第2章 一元二次方程小结与复习(含答案)

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小结　 　　　　　
类型之一　一元二次方程的相关概念
1.将一元二次方程5x2-1=4x化成一般形式后,二次项系数和一次项系数分别为 (　　)
A.5,-4 B.5,4 C.5,1 D.5x2,-4x
2.若方程(m2-9)x2-3mx+4=0是关于x的一元二次方程,则m满足的条件是 (　　)
A.m≠3 B.|m|≠3
C.m≠0 D.m≠9
3.[2019·遂宁] 已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a的值为 (　　)
A.0 B.±1 C.1 D.-1
4.若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,则m+n的值为　　　　.?
类型之二　一元二次方程的解法
5.用配方法解方程x2-4x+2=0,下列配方正确的是 (　　)
A.(x-2)2=2 B.(x+2)2=2
C.(x-2)2=-2 D.(x-2)2=6
6.若(x-5)2=3(x-5),则x的值是 (　　)
A.8 B.5
C.3或6 D.5或8
7.[2019·嘉兴] 在x2+(　　)+4=0的括号中添加一个关于x的一次项,使方程有两个相等的实数根,则添加的一次项为　　　　.?
8.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是　　　　　　.?
9.对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算“※”如下:a※b=a2-2ab,如果x※1=1,那么x=　　　　　　　.?
10.解方程:
(1)x2+2x=3; (2)5x(3x+2)=6x+4.



类型之三　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
11.[2019·天津红桥区模拟] 关于x的一元二次方程x2+x+n=0(m≠0)有两个相等的实数根,则的值为 (　　)
A.4 B.-4 C. D.-
12.[2018·眉山] 若α,β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根,则+的值是 (　　)
A. B.- C.- D.
13.若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根,则一次函数y=(m+1)x+m-1的图象不经过 (　　)
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
14.已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0.
(1)求证:m为除0外的任意值时,方程总有实数根;
(2)当m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?







类型之四　一元二次方程的应用
15.为了更好“精准扶贫”,某市2017年投入资金1200万元用于异地安置,此后投入资金逐年增加,2017年到2019年,该市投入异地安置资金的总金额达5700万元,设平均每年比上一年增长的百分率是x,根据题意所列方程正确的是 (　　)
A.1200(1+x)2=5700
B.1200(1+2x)=5700
C.1200(1+x)+1200(1+x)2=5700
D.1200+1200(1+x)+1200(1+x)2=5700

16.如图2-X-1,在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,点E从点A出发,以1个单位/秒的速度向点B移动,同时,点F从点B出发,以2个单位/秒的速度向点C移动,一点到达终点,另一点也随之停止运动,　　　　秒后,△EBF的面积为5个平方单位.?

图2-X-1
17.已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40 cm,宽CD为30 cm,按图2-X-2所示剪掉2个小正方形和2个小长方形(即图中阴影部分),剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子,设剪掉的小正方形边长为x cm.(纸板的厚度忽略不计)
(1)EF=　　　　cm,GH=　　　　cm;(用含x的代数式表示)?
(2)若折成的长方体盒子底面M的面积为300 cm2,求剪掉的小正方形的边长.

图2-X-2


18.某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元.第一周以每个10元的价格售出200个,第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售.根据市场调查,单价每降低1元,每周可多售出50个,但售价不得低于进价.单价降低x元销售,销售一周后,商店对剩余旅游纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出.如果这批旅游纪念品共获利1250元,那么第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?






类型之五　数学活动
19.请阅读下列材料:
问题:已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=.
把x=代入已知方程,得+-1=0,
化简,得y2+2y-4=0,
故所求方程为y2+2y-4=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):
(1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别为已知方程根的相反数,则所求方程为　　　　　　　　　;?
(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.








详解详析
1.A　2.B
3.D　[解析] ∵关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,
∴a2-1=0,a-1≠0,
则a的值为a=-1.
故选D.
4.-2　5.A　6.D　
7.4x或-4x
8.x+6=-4　
9.1+或1-
10.解:(1)x1=-3,x2=1.
(2)5x(3x+2)=6x+4,
5x(3x+2)=2(3x+2),
(5x-2)(3x+2)=0,
解得x1=,x2=-.
11.C　[解析] ∵关于x的一元二次方程x2+x+n=0(m≠0)有两个相等的实数根,
∴b2-4ac=()2-4n=0,
解得m=4n,
∴=.
故选C.
12.C　[解析] 由根与系数的关系可知,α+β=-,αβ=-3,∴+====-.
故选C.
13.D　[解析] 因为一元二次方程x2-2x-m=0无实数根,所以b2-4ac=(-2)2+4m=4+4m<0,所以m<-1,所以m+1<0,m-1<0,所以一次函数y=(m+1)x+m-1的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限.故选D.
14.解:(1)证明:∵方程为一元二次方程,∴m≠0.b2-4ac=[-(m+2)]2-8m=m2-4m+4=(m-2)2.
∵(m-2)2≥0,
∴b2-4ac≥0,
∴m为除0外的任意值时,方程总有实数根.
(2)解关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0,得
x==,
∴x1=,x2=1.
∵方程的两个根都是正整数,∴是正整数,∴m=1或m=2.
∵两个根不相等,
∴m≠2,
∴m=1.
15.D　[解析] 设该市投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据题意,得
1200+1200(1+x)+1200(1+x)2=5700.
故选D.
16.1
17.解:(1)EF=AB-AE-BF=(30-2x)cm,GH=BC-BG=(20-x)cm.
故答案为(30-2x),(20-x).
(2)依题意,得(30-2x)(20-x)=300,
整理,得x2-35x+150=0,
解得x1=5,x2=30(不合题意,舍去).
答:剪掉的小正方形的边长为5 cm.
18.解:根据题意,得200×(10-6)+(10-x-6)·(200+50x)+(4-6)[600-200-(200+50x)]=1250.整理,得x2-2x+1=0.
解得x1=x2=1.10-1=9(元).
答:第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元.
19.解:(1)设所求方程的根为y,则y=-x,
所以x=-y.
把x=-y代入已知方程,得y2-y-2=0,
故所求方程为y2-y-2=0.
故答案为y2-y-2=0.

(2)设所求方程的根为y,则y=(x≠0),于是x=(y≠0).
把x=代入方程ax2+bx+c=0,
得a2+b·+c=0,
去分母,得a+by+cy2=0.
若c=0,方程ax2+bx+c=0有一个根为0,不符合题意,
∴c≠0,
故所求方程为cy2+by+a=0(c≠0).







































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