2020年春浙教版八年级下册数学第5章《特殊平行四边形》单元测试B卷（解析版）

2020年春浙教版八年级下册第5章《特殊平行四边形》测试B卷
考试时间：100分钟 满分：120分
班级：___________姓名：___________学号：___________成绩：___________
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的矩形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
2．（3分）下列说法中，错误的是（　　）
A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形
B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形
C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形是菱形
D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形
3．（3分）如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（　　）

A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD
4．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，菱形ABCD的面积是（　　）
A． B．8 C． D．
5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．40 B．24 C．20 D．15
6．（3分）已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（　　）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90° D．∠ABC＝∠BAC
7．（3分）已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，AE＝CE，那么∠BDC等于（　　）

A．60° B．45° C．30° D．22.5°
8．（3分）如图，直线m∥n，直线l与m、n分别相交于点A和点C，AC为对角线作四边形ABCD，使点B和点D分别在直线m和n上，则不能作出的图形是（　　）

A．平行四边形ABCD B．矩形ABCD
C．菱形ABCD D．正方形ABCD
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（　　）

A． B．2 C．2 D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（　　）

A．（﹣3，4） B．（﹣2，3） C．（﹣5，4） D．（5，4）
11．（3分）下列可以判断是菱形的是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形
B．对角线相等的平行四边形
C．对角线垂直的四边形
D．对角线互相垂直且平分的四边形
12．（3分）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C．1 D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）已知矩形的两邻边的长分别为3cm和6cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积为　 　cm2．
14．（3分）在矩形ABCD中，AE＝CF＝AD＝1，BE的垂直平分线过点F，交BE于点H，交AB于点G，则AB的长度为　 　．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是　 　．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，如果AB＝3，AD＝4，EF是对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点EF，则ED的长为　 　．

17．（3分）如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为　 　．

18．（3分）如图，点P是线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是对角线AC，BE的中点，连接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，则线段MN的长为　 　．

三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF＝BE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE＝3，DF＝5，求矩形BFDE的面积．

20．（8分）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝6，且AD⊥BD于点D，点E，F分别是边AB，CD上的动点，且AE＝CF．
①求证：四边形DEBF是平行四边形；
②当BE为何值时，四边形DEBF是矩形？

21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．

22．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接OE，CD．
（1）求证四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC与BC的延长线交于E点，连接EO，若CE＝3，DE＝4，求OE的长．

23．（10分）如图，?ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，PD．
（1）求证：平行四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．

24．（10分）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3，求证：
（1）EF+EG＝AE；
（2）CE+CG＝AF．

25．（12分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点G，H在对角线AC上，EF与AC相交于点O，AG＝CH，BE＝DF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）当EG＝EH时，连接AF
①求证：AF＝FC；
②若DC＝8，AD＝4，求AE的长．














参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的矩形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B、D进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、对角线垂直的矩形是正方形，所以C选项错误；
D、对角线相等的菱形是正方形，所以D选项正确．
故选：D．
2．（3分）下列说法中，错误的是（　　）
A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形
B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形
C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形是菱形
D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形
【分析】依据正方形的判定方法、菱形的判定方法，即可得出结论．
【解答】解：A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形，本选项正确；
B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形，本选项正确；
C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形不一定是菱形，本选项错误；
D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形，本选项正确；
故选：C．
3．（3分）如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（　　）

A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD
【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．
【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；
C、由∠BAC＝∠ABD不一定能够判断这个平行四边形是菱形，故C选项符合题意；
D、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故D选项不符合题意．
故选：C．
4．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，菱形ABCD的面积是（　　）
A． B．8 C． D．
【分析】过点A作AM⊥BC于点M，由直角的性质可求AM的长，即可求菱形ABCD的面积．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，

∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝3，
∵∠ABC＝60°，AM⊥BC
∴BM＝，AM＝BM＝
∴菱形ABCD的面积＝BC×AM＝
故选：A．
5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．40 B．24 C．20 D．15
【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，得到AD＝CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO＝3，于是得到结论．
【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，
∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，
∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AB＝5，BO＝BD＝4，
∴AO＝3，
∴AC＝2AO＝6，
∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，
故选：B．
6．（3分）已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（　　）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90° D．∠ABC＝∠BAC
【分析】证出四边形ABCD是菱形，由菱形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
故选：A．
7．（3分）已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，AE＝CE，那么∠BDC等于（　　）

A．60° B．45° C．30° D．22.5°
【分析】由矩形的性质可得AO＝BO＝CO＝DO，可得DO＝2OE，可求∠EDO＝30°，可得∠EOD＝60°，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：设AC与BD的交点为O，

∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∵AE＝CE，
∴AC＝4AE，
∴AO＝BO＝CO＝DO＝2AE，
∴EA＝EO
∴DO＝2AE＝2EO
∴∠EDO＝30°，
∴∠EOD＝60°
∵OD＝OC
∴∠OCD＝∠BDC＝30°
故选：C．
8．（3分）如图，直线m∥n，直线l与m、n分别相交于点A和点C，AC为对角线作四边形ABCD，使点B和点D分别在直线m和n上，则不能作出的图形是（　　）

A．平行四边形ABCD B．矩形ABCD
C．菱形ABCD D．正方形ABCD
【分析】依据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断即可．
【解答】解：取AC的中O，过点O任意作直线交直线m、n于B、D，则四边形ABCD为平行四边形，故A不符合题意；
过点C作m的垂线，垂足为B，过点A作n的垂线，垂足为D，则ABCD为矩形，故B不符合题意；
取AC的中点O，过点O作AC的垂线交直线m、n于点B，D，则ABCD为菱形，故C不符合题意．
AC为对角线作四边形ABCD，ABCD不一定为正方形，故D错误，符合题意．
故选：D．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（　　）

A． B．2 C．2 D．
【分析】由矩形的性质得到∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，求得OC＝OD，设DE＝x，OE＝2x，得到OD＝OC＝3x，根据勾股定理即可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，
∴OC＝OD，
∵EO＝2DE，
∴设DE＝x，OE＝2x，
∴OD＝OC＝3x，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC＝∠OEC＝90°，
在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，
∴（2x）2+52＝（3x）2，
解得：x＝
∴DE＝；
故选：A．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（　　）

A．（﹣3，4） B．（﹣2，3） C．（﹣5，4） D．（5，4）
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，
∴AB＝5，
∴DO＝4，
∴点C的坐标是：（﹣5，4）．
故选：C．
11．（3分）下列可以判断是菱形的是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形
B．对角线相等的平行四边形
C．对角线垂直的四边形
D．对角线互相垂直且平分的四边形
【分析】由菱形的判定依次判断可求解．
【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是菱形，故A选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项不符合题意；
C、对角线垂直的四边形不一定是菱形，故C选项不符合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D选项符合题意；
故选：D．
12．（3分）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C．1 D．
【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是?ABCD面积的，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝∠BCD＝30°，
∴A'D＝1，A'C＝DA'＝，
∴菱形ABCD的面积＝4××A'D×A'C＝2，
如图，

由平移的性质得，?ABCD∽?A'ECF，且A'C＝AC，
∴四边形A'ECF的面积是?ABCD面积的，
∴阴影部分的面积＝＝，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）已知矩形的两邻边的长分别为3cm和6cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积为　9　cm2．
【分析】根据菱形的判定定理，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，又菱形的面积为两条对角线乘积的一半，由此即可解得答案．
【解答】解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE＝BE＝CG＝DG，

在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH＝HD，AE＝DG，
∴△AEH≌△DGH，
∴EH＝HG，
同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH
∴EH＝HG＝GF＝EF，∠EHG＝∠EFG，
∴四边形EFGH为菱形．
∴四边形的面积＝×3×6＝9．
故答案为9．
14．（3分）在矩形ABCD中，AE＝CF＝AD＝1，BE的垂直平分线过点F，交BE于点H，交AB于点G，则AB的长度为　　．

【分析】如图作EM⊥BC于M，连接EF．首先证明四边形ABME是矩形，在Rt△EFM中，利用勾股定理求出EM即可解决问题；
【解答】解：如图作EM⊥BC于M，连接EF．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABM＝∠EMB＝90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴AE＝BM＝1，AD＝BC＝3，
∵GF垂直平分BE，
∴BF＝EF＝2，MF＝BF﹣BM＝1，
在Rt△EFM中，EM＝＝＝，
∴AB＝EM＝，
故答案为．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是　　．

【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．
【解答】解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC?AC＝AB?CD，
即×12×5＝×13?CD，
解得：CD＝，
∴EF＝．
故答案为：．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，如果AB＝3，AD＝4，EF是对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点EF，则ED的长为　　．

【分析】连接EB，构造直角三角形，设AE为x，则DE＝BE＝4﹣x，利用勾股定理得到有关x的一元一次方程，求得x，即可求出BE的长．
【解答】解：连接EB，
∵EF垂直平分BD，
∴ED＝EB，
设AE＝xcm，则DE＝EB＝（4﹣x）cm，
在Rt△AEB中，
AE2+AB2＝BE2，
即：x2+32＝（4﹣x）2，
解得：x＝．
∴DE＝AD＝AE＝，
故答案为：．

17．（3分）如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为　2　．

【分析】先根据菱形的性质得出∠ABO＝∠ABC＝30°，由30°的直角三角形的性质得出OA＝AB＝4，再根据勾股定理求出OB，然后证明EF为△AOB的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结果
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴OA＝AB＝4，
∴OB＝＝4，
∵点E、F分别为AO、AB的中点，
∴EF为△AOB的中位线，
∴EF＝OB＝2．
故答案为2．
18．（3分）如图，点P是线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是对角线AC，BE的中点，连接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，则线段MN的长为　　．

【分析】连接PM、PN，△MPN是直角三角形，由勾股定理可得MN2＝PM2+PN2，在在Rt△APM中，AP＝2PM，在Rt△PNB中，PB＝PN，代入已知的AP2+3PB2＝2，即可．
【解答】解：连接PM、PN．

∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴PM⊥AC，PN⊥BE，∠CAB＝∠NPB＝30°．
∴∠MPC+∠NPC＝90°，即△MPN是直角三角形．
在Rt△APM中，AP＝2PM，
在Rt△PNB中，PB＝PN．
∵AP2+3PB2＝1，
∴（2PM）2+3（PN）2＝2，
整理得PM2+PN2＝
在Rt△MPN中，MN2＝PM2+PN2，
所以MN＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF＝BE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE＝3，DF＝5，求矩形BFDE的面积．

【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）由平行线和角平分线定义得出∠DFA＝∠DAF，证出AD＝DF＝5，由勾股定理求出DE＝＝4，即可得出矩形BFDE的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DFA，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠DFA＝∠DAF，
∴AD＝DF＝5，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
由勾股定理得：DE＝＝4，
∴矩形BFDE的面积＝DF×DE＝5×4＝20．
20．（8分）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝6，且AD⊥BD于点D，点E，F分别是边AB，CD上的动点，且AE＝CF．
①求证：四边形DEBF是平行四边形；
②当BE为何值时，四边形DEBF是矩形？

【分析】①根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB＝CD，再求出BE＝DF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
②过D作DE⊥AB于E，根据直角三角形两锐角互余求出∠ADE＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE＝AD，解直角三角形即可得到结论．
【解答】①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD
∵AE＝CF，
∴DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF为平行四边形；

②解：当BE＝9时，∴四边形DEBF为矩形．
理由是：过点D作DE⊥AB于点 E，
∴∠DEA＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°
在Rt△ADB中，∠A＝60°，∠ABD＝30°，AB＝2AD＝12，
∴BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，
∴当BE＝9时，∠DEB＝∠DEA＝90°，
即平行四边形DEBF是矩形．

21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．

【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；
（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°．
∵CE⊥AC，DE⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形OCED是菱形，
则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，
∴菱形ABCD的面积为：AC?BD＝×4×2＝4．
22．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接OE，CD．
（1）求证四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC与BC的延长线交于E点，连接EO，若CE＝3，DE＝4，求OE的长．

【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得∠ABD＝∠ADB，可得AB＝AD＝BC，由菱形的判定可证四边形ABCD是菱形；
（2）由勾股定理可求DC＝BC＝5，由勾股定理可求BD的长，由直角三角形的性质可求OE的长．
【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB
∴AB＝AD，且AB＝BC，
∴AD＝BC，且AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
（2）∵DE⊥BC，CE＝3，DE＝4，
∴CD＝5，
∵四边形ABCD是菱形
∴BC＝CD＝5，BO＝DO
∴BE＝BC+CE＝8，
∴BD＝＝＝4，
∵BO＝DO，DE⊥BC
∴OE＝BD＝2
23．（10分）如图，?ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，PD．
（1）求证：平行四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；
（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝，DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】（1）证明：∵AE垂直平分BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴AF＝BE．
∵AF∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；

（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，
∴AP＝AB＝2，
∴PH＝，DH＝5，
∴tan∠ADP＝＝．

24．（10分）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3，求证：
（1）EF+EG＝AE；
（2）CE+CG＝AF．

【分析】（1）延长AB、GE交于点M，作MN⊥DC于N，则MN∥BC，MN＝BC，BM＝CN，∠N＝90°，证明△BEF≌△BEM（ASA），得出EF＝EM，BF＝BM，证明△MNG≌△ABE（ASA），得出MG＝AE，即可得出结论；
（2）由（1）得出BM＝CN＝BF，△MNG≌△ABE，得出BE＝GN＝CG+CN＝CG+BM，由线段的和差即可得出结论．
【解答】证明：（1）延长AB、GE交于点M，作MN⊥DC于N，如图所示：
则MN∥BC，MN＝BC，BM＝CN，∠N＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝∠EBF＝90°，AB＝BC＝MN，
∴∠EBM＝90°，
∵∠2＝∠3，∠3＝∠BEM，
∴∠2＝∠BEM，
在△BEF和△BEM中，，
∴△BEF≌△BEM（ASA），
∴EF＝EM，BF＝BM，
∵MN∥BC，
∴∠NMG＝∠3，
∵∠1＝∠3，
∴∠NMG＝∠1，
在△MNG和△ABE中，，
∴△MNG≌△ABE（ASA），
∴MG＝AE，
∵MG＝EM+EG＝EF+EG，
∴EF+EG＝AE；
（2）由（1）得：BM＝CN＝BF，△MNG≌△ABE，
∴BE＝GN＝CG+CN＝CG+BM，
∴CE+CG＝BC﹣BE+GN﹣CN＝AB﹣BE+BE﹣BF＝AB﹣BF＝AF．

25．（12分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点G，H在对角线AC上，EF与AC相交于点O，AG＝CH，BE＝DF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）当EG＝EH时，连接AF
①求证：AF＝FC；
②若DC＝8，AD＝4，求AE的长．

【分析】（1）依据矩形的性质，即可得出△AEG≌△CFH，进而得到GE＝FH，∠CHF＝∠AGE，由∠FHG＝∠EGH，可得FH∥GE，即可得到四边形EGFH是平行四边形；
（2）①由菱形的性质，即可得到EF垂直平分AC，进而得出AF＝CF；
②设AE＝x，则FC＝AF＝x，DF＝8﹣x，依据Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即可得到方程，即可得到AE的长．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠FCH＝∠EAG，
又∵CD＝AB，BE＝DF，
∴CF＝AE，
又∵CH＝AG，∠FCH＝∠EAG
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴GE＝FH，∠CHF＝∠AGE，
∴∠FHG＝∠EGH，
∴FH∥GE，
∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）①如图，连接AF，

∵EG＝EH，四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形GFHE为菱形，
∴EF垂直平分GH，
又∵AG＝CH，
∴EF垂直平分AC，
∴AF＝CF；
②设AE＝x，则FC＝AF＝x，DF＝8﹣x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AE＝5．