2.2.3 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程同步练习(含答案)

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2.2　一元二次方程的解法
第3课时　用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程　 　　　　　

知识点1　用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
1.用配方法解方程2y2-5y+2=0.
方程两边同除以2,并将常数项移项,得
　　　　　　　　.?
方程两边同加上　　　　,得?
y2-y+　　　　=-1+　　　　,?
即　　　　=　　　　,?
解得y1=　　　　,y2=　　　　.?
2.方程2x2-4x-3=0配方后写成(x+m)2=b的形式应为 (　　)
A.(x-2)2=7 B.(x-1)2=
C.(x-1)2=5 D.(x-2)2=
3.阅读:用配方法解方程2x2-5x-8=0.
解:2x2-5x-8=0,
x2-5x-8=0, ①　
x2-5x+-2=8+-2, ②　
x-2=, ③　
∴x1=,x2=. ④　
上述解法中有错误吗?若有,请指出,并给出正确的解答过程.





4.用配方法解下列一元二次方程:
(1)4x2+12x+9=0; (2)3x2+6x-1=0;




(3)2x2-3x-3=0.





知识点2　配方法的运用
5.填空:(1)3x2+12x+　　　=3(x+　　　　)2;(2)x2-5x+　　　　=(x-　　　　)2.?
6.若二次三项式4x2+ax+1是一个完全平方式,则a的值是 (　　)
A.8 B.4
C.-4 D.4或-4
7.下面是利用配方法求-2x2-4x-6最值的过程.
解:-2x2-4x-6
=-2(x2+2x)-6 ①
=-2(x2+2x+1)-6-1 ②
=-2(x+1)2-7, ③
∴当x=-1时,代数式有最大值-7. ④
请问上述过程中,从第　　　　步开始出现错误,并给出正确的解答过程.?





8.先用配方法说明:不论x取何值,代数式x2-x+1的值总大于0.再求出当x取何值时,代数式x2-x+1的值最小,最小是多少.








9.[2019·宁波鄞州区期中] 用配方法解下列方程时,配方错误的是 (　　)
A.2x2-7x-4=0化为x-2=
B.2t2-4t+2=0化为(t-1)2=0
C.4y2+4y-1=0化为y+2=
D.x2-x-4=0化为x-2=
10.[2018·六安模拟] 因为(x-1)2≥0,所以x2-2x+1≥0,即x2+1≥2x,由此可得出结论:若x为实数,则x2+1≥2x.运用这个结论求代数式的最大值为 (　　)
A.0 B. C.1 D.
11.若P=a-2,Q=a2+3a(a为实数),则P,Q的大小关系为P　　　　Q(填“>”“<”或“=”).?
12.用配方法解下列一元二次方程:
(1)x(2x+1)=5x+70;



(2)0.4y2+0.8y-1=0;


(3)x(2x-4)=5-6x.



13.解方程(x-1)2-5(x-1)+4=0时,我们可以将x-1看成一个整体,设x-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时,即x-1=1,解得x=2;当y=4时,即x-1=4,解得x=5,所以原方程的解为x1=2,x2=5.利用这种方法解方程:(2x+5)2-4(2x+5)+3=0.








14.已知9x2+6(n+2)x+8n是一个关于x的完全平方式,求常数n的值.










15.阅读材料:把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其中一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.例如:(x-1)2+3,(x-2)2+2x,x-22+x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)按照上面的例子,写出x2-4x+9的三种不同形式的配方;
(2)将a2+ab+b2配方(写出两种不同形式的配方);
(3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.




详解详析
1.y2-y=-1　　　　　　2　
2.B　[解析] 方程2x2-4x-3=0,
变形,得x2-2x=,
配方,得x2-2x+1=,即(x-1)2=.故选B.
3.解:有,第①步错误.正确的解答过程:2x2-5x-8=0可变形为x2-x-4=0,x2-x+=4+-2,x-2=,∴x1=,x2=.
4.解:(1)移项,得4x2+12x=-9.
二次项的系数化为1,得x2+3x=-.
等式两边同时加上一次项系数一半的平方,得
=0,
解得x1=x2=-.
(2)二次项的系数化为1,得x2+2x-=0.
把方程x2+2x-=0的常数项移到等号的右边,得x2+2x=.
方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得
x2+2x+1=+1,
即(x+1)2=,
开方,得x+1=±,
解得x1=-1,x2=--1.
(3)2x2-3x-3=0,
x2-x-=0,
x2-x+=+,
=,
x-=±,
解得x1=,x2=.
5.(1)12　2　(2)　5
6.D
7.解:②
正确的解答过程:
-2x2-4x-6=-2(x2+2x)-6=-2(x2+2x+1)-6+2=-2(x+1)2-4,
∴当x=-1时,代数式有最大值-4.
8.解:x2-x+1=x2-x++1-=+.∵≥0,∴+>0,即不论x取何值,代数式x2-x+1的值总大于0.
当=0,即x=时,x2-x+1有最小值,最小值是.
9.D　[解析] A.2x2-7x-4=0化为x-2=,配方正确,故本选项不符合题意;
B.2t2-4t+2=0化为(t-1)2=0,配方正确,故本选项不符合题意;
C.4y2+4y-1=0化为y+2=,配方正确,故本选项不符合题意;
D.x2-x-4=0应化为x-2=,配方错误,故本选项符合题意.
故选D.
10.B　[解析] ∵x2+1≥2x,要求代数式的最大值,
∴x必须大于0,
∴≤,即≤,
∴的最大值为.
故选B.
11.<　[解析] ∵P=a-2,Q=a2+3a(a为实数),
∴Q-P=a2+3a-a+2
=a2+2a+2
=(a+1)2+1.
∵(a+1)2≥0,
∴(a+1)2+1≥1,
∴Q-P≥1,
∴Q>P,即P12.解:(1)x(2x+1)=5x+70.
去括号,得2x2+x=5x+70.
移项、合并同类项,得2x2-4x=70.
两边同时除以2,得x2-2x=35.
配方,得x2-2x+1=35+1,即(x-1)2=36.
解得x1=7,x2=-5.
(2)0.4y2+0.8y-1=0,
0.4y2+0.8y=1,
y2+2y=2.5,
y2+2y+1=2.5+1,
(y+1)2=,
y+1=±,
y=-1±,
即y1=-1+,y2=-1-.
(3)x(2x-4)=5-6x,
整理,得2x2+2x=5,
x2+x=,
x2+x+=+,
=,
x+=±,
即x1=,x2=.
13.解:设2x+5=y,则原方程可化为y2-4y+3=0,配方,得y2-4y+4=1,∴y1=3,y2=1.
当y=3时,即2x+5=3,解得x=-1;
当y=1时,即2x+5=1,解得x=-2.
∴原方程的解为x1=-1,x2=-2.
14.解:∵9x2+6(n+2)x+8n=9
是完全平方式,
∴=,即n2-4n+4=0,
解得n1=n2=2.∴常数n的值为2.
15.解:(1)x2-4x+9的三种不同形式的配方分别为x2-4x+9=(x-2)2+5;
x2-4x+9=(x-3)2+2x;
x2-4x+9=x-32+x2.
(2)答案不唯一,如a2+ab+b2=(a+b)2-ab;
a2+ab+b2=a+b2+b2.
(3)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,
a2-ab+b2+(b2-4b+4)+c2-2c+1=0,
a-b2+(b-2)2+(c-1)2=0,
∴a-b=0,b-2=0,c-1=0,
∴a=1,b=2,c=1,
则a+b+c=4.
































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