(共22张PPT)
2.4
一元二次方程根与系数的关系
浙教版
八年级下
新知导入
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程根的判别式是什么？
3.一元二次方程的求根公式是什么？
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；
b2－4ac
新知导入
4.一元二次方程的根的情况怎样确定？
b2-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
b2-4ac＜0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
新知讲解
先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积：
(1)x2-12x+11=0
(2)x2-9=0
(3)4x2+20x+25=0
方程
两个根
两根之和
两根之积
x1
x2
x1+x2
x1·x2
x2-12x+11=0
x2-9=0
4x2+20x+25=0
1
11
12
11
3
-3
0
-9
-5
新知讲解
你可以发现什么结论？
一般的，一元二次方程的根与系数有如下关系：
如果x1，x2是一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
的两个根，那么
x1+x2=
，x1·x2=
【注意】能用这个结论的前提为b2－4ac≥0
上面的结论对于任意的一元二次方程都适合的吗？
新知讲解
下面我们来证明这一结论。
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2
新知讲解
下面我们来证明这一结论。
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2
新知讲解
例1
设x1，x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根，
求
x12+x22和的
值.
解：有一元二次方程的根与系数的关系，得
【总结归纳】求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和或两根之积的形式，再整体代入．
新知讲解
几种常见的求值:
新知讲解
例2
已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是
，1写出这个方程.
解
设这个方程为3x2+bx+c=0，由一元二次方程根与系数的关系，得
所以这个一元二次方程是3x2-4x+1=0.
新知讲解
【拓展延伸】
（1）根与系数的关系是在a≠0，b2－4ac≥0的前提下提出的
（2）一元二次方程根与系数的关系还有两个重要推论。
推论1：若方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，则有x1+x2=-p
x1·x2=q
推论2：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x2+（x1+x2）x+x1·x2=0
课堂练习
1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是
( )
A．4
B．－4
C．3
D．－3
D
2.设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x12＋x22的值是( )
A．19
B．25
C．31
D．30
C
课堂练习
3.等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( )
A．9
B．10
C．9或10
D．8或10
B
课堂练习
4.已知关于x的方程x2－mx－3＝0的两实数根为x1，x2(x1＞x2)，若x1＋x2＝2，求x1，x2的值．
解：∵x1＋x2＝2，∴m＝2.
∴原方程为x2－2x－3＝0，
即(x－3)(x＋1)＝0，
解得x1＝3，x2＝－1.
拓展提高
5.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋1＝0的两个实数根，当x12＋x22＝15时，求m的值．
解：根据一元二次方程根与系数的关系，
得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2＋1，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝[－(2m＋1)]2－2(m2＋1)
＝2m2＋4m－1.
∵x12＋x22=15，∴2m2＋4m－1＝15，∴m1＝－4，m2＝2.
拓展提高
5.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋1＝0的两个实数根，当x12＋x22＝15时，求m的值．
又∵方程有两个实数根，
∴b2－4ac≥0，即(2m＋1)2－4×1×(m2＋1)≥0，解得m≥
.
∴m＝2.
中考链接
6.（2019 玉林）若一元二次方程x2-x-2=0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1-x1）的值是（ ）
A．4
B．2
C．1
D．-2
A
7（2019 广东）已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．x1≠x2
B．x12-2x1=0
C．x1+x2=2
D．x1 x2=2
D
课堂总结
2．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac≥0
时，才能应用根与系数的关系.
1．一元二次方程根与系数的关系是什么？
这节课你学到了什么？
如果x1，x2是一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
的两个根，那么
x1+x2=
，x1·x2=
板书设计
2.4
一元二次方程根与系数的关系
1.如果x1，x2是一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
的两个根，那么
x1+x2=
，x1·x2=
作业布置
课本
P47
练习题
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2.4
一元二次方程根与系数的关系导学案
班级
姓名
学习目标：
1.在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2.通过韦达定理的教学过程，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养创新意识和创新精神。
学习重点：了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的运用．
学习难点：能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．
课前预学
1.一元二次方程的一般形式是什么？
______________________________________________________________________________________
2.一元二次方程根的判别式是什么？
______________________________________________________________________________________
3.一元二次方程的求根公式是什么？
______________________________________________________________________________________
4.一元二次方程的根的情况怎样确定？
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
二、课中导学
先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积：
(1)x2-12x+11=0
(2)x2-9=0
(3)4x2+20x+25=0
你可以发现什么结论？
上面的结论对于任意的一元二次方程都适合的吗？
下面我们来证明这一结论。
例1
设x1，x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根，
求
x12+x22和的值.
【总结归纳】求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和或两根之积的形式，再整体代入．
例2
已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是，1写出这个方程.
【拓展延伸】
课后延学
1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是
( )
A．4
B．－4
C．3
D．－3
2.设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x12＋x22的值是( )
A．19
B．25
C．31
D．30
3.等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( )
A．9
B．10
C．9或10
D．8或10
4.已知关于x的方程x2－mx－3＝0的两实数根为x1，x2(x1＞x2)，若x1＋x2＝2，求x1，x2的值．
5.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋1＝0的两个实数根，当x12＋x22＝15时，求m的值．
6.（2019 玉林）若一元二次方程x2-x-2=0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1-x1）的值是（ ）
A．4
B．2
C．1
D．-2
7（2019 广东）已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．x1≠x2
B．x12-2x1=0
C．x1+x2=2
D．x1 x2=2
答案：1.D
2.C
3.B
4.解：∵x1＋x2＝2，∴m＝2.∴原方程为x2－2x－3＝0，
即(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1.
5.解：根据一元二次方程根与系数的关系，
得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2＋1，
∴x112＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝[－(2m＋1)]2－2(m2＋1)
＝2m2＋4m－1.
∵x12＋x22=15，∴2m2＋4m－1＝15，∴m1＝－4，m2＝2.
又∵方程有两个实数根，
∴b2－4ac≥0，即(2m＋1)2－4×1×(m2＋1)≥0，解得m≥.
∴m＝2.
6.A
7.D
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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