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2.3
一元二次方程的应用(1)导学案
班级
姓名________
学习目标：
1.会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性.
2.经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中，进一步锻炼析问题，解决问题的能力.
3.通过建立一元二次方程解决实际问题，体验数学的应用价值，增强学习数学的兴趣.
学习重点：列一元二次方程解应用题
学习难点：例1的数量关系比较复杂，学生不容易理解，是本节教学的难点.
课前预学
想一想：列一元一次方程解应用题的步骤：
审：_____________________________________________________________
设：____________________________________________________________
列：____________________________________________________________
解：____________________________________________________________
检：____________________________________________________________
答：____________________________________________________________
二、课中导学
例1
某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.当每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株
从题目中你能发现什么信息？
从题目中你能得到什么数量关系？
分析:
本题涉及的主要数量有每盆的花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利。主要数量关系有：
________________________________________________________________________________________________________________________
根据题意填空。
（1）若每盆增加1株，此时每盆花苗有（3+____）株，
平均单株盈利为（3－0.5×____）元
（2）若每盆增加2株，此时每盆花苗有（3+____）株，
平均单株盈利为（3－0.5×____）元
（3）若每盆增加x株，此时每盆花苗有（3+____）株，
平均单株盈利为（3－0.5×____）元
（4）每盆盈利=____________×________________
解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有_________株,平均单株盈利为__________元.
你能列出方程吗？
【想一想】列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗？列一元二次方程解应用题时，你认为有哪些地方更需引起注意？
【总结归纳】列一元二次方程解应用题的基本步骤:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
例2
根据图中的统计图，求2009年到2011年，我国风电新增装机容量的平均年增长率(精确到0.1
%
).
思考回答下列几个问题。
（1）增长率与什么有关系？
_______________________________________________________________________________________
（2）年平均增长率怎么算？
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
（3）x的正负性有什么意义？
_______________________________________________________________________________________
课后延学
1．一个两位数，个位数字比十位数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则可列方程为( )
A．x2＋(x－4)2＝10(x－4)＋x－4
B．x2＋(x－4)2＝10x＋(x－4)－4
C．x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4
D．x2＋(x＋4)2＝10x＋(x＋4)－4
2．某景点的参观人数逐年增加，据统计，2017年为10.8万人次，2019年为16.8万人次，设参观人次的平均年增长率为x，则( )
A．10.8(1＋x)＝16.8
B．16.8(1－x)＝10.8
C．10.8(1＋x)2＝16.8
D．10.8[(1＋x)＋(1＋x)2]＝16.8
3．随着阿里巴巴、京东等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年四月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
4.水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利润)10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克．
(1)若以每千克能盈利18元的单价出售，问每天的总毛利润为多少元？
(2)现市场要保证每天总毛利润6
000元，同时又要使顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？
(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5
100元，则每千克应涨价多少元？
5.（2019 恩施州）某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（ ）
A．8%
B．9%
C．10%
D．11%
6.（2019 鸡西）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
答案：
1.C
2.C
3.解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意，得10×(1＋x)2＝12.1，
解得x1＝10%，x2＝－210%(舍去)．
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%.
解：12.1×(1＋10%)＝13.31(万件)，
21×0.6＝12.6(万件)＜13.31(万件)，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年四月份的快递投递任务．
∵22＜＜23，∴至少需要增加2名业务员．
4.解：(1)设每千克盈利x元，可售y千克，则y＝500－20(x－10)＝－20x＋700，
当x＝18时，y＝340，则每天的毛利润为18×340＝6
120元；
(2)由题意得x(－20x＋700)＝6
000，解得x1＝20，x2＝15，
∵要使顾客得到实惠，应选x＝15，∴每千克应涨价15－10＝5元；
(3)由题意得x(－20x＋700)－10%x(－20x＋700)－0.9(－20x＋700)－102＝5
100，
解得x1＝x2＝18，则每千克应涨价18－10＝8元．
5.C
6.C
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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2.3
一元二次方程的应用(1)
浙教版
八年级下
新知导入
(1)审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；
(2)设未知数：用字母(如x)表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x；
(3)列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；
(4)解方程：求出所给方程的解；
(5)检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；
(6)作答：根据题意，选择合理的答案.
列一元一次方程解应用题的步骤：
新知讲解
例1
某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.当每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株
从题目中你能发现什么信息？
从题目中你能得到什么数量关系？
新知讲解
例1
某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.当每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株
分析:
本题涉及的主要数量有每盆的花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利。主要数量关系有：
平均单株盈利×株数=每盆盈利;
平均单株盈利=3-0.5×每盆增加的株数.
新知讲解
（1）若每盆增加1株，此时每盆花苗有（3+____）株，
平均单株盈利为（3－0.5×____）元
（2）若每盆增加2株，此时每盆花苗有（3+____）株，
平均单株盈利为（3－0.5×____）元
（3）若每盆增加x株，此时每盆花苗有（3+____）株，
平均单株盈利为（3－0.5×____）元
（4）每盆盈利=____________×________________
根据题意填空。
1
1
2
2
x
x
(x+3)
(3-0.5x)
新知讲解
例1
某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.当每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株
解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有_________株,平均单株盈利为__________元.
(x+3)
(3-0.5x)
你能列出方程吗？
新知讲解
解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有（x+3）株,平均单株盈利为（3-0.5x）元.由题意得
(x+3)(3-0.5x)=10
化简，整理，得
x2-3x+2=0
解这个方程，得:x1=1，x2=2
经检验，x1=1,x2=2都是方程的解，且符合题意.
答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.
新知讲解
【想一想】列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗？列一元二次方程解应用题时，你认为有哪些地方更需引起注意？
列一元二次方程解应用题时，应该注意求出来的根是否满足题意.
列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同。
新知讲解
【总结归纳】列一元二次方程解应用题的基本步骤
审
设
列
解
检
答
(1)审题：理解题意，分清有哪些已知量、未知量
(2)设元（未知数）。
(3)寻找相等关系，列方程。
(4)解方程
(5)检验根的准确性及是否符合实际意义。
(6)作答
新知讲解
例2
根据图中的统计图，求2009年到2011年，我国风电新增装机容量的平均年增长率(精确到0.1
%
).
新知讲解
思考回答下列几个问题。
（1）增长率与什么有关系？
（2）年平均增长率怎么算？
（3）x的正负性有什么意义？
增长率与时间相关.
弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长率.
经过两年的年平均变化率x与原量a和现量b之间的关系是：
a(1+x)2
=b（等量关系）.
当x>0时表增长，当x<0时表示下降.
新知讲解
解：设2009年到2011年，我国风电新增装机容量的平均年增长率为x.
由题意可以列出方程1380（1+x）2=2066
解这个方程，得
答：从2009年到2011年我国风电新增装机容量的平均年增长率
约为22.4%.
课堂练习
1．一个两位数，个位数字比十位数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则可列方程为( )
A．x2＋(x－4)2＝10(x－4)＋x－4
B．x2＋(x－4)2＝10x＋(x－4)－4
C．x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4
D．x2＋(x＋4)2＝10x＋(x＋4)－4
C
课堂练习
2．某景点的参观人数逐年增加，据统计，2017年为10.8万人次，2019年为16.8万人次，设参观人次的平均年增长率为x，则( )
A．10.8(1＋x)＝16.8
B．16.8(1－x)＝10.8
C．10.8(1＋x)2＝16.8
D．10.8[(1＋x)＋(1＋x)2]＝16.8
C
课堂练习
3．随着阿里巴巴、京东等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意，得10×(1＋x)2＝12.1，
解得x1＝10%，x2＝－210%(舍去)．
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%.
课堂练习
(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年四月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
解：12.1×(1＋10%)＝13.31(万件)，
21×0.6＝12.6(万件)＜13.31(万件)，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年四月份的快递投递任务．
∵22＜
＜23，∴至少需要增加2名业务员．
拓展提高
4.水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利润)10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克．
(1)若以每千克能盈利18元的单价出售，问每天的总毛利润为多少元？
(2)现市场要保证每天总毛利润6
000元，同时又要使顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？
(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5
100元，则每千克应涨价多少元？
拓展提高
解：(1)设每千克盈利x元，可售y千克，则y＝500－20(x－10)＝－20x＋700，
当x＝18时，y＝340，则每天的毛利润为18×340＝6
120元；
(2)由题意得x(－20x＋700)＝6
000，解得x1＝20，x2＝15，
∵要使顾客得到实惠，应选x＝15，∴每千克应涨价15－10＝5元；
(3)由题意得x(－20x＋700)－10%x(－20x＋700)－0.9(－20x＋700)－102＝5
100，
解得x1＝x2＝18，则每千克应涨价18－10＝8元．
中考链接
5.（2019 恩施州）某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（ ）
A．8%
B．9%
C．10%
D．11%
C
中考链接
6.（2019 鸡西）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
C
课堂总结
本节课你学到了什么？
列一元二次方程解应用题的基本步骤：
(1)审题：理解题意，分清有哪些已知量、未知量
(2)设元（未知数）。
(3)寻找相等关系，列方程。
(4)解方程
(5)检验根的准确性及是否符合实际意义。
(6)作答
板书设计
2.3
一元二次方程的应用(1)
1.一元二次方程解应用题.
2.列一元二次方程解应用题的步骤.
3.经过两年的年平均变化率x与原量a和现量b之间的关系是：
a(1+x)2
=b（等量关系）.
作业布置
课本
P41
练习题
谢谢
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