第一章 二次根式单元综合能力测试卷（含解析）

第一章 综合能力测试卷
（时间120分钟 满分120分）
一．选择题（每小题3分，共36分）
1．（2019?恩施市二模）使式子有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠±1 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠1
2．（2019?大庆二模）对于实数a，b下列判断正确的是（　　）
A．若|a|＝|b|，则 a＝b B．若a2＞b2，则 a＞b
C．若，则a＝b D．若，则a＝b
3．（2019?高邮市一模）根据《九章算术》的记载中国人最早使用负数，下列四个数中的负数是（　　）
A．|﹣2| B．（﹣2）2 C． D．
4．（2019?呼和浩特模拟）下列各式在有意义情况下的变形中，正确的是（　　）
A．（﹣a2）3﹣5a3?a3＝﹣4a6
B．2x2+3x4＝5x6
C．
D．
5．（2019?中原区校级模拟）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣，其结果是（　　）
A．﹣2a B．2a C．2b D．﹣2b
6．（2019?凉州区校级二模）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B．x C． D．
7．（2019秋?密云区期末）计算的结果为（　　）
A． B． C． D．2
8．（2019秋?覃塘区期末）计算4+3﹣的结果是（　　）
A． B． C． D．
9．（2019秋?郴州期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2019秋?永嘉县期中）把四张形状大小完全相同宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为21cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）
A.421cm B. 16cm C.2（21+4）cm D. 4（21?4）cm
二．填空题（每小题3分，共24分）
11．（2019秋?禅城区期末）计算：＝　 　．
12．（2019?洛龙区二模）计算：＝　 　．
13．（2019?东平县一模）已知x，y为实数，y＝，则x﹣6y的值　 　
14．（2019?河池三模）计算：6÷×＝　 　．
15．（2019?阳江一模）将化简得　 　．
16．（2019?青山区模拟）计算：的结果为　 　．
17．（2019?建邺区校级二模）计算（﹣）×+2的结果是　 　．
18．（2019?武侯区模拟）已知x＝﹣，y＝+，则代数式x2﹣2xy+y2的值是　 　．
三．解答题（共60分）
19．（8分）（2019秋?茂名期中）已知+＝b+8．
（1）求a、b的值；
（2）求a2﹣b2的平方根和a+2b的立方根．
20．（8分）（2019秋?浦东新区校级月考）有这样一类题目：化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，并且mn＝，那么将a±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而将化简．例如：化简
因为
所以
仿照上例化简下列各式：
（1）；
（2）．
21．（6分）（2019春?偏关县期中）小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：
∵，①
，②
∴．③
∴2＝﹣2．④
（1）上面的推导过程中，从第　 　步开始出现错误（填序号）；
（2）写出该步的正确结果．
22．（10分）（2019春?鱼台县期末）计算
（1）；
（2）；
23．（10分）（2019秋?榆次区期中）计算：
（1）
（2）
24．（10分）（2019秋?锦江区校级期中）已知a＝，b＝
（1）化简a，b；
（2）求a2﹣4ab+b2的值．
25．（8分）（2016?太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．
我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于　 　．
（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．

第一章 综合能力测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2019?恩施市二模）使式子有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠±1 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠1
【分析】直接利用二次根式有意义、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵有意义，
∴x+1≥0且x2﹣1≠0，
解得：x＞﹣1且x≠1．
故选：D．
2．（2019?大庆二模）对于实数a，b下列判断正确的是（　　）
A．若|a|＝|b|，则 a＝b B．若a2＞b2，则 a＞b
C．若，则a＝b D．若，则a＝b
【分析】根据绝对值的意义，不等式的性质以及二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：（A）若|a|＝|b|，则a＝b或a+b＝0，故A错误；
（B）若a＝﹣5，b＝1时，则不成立，故B错误；
（C）若＝b，则|a|＝b，故C错误；
故选：D．
3．（2019?高邮市一模）根据《九章算术》的记载中国人最早使用负数，下列四个数中的负数是（　　）
A．|﹣2| B．（﹣2）2 C． D．
【分析】将各数化简即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝2，故A不是负数；
（B）原式＝4，故B不是负数；
（D）原式＝2，故D不是负数；
故选：C．
4．（2019?呼和浩特模拟）下列各式在有意义情况下的变形中，正确的是（　　）
A．（﹣a2）3﹣5a3?a3＝﹣4a6
B．2x2+3x4＝5x6
C．
D．
【分析】根据幂的乘方与合并同类项法则、二次根式的性质和配方法逐一求解可得．
【解答】解：A．（﹣a2）3﹣5a3?a3＝﹣a6﹣5a6＝﹣6a6，此选项错误；
B．2x2与3x4不是同类项，不能合并；
C．，此选项正确；
D．﹣x2﹣x+1＝﹣（x+）2+，此选项错误；
故选：C．
5．（2019?中原区校级模拟）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣，其结果是（　　）
A．﹣2a B．2a C．2b D．﹣2b
【分析】根据二次根式的性质可得＝|a|，再结合绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可．
【解答】解：由数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，
则a+b＜0，b﹣a＜0，
∴原式＝﹣（a+b）+（b﹣a）
＝﹣a﹣b+b﹣a
＝﹣2a，
故选：A．
6．（2019?凉州区校级二模）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B．x C． D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式＝，不符合题意；
B、x为最简二次根式，符合题意；
C、＝2，不符合题意；
D、＝，不符合题意，
故选：B．
7．（2019秋?密云区期末）计算的结果为（　　）
A． B． C． D．2
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝＝2．
故选：D．
8．（2019秋?覃塘区期末）计算4+3﹣的结果是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝2+﹣2＝，
故选：A．
9．（2019秋?郴州期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝＝，不符合题意；
C、原式＝＝×，不符合题意；
D、原式＝2﹣1＝1，符合题意，
故选：D．
10．（2019秋?永嘉县期中）把四张形状大小完全相同宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为21cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）
A.421cm B. 16cm C.2（21+4）cm D. 4（21?4）cm
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，
根据题意得：x+2y＝，
则图②中两块阴影部分周长和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．
故选：B．
二．填空题
11．（2019秋?禅城区期末）计算：＝　3　．
【分析】首先计算分子上的乘法，再分子分母同乘进行分母有理化即可．
【解答】解：原式＝＝＝3，
故答案为：3．
12．（2019?洛龙区二模）计算：＝　　．
【分析】根据实数的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+1×1
＝，
故答案为：
13．（2019?东平县一模）已知x，y为实数，y＝，则x﹣6y的值　﹣2　
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，
解得x＝﹣3，
∴y＝，
∴x﹣6y＝﹣3﹣6×＝﹣3+1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（2019?河池三模）计算：6÷×＝　6　．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝6××
＝6．
故答案为：6．
15．（2019?阳江一模）将化简得　　．
【分析】先分母有理化，再求出即可．
【解答】解：＝
＝，
故答案为：．
16．（2019?青山区模拟）计算：的结果为　2　．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝2﹣2+2
＝2，
故答案为：2
17．（2019?建邺区校级二模）计算（﹣）×+2的结果是　　．
【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣+2
＝﹣+2
＝+．
故答案为+．
18．（2019?武侯区模拟）已知x＝﹣，y＝+，则代数式x2﹣2xy+y2的值是　20　．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：∵x＝﹣，y＝+，
∴x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝（﹣﹣﹣）2＝（2）2＝20．
故答案是：20．
三．解答题
19．（2019秋?茂名期中）已知+＝b+8．
（1）求a、b的值；
（2）求a2﹣b2的平方根和a+2b的立方根．
【分析】（1）关键二次根式有意义的条件即可求解；
（2）将（1）中求得的值代入即可求解．
【解答】解：（1）由题意得a﹣17≥0，且17﹣a≥0，得a﹣17＝0，
解得a＝17，
把a＝17代入等式，得b+8＝0，
解得b＝﹣8．
答：a、b的值分别为17、﹣8．
（2）由（1）得a＝17，b＝﹣8，
±＝±＝±15，
＝＝＝1．
答：a2﹣b2的平方根为±15，
a+2b的立方根为1．
20．（2019秋?浦东新区校级月考）有这样一类题目：化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，并且mn＝，那么将a±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而将化简．例如：化简
因为
所以
仿照上例化简下列各式：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用完全平方公式把9+4变形为（2+）2，然后利用二次根式的性质化简即可；
（2）利用完全平方公式把18﹣2变形为（﹣）2，然后利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝．
21．（2019春?偏关县期中）小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：
∵，①
，②
∴．③
∴2＝﹣2．④
（1）上面的推导过程中，从第　②　步开始出现错误（填序号）；
（2）写出该步的正确结果．
【分析】（1）②中等式的左边是负数，而右边是正数，据此可得答案；
（2）根据二次根式的性质求解可得．
【解答】解：（1）上面的推导过程中，从第②步开始出现错误，
故答案为：②；
（2）﹣2＝﹣×＝﹣＝﹣．
22．（2019春?鱼台县期末）计算
（1）；
（2）；
【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案．
（2）根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2×÷3
＝；
（2）原式＝÷×3
＝9．
23．（2019秋?榆次区期中）计算：
（1）
（2）
【分析】（1）直接化简二次根式进而利用二次根式乘除运算法则化简得出答案；
（2）直接化简二次根式进而利用二次根式加减运算法则化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣4
＝10﹣4；
（2）原式＝4﹣9×+×4
＝4﹣+
＝．
24．（2019秋?锦江区校级期中）已知a＝，b＝
（1）化简a，b；
（2）求a2﹣4ab+b2的值．
【分析】（1）利用分母有理化求解可得；
（2）将化简后的a、b的值代入原式＝（a﹣b）2﹣2ab计算可得．
【解答】解：（1）a＝＝＝＝﹣2，
b＝＝＝＝+2；
（2）原式＝（a﹣b）2﹣2ab
＝（﹣﹣2）2﹣2×（﹣2）（+2）
＝（﹣4）2﹣2×（5﹣4）
＝16﹣2
＝14．
25．（2016?太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．
我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于　6　．
（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．
【分析】（1）把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解；
（2）把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解．
【解答】解：（1）p＝＝＝9，
S＝
＝
＝6．
答：这个三角形的面积等于6．
（2）S＝
＝
＝
＝
＝．
答：这个三角形的面积是．
故答案为：6．