2020年春浙教版八年级数学下册第4章《平行四边形》单元测试A卷（解析版）

2020年春浙教版八年级下册第4章《平行四边形》单元测试A卷
考试时间：100分钟 满分：120分
班级：___________姓名：___________学号：___________成绩：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
2．（3分）用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于60°”时，第一步应是（　　）
A．假设三角形三内角中至多有一个角不大于60°
B．假设三角形三内角中至少有一个角不小于60°
C．假设三角形三内角中至少有一个角大于60°
D．假设三角形三内角中没有一个角不大于60°（即假设三角形三内角都大于60°）
3．（3分）如图，在?ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　）

A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
4．（3分）如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（　　）

A．180° B．360° C．540° D．720°
5．（3分）一个多边形的内角和是540°，这个多边形的边数是（　　）
A．4 B．5
C．6 D．以上都不可能
6．（3分）六边形共有几条对角线（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E、F分别为AB、AD的中点，BC＝2，CD＝，则EF的长为（　　）

A． B． C． D．
8．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD B．OA＝OC，AB∥CD
C．AB＝CD，OA＝OC D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD
9．（3分）已知?ABCD的周长是22，△ABC的周长是17，则AC的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有?ADCE中，DE的最小值是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8m，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于　 　厘米．

12．（4分）△ABC与?DEFG按如图方式放置，点D、G分别在边AB、AC上，点E、F分别在边BC上，若BE＝DE，CF＝FG，则∠A的大小为　 　度．

13．（4分）如图，在?ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.5，则四边形BCEF的周长为　 　．

14．（4分）如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是　 　．

15．（4分）如图，点O是?ABCD的对称中心，AD＞AB，点E、F在边AB上，且AB＝2EF，点G、H在边BC边上，且BC＝3GH，则△EOF和△GOH的面积比为　 　．

16．（4分）定义：几个全等的正多边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形我们称作正多边形的环状连接．
如图，我们可以看作正六边形的环状连接，中间围成一个边长相等的正六边形；
若正八边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为　 　；
若边长为1的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为　 　．

17．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝　 　秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形．

18．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，G，H为BC上的点连接DH，EG．若AB＝5cm，BC＝6cm，GH＝3cm，则图中阴影部分的面积为　 　．

三．解答题（共7小题，满分58分）
19．（6分）用反证法证明（填空）：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2＝180°．
求证：l1　 　l2
证明：假设l1　 　l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P　 　180°　 　
所以∠1+∠2　 　180°，这与　 　矛盾，故　 　不成立．
所以　 　．

20．（6分）指出下列图形哪些是中心对称图形？并写出每个图形的旋转角．（最小旋转角度）

21．（6分）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C＝45°，BD＝4时，联结DF，求线段DF的长．

22．（8分）已知：如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AE＝CF，BG＝DH．
（1）若AC＝6，BD＝8，试求AD的取值范围；
（2）若AC＝AD，∠CAD＝50°，试求∠ABC的度数；
（3）求证：四边形EHFG是平行四边形．

23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°
（1）求AO的长；
（2）求△BOC的周长；
（3）求四边形ABCD的周长；
（4）求AB边上的高．

24．（12分）小明家准备装修厨房，打算铺设如图1的正方形地砖，该地砖既是轴对称图形也是中心对称图形，铺设效果如图2所示．经测量图1发现，砖面上四个小正方形的边长都是4cm，AB＝JN＝2cm，中间的多边形CDEFGHIK是正八边形．
（1）求MA的长度；
（2）求正八边形CDEFGHIK的面积；
（3）已知小明家厨房的地面是边长为3.14米的正方形，用该地砖铺设完毕后，最多形成多少个正八边形？（地砖间缝隙的宽度忽略不计）

25．（12分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm，∠C＝30°．点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣D﹣C向点C运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为ts．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝0.5s时，△APQ的面积；
（3）当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，求t的值．






2020年春浙教版八年级下册第4章《平行四边形》单元测试A卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
2．（3分）用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于60°”时，第一步应是（　　）
A．假设三角形三内角中至多有一个角不大于60°
B．假设三角形三内角中至少有一个角不小于60°
C．假设三角形三内角中至少有一个角大于60°
D．假设三角形三内角中没有一个角不大于60°（即假设三角形三内角都大于60°）
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：不大于的反面是大于，
则第一步应是假设三角形三内角都大于60°．
故选：D．
3．（3分）如图，在?ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　）

A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB＝BE，根据AD、AB的值，求出EC的长．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB＝3cm，
∵BC＝AD＝5cm，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2cm，
故选：B．
4．（3分）如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（　　）

A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】根据多边形的内角和公式求出即可．
【解答】解：图形是五边形，
内角和为（5﹣2）×180°＝540°．
故选：C．
5．（3分）一个多边形的内角和是540°，这个多边形的边数是（　　）
A．4 B．5
C．6 D．以上都不可能
【分析】n边形的内角和公式为（n﹣2）?180°，由此列方程求n．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）?180°＝540°，
解得n＝5．
故选：B．
6．（3分）六边形共有几条对角线（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据对角线公式计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：＝9，
则六边形共有9条对角线，
故选：D．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E、F分别为AB、AD的中点，BC＝2，CD＝，则EF的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接BD，利用勾股定理列式求出BD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答．
【解答】解：连接BD，
∵BC＝2，CD＝，∠C＝90°，
∴BD＝＝，
∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴BD＝EF＝，
故选：D．

8．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD B．OA＝OC，AB∥CD
C．AB＝CD，OA＝OC D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD
【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
B、∵OA＝OC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
C、AB＝CD，OA＝OC，
∴四边形ABCD不是平行四边形．故不能判定这个四边形是平行四边形；
D、∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形．
故选：C．
9．（3分）已知?ABCD的周长是22，△ABC的周长是17，则AC的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由?ABCD的周长是22，△ABC的周长是17，根据平行四边形的性质，可得AB+BC＝11，AB+BC+AC＝17，继而求得答案．
【解答】解：∵?ABCD的周长是22，△ABC的周长是17，
∴AB+BC＝11，AB+BC+AC＝17，
∴AC＝17﹣11＝6，
故选：B．

10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有?ADCE中，DE的最小值是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．
【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝3，
∴DE＝2OD＝6．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8m，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于　4　厘米．

【分析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝12cm，AD∥BC，得出∠DAE＝∠BEA，证出∠BEA＝∠BAE，得出BE＝AB，即可得出CE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝12cm，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB＝8cm，
∴CE＝BC﹣BE＝4cm；
故答案为：4
12．（4分）△ABC与?DEFG按如图方式放置，点D、G分别在边AB、AC上，点E、F分别在边BC上，若BE＝DE，CF＝FG，则∠A的大小为　90　度．

【分析】由题中条件可得∠B＝∠BDE，∠C＝∠CGF，进而再利用外角的性质及平行四边形邻角互补，即可得出结论．
【解答】解：∵BE＝DE，CF＝FG，
∴∠B＝∠BDE，∠C＝∠CGF，
∠DEF＝∠B+∠BDE＝2∠B，则∠EFG＝2∠C，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴∠DEF+∠EFG＝180°，
∴（∠DEF+∠EFG）＝∠B+∠C＝90°，
∴∠A＝90°．
故答案为：90．
13．（4分）如图，在?ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.5，则四边形BCEF的周长为　10　．

【分析】根据平行四边形的中心对称性，可知EF把平行四边形分成两个相等的部分，先求平行四边形的周长，再求EF的长，即可求出四边形BCEF的周长．
【解答】解：根据平行四边形的中心对称性得：OF＝OE＝1.5，
∵?ABCD的周长＝（4+3）×2＝14，
∴四边形BCEF的周长＝×?ABCD的周长+3＝10．
故答案为：10．
14．（4分）如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是　18　．

【分析】根据三角形中位线定理得到AC＝2DE＝5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，
AC2+BC2＝52+122＝169，
AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝BD，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18，
故答案为：18．
15．（4分）如图，点O是?ABCD的对称中心，AD＞AB，点E、F在边AB上，且AB＝2EF，点G、H在边BC边上，且BC＝3GH，则△EOF和△GOH的面积比为　3：2　．

【分析】连接AC、BD，根据平行四边形的性质得到S△AOB＝S△BOC，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接AC、BD，
∵点O是?ABCD的对称中心，
∴AC、BD交于点O，
∴S△AOB＝S△BOC，
∵AB＝2EF，
∴S△EOF＝S△AOB，
∵BC＝3GH，
∴S△GOH＝S△BOC，
∴S△EOF：S△GOH＝3：2，
故答案为：3：2．

16．（4分）定义：几个全等的正多边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形我们称作正多边形的环状连接．
如图，我们可以看作正六边形的环状连接，中间围成一个边长相等的正六边形；
若正八边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为　4　；
若边长为1的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为　30　．

【分析】根据正多边形的内角和公式（n﹣2）?180°，可求出正多边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数．
【解答】解：正八边形作环状连接，一个公共点处组成的角度为270°，
故如果要密铺，则需要一个内角为90°的正多边形，
而正方形的内角为90°，
所以正八边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为4；
若边长为1的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，
则一个公共点处组成的角度为360°﹣60°＝300°，
所以正n边形的一个内角是150°，
所以（n﹣2）×180＝150n，
解得n＝12，
所以边长为1的正十二边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为30．
故答案为：4，30．
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝　3或6　秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形．

【分析】由平行四边形的对边相等，即：PD＝CQ，建立方程即可得出结论；
【解答】解：由运动知，AP＝3t，CQ＝t，
∴DP＝AD﹣AP＝12﹣3t，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD＝CQ，
∴12﹣3t＝t，
∴t＝3秒；
当P运动到AD线段以外时，AP＝3t，CQ＝t，
∴DP＝3t﹣12，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD＝CQ，
∴3t﹣12＝t，
∴t＝6秒，
故答案为：3或6
18．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，G，H为BC上的点连接DH，EG．若AB＝5cm，BC＝6cm，GH＝3cm，则图中阴影部分的面积为　6cm2　．

【分析】连接DE，作AF⊥BC于F，根据三角形中位线定理求出DE，根据勾股定理求出AF，根据相似三角形的判定定理和性质定理计算即可．
【解答】解：连接DE，作AF⊥BC于F，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝BC＝3，DE∥BC，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝BC＝3，
在Rt△ABF中，AF＝＝4，
∴△ABC的面积＝×6×4＝12，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积＝12×＝3，
∴四边形DBCE的面积＝12﹣3＝9，
△DOE的面积+△HOG的面积＝×3×2＝3，
∴图中阴影部分的面积＝9﹣3＝6（cm2），
故答案为：6cm2．

三．解答题（共7小题，满分58分）
19．（6分）用反证法证明（填空）：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2＝180°．
求证：l1　∥　l2
证明：假设l1　不平行　l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P　＝　180°　（三角形内角和定理）　
所以∠1+∠2　＜　180°，这与　已知　矛盾，故　假设　不成立．
所以　l1∥l2　．

【分析】用反证法证明问题，先假设结论不成立，即l1不平行l2，根据三角形内角和定理，可得∠1+∠2+∠P＝180°，与已知相矛盾，从而证得l1与l2平行．
【解答】证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P＝180°（三角形内角和定理），
所以∠1+∠2＜180°，
这与∠1+∠2＝180°矛盾，故假设不成立．
所以结论成立，l1∥l2．

20．（6分）指出下列图形哪些是中心对称图形？并写出每个图形的旋转角．（最小旋转角度）

【分析】利用中心对称图形的定义求解．
【解答】解：（1）（2）（3）（7）（8）是中心对称图形；
旋转角分别为：60°，60°，60°，120°，120°，120°60°．
21．（6分）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C＝45°，BD＝4时，联结DF，求线段DF的长．

【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，证出∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，得出∠DEG＝∠C，证出∠F＝∠DEG，得出BF∥DE，即可得出结论；
（2）证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF＝BE＝BD＝2，作FM⊥BD于M，连接DF，则△BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出FM＝BM＝BF＝2，得出DM＝6，在Rt△DFM中，由勾股定理求出DF即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG＝∠C，
∵BE＝BF，
∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC，
∴∠F＝∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形；
（2）解：∵∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝BE＝BD＝2，
作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM＝BM＝BF＝2，
∴DM＝6，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF＝＝2，
即D，F两点间的距离为2．

22．（8分）已知：如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AE＝CF，BG＝DH．
（1）若AC＝6，BD＝8，试求AD的取值范围；
（2）若AC＝AD，∠CAD＝50°，试求∠ABC的度数；
（3）求证：四边形EHFG是平行四边形．

【分析】（1）在△AOD中求出OA、OD，即可利用三边关系确定AD的范围；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，可知∠ABC＝∠ADC，求出∠ADC即可；
（3）只要证明OE＝OF，OG＝OG即可解决问题；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝3，OD＝BD＝4，
∴1＜AD＜7．

（2）∵CA＝AD，∠CAD＝50°，
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣50°）＝65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝65°．

（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AE＝CF，BG＝DH，
∴OE＝OF，OG＝OH，
∴四边形EHFG是平行四边形．

23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°
（1）求AO的长；
（2）求△BOC的周长；
（3）求四边形ABCD的周长；
（4）求AB边上的高．

【分析】（1）由平行四边形的性质可知AO＝AC；
（2）由平行四边形的性质可得BC＝AD，结合条件可求得△BOC的周长；
（3）在△ABD中可求得AB，进一步可求得四边形ABCD的周长；
（4）设AB边上的高为h，由面积相等可知AB?h＝AD?BD，可求得h．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝AC＝×26＝13；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝12，CO＝AO＝13，
∴BC+BO+CO＝12+13+5＝30，
即△BOC的周长为30；
（3）∵∠ADB＝90°，AD＝12，BD＝BO+DO＝10，
∴在Rt△ABD中由勾股定理可得AB＝＝＝2，
∴四边形ABCD周长为2（AB+AD）＝2×（2+12）＝4+24；
（4）设AB边上的高为h，
则S四边形ABCD＝AB?h＝AD?BD，
即2h＝12×10，
解得h＝，
即AB边上的高为．
24．（12分）小明家准备装修厨房，打算铺设如图1的正方形地砖，该地砖既是轴对称图形也是中心对称图形，铺设效果如图2所示．经测量图1发现，砖面上四个小正方形的边长都是4cm，AB＝JN＝2cm，中间的多边形CDEFGHIK是正八边形．
（1）求MA的长度；
（2）求正八边形CDEFGHIK的面积；
（3）已知小明家厨房的地面是边长为3.14米的正方形，用该地砖铺设完毕后，最多形成多少个正八边形？（地砖间缝隙的宽度忽略不计）

【分析】（1）连接BK和NC，两线的交点为O，根据正方形的性质和勾股定理求出ON，即可求出答案；
（2）作辅助线得出正方形和直角三角形，分别求出正方形和直角三角形的面积，即可得出答案；
（3）求出正方形地砖的边长，求出其面积，再求出小明家厨房的地面的面积，再求出答案即可．
【解答】解：（1）连接BK和NC，两线的交点为O，
∵四边形BCKN是正方形，
∴∠NOB＝90°，OB＝ON，
∵BN＝4cm，
∴由勾股定理得：BO＝ON＝2cm，
∵JN＝2cm，
∴AM＝JO＝（2+2）cm；

（2）如图，作小正方形的对角线，组成正方形ORZQ，
则正方形的边长为（2+4+2）cm，即为（4+4）cm，
所以正八边形CDEFGHIK的面积为S正方形OQZR﹣4S△BOC＝（4+4）2﹣4××2×2＝（32+32）cm2；

（3）正方形地砖的边长为：2×（2+2）cm+（4+4）cm＝（8+8）cm，
∵3.14米＝314cm，
∴3142÷（8+8）2≈264，
∵162＜264，
∴用该地砖铺设完毕后，最多形成32×32＝1024个正八边形．
25．（12分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm，∠C＝30°．点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣D﹣C向点C运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为ts．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝0.5s时，△APQ的面积；
（3）当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，求t的值．

【分析】（1）过点B作BE⊥CD于点E，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解；
（2）过点Q作QM⊥AP，分别计算出t＝0.5s时，AP，AQ和QM的长，则按三角形面积公式计算即可；
（3）分点P在线段AB上，点Q在线段AD上和点P在线段BC上，点Q在线段CD上，两种情况计算即可．
【解答】解：（1）平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm
∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2cm
如图，过点B作BE⊥CD于点E，

∵∠C＝30°
∴BE＝BC＝1cm
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BE＝4×1＝4（cm2）
答：平行四边形ABCD的面积为4cm2．
（2）当t＝0.5s时，
AP＝2×0.5＝1cm，AQ＝1×0.5＝0.5cm
如图，过点Q作QM⊥AP

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C
∵∠C＝30°
∴∠A＝30°
∴QM＝AQ＝×0.5＝（cm）
∴△APQ的面积为：×AP×QM＝×1×＝（cm2）
答：当t＝0.5s时，△APQ的面积为（cm2）．
（3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为4cm2．
∴当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，
△APQ的面积为：4×＝（cm2）
当点P在线段AB上运动t秒时，点Q在AD上运动t秒，AP＝2tcm，AQ＝tcm，高为＝cm
∴×2t×＝
∴t＝﹣（舍）或t＝
∴t＝时符合题意；
当点P运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点Q也运动到线段CD上，
如图，过点P作MN垂直CD于点M，垂直于AB延长线于点N


∵四边形ABCD为平行四边形，∠C＝30°，
∴AB∥CD
∴∠PBN＝∠C＝30°
PN＝PB＝（2t﹣4）＝（t﹣2）（cm），PM＝1﹣（t﹣2）＝（3﹣t）（cm）
S△APQ＝4﹣×4×（t﹣2）﹣×[4﹣（t﹣2）]×[1﹣（t﹣2）]﹣（t﹣2）×1＝
∴4﹣2t+4﹣（6﹣t）（3﹣t）﹣+1＝
化简得：t2﹣4t+3＝0
∴（t﹣1）（t﹣3）＝0
∴t＝1（不符合题意，舍）或t＝3
当t＝3时，点P位于点C处，点Q位于线段CD上，符合题意．
综上，t的值为或3．