO＝∠PBO＝90°即可；
（2）连接BE，证明△PAC∽△AOC，证出OC是△ABE的中位线，由三角形中位线定理得出BE＝2OC，由△DBE∽△DPO可求出．
【解答】解：（1）连结OB，则OA＝OB．如图1，
∵OP⊥AB，
∴AC＝BC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA＝PB．
在△PAO和△PBO中，
∵，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠PBO＝∠PAO．
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠PBO＝90°，
∴∠PAO＝90°，即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连结BE．如图2，
∵在Rt△AOC中，tan∠BAD＝tan∠CAO＝＝，且OC＝4，
∴AC＝6，则BC＝6．
在Rt△APO中，
∵AC⊥OP，
∴△PAC∽△AOC，
∴AC2＝OC?PC，解得PC＝9，
∴OP＝PC+OC＝13．
在Rt△PBC中，由勾股定理，得PB＝＝3，
∵AC＝BC，OA＝OE，即OC为△ABE的中位线．
∴OC＝BE，OC∥BE，
∴BE＝2OC＝8．
∵BE∥OP，
∴△DBE∽△DPO，
∴＝，即＝，
解得BD＝．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握切线的判定，能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中是解答问题（2）的关键．
28．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果半径的长为3，tanD＝，求AE的长．
【分析】（1）连接OC，如图，由弧BC＝弧CF得到∠BAC＝∠FAC，加上∠OCA＝∠OAC．则∠OCA＝∠FAC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先在Rt△OCD中利用正切定义计算出CD＝4，再利用勾股定理计算出OD＝5，则sinD＝，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义可求出AE的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵点C为弧BF的中点，
∴弧BC＝弧CF．
∴∠BAC＝∠FAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC．
∴∠OCA＝∠FAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OCD中，∵tanD＝＝，OC＝3，
∴CD＝4，
∴OD＝＝5，
∴AD＝OD+AO＝8，
在Rt△ADE中，∵sinD＝＝＝，
∴AE＝．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．