2020年浙教新版八年级数学下册《第4章 平行四边形》单元测试卷（解析版）

2020年浙教新版八年级数学下册《第4章 平行四边形》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD＝BC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝2CD，连接DF．若AB＝8，则DF的长为（　　）

A．3 B．4 C．2 D．3
2．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在BC上，DE是∠AEF的角平分线，若∠C＝80°，则∠EFB的度数是（　　）

A．100° B．110° C．115° D．120°
3．下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
4．七边形有（　　）条对角线．
A．11 B．12 C．13 D．14
5．用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设（　　）
A．三角形的三个外角都是锐角
B．三角形的三个外角中至少有两个锐角
C．三角形的三个外角中没有锐角
D．三角形的三个外角中至少有一个锐角
6．用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（　　）
A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF
C．假设CD和EF不平行 D．假设AB和EF不平行
7．如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：
①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点；
②直线BD必经过点O；
③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；
④△AOE与△COF成中心对称．
其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（　　）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
9．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　）

A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O
C．AB∥A′B′ D．∠ACB＝∠C′A′B′
10．下列交通标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
11．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
12．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
13．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为　 　．

14．在△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，CE＝AC，BE、CD交于点O，BE＝5cm，则OE＝　 　cm．

15．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是　 　．
16．从10边形的一个顶点画所有的对角线，一共能画　 　．
17．如图，△ABC与△DEF关于O点成中心对称．则AB　 　DE，BC∥　 　，AC＝　 　．

18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2013的坐标为　 　．

19．从数学对称的角度看：下面的几组大写英文字母：①ANEG；②KBXM；③XIHO；④HWDZ．不同于另外三组的一组是　 　，这一组的特点是　 　．
20．下列四个汽车图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图标有　 　个．
三．解答题（共8小题）
21．△ABC中E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD与点D，求证：DE＝（BC﹣AC）．
22．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F是CB的中点．求证：BD＝2EF．

23．四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．
（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．
已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点．（如图①）
求证：S△OBC?S△OAD＝S△OAB?S△OCD；
（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．

24．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
25．在14×9的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC与△A′B′C′的位置如图所示；
（1）请说明△ABC与△A′B′C′的位置关系；
（2）若点C的坐标为（0，0），则点B′的坐标为　 　；
（3）求线段CC′的长．

26．有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．

27．如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．

（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
28．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　 　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）．




2020年浙教新版八年级数学下册《第4章 平行四边形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD＝BC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝2CD，连接DF．若AB＝8，则DF的长为（　　）

A．3 B．4 C．2 D．3
【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得：EG＝4，设CD＝x，则EF＝BC＝2x，证明四边形EGDF是平行四边形，可得DF＝EG＝4．
【解答】解：取BC的中点G，连接EG，
∵E是AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG＝AB＝＝4，
设CD＝x，则EF＝BC＝2x，
∴BG＝CG＝x，
∴EF＝2x＝DG，
∵EF∥CD，
∴四边形EGDF是平行四边形，
∴DF＝EG＝4，
故选：B．

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中位线是本题的关键．
2．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在BC上，DE是∠AEF的角平分线，若∠C＝80°，则∠EFB的度数是（　　）

A．100° B．110° C．115° D．120°
【分析】利用三角形中位线定理、平行线的性质、角平分线的性质以及邻补角的定义求得∠FEC，再由三角形内角和定理和邻补角的定义来求∠EFB的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是中位线，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝80°．
又DE是∠AEF的角平分线，
∠DEF＝∠AED＝80°，
∴∠FEC＝20°，
∴∠EFB＝180°﹣∠C﹣∠FEC＝100°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形中位线定理，根据三角形中位线性质得到DE与BC平行是解题的关键．
3．下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，即可解答．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；
B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
C、对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故错误；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，解决本题的关键是熟记平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理．
4．七边形有（　　）条对角线．
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】根据n边形共有条对角线．
【解答】解：当n＝7时，＝14．
故选：D．
【点评】熟悉多边形对角线条数的公式：n边形共有条对角线．
5．用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设（　　）
A．三角形的三个外角都是锐角
B．三角形的三个外角中至少有两个锐角
C．三角形的三个外角中没有锐角
D．三角形的三个外角中至少有一个锐角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角，
故选：B．
【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（　　）
A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF
C．假设CD和EF不平行 D．假设AB和EF不平行
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断．
【解答】解：用反证法证明CD∥EF时，应先设CD与EF不平行．故选C．
【点评】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：
①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点；
②直线BD必经过点O；
③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；
④△AOE与△COF成中心对称．
其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由于△ABC与△CDA关于点O对称，那么可得到AB＝CD、AD＝BC，即四边形ABCD是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，据此对各结论进行判断．
【解答】解：△ABC与△CDA关于点O对称，则AB＝CD、AD＝BC，
所以四边形ABCD是平行四边形，即点O就是?ABCD的对称中心，则有：
（1）点E和点F，B和D是关于中心O的对称点，正确；
（2）直线BD必经过点O，正确；
（3）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等，正确；
（5）△AOE与△COF成中心对称，正确；
其中正确的个数为4个，
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称的性质以及平行四边形的性质的运用，熟练掌握平行四边形的性质及中心对称图形的性质是解决此题的关键．解题时注意：关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
8．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（　　）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【分析】欲分析两个图形是否成中心对称，主要把一个图形绕一个点旋转180°，观察是否能和另一个图形重合即可．
【解答】解：根据中心对称的概念，知②③④都是中心对称．
故选：C．
【点评】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
9．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　）

A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O
C．AB∥A′B′ D．∠ACB＝∠C′A′B′
【分析】根据中心对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：观察图形可知，
A、点A与点A′是对称点，故本选项正确；
B、BO＝B′O，故本选项正确；
C、AB∥A′B′，故本选项正确；
D、∠ACB＝∠A′C′B′，故本选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称，熟悉中心对称的性质是解题的关键．
10．下列交通标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
11．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
12．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
二．填空题（共8小题）
13．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为　4或4　．

【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF＝90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C＝A'E＝4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC＝2A'B＝8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A'FE＝90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝4．
【解答】解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF＝90°时，如图1，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C＝AC＝4，∠ACB＝∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE＝∠MAN＝90°，
∴∠CDE＝∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB＝∠A'EC，
∴∠A'CB＝∠A'EC，
∴A'C＝A'E＝4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC＝2A'E＝8，
由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，
∴AB＝＝4；
②当∠A'FE＝90°时，如图2，
∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝4；
综上所述，AB的长为4或4；
故答案为：4或4；


【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
14．在△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，CE＝AC，BE、CD交于点O，BE＝5cm，则OE＝　1.25　cm．

【分析】过D作DF∥BE，由于D是AB中点，那么DF就是△ABE的中位线，利用三角形中位线定理，可求DF，而CE＝AC，AF＝EF，可证出CE＝EF，即E是CF中点，再次使用三角形中位线定理，可求出OE．
【解答】解：如图，过D作DF∥BE，那么DF就是三角形ABE的中位线，
∴DF＝BE，AF＝EF
又∵CE＝AC
∴CE＝EF，∵EO∥DF，
∴OD＝OC，
∴OE就是三角形CDF的中位线，
∴OE＝DF＝BE＝1.25cm．
故答案为1.25．

【点评】本题主要考查了三角形中位线的应用，根据题中给出的条件正确地作出中位线是解题的关键．
15．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是　5，6，7　．
【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．

【点评】此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
16．从10边形的一个顶点画所有的对角线，一共能画　7条　．
【分析】利用从多边形一个顶点画所有的对角线为n﹣3，即可解决问题．
【解答】解：从10边形的一个顶点画所有的对角线，一共能画10﹣3＝7（条），
故答案为：7条．
【点评】本题主要考查了多边形的对角线，注意从多边形一个顶点画对角线是解题关键．
17．如图，△ABC与△DEF关于O点成中心对称．则AB　＝　DE，BC∥　EF　，AC＝　DF　．

【分析】利用关于某点对称的图形全等，这样可以得出対应边与对应角之间的关系，进而解决．
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于O点成中心对称
∴△ABC≌△DEF
AB＝DE，AC＝DF
又∵BO＝OE，CO＝OF，∠BOC＝∠FOE
∴△BOC≌△EOF
∴∠BCO＝∠OFE
BC∥EF
故填：＝，EF，DF
【点评】此题主要考查了关于某点对称的图形之间的关系，难度不大，比较典型．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2013的坐标为　（0，﹣2）　．

【分析】计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2013的坐标．
【解答】解：点P1（2，0），P2（﹣2，2），P3（0，﹣2），P4（2，2），P5（﹣2，0），P6（0，0），P7（2，0），
从而可得出6次一个循环，
∵＝335…3，
∴点P2013的坐标为（0，﹣2）．
故答案为：（0，﹣2）．
【点评】本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．
19．从数学对称的角度看：下面的几组大写英文字母：①ANEG；②KBXM；③XIHO；④HWDZ．不同于另外三组的一组是　③　，这一组的特点是　各个字母既是轴对称，又是中心对称　．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：①中，有轴对称图形A、E，有中心对称图形N；
②中，有轴对称图形K、B、X、M，有中心对称图形X；
③中，所有字母既是轴对称，又是中心对称；
④中，有轴对称图形H、W、D，有中心对称图形Z．
故同于另外三组的一组是③，这一组的特点是各个字母既是轴对称，又是中心对称．
【点评】考查了字母的对称性．
20．下列四个汽车图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图标有　1　个．
【分析】根据中心对称图形定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，可分析出答案．
【解答】解：第一个图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
第二个图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；
第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意；
第四个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
三．解答题（共8小题）
21．△ABC中E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD与点D，求证：DE＝（BC﹣AC）．
【分析】延长AD交BC于F，证明AC＝CF，DE是△ABF的中位线，即可求证．
【解答】解：延长AD交BC于F，说明AC＝CF，DE是△ABF的中位线．
∵CD平分∠ACB，AD⊥CD，
∴∠ACD＝∠BCD，CD是公共边，∠ADC＝∠FDC＝90°，
∴△ADC≌△FDC（ASA）
∴AC＝CF，AD＝FD
又∵△ABC中E是AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴DE＝BF＝（BC﹣CF）＝（BC﹣AC）．

【点评】此题主要考查三角形的中位线定理，综合利用了三角形全等的知识，证出DE是△ABF的中位线是关键．
22．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F是CB的中点．求证：BD＝2EF．

【分析】根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD的中点，再求证EF为△BCD的中位线．
【解答】证明：在△ACD中，因为AD＝AC 且 AE⊥CD，
所以根据等腰三角形中底边的垂线与底边的交点即中点，可以证明：
E为CD的中点，又因为F是CB的中点，
所以，EF∥BD，且EF为△BCD的中位线，
因此EF＝BD，即BD＝2EF．
【点评】此题主要是中位线定理在三角形中的应用，考查在三角形中位线为对应边长的的定理．
23．四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．
（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．
已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点．（如图①）
求证：S△OBC?S△OAD＝S△OAB?S△OCD；
（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．

【分析】（1）根据三角形的面积公式，则应分别分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F．然后根据三角形的面积公式分别计算要证明的等式的左边和右边即可；
（2）根据（1）中的思路，显然可以归纳出：从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．证明思路类似．
【解答】
证明：（1）分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，
则有：S△AOB＝BO?AE，
S△COD＝DO?CF，
S△AOD＝DO?AE，
S△BOC＝BO?CF，
∴S△AOB?S△COD＝BO?DO?AE?CF，
S△AOD?S△BOC＝BO?DO?CF?AE，
∴S△AOB?S△COD＝S△AOD?S△BOC．；

（2）能．
从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．
或S△AOD?S△BOC＝S△AOB?S△DOC，
已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点，
求证：S△AOD?S△BOC＝S△AOB?S△DOC．
证明：分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于E，作CF⊥BD于F，
则有：S△AOD＝DO?AE，S△BOC＝BO?CF，
S△OAB＝OB?AE，S△DOC＝OD?CF，
∴S△AOD?S△BOC＝OB?OD?AE?CF，
S△OAB?S△DOC＝BO?OD?AE?CF，
∴S△AOD?S△BOC＝S△OAB?S△DOC．
【点评】恰当地作出三角形的高，根据三角形的面积公式进行证明．
24．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5＝2+3条对角线，六边形有9＝2+3+4条对角线，则七边形有9+5＝14条对角线，则八边形有14+6＝20条对角线．
【解答】解：凸八边形的对角线条数应该是20．
理由：∵从一个顶点发出的对角线数目，它不能向本身引对角线，不能向相邻的两个顶点引对角线，
∴从一个顶点能引的对角线数为（n﹣3）条；
∵n边形共有n个顶点，
∴能引n（n﹣3）条，但是考虑到这样每一条对角线都重复计算过一次，
∴能引条．
∴凸八边形的对角线条数应该是：＝20．
【点评】能够从特殊中找到规律进行计算．
25．在14×9的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC与△A′B′C′的位置如图所示；
（1）请说明△ABC与△A′B′C′的位置关系；
（2）若点C的坐标为（0，0），则点B′的坐标为　（7，﹣2）　；
（3）求线段CC′的长．

【分析】（1）根据中心对称的性质直接就得出答案即可；
（2）利用点C的坐标为（0，0），即可得出点B′的坐标；
（3）利用勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）△ABC与△A′B′C′成中心对称；

（2）根据点C的坐标为（0，0），则点B′的坐标为：（7，﹣2）；

（3）线段CC′的长为：＝2．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及中心对称图形的定义以及点的坐标特点等知识，中心对称图形的性质是初中阶段考查重点应熟练掌握．
26．有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．

【分析】思路1：先将图形分割成两个矩形，找出各自的对称中心，过两个对称中心做直线即可；
思路2：先将图形补充成一个大矩形，分别找出图中两个矩形各自的对称中心，过两个对称中心做直线即可．
【解答】解：如图所示，有三种思路：

【点评】本题需利用矩形的中心对称性解决问题．
27．如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．

（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【分析】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【解答】解：（1）甲图：平行四边形，
（2）乙图：等腰梯形，
（3）丙图：正方形．

【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握几个常见的四边形是哪类图形是关键：①平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；②等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；③矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．
28．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　＝　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）．

【分析】（1）根据知识背景即可求解；
（2）先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；
（3）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可．
【解答】解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC；
（2）如图所示：
（3）如图所示：

故答案为：＝．
【点评】本题考查中心对称及矩形的性质，有一定难度，注意掌握中心与中心对称点之间的关系．