2020年浙教新版八年级数学下册《第5章 特殊平行四边形》单元测试卷（解析版）

2020年浙教新版八年级数学下册《第5章 特殊平行四边形》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．12 B．16 C．20 D．24
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（　　）

A．∠BAC＝∠DAC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC
3．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（0，2），C（3，0），D（0，﹣2），则四边形ABCD是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
4．如图，丝带重叠的部分一定是（　　）

A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
5．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（　　）

A．5 cm B．4.8 cm C．4.6 cm D．4 cm
6．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（　　）

A．16 B．15 C．14 D．13
7．矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（　　）
A．56 B．192
C．20 D．以上答案都不对
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在这段时间内，线段PQ有（　　）次平行于AB？

A．1 B．2 C．3 D．4
9．平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
10．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
11．如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF，下列说法不正确的是（　　）

A．四边形CEDF是平行四边形
B．当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形
C．当∠AEC＝120°时，四边形CEDF是菱形
D．当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为（　　）

A．4.8 B．2.4 C．2.5 D．2.6
二．填空题（共8小题）
13．已知菱形ABCD，O是两条对角线的交点，AC＝8cm，DB＝6cm，菱形的边长是　 　cm，面积是　 　cm2．
14．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG＝EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是　 　．

15．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为　 　．

16．将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的倍（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为　 　度．

17．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是　 　．
18．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是　 　．

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：　 　．

20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是　 　．

三．解答题（共8小题）
21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．

22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．

23．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，求菱形BEDF的面积．

24．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．

25．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13．
求证：四边形ABCD是矩形．

26．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

27．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　 　；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）

28．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形．




2020年浙教新版八年级数学下册《第5章 特殊平行四边形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．12 B．16 C．20 D．24
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4BC＝4×6＝24．
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（　　）

A．∠BAC＝∠DAC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC
【分析】根据菱形的性质逐项分析即可得到问题答案．
【解答】解：由菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质可知OA＝OC，故选项D成立；
由菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角可知选项A，C成立；
所以B不一定正确．
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，属于基础题，比较容易解答，关键是掌握菱形的定义与性质．
3．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（0，2），C（3，0），D（0，﹣2），则四边形ABCD是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
【分析】在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形ABCD是菱形．
【解答】解：如图所示：
∵A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形，
故选：B．

【点评】本题考查了菱形的判定，坐标与图形性质，掌握菱形的判定方法利用数形结合是解题的关键．
4．如图，丝带重叠的部分一定是（　　）

A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF．又AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：C．

【点评】本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．
5．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（　　）

A．5 cm B．4.8 cm C．4.6 cm D．4 cm
【分析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR＝AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．
【解答】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，

由题意知，AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两张纸条等宽，
∴AR＝AS．
∵AR?BC＝AS?CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5．
故选：A．
【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．
6．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（　　）

A．16 B．15 C．14 D．13
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝EB，
同理：AF＝BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝8，
∴AE＝2OA＝16．
故选：A．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF为菱形是解决问题的关键．
7．矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（　　）
A．56 B．192
C．20 D．以上答案都不对
【分析】首先设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，可得（3x）2+（4x）2＝202，继而求得矩形的两邻边长，则可求得答案．
【解答】解：∵矩形的两邻边之比为3：4，
∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，
∵对角线长为20，
∴（3x）2+（4x）2＝202，
解得：x＝4，
∴矩形的两邻边长分别为：12，16；
∴矩形的面积为：12×16＝192．
故选：B．
【点评】此题考查了矩形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在这段时间内，线段PQ有（　　）次平行于AB？

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】当AP＝BQ时，可得到PQ为平行四边形，然后依据矩形的性质可得到PQ∥AB，然后求得AP＝BQ的次数即可．
【解答】解：当AP＝BQ时，AB∥BQ．
∵AP∥BQ，AP＝BQ，
∴四边形ABQP为平行四边形，
∴QP∥AB．
∵点P运动的时间＝12÷1＝12秒，
∴点Q运动的路程＝4×12＝48cm．
∴点Q可在BC间往返4次．
∴在这段时间内PQ与AB有4次平行．
【点评】本题主要考查的是矩形的性质，计算出点Q在BC间往返的次数是解题的关键．
9．平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
【分析】画出图形，根据角的平分线的性质和平行线的性质，三角形内角和定理及矩形的判定定理求答．
【解答】解：根据图形，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
则得到：∠1+∠3＝90°，
根据三角形内角和定理得到：∠AFB＝∠EFG＝90°，
同理，平行四边形的相邻角的平分线一定互相垂直，
因而平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成四边形，四边形的四个内角一定是直角，即四边形是矩形．
故选：A．

【点评】本题解决的关键是根据平行四边形的对边平行，利用平行线的性质．
10．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】根据矩形的判定定理：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
【解答】解：因为“平行四边形的两组对角分别相等”，“邻角互补”所以相邻两个角的平分线组成角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形四个角都是直角，是矩形．
故选：B．
【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
11．如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF，下列说法不正确的是（　　）

A．四边形CEDF是平行四边形
B．当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形
C．当∠AEC＝120°时，四边形CEDF是菱形
D．当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形
【分析】根据平行四边形的性质和菱形、矩形的判定判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCG＝∠EDG，
∵G是CD的中点，
∴CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，
，
∴△FCG≌△EDG（ASA）
∴FG＝EG，
∵CG＝DG，
∴四边形CEDF是平行四边形，正确；
B、∵四边形CEDF是平行四边形，
∵CE⊥AD，
∴四边形CEDF是矩形，正确；
C、∵四边形CEDF是平行四边形，
∵∠AEC＝120°，
∴∠CED＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形，正确；
D、当AE＝ED时，不能得出四边形CEDF是菱形，错误；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为（　　）

A．4.8 B．2.4 C．2.5 D．2.6
【分析】过点A作AM⊥BC于点M′，根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出AM′的长．根据题意得出四边形AEMF是矩形，故可得出AM＝EF，MN＝AM，当MN最小时，AM最短，此时M与M′重合，据此可得出结论．
【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M′，
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝＝10，
∴AM′＝＝．
∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∴四边形AEMF是矩形，
∴AM＝EF，MN＝AM，
∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合，
∴MN＝AM′＝＝2.4．
故选：B．

【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AM的最小值是关键．
二．填空题（共8小题）
13．已知菱形ABCD，O是两条对角线的交点，AC＝8cm，DB＝6cm，菱形的边长是　5　cm，面积是　24　cm2．
【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，BO＝DO＝BD＝3，则可利用勾股定理计算出AB＝5，即得到菱形的边长为5cm，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半计算菱形ABCD的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，BO＝DO＝BD＝3，
在Rt△ABO中，AB＝＝＝5（cm），
菱形的面积＝×6×8＝24（cm2）．
故答案为：5，24．

【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
14．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG＝EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是　①②④　．

【分析】由中点的性质可得出EF∥CD，且EF＝CD＝BG，结合平行即可证得②结论成立，由BD＝2BC得出BO＝BC，即而得出BE⊥AC，由中线的性质可知GP∥BE，且GP＝BE，AO＝EO，通过证△APG≌△EPG得出AG＝EG＝EF得出①成立，再证△GPE≌△FPE得出④成立，此题得解．
【解答】解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，且EF＝CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠FEG＝∠BGE（两直线平行，内错角相等），
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AB＝CD＝FE，
在△EFG和△GBE中，，
∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，
∴∠EGF＝∠GEB，
∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），
∵BD＝2BC，点O为平行四边形对角线交点，
∴BO＝BD＝BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥OC，
∴GP⊥AC，
∴∠APG＝∠EPG＝90°
∵GP∥BE，G为AB中点，
∴P为AE中点，即AP＝PE，且GP＝BE，
在△APG和△EGP中，，
∴△APG≌△EPG（SAS），
∴AG＝EG＝AB，
∴EG＝EF，即①成立，
∵EF∥BG，GF∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形，
∴GF＝BE，
∵GP＝BE＝GF，
∴GP＝FP，
∵GF⊥AC，
∴∠GPE＝∠FPE＝90°
在△GPE和△FPE中，，
∴△GPE≌△FPE（SAS），
∴∠GEP＝∠FEP，
∴EA平分∠GEF，即④成立．
故答案为：①②④．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．
15．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为　6　．

【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB＝BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3cm与∠ABC＝60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积＝底×高计算即可．
【解答】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，
在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，
即AB2＝AB2+32，
解得AB＝2，
∴S四边形ABCD＝BC?AE＝2×3＝6．
故答案是：6．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键．
16．将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的倍（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为　45　度．

【分析】平行四边形ABCD的面积等于矩形面积的．且它们的底相等，所以平行四边形ABCD的高等于矩形高的．过点C作AB的垂线垂足是E，运用三角函数求解即可．
【解答】解：过点C作AB的垂线垂足是E，如图所示：
∵将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形木框ABCD的形状，并使其面积为矩形木框的，
∴BC＝CE，
∵sin∠CBE＝＝，
∴∠CBE＝∠A＝45°．
故答案为：45．

【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、面积的计算、三角函数的运用；通过作辅助线构造直角三角形，运用三角函数是解决问题的关键．
17．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是　矩形　．
【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．
【解答】已知：AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．
求证：四边形EFGH是矩形
证明：∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，（三角形的中位线平行于第三边）
∴四边形EFGH是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO＝∠ENO＝90°，
∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴∠MEN＝90°，
∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．

【点评】本题考查的是矩形的判定方法，常用的方法有三种：
①一个角是直角的平行四边形是矩形．
②三个角是直角的四边形是矩形．
③对角线相等的平行四边形是矩形．
18．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是　　．

【分析】先由矩形的判定定理推知四边形PECF是矩形；连接PC，则PC＝EF，所以要使EF，即PC最短，只需PC⊥AB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PC的值．
【解答】解：连接PC．
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∴AC?BC＝AB?PC，
∴PC＝．
∴线段EF长的最小值为；
故答案是：．

【点评】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PC⊥AB时，PC取最小值是解答此题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：　（4，2）　．

【分析】根据题意和旋转变换的性质、平移的性质画出图形，根据坐标与图形的变化中的旋转和平移性质解答．
【解答】解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°，得到△CBD′，
则BD′＝OD＝2，
∴点D坐标为（4，6）；
当将点C与点O重合时，点C向下平移4个单位，得到△OAD′′，
∴点D向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），
故答案为：（4，2）．

【点评】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、平移的性质，掌握坐标与图形的变化中的旋转和平移性质是解题的关键．
20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是　答案不唯一（如：AB＝BC，或AC⊥BD等）　．

【分析】要使四边形ABCD是正方形，由题意可知其四个角都是直角，所以还有可能是矩形，使AB＝AC，即可满足题意．
【解答】解：由题意可确定，ABCD为一四个角都是90°的四边形，即可能存在矩形的情况，
若使AB＝AC．可进一步确定其为正方形，
故答案为：AB＝AC．
【点评】解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一对领边相等的矩形是正方形．
三．解答题（共8小题）
21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．

【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD即可；
（2）根据菱形的性质得出AC＝AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．
∴DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝2．
∴在矩形OCED中，
CE＝OD＝．
在Rt△ACE中，
AE＝．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．

【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；
（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD＝DC，从而得出结论．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
23．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，求菱形BEDF的面积．

【分析】（1）由题意可证BE＝DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；
（2）过点D作DH⊥BC于点H，由题意可得BD＝CD＝6，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，可求DH＝3，即可求DF＝BF的长，即可得菱形BEDF的面积．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，DF∥AB
∴四边形DEBF是平行四边形
∵DE∥BC
∴∠EDB＝∠DBF
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC
∴∠ABD＝∠EDB
∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形
∴四边形BEDF为菱形；
（2）如图：过点D作DH⊥BC于点H

∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°
∴∠DBC＝30°＝∠C
∴DB＝DC＝6
∵DH⊥BC，∠C＝30°
∴DC＝2DH＝6
∴DH＝3
∵DF∥AB，
∴∠A＝∠FDC＝90°，且∠C＝30°，DC＝6
∴DC＝DF
∴DF＝2
∵四边形BEDF为菱形
∴BF＝DF＝2
∴S四边形BEDF＝BF×DH＝2×3＝6
【点评】本题考查了菱形的性质与判定，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练运用菱形的性质与判定是本题的关键．
24．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．

【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC＝OD，再根据菱形的判定得出四边形OCED是菱形．
（2）方法一：解直角三角形求出BC＝2．AB＝2，根据矩形和菱形的性质得出，S△COD＝S矩形ABCD＝S菱形OCED，即可求出菱形的面积．
方法二：解直角三角形求出BC＝2．AB＝DC＝2，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF＝BC＝1，OE＝2OF＝2，即可求出菱形的面积．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，………………………………2分
∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OC＝OD，………………………………4分
∴?OCED是菱形；………………………………5分

（2）方法一：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，
∴BC＝2，AB＝2，………………………………6分
∵S△COD＝S矩形ABCD＝S菱形OCED，………………………………8分
∴S菱形OCED＝×2×2＝2．………………………………10分

方法二：解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，
∴BC＝2，
∴AB＝DC＝2，
如图，连接OE，交CD于点F，

∵四边形OCED为菱形，
∴F为CD中点，
∵O为BD中点，
∴OF＝BC＝1，
∴OE＝2OF＝2，
∴S菱形OCED＝×OE×CD＝×2×2＝2．
【点评】本题考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．
25．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13．
求证：四边形ABCD是矩形．

【分析】利用平行线的性质得出∠ADC＝90°，再利用勾股定理的逆定理得出∠B＝90°，进而得出答案．
【解答】证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
又∵△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，
满足132＝52+122，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定以及勾股定理的逆定理，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；

（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；

（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
则周长为4×10cm＝40cm；
面积为10cm×8cm＝80cm2．
【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．
27．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　AH＝AB　；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）

【分析】（1）由三角形全等可以证明AH＝AB，
（2）延长CB至E，使BE＝DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH＝AB，
（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．
【解答】解：（1）如图①AH＝AB．

（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE＝DN．
∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中，，
∴Rt△AEB≌Rt△AND，
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAB+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝45°，
∴∠EAM＝∠NAM＝45°，
在△AEM和△ANM中，，
∴△AEM≌△ANM．
∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN，
∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB＝AH．

（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°．
分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，
由（2）可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD．
设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2
∴52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2（6分）
解得x1＝6，x2＝﹣1．（不符合题意，舍去）
∴AH＝6．


【点评】本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等．
28．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形．

【分析】（1）利用角平分线的性质的得出，∠1＝∠2，进而得出，∠3＝∠2，即可得出OE与OF的大小关系；
（2）首先的很粗四边形AECF是平行四边形，进而得出∠ECF＝90度，再利用矩形的判定得出即可；
（3）由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，进而得出AC⊥MN，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1＝∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，
∴EO＝CO，同理，FO＝CO，
∴EO＝FO．

（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：∵EO＝FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4＝∠5，
又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝×180°＝90°．
即∠ECF＝90度，∴平行四边形AECF是矩形．

（3）解：当△ABC是直角三角形时，即∠ACB＝90°时，四边形AECF会是正方形，
理由：由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵∠ACB＝90°，CE、CN分别是∠ACB与∠ACB的外角平分线，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝45°，
∴AC⊥MN，
∴四边形AECF是正方形．

【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，正确区分它们的定义是解题关键．