2020年春浙教版八年级下册第2章《一元二次方程》单元测试A卷（解析版）

2020年春浙教版八年级下册第2章《一元二次方程》单元测试A卷
考试时间：100分钟 满分：120分
班级：___________姓名：___________座号：___________成绩：___________
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+5y＝2 B．x2+5＝2x
C．3x2+x﹣5＝3x2 D．+3x＝7
2．（3分）若关于x的方程（m+1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠﹣1 B．m＝﹣1 C．m≥﹣1 D．m≠0
3．（3分）将关于x的一元二次方程x（x+2）＝5化成一般式后，a、b、c的值分别是（　　）
A．1，2，5 B．1，﹣2，﹣5 C．1，﹣2，5 D．1，2，﹣5
4．（3分）已知关于x的方程x2+kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则k的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
5．（3分）方程（x+1）2＝4的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣2
6．（3分）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣1＝0，可将方程配方为（　　）
A．（x+1）2＝2 B．（x+1）2＝0 C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2＝0
7．（3分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的解的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个解
8．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0两实数根为x1、x2，则x1+x2＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
9．（3分）某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是x，则可以列出方程（　　）
A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x）2＝720
C．500（1+x2）＝720 D．720（1﹣x）2＝500
10．（3分）在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（　　）
A．6个 B．8个 C．9个 D．12个
11．（3分）代数式5x2﹣4xy+y2﹣6x+10的最小值是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
12．（3分）设x1、x2是方程x2+4x﹣3＝0的两个根，则+的值为（　　）
A． B．﹣ C．3 D．4
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
13．（3分）若x2﹣9＝0，则x＝　 　．
14．（3分）关于x的方程xa﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程，则a＝　 　．
15．（3分）已知x＝3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，那么m＝　 　．
16．（3分）用公式法解一元二次方程，得：x＝，则该一元二次方程是　 　．
17．（3分）一元二次方程x（x﹣3）＝3﹣x的根是　 　．
18．（3分）一元二次方程的x2+2x﹣10＝0两根之和为　 　．
19．（3分）元旦到了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，该班有　 　个同学．
20．（3分）设m∈R，x1，x2是方程x2﹣2mx+1﹣m2＝0的两个实数根，则x12+x22的最小值是　 　．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（6分）解方程：2x2+3x﹣1＝0．
22．（12分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣5＝0
（2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）
23．（8分）证明当a、b为任意数时，代数式a2+b2﹣2a+4b+5的值总不小于零．
24．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0，其根的判别式的值为9，求m的值及这个方程的根．
25．（8分）2019年非洲猪瘟疫情暴发后，猪肉价格不断走高，据统计：2019年9月20日猪肉价格比年初上涨了60%，上涨后购买1千克猪肉需要80元．
（1）填空：年初的猪肉价格是每千克　 　元；
（2）某超市将进货价为每千克65元的猪肉，按80元价格出售，平均一天能销售100千克；经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪内每天有1560元的利润，并且让顾客尽可能得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？
26．（8分）某省2017年有绿地面积9万公顷，该省近几年不断增加绿地面积，2019年达到12.96万公顷．
（1）求该省2017至2019年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2020年该省绿地面积能否达到16万公顷？请说明理由．
27．（10分）已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0．
（1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|＝时，求出a的值．



















参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+5y＝2 B．x2+5＝2x
C．3x2+x﹣5＝3x2 D．+3x＝7
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、化简后为x﹣5，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D、是分式方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（3分）若关于x的方程（m+1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠﹣1 B．m＝﹣1 C．m≥﹣1 D．m≠0
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
即m≠﹣1，
故选：A．
3．（3分）将关于x的一元二次方程x（x+2）＝5化成一般式后，a、b、c的值分别是（　　）
A．1，2，5 B．1，﹣2，﹣5 C．1，﹣2，5 D．1，2，﹣5
【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可．
【解答】解：方程整理得：x2+2x﹣5＝0，
则a，b，c的值分别是1，2，﹣5，
故选：D．
4．（3分）已知关于x的方程x2+kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则k的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把3代入方程求解可得k的值．
【解答】解：把x＝3代入方程x2+kx﹣6＝0得到32+3k﹣6＝0，
解得：k＝﹣1，
故选：B．
5．（3分）方程（x+1）2＝4的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣2
【分析】利用直接开平方的方法解一元二次方程得出答案．
【解答】解：（x+1）2＝4
则x+1＝±2，
解得：x1＝﹣1+2＝1，x2＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：C．
6．（3分）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣1＝0，可将方程配方为（　　）
A．（x+1）2＝2 B．（x+1）2＝0 C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2＝0
【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．
【解答】解：x2+2x﹣1＝0，
x2+2x＝1，
x2+2x+12＝1+12，
（x+1）2＝2，
故选：A．
7．（3分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的解的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个解
【分析】先计算判别式的值，然后判别式的意义进行判断．
【解答】解：∵△＝32﹣4×（﹣1）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
8．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0两实数根为x1、x2，则x1+x2＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】直接根据根与系数的关系求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0两实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
9．（3分）某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是x，则可以列出方程（　　）
A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x）2＝720
C．500（1+x2）＝720 D．720（1﹣x）2＝500
【分析】设平均每月增长率是x，根据该厂今年十月份及十二月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设平均每月增长率是x，
依题意，得：500（1+x）2＝720．
故选：B．
10．（3分）在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（　　）
A．6个 B．8个 C．9个 D．12个
【分析】设有x个队参赛，根据题意列出方程即可求出答案．
【解答】解：设有x个队参赛，
根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，
解得：x＝9或x＝﹣8（舍去），
故选：C．
11．（3分）代数式5x2﹣4xy+y2﹣6x+10的最小值是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】将所给代数式分两组配方，常数项还剩下1，然后根据偶次方的非负性，可得答案．
【解答】解：5x2﹣4xy+y2﹣6x+10
＝4x2﹣4xy+y2+x2﹣6x+9+1
＝（2x﹣y）2+（x﹣3）2+1
∵（2x﹣y）2≥0，（x﹣3）2≥0
∴（2x﹣y）2+（x﹣3）2+1≥1
∴代数式5x2﹣4xy+y2﹣6x+10的最小值是1．
故选：B．
12．（3分）设x1、x2是方程x2+4x﹣3＝0的两个根，则+的值为（　　）
A． B．﹣ C．3 D．4
【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积与两根之和，即可解答．
【解答】解：因为x1、x2是方程x2+4x﹣3＝0的两个根，
所以x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣3．
，
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
13．（3分）若x2﹣9＝0，则x＝　±3　．
【分析】直接利用开平方法解方程得出答案．
【解答】解：∵x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
∴x＝±3．
故答案为：±3．
14．（3分）关于x的方程xa﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程，则a＝　3　．
【分析】根据一元二次方程的定义可得a﹣1＝2，再解即可．
【解答】解：∵关于x的方程xa﹣1+2x﹣5＝0是一元二次方程，
∴a﹣1＝2，
解得：a＝3，
故答案为：3．
15．（3分）已知x＝3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，那么m＝　﹣3　．
【分析】将x＝3代入原方程即可求出m的值．
【解答】解：将x＝3代入x2﹣2x+m＝0，
∴9﹣6+m＝0，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
16．（3分）用公式法解一元二次方程，得：x＝，则该一元二次方程是　3x2+5x+1＝0　．
【分析】根据求根公式确定出方程即可．
【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1，
则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0，
故答案为：3x2+5x+1＝0
17．（3分）一元二次方程x（x﹣3）＝3﹣x的根是　x1＝3，x2＝﹣1　．
【分析】先移项得到x（x﹣3）+x﹣3＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x（x﹣3）+x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0．
所以x1＝3，x2＝﹣1．
故答案为x1＝3，x2＝﹣1．
18．（3分）一元二次方程的x2+2x﹣10＝0两根之和为　﹣2　．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：x2+2x﹣10＝0的两根之和为﹣2，
故答案为：﹣2
19．（3分）元旦到了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，该班有　40　个同学．
【分析】设该班有x个同学，则每个同学需交换（x﹣1）件小礼物，根据全班交换小礼物共1560件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该班有x个同学，则每个同学需交换（x﹣1）件小礼物，
依题意，得：x（x﹣1）＝1560，
解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合题意，舍去）．
故答案为：40．
20．（3分）设m∈R，x1，x2是方程x2﹣2mx+1﹣m2＝0的两个实数根，则x12+x22的最小值是　﹣2　．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由根与系数可知：x1+x2＝2m，x1x2＝1﹣m2，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4m2﹣2+2m2＝6m2﹣2≥﹣2，
故答案为：﹣2
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（6分）解方程：2x2+3x﹣1＝0．
【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：这里a＝2，b＝3，c＝﹣1，
∵△＝9+8＝17，
∴x＝．
22．（12分）解下列方程：
（1）x2+4x﹣5＝0
（2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵x2+4x﹣5＝0，
∴（x+5）（x﹣1）＝0，
则x+5＝0或x﹣1＝0，
解得x＝﹣5或x＝1；

（2）∵）（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣1）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得x＝3或x＝1．
23．（8分）证明当a、b为任意数时，代数式a2+b2﹣2a+4b+5的值总不小于零．
【分析】根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性证明．
【解答】证明：a2+b2﹣2a+4b+5
＝a2﹣2a+1+b2+4b+4
＝（a﹣1）2+（b+2）2，
∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，
∴a2+b2﹣2a+4b+5的值总不小于零．
24．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0，其根的判别式的值为9，求m的值及这个方程的根．
【分析】根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△＝（2m﹣1）2﹣4m2＝9，
∴m＝﹣2，
∴该方程为：x2﹣5x+4＝0，
∴x＝1或x＝4
25．（8分）2019年非洲猪瘟疫情暴发后，猪肉价格不断走高，据统计：2019年9月20日猪肉价格比年初上涨了60%，上涨后购买1千克猪肉需要80元．
（1）填空：年初的猪肉价格是每千克　50　元；
（2）某超市将进货价为每千克65元的猪肉，按80元价格出售，平均一天能销售100千克；经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪内每天有1560元的利润，并且让顾客尽可能得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？
【分析】（1）设今年年初猪肉的价格为每千克x元，根据今年7月20日猪肉的价格＝今年年初猪肉的价格×（1+上涨率），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设猪肉的售价应该下降y元，则每日可售出（100+10y）千克，根据总利润＝每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设今年年初猪肉的价格为每千克x元，
依题意，得：（1+60%）x＝80，
解得：x＝50．
答：今年年初猪肉的价格为每千克50元．
故答案是：50；

（2）设猪肉的售价应该下降y元，则每日可售出（100+10y）千克，
依题意，得：（80﹣65﹣y）（100+10y）＝1560，
整理，得：y2﹣5y+6＝0，
解得：y1＝2，y2＝3．
∵让顾客得到实惠，
∴y＝3．
答：猪肉的售价应该下降3元．
26．（8分）某省2017年有绿地面积9万公顷，该省近几年不断增加绿地面积，2019年达到12.96万公顷．
（1）求该省2017至2019年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2020年该省绿地面积能否达到16万公顷？请说明理由．
【分析】（1）根据增长率问题应用题公式a（1+x）2＝b的形式即可求解；
（2）根据（1）求出的增长率即可求解，再用2020年的绿地面积与16进行比较即可．
【解答】解：设该省2017至2019年绿地面积的年平均增长率为x，根据题意，得
9（1+x）2＝12.96
（1+x）2＝1.44
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）
答：该省2017至2019年绿地面积的年平均增长率为20%．
（2）若年增长率保持不变，2020年该省绿地面积不能达到16万公顷，理由如下：
若年增长率保持不变，2020年该省绿地面积为：
12.96（1+20%）＝15.552＜16，
答：若年增长率保持不变，2020年该省绿地面积不能达到16万公顷．
27．（10分）已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0．
（1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|＝时，求出a的值．
【分析】（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于等于0，即可解答；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2＝，以及x1?x2＝，由|x1﹣x2|＝即可求得a的值．
【解答】（1）证明：∵关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0中，△＝（3﹣2a）2﹣4a（a﹣3）＝9＞0，
∴无论a为何实数，方程总有实数根．

（2）解：如果方程的两个实数根x1，x2，则x1+x2＝，x1?x2＝，
∵|x1﹣x2|＝，
∴＝，
解得a＝±2．
故a的值是﹣2或2．