第二章 一元二次方程单元测试卷B（含解析）

一元二次方程单元测试卷（B）
一、单选题
1．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ）
A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2
2．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
3．对于一元二次方程，下列说法：
①若，方程有两个不等的实数根；
②若方程有两个不等的实数根，则方程也一定有两个不等的实数根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是方程的一个根，则一定有成立，其中正确的只有（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．①④
4．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．设的两实根为，，而以，为根的一元二次方程仍是，则数对的个数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB，BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动．设P，Q运动的时间是t秒，当点P与点Q重合时t的值是(　　)

A． B．4 C．5 D．6
7．若ab+c=0，a≠0， 则方程ax2+bx+c=0 必有一个根是 （ ）
A．1 B．0 C．–1 D．不能确定
8．方程的解是（ ）
A．—1，2 B．1，—2 C．0，—1，2 D．0，1，—2
9．从一块正方形铁皮的四角上各剪去一个边长为3cm的小正方形，制成一个无盖的盒子，若盒子的容积为300cm3，则铁皮的边长为（ ）
A．16cm B．14cm C．13cm D．11cm
10．某服装原价元，连续两次涨价，每次都涨后的价格为元，则是（ ）
A． B． C． D．


二、填空题
11．若a，b分别是方程x2+2x-2017=0的两个实数根，则a2 +3a+b=_________．
12．写一个你喜欢的实数k的值____，使关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根．
13．对于一元二次方程（，，，为常数），下列说法：
①方程的解为；
②若，则方程必有一根为；
③若，则一元二次方程必有一根为；???
④若，则方程有两个不等实数根； ? ??
⑤若，则方程有两个相等的实数根，
正确的结论是________．

14．已知两个连续奇数的平方差是2000，则这两个连续奇数可以是_____．
15．一个两位数，个位数字是十位数字的4倍，如果把个位数字与十位数字对调，那么得到的新数比原数大54，则原数为________．
16．__________ 。

三、解答题
17．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.
(1)不解方程，判断方程的根的情况；
(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2
18．已知关于x的一元二次方程．
（1）m取什么值时，方程有两个实数根？
（2）设此方程的两个实数根为a、b，若y=ab-2b2+2b+1，求y的取值范围．
19．我们知道，解一元一次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程x3+x2﹣2x=0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）=0，解方程x=0和x2+x﹣2=0，可得方程x3+x2﹣2x=0的解．
（1）方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0，x2=　 　，x3=　 　．
（2）用“转化”思想求方程=x的解．
（3）如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=14m，宽AB=12m，小华把一根长为28m的绳子的一端固定在点B处，沿草坪边沿BA、AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P处，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C处，求AP的长．

20．如图所示，中，，，．

点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？
21．若，是关于的方程的两个实数根，且（是整数），则称方程为“偶系二次方程”．如方程，，，，，都是“偶系二次方程”．
判断方程是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
对于任意一个整数，是否存在实数，使得关于的方程是“偶系二次方程”，并说明理由．
22．如图，线段AB＝60厘米．
(1)点P沿线段AB自A点向B点以4厘米/分的速度运动，同时点Q沿线段自B点向A点以6厘米/分的速度运动，几分钟后，P、Q两点相遇？
(2)几分钟后，P、Q两点相距20厘米？

23．解方程
（1）x2＝49 （2）3x2－7x＝0（3）（直接开平方法）
（4）（用配方法）（5） （因式分解法）
（6） （7）（x－2）（x－5）=－2
24．已知关于的一元二次方程．
（1）为何值时，方程有一根为零？
（2）为何值时，方程的两个根互为相反数？
（3）是否存在，使方程的两个根互为倒数？若存在，请求出的值；不存在，请说明理由．



参考答案
1．B【解析】解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±，
而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，
所以-h-=-3，-h+=2，
方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±，
所以x1=3-3=0，x2=3+2=5．故选B．
2．A【解析】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a?a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a?a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+）2+＞0，∴a+b+c=0．
故选A．
3．D【解析】①因为a+c=0，a≠0，所以①a、c异号，所以△=b2-4ac＞0，所以方程有两个不等的实数根；②当c=0时不成立；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，当c=0时，ac+b+1=0不一定成立；
④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，所以有am2+bm+c=0，即am2= -（bm+c），而（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2=4a[-（bm+c）]+4abm+b2=4abm-4abm-4ac+b2=b2-4ac．
所以①④成立．故选D．
4．D【解析】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x1?x2=2n＞0，y1?y2=2m＞0，
∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；
③∵y1?y2=2m，y1+y2=-2n，
∴2m-2n=y1?y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，∵y1、y2均为负整数，
∴（y1+1）（y2+1）≥0，∴2m-2n≥-1．∵x1?x2=2n，x1+x2=-2m，
∴2n-2m=x1?x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，∵x1、x2均为负整数，
∴（x1+1）（x2+1）≥0，∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．故选D．
5．B【解析】根据题意得，①，②，
③，④，由②、④可得，
解之得或，由①、③可得，
即，当时，，
解之得，或，即，，
把它们代入原方程的中可知符合题意；
当时，，
解之得，或，即，，
把它们代入原方程的中可知不合题意舍去，
所以数对的个数是对，故选．
6．C【解析】设当点P与点Q重合时t的值是x秒，由题意得：3x﹣x=10，解得：x=5，故选C．
点睛：此题主要考查了一元一次方程的应用．解答本题的关键是，找出等量关系： 点P与点Q重合时，P、Q的路程之差等于AB．
7．C【解析】由题意得:当ab+c=0，即当x=-1时，ax2+bx+c=a-b+c=0，故选C.
8．C【解析】依题意得：x=0或x+1=0或x﹣2=0，∴x1=0，x2=﹣1，x3=2．故选C．
9．A【解析】正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-3×2）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得，（x-3×2）（x-3×2）×3=300，解得=16，=-4（不合题意，舍去）；答：正方形铁皮的边长应是16cm．故选A．

10．C【解析】由题意可得：200（1＋a%）2＝242，
解得：a1＝10，a2＝?210（不合题意舍去），
答：a的值为10．故选：C．
11．2015【解析】根据方程的根与系数的关系可知：a2+2a=2017，a+b=-2，ab=-2017，因此可知a2 +2a+a+b=2017-2=2015.故答案为：2015.
12．0(答案不唯一，只要满足k>－2且k≠－1都行)
【解析】∵关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且k+1≠0，即22-4(k+1)×(-1)＞0且k≠-1，
∴k＞-2且k≠-1，故k可以取0，1，2，3等，故答案为：0（答案不唯一）.
13．②③④
【解析】①对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数），
当△=b2-4ac＜0时，方程无解；
当△=b2-4ac≥0时，方程的解为，故原说法错误；
②∵b=a+c，
∴a-b+c=0，
∴当x=-1时，ax2+bx+c=a-b+c=0，
∴x=-1为方程ax2+bx+c=0的一根，故原说法正确；
③∵b=2a+ c，
∴4a-2b+c=0，
∴当x=-2时，ax2+bx+c=4a-2b+c=0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为x=-2，故原说法正确；
④∵ac＜0，
∴c≠0，方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，
∵△=b2-4ac＞0，
∴方程cx2+bx+a=0有两个不等实数根，故原说法正确；??
⑤当c≠0时，方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，若b2-4ac=0，则方程cx2+bx+a=0有两个相等的实数根；
当c=0时，b=0，方程cx2+bx+a=0不可能有两个相等的实数根，故原说法错误．
故答案是：②③④．
14．501，499或﹣501，﹣499．
【解析】设较小的奇数为x，则较大的奇数为x+2，根据题意得：
（x+2）2﹣x2=2000或x2﹣（x+2）2 =2000
解得：x=499或－501，
∴x+2=501或－499．
故答案为：501，499或﹣501，﹣499．
15．28解：设原数十位数字为x，则个位数字为4x，根据题意可得：
40x+x﹣（10x+4x）=54，解得：x=2，故4x=8．
故原数为28．故答案为：28．
16．
【解析】．故答案为：，．
17．(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17
【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．
试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．
将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．
当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；
当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．
综上所述：此三角形的周长为13或17．
18．(1) 当时，方程有两个实数根；(2)
【解析】∵方程有两个实数根，
∴△≥0，
即（-1）2，
解得，
∴当时，方程有两个实数根；
∵方程的两个实数根为、，
∴，，
∴，
，∵，∴，即．
19．（1）1、﹣2；（2）x1=﹣1、x2=3；（3）AP的长为5m或9m．
【解析】【详解】
（1）∵x3+x2﹣2x=0，∴x（x2+x﹣2）=0，∴x（x﹣1）（x+2）=0，
则x=0或x﹣1=0或x+2=0，解得：x1=0、x2=1、x3=﹣2．故答案为：1、﹣2．
（2）∵=x，∴2x+3=x2，即x2﹣2x﹣3=0，∴（x+1）（x﹣3）=0，
则x+1=0或x﹣3=0，解得：x1=﹣1、x2=3；
（3）设AP=x，则DP=14﹣x，∵AB=CD=12，∠A=∠D=90°，
∴PB==、PC==，
∵PB+PC=28，∴+=28，
=28﹣，两边平方，整理可得：，
再两边平方，整理可得：x2﹣14x+45=0，解得x1=5、x2=9，则AP的长为5m或9m．
20．(1) 线段不能将分成面积相等的两部分；(2) 经过秒、秒或秒后，的面积为．
【解析】（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6﹣x，∴（6﹣x）?2x=××6×8，∴x2﹣6x+12=0．
∵b2﹣4ac＜0，此方程无解，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为1．分三种情况讨论：
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4．
由题意知：（6﹣t）（8﹣2t）=1，整理得：t2﹣10t+23=0，解得：t1=5+（不合题意，应舍去），t2=5﹣
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，此时4＜t≤6，由题意知：（6﹣t）（2t﹣8）=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=t2=5．
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，此时t＞6，由题意知：（t﹣6）（2t﹣8）=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=5+，t2=5﹣（不合题意，应舍去）．
综上所述：经过5﹣秒、5秒或5+秒后，△PBQ的面积为1．
21．(1)不是，理由见解析；（2）存在．理由见解析
【解析】不是，
解方程得，，，
，∵不是整数，
∴不是“偶系二次方程；
存在．理由如下：
∵和是偶系二次方程，
∴假设，当，时，
，∵是偶系二次方程，
∴时，，∴，
∵是偶系二次方程，
当时，，∴可设，
对于任意一个整数，时，
，，
∴，，
∴，∵是整数，
∴对于任何一个整数，时，关于的方程是“偶系二次方程”．


22．(1)6分钟;(2) 4或8分钟
【解析】（1）设经过x分钟后，P、Q两点相遇，依题意得：
4x+6x=60，解得：x=6．
答：经过6分钟后，P、Q两点相遇．
（2）设经过y分钟后，P、Q两点相距20厘米，依题意得：
①4y+6y+20=60，解得：y=4；
②4y+6y﹣20=60，解得：y=8．
答：经过4或8分钟后，P、Q两点相距20厘米．
23．（1）（2）0，（3）2，-1（4）-4，1（5）-4，1（6）1（7）3，4
【解析】
（1）x＝±，∴x＝±7，∴ x1=7，x2=﹣7；
（2）x（3x－7）＝0，∴x1=0，x2= ；
（3）2x﹣1=±3，∴x1=2，x2=﹣1；
（4），∴x+=±，∴x1=1，x2=﹣4；
（5）（x+4）2﹣5（x+4）=0，∴（x+4）（x+4﹣5）=0，∴x1=﹣4，x2=1；
（6）x2+2x+1﹣4x=0，∴x2﹣2x+1=0
（x﹣1）2=0，∴x1=x2=1；
（7）x2﹣7x+12=0，∴（x﹣3）（x﹣4）=0，∴x1=3，x2=4．
24．（1）7；（2）1；（3）不存在实数m，使方程的两个根互为倒数.
【解析】（1）若方程的一个根为零，
则m?7=0，解得m=7，
(2)若方程的两个根互为相反数，
则两根之和为0，故 =0，解得m=1，
(3)若方程两根互为倒数，
则=1，解得m=15，
当m=15时，方程是8x2?14x+8=0，即4x2?7x+4=0，根的判别式△=?15<0，
故不存在实数m，使方程的两个根互为倒数．









试卷第1页，总3页


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