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2.3
一元二次方程的应用(2)导学案
班级
姓名
学习目标:
1.学会利用一元二次方程的知识解决实际问题,将实际问题转化为数学模型。
2.经历由实际问题转化为一元二次方程的过程,领悟数学建模思想,体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。
3.通过探索应用、合作交流进一步感知方程的应用价值,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。同时让学生在学习活动中培养合作协助精神和克服困难的勇气,从而获得成功的体验,建立自信心。
学习重点:学会列一元二次方程解决有关面积问题
学习难点:把正确理解、有效寻找实际问题中的数量关系
课前预学
【想一想】列一元二次方程解应用题的基本步骤是什么?
经过两年的年平均变化率x与原量a和现量b之间的关系是:_________________________
【思考】
如何把一张长方形硬纸片折成一个无盖的长方体纸盒?
(2)无盖长方体纸盒的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系?
二、课中导学
例1
如图甲,有一张长40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成如图乙的无盖纸盒。若纸盒的底面积是450cm2,则纸盒的高是多少?
思考回答下列问题:
(1)若设纸盒的高为x,那么裁去的四个正方形的边长为多少?
(2)底面的长和宽能否用含x的代数式表示?
(3)你能找出题中的等量关系吗?你怎样列方程?
(4)请每位同学自己检验两根,发现什么?
分析:设纸盒的高为x(cm),那么裁去的四个小正方形的边长也为x(cm),这样就可以用关于x的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽,根据纸盒的底面积是450cm2,就可以列出方程。
【合作学习】一轮船(C)以30
km/h的速度由西向东航行在途中接到台风警报,台风中心正以20
km/h的速度由南向北移动,已知距台风中心200
km的区域(包括边界)都属于受台风影响区,当轮船接到台风警报时,测BC=500km,BA=300km.
(1)如果轮船不改变航向,轮船会不会进入台风影响区?你采用什么方法来判断?
(2)如果你认为轮船会进入台风影响区,那么从接到警报开始,经多少时间就进入台风影响区?
【思考】①假设经过t小时,轮船和台风中心分别在C1
,B1的位置。你能求出AC1和AB1的距离吗?
【思考】②运用数形结合的方法寻找等量关系,并列出方程。
【讨论】如果把船速改为10
km/h,结果将怎样
三、课后延学
1.如图,在一幅长80
cm,宽50
cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是5400
cm2,设金色纸边的宽为x
cm,那么x满足的方程是( )
A.x2+130x-1
400=0
B.x2-65x-350=0
C.x2-130x-1
400=0
D.x2+65x-350=0
2.用一条长40
cm的绳子围成一个面积为64
cm2的长方形.设长方形的长为x
cm,则可列方程为( )
A.
x(20+x)=64
B.
x(20-x)=64
C.
x(40+x)=64
D.
x(40-x)=64
3.某公园要在一块长40
m,宽30
m的长方形空地上建成一个矩形花园,要求在花园中修三条纵向平行和两条横向平行的宽度相同的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为500
m2,那么小道进出口的宽度应为多少米?
4.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6
cm,BC=3
cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1
cm/s
的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2
cm/s的速度移动,当一个点到达终点,另一个点也停止运动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发.
几秒钟后,P,Q间的距离等于cm
5.(2019 张家界)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何”.意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?根据题意得,长比宽多________步.
6.(2019 襄阳)改善小区环境,争创文明家园.如图所示,某社区决定在一块长(AD)16m,宽(AB)9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112m2,则小路的宽应为多少?
答案:1.D
2.B
3.解:设小道进出口的宽度为x
m,
依题意得(40-3x)(30-2x)=500.
整理,得3x2-85x+350=0.
解得x1=5,x2=.
∵
×2>30,∴x=不合题意,舍去,∴x=5.
答:小道进出口的宽度应为5
m.
4.解:设x
s后,PQ=4cm,
则BP=6-x,BQ=2x.
∴(6-x)2+(2x)2=(4)2,
解得x1=0.4,x2=2(不合题意,舍去).
答:0.4
s后,P,Q间的距离等于4cm;
5.12
6.解:设小路的宽应为xm,
根据题意得:(16-2x)(9-x)=112,
解得:x1=1,x2=16.
∵16>9,
∴x=16不符合题意,舍去,
∴x=1.答:小路的宽应为1m.
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精品试卷·第
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2.3
一元二次方程的应用(2)
浙教版
八年级下
新知导入
【想一想】列一元二次方程解应用题的基本步骤是什么?
(1)审题:
(2)设元(未知数)。 (3)寻找相等关系,列方程。
(4)解方程
(5)检验根的准确性及是否符合实际意义。
(6)作答
经过两年的年平均变化率x与原量a和现量b之间的关系是:
______________________________________
a(1+x)2
=b(等量关系)
新知导入
【思考】
(1)如何把一张长方形硬纸片折成一个无盖的长方体纸盒?
(2)无盖长方体纸盒的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系?
下面我们继续探讨有关一元二次方程的实际应用问题。
新知讲解
例1
如图甲,有一张长40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成如图乙的无盖纸盒。若纸盒的底面积是450cm2,则纸盒的高是多少?
40
25
单位:cm
甲
乙
新知讲解
思考回答下列问题:
(1)若设纸盒的高为x,那么裁去的四个正方形的边长为多少?
(2)底面的长和宽能否用含x的代数式表示?
(3)你能找出题中的等量关系吗?你怎样列方程?
(4)请每位同学自己检验两根,发现什么?
40
25
单位:cm
x
新知讲解
分析:设纸盒的高为x(cm),那么裁去的四个小正方形的边长也为x(cm),这样就可以用关于x的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽,根据纸盒的底面积是450cm2,就可以列出方程。
40
25
单位:cm
x
新知讲解
40
25
单位:cm
x
解:设纸盒的高为x(cm),则纸盒底面长方形的长和宽分别为(40-2x)cm,(25-2x)cm
由题意得(40-2x)(25
-2x)=450
化简整理得2x -65x+275=0
解这个方程,得
x1=5,x2=27.5(不合题意,舍去)
答:纸盒的高为5cm
新知讲解
【合作学习】一轮船(C)以30
km/h的速度由西向东航行在途中接到台风警报,台风中心正以20
km/h的速度由南向北移动,已知距台风中心200
km的区域(包括边界)都属于受台风影响区,当轮船接到台风警报时,测BC=500km,BA=300km.
北
东
C
B
200km
500km
A
(1)如果轮船不改变航向,轮船会不会进入台风影响区?你采用什么方法来判断?
(2)如果你认为轮船会进入台风影响区,那么从接到警报开始,经多少时间就进入台风影响区?
新知讲解
北
东
C
B
200km
500km
A
【思考】①假设经过t小时,轮船和台风中心分别在C1
,B1的位置。
你能求出AC1和AB1的距离吗?
C1
B1
因为BC=500
km,BA=300
km,
所以由勾股定理可知AC=400
km。
经过t小时
AC1=(400-30t)km;
AB1=(300-20t)km
新知讲解
北
东
C
B
200km
500km
A
【思考】②运用数形结合的方法寻找等量关系,并列出方程。
C1
B1
根据△AB1C1是直角三角形得:B1C12=AC12+AB12
当船与台风影响区接触时B1C1符合什么条件?
B1C1=200
km
所以列出等量关系:
(400-30t)2+(300-20t)2=2002
新知讲解
解方程:(400-30t)2+(300-20t)2=2002
整理方程得:13t2-360×t+2100=0
利用公式法b2-4ac=3602-4×13×2100=20400>0
∴方程有解,故轮船会进入台风影响区。
新知讲解
解方程:(400-30t)2+(300-20t)2=2002
整理方程得:13t2-360×t+2100=0
∵轮船从点C运动到点A的时间为
∴t=19.34h不符合题意,∴t=8.35h
答:从接到警报开始,经8.35h就进入台风影响区。
新知讲解
【讨论】如果把船速改为10
km/h,结果将怎样
北
东
C
B
200km
500km
A
解:设当轮船接到台风警报后,经过t小时,则令:
(400-10t)2+(300-20t)2=2002
化简,得:t2-40t+420=0
由于此方程无实数根
∴轮船继续航行不会受到台风的影响。
课堂练习
1.如图,在一幅长80
cm,宽50
cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是5400
cm2,设金色纸边的宽为x
cm,那么x满足的方程是( )
A.x2+130x-1
400=0
B.x2-65x-350=0
C.x2-130x-1
400=0
D.x2+65x-350=0
D
课堂练习
2.用一条长40
cm的绳子围成一个面积为64
cm2的长方形.设长方形的长为x
cm,则可列方程为( )
A.
x(20+x)=64
B.
x(20-x)=64
C.
x(40+x)=64
D.
x(40-x)=64
B
课堂练习
3.某公园要在一块长40
m,宽30
m的长方形空地上建成一个矩形花园,要求在花园中修三条纵向平行和两条横向平行的宽度相同的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为500
m2,那么小道进出口的宽度应为多少米?
课堂练习
解:设小道进出口的宽度为x
m,
依题意得(40-3x)(30-2x)=500.
整理,得3x2-85x+350=0.
∵
×2>30,∴x=
不合题意,舍去,
∴x=5.
答:小道进出口的宽度应为5
m.
解得x1=5,x2=
.
拓展提高
4.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6
cm,BC=3
cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1
cm/s
的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2
cm/s的速度移动,当一个点到达终点,另一个点也停止运动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发.
几秒钟后,P,Q间的距离等于
cm
拓展提高
解:设x
s后,PQ=4
cm,
则BP=6-x,BQ=2x.
∴(6-x)2+(2x)2=(4
)2,
解得x1=0.4,x2=2(不合题意,舍去).
答:0.4
s后,P,Q间的距离等于4
cm;
中考链接
5.(2019 张家界)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何”.意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?根据题意得,长比宽多________步.
12
中考链接
6.(2019 襄阳)改善小区环境,争创文明家园.如图所示,某社区决定在一块长(AD)16m,宽(AB)9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112m2,则小路的宽应为多少?
中考链接
解:设小路的宽应为xm,
根据题意得:(16-2x)(9-x)=112,
解得:x1=1,x2=16.
∵16>9,
∴x=16不符合题意,舍去,
∴x=1.
答:小路的宽应为1m.
课堂总结
这节课你学到了什么?
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似,即审、设、找、列、解、答。
需要特别注意的是,在列一元二次方程解应用题时,由于所的的根一般有两个,所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求。
板书设计
2.3
一元二次方程的应用(2)
1.列一元二次方程解决面积问题
2.列一元二次方程解决动点问题
作业布置
课本
P43
练习题
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