浙教版数学九年级下册:2.1直线与圆的位置关系 同步练习 解析版

浙教版九年级下册2.1直线与圆的位置关系同步练习
一．选择题（共12小题）
1．已知半径为3的⊙O上一点P和⊙O外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．位置不定
2．在直角坐标平面内，已知点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r的取值范围为（　　）
A．0＜r＜5 B．3＜r＜5 C．4＜r＜5 D．3＜r＜4
3．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连接AB，下列结论中，错误的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．OP＝2OA
4．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙于点E，交PA、PB于C、D，若△PCD的周长等于4，则线段PA的长是（　　）

A．4 B．8 C．2 D．1
5．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则圆心O到直线l的距离是（　　）
A．5 B．2.5 C．3 D．10
6．如图，过圆外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，连接AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使AD＝BE，BD＝AF，连接DE、DF、EF，则∠EDF等于（　　）

A．90°﹣∠P B．90°﹣∠P C．180°﹣∠P D．45°﹣∠P
7．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，D为切点，若∠BCD＝125°，则∠ADP的大小为（　　）

A．25° B．40° C．35° D．30°
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．90°的圆周角所对的弦是直径
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
D．长度相等的弧是等弧
9．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于M，过M作MN⊥AM交BC于N，连AN、QN．下列结论：
①MA＝MN；②∠AQD＝∠AQN；③S△AQN＝S五边形ABNQD；④QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线．
其中正确的结论有（　　）

A．①②③④ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①②
10．如图，AB为⊙O的切线，OB交⊙O于点D，C为⊙O上一点，若∠ABO＝42°，则∠ACD的度数为（　　）

A．48° B．24° C．36° D．72°
11．如图，AD、AE和BC分别切⊙O于点D、E、F，如果AD＝18，则△ABC的周长为（　　）

A．18 B．27 C．36 D．54
12．如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠A的度数为（　　）

A．45° B．30° C．22.5° D．37.5°
二．解答题（共18小题）
13．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，连接AD，BD，∠A＝∠B＝30°，圆的半径R．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

14．如图，△ABC中，AB＝BC，CE∥AB，以AB为直径作⊙O，当CE是⊙O的切线时，切点为D．
（1）求：∠ABC的度数；
（2）若CD＝3，求AC的长度．

15．如图，以△ABC的边AC为直径的O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，BC＝2，求DE的长．

16．如图，已知AB为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C是⊙O上异于点A的一点，且PC＝PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝6，求∠P的度数及PA的长．

17．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，OF＝1，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

18．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BD∥AE交AC的延长线于点D，求证：AB2＝AC?AD．

19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC．
（1）试说明：AD⊥CD；
（2）若AD＝4，AB＝6，求AC．

20．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．

21．如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．
（1）求证：AB+CD＝AD+BC；
（2）求∠AOD的度数．

22．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．

23．如图，PA、PB、DE切⊙O于点A、B、C、D在PA上，E在PB上，
（1）若PA＝10，求△PDE的周长．
（2）若∠P＝50°，求∠O度数．

24．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．
（1）求证：PD2＝PE?PF；
（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．

25．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．求BC的长．

26．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，⊙O的割线PBC过点O与⊙O分别交于B、C，PA＝8cm，PB＝4cm，求⊙O的半径．

27．如图1，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H，BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线相交于点D．
（1）求证：DA＝DC；
（2）当DF：EF＝1：8，且DF＝时，求AB?AC的值；
（3）将图1中的EF所在直线往上平行移动到⊙O外，如图2的位置，使EF与OB，延长线垂直，垂足为H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O的半径，AB的延长线交⊙O于C，过C作⊙O的切线交EF于D．试猜想DA＝DC是否仍然成立？并证明你的结论．

28．如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．
（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；
（2）求四边形CDPF的周长；
（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF?FG＝CF?OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．

29．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD＝BC，CE⊥AD于E，BE交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE＝PC．

30．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．
（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．

























参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知半径为3的⊙O上一点P和⊙O外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．位置不定
【分析】根据勾股定理的逆定理和直线与圆的位置关系解答即可．
【解答】解：如图所示：
∵半径为3的⊙O上一点P和⊙O外一点Q，OQ＝5，PQ＝4，
即OP＝3，PQ＝4，OQ＝5，
∵32+42＝52，
∴△OPQ是直角三角形，
∴PQ⊥OP，
∴PQ与⊙O相切，
故选：B．
2．在直角坐标平面内，已知点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r的取值范围为（　　）
A．0＜r＜5 B．3＜r＜5 C．4＜r＜5 D．3＜r＜4
【分析】先求出点M到x轴、y轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．
【解答】解：∵点M的坐标是（4，3），
∴点M到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，
∵点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，
∴r的取值范围是3＜r＜4，
故选：D．
3．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连接AB，下列结论中，错误的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．OP＝2OA
【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出．
【解答】解：由切线长定理可得：∠1＝∠2，PA＝PB，从而AB⊥OP．
因此A．B．C都正确．
无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．
综上可知：只有D是错误的．
故选：D．
4．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙于点E，交PA、PB于C、D，若△PCD的周长等于4，则线段PA的长是（　　）

A．4 B．8 C．2 D．1
【分析】直接利用切线长定理得出AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB，进而求出PA的长．
【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB
∵△PCD的周长等于4，
∴PC+CD+PD＝4，
∴PA+PB＝4，
∴PA＝2．
故选：C．
5．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则圆心O到直线l的距离是（　　）
A．5 B．2.5 C．3 D．10
【分析】利用切线的性质求解．
【解答】解：∵直线l是⊙O的切线，
∴圆心O到直线l的距离等于圆的半径，
即圆心O到直线l的距离为5
故选：A．
6．如图，过圆外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，连接AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使AD＝BE，BD＝AF，连接DE、DF、EF，则∠EDF等于（　　）

A．90°﹣∠P B．90°﹣∠P C．180°﹣∠P D．45°﹣∠P
【分析】由条件可得∠PAB＝∠PBA，结合条件可证明△ADF≌△BED，可得到∠AFD＝∠EDB，再利用三角形内角和和平角的定义可得∠EDF＝∠PAB，在△PAB中可求得∠PAB，则可得出∠EDF的度数．
【解答】解：∵PA、PB都是⊙O的切线，
∴PA＝PB，即有∠PAB＝∠PBA，
在△ADF和△BED中，
，
∴△ADF≌△BED（SAS），
∴∠AFD＝∠EDB，
∵∠FAD+∠FDA+∠AFD＝180°，∠FDA+∠FDE+∠EDB＝180°，
∴∠EDF＝∠PAB，
∵∠PAB+∠PBA+∠P＝180°，且∠PBA＝∠PAB，
∴∠EDF＝∠PAB＝．
故选：B．
7．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，D为切点，若∠BCD＝125°，则∠ADP的大小为（　　）

A．25° B．40° C．35° D．30°
【分析】连接AC，OD，得到∠ACB是直角，求出∠ACD的度数，可求出∠AOD的度数，再利用切线的性质即可得到∠ADP的度数．
【解答】解：连接AC，OD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝125﹣90°＝35°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝70°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠ADO＝55°，
∵PD与⊙O相切，
∴OD⊥PD，
∴∠ADP＝90°﹣∠ADO＝90°﹣55°＝35°．
故选：C．
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．90°的圆周角所对的弦是直径
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
D．长度相等的弧是等弧
【分析】每个选项都画出反例图形，根据图形判断即可．
【解答】解：A、根据圆周角定理得：90°的圆周角所对的弦是直径，故本选项正确；
B、
如图1，符合条件，当AB和CD不垂直，故本选项错误；
C、
如图2，AB⊥OC，AB过半径OC端点O，但是AB不是圆的切线，故本选项错误；
D、如图3，
弧AB和弧CD长度相等，但是弧AB和弧CD不是等弧，故本选项错误；
故选：A．
9．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于M，过M作MN⊥AM交BC于N，连AN、QN．下列结论：
①MA＝MN；②∠AQD＝∠AQN；③S△AQN＝S五边形ABNQD；④QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线．
其中正确的结论有（　　）

A．①②③④ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①②
【分析】延长CD到F，使DF＝BN，连接AF，过A作AH⊥NQ于H，证ABNM四点共圆，推出∠ANM＝∠NAM即可判断①；证△ABN≌△ADF，推出AF＝AN，∠FAD＝∠BAN，证△NAQ≌△FAQ，
推出∠AQN＝∠AQD即可判断②；证△ADQ≌△AHQ，即可推出③；根据AH＝AD＝AB，AH⊥NQ，即可判断④．
【解答】解：
延长CD到F，使DF＝BN，连接AF，过A作AH⊥NQ于H，
∵正方形ABCD，NM⊥AQ，
∴∠AMN＝∠ABC＝90°，
∴ABNM四点共圆，
∴∠NAM＝∠DBC＝45°，∠ANM＝∠ABD＝45°，
∴∠ANM＝∠NAM＝45°，
∴MA＝MN，∴①正确；
∵正方形ABCD，
∴∠ABN＝∠ADF＝90°，AD＝AB，
在△ABN和△ADF中
∵，
∴△ABN≌△ADF，
∴∠FAD＝∠BAN，AF＝AN，
∵∠NAM＝∠BAC＝45°，
∴∠FAQ＝∠FAD+∠DAQ＝45°＝∠NAQ，
在△NAQ和△FAQ中
∵，
∴△NAQ≌△FAQ，
∴∠AQN＝∠AQD，∴②正确；
在△ADQ和△AHQ中
∵，
∴△ADQ≌△AHQ，
∴S△ADQ＝S△AQH，
∴S△NAQ＝S△FAQ＝S△FAD+S△ADQ＝S五边形ABNQD，
∴③正确；
∵AH＝AD＝AB，AH⊥NQ，
∴QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线，
∴④正确．
故选：A．
10．如图，AB为⊙O的切线，OB交⊙O于点D，C为⊙O上一点，若∠ABO＝42°，则∠ACD的度数为（　　）

A．48° B．24° C．36° D．72°
【分析】连接OA，由切线的性质得出∠OAB＝90°，由直角三角形的性质得出∠AOB＝90°﹣∠ABO＝48°，再由圆周角定理得出∠ACD＝∠AOB＝24°即可．
【解答】解：连接OA，如图：
∵AB为⊙O的切线，
∴AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝90°﹣42°＝48°，
∴∠ACD＝∠AOB＝24°；
故选：B．

11．如图，AD、AE和BC分别切⊙O于点D、E、F，如果AD＝18，则△ABC的周长为（　　）

A．18 B．27 C．36 D．54
【分析】根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解．
【解答】解：据切线长定理有AD＝AE，BE＝BF，CD＝CF；
则△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BF+CF+AC＝AB+BE+AC+CD＝2AD＝36
故选：C．
12．如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠A的度数为（　　）

A．45° B．30° C．22.5° D．37.5°
【分析】因为∠COD＝∠A+∠OCA，∠A＝∠COA，所以求出∠COD即可解决问题．
【解答】解：∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵CO＝CD，
∴∠COD＝∠D＝45°，
∵OA＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠COD＝∠OAC+∠OCA＝45°，
∴∠A＝22.5°．
故选：C．

二．解答题（共18小题）
13．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，连接AD，BD，∠A＝∠B＝30°，圆的半径R．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OD，求出∠A＝∠ADO＝30°，求出∠DOB＝60°，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出OB、BD、求出△BDO的面积和扇形DOC的面积，即可求出答案．
【解答】（1）证明：
连接OD，
∵OA＝OD，∠A＝∠B＝30°，
∴∠A＝∠ADO＝30°，
∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，
∵OD是半径，
∴BD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠B＝30°，∠ODB＝90°，OD＝R，
∴OB＝2R，
由勾股定理得：BD＝R，
∴图中阴影部分的面积是：S△BDO﹣S扇形DOC＝×R×R﹣＝R2，
答：图中阴影部分的面积是R2．
14．如图，△ABC中，AB＝BC，CE∥AB，以AB为直径作⊙O，当CE是⊙O的切线时，切点为D．
（1）求：∠ABC的度数；
（2）若CD＝3，求AC的长度．

【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥CE，过B作BH⊥CD于H，得到四边形BHDO是正方形，求得BH＝OD，求得BH＝BC，根据三角函数的定义得到∠BCH＝30°，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）设⊙O于AC交于F，连接BF，根据等腰三角形的性质得到CF＝AC，根据切割线定理即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OD，
∵CE是⊙O的切线，
∴OD⊥CE，
∵CD∥AB，
∴OD⊥AB，
过B作BH⊥CD于H，
则四边形BHDO是正方形，
∴BH＝OD，
∵AB＝BC，AB为⊙O的直径，
∴BH＝BC，
∴∠BCH＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠ABC＝30°；
（2）设⊙O于AC交于F，
连接BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴BF⊥AC，
∵AB＝BC，
∴CF＝AC，
∵CD是⊙O的切线，AC是⊙O的割线，
由切割线定理得，CD2＝CF?AC＝ACAC，
∴32＝AC2，
∴AC＝3（负值舍去）．

15．如图，以△ABC的边AC为直径的O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，BC＝2，求DE的长．

【分析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出DE是⊙O的切线；
（2）首先过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，得出tan∠CEG＝tan∠ACB，＝，即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵DE∥AC，
∴∠ODE＝∠AOD＝90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝10，
∴OD＝5，
过点C作CG⊥DE，垂足为G，
则四边形ODGC为正方形，
∴DG＝CG＝OD＝5，
∵DE∥AC，
∴∠CEG＝∠ACB，
∴tan∠CEG＝tan∠ACB，
∴＝，即＝，
解得：GE＝2.5，
∴DE＝DG+GE＝．

16．如图，已知AB为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C是⊙O上异于点A的一点，且PC＝PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝6，求∠P的度数及PA的长．

【分析】（1）根据切线的性质得到∠PAB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，求得PA⊥AB，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BC，推出△PAC是等边三角形，得到∠P＝60°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵PC＝PA，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝∠PAC+∠OAC＝∠PAB＝90°，
∴PA⊥AB，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠PAC＝60°，
∴△PAC是等边三角形，
∴∠P＝60°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴PA＝AC＝AB＝3．

17．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，OF＝1，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，根据余角的性质得到∠CEA＝90°，由切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到AO＝2；求得AF＝即AE＝；根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵AC＝EC，OA＝OE，
∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，
∵AC⊥AB，
∴∠CAD＝90°，
∴∠CAE+∠EAO＝90°，
∴∠CEA+∠AEO＝90°，
即∠CEO＝90°，
∴OE⊥CD，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：∵∠OAF＝30°，OF＝1
∴AO＝2；
∴AF＝即AE＝；
∴；
∵∠AOE＝120°，AO＝2；
∴；
∴S阴影＝．

18．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BD∥AE交AC的延长线于点D，求证：AB2＝AC?AD．

【分析】欲证AB2＝AC?AD，即证AB：AD＝AC：AB，可以通过证明△ABC∽△ABD得出．而已知∠BAD公共，又可以根据已知条件推出∠D＝∠ABC，由两角对应相等的两个三角形相似，得出△ACB∽△ABD．
【解答】证明：∵BD∥AE，
∴∠EAD＝∠D．
∵AE切⊙O于点A，
∴∠EAD＝∠ABC．
∴∠D＝∠ABC．
∵∠BAD＝∠BAD，
∴△ACB∽△ABD．
∴AB：AD＝AC：AB．
∴AB2＝AC?AD．
19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC．
（1）试说明：AD⊥CD；
（2）若AD＝4，AB＝6，求AC．

【分析】（1）连接OC，根据CD是⊙O的切线可得OC⊥CD，然后证明CO∥AD即可得证明；
（2）根据两角对应相等，两三角形相似证明△ADC∽△ACB，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式，代入数据进行计算即可求解．
【解答】（1）证明：连接OC；
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD；

（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在△ADC与△ACB中，，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
即AC2＝AD?AB，
∵AD＝4，AB＝6，
∴AC＝＝2．

20．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．

【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF＝180°，则有∠OBC+∠OCB＝90°，即∠BOC＝90°；
（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；
（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．
【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBE+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°；

（2）由（1）知，∠BOC＝90°．
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，
∴BE+CG＝BC＝10cm．

（3）∵OF⊥BC，
∴OF＝＝4.8cm．

21．如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．
（1）求证：AB+CD＝AD+BC；
（2）求∠AOD的度数．

【分析】（1）根据切线长定理可证得AE＝AN，BE＝BM，DF＝DN，CF＝CM，进而证明AB+DC＝AD+BC；
（2）连OE、ON、OM、OF，通过证明△OAE≌△OAN，得到∠OAE＝∠OAN．同理：∠ODN＝∠ODE，再利用平行线的性质：同旁内角互补即可求出∠AOD的度数．
【解答】（1）证明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：AE＝AN，BE＝BM，DF＝DN，CF＝CM，
∴AE+BE+DF+CF＝AN+BM+DN+CM，
∴AB+DC＝AD+BC；

（2）解：连OE、ON、OM、OF，
∵OE＝ON，AE＝AN，OA＝OA，
∴△OAE≌△OAN，
∴∠OAE＝∠OAN．
同理，∠ODN＝∠ODF．
∴∠OAN+∠ODN＝∠OAE+∠ODE．
又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN＝180°，
∴∠OAN+∠ODN＝×180°＝90°，
∴∠AOD＝180°﹣90°＝90°．

22．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．

【分析】（1）由切线长定理，易得∠OBE＝∠OBF＝∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝∠GCF，又由AB∥CD，则可求得∠BOC＝90°；
（2）由BO＝6，CO＝8，利用勾股定理即可求得BC的长；
（3）利用直角三角形斜边上的高等于两直角边的积除以斜边，即可求得⊙O的半径OF的长．
【解答】（1）答：△OBC是直角三角形．
证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴∠OBE＝∠OBF＝∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝∠GCF，
∵AB∥CD，
∴∠EBF+∠GCF＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是直角三角形；

（2）解：∵在Rt△BOC中，BO＝6，CO＝8，
∴BC＝＝10；

（3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴OF⊥BC，
∴OF＝＝＝4.8．
23．如图，PA、PB、DE切⊙O于点A、B、C、D在PA上，E在PB上，
（1）若PA＝10，求△PDE的周长．
（2）若∠P＝50°，求∠O度数．

【分析】（1）于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将切线PA、PB的长转化为△PDE的周长；
（2）连接OA、OC、0B，利用切线长定理即可得到∠O＝∠AOB，根据四边形的内角和可得∠AOB+∠P＝180°，进而求出∠O的度数．
【解答】解：（1）∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10+10＝20；
∴△PDE的周长为20；

（2）连接OA、OC、0B，
∵OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，
∴∠DAO＝∠EBO＝90°，
∴∠P+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣50°＝130°
∵∠AOD＝∠DOC，∠COE＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠AOB＝×130°＝65°．

24．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．
（1）求证：PD2＝PE?PF；
（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．

【分析】（1）连接PB，OP，利用AB切⊙O1于B求证△PBE∽△POD，得出＝，同理，△OPF∽△BPD，得出＝，然后利用等量代换即可．
（2）连接O1B，O1P，得出△O1BP和△O1PO为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标．
再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积．
【解答】（1）证明：连接PB，OP，
∵PE⊥AB，PD⊥OB，
∴∠BEP＝∠PDO＝90°，
∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，
∴△PBE∽△POD，
∴＝，
同理，△OPF∽△BPD
∴＝，
∴＝，
∴PD2＝PE?PF；

（2）解：连接O1B，O1P，
∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，
∴∠ABP＝30°，
∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，
∵O1B＝O1P，
∴△O1BP为等边三角形，
∴O1B＝BP，
∵P为弧BO的中点，
∴BP＝OP，
即△O1PO为等边三角形，
∴O1P＝OP＝a，
∴∠O1OP＝60°，
又∵P为弧BO的中点，
∴O1P⊥OB，
在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，
∴O1D＝a，OD＝a，
过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，
OM＝DM＝a，
∴D（﹣a，a），
∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°
∴∠POF＝30°，
∵PE⊥OA，
∴PF＝OP＝a，OF＝a，
∴P（﹣a，），F（﹣a，0），
∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，
∴∠ABP＝∠BOP＝30°，
∵PE⊥AB，PB＝a，
∴∠EPB＝60°
∴PE＝a，BE＝a，
∵P为弧BO的中点，
∴BP＝PO，
∴∠PBO＝∠BOP＝30°，
∴∠BPO＝120°，
∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，
即OPE三点共线，
∵OE＝a+a＝a，
过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，
∴∠EOA＝30°，
∴EM＝OE＝a，OM＝a，
∴E（﹣a，a），
∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），
∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，
DE边上的高为：a，
∴S△DEF＝×a×a＝a2．
故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．


25．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．求BC的长．

【分析】根据切线长定理和平行线的性质定理得到△BOC是直角三角形．再根据勾股定理求出BC的长．
【解答】解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G；
∴∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠CBO+∠BCO＝∠ABC+∠DCB＝（∠ABC+∠DCB）＝90°．
∴cm．
26．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，⊙O的割线PBC过点O与⊙O分别交于B、C，PA＝8cm，PB＝4cm，求⊙O的半径．

【分析】连接OA，设⊙O的半径为rcm，由勾股定理，列式计算即可．
【解答】解：连接OA，
设⊙O的半径为rcm，（2分）
则r2+82＝（r+4）2，（4分）
解得r＝6，
∴⊙O的半径为6cm．（2分）

27．如图1，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H，BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线相交于点D．
（1）求证：DA＝DC；
（2）当DF：EF＝1：8，且DF＝时，求AB?AC的值；
（3）将图1中的EF所在直线往上平行移动到⊙O外，如图2的位置，使EF与OB，延长线垂直，垂足为H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O的半径，AB的延长线交⊙O于C，过C作⊙O的切线交EF于D．试猜想DA＝DC是否仍然成立？并证明你的结论．

【分析】（1）连接过切点的半径OC，根据等角的余角相等进行证明∠ACD＝∠DAC，从而得到AD＝CD；
（2）根据已知条件求得DF的长，再根据切割线定理求得CD的长．从而求得DF和EF的长，最后根据相交弦定理即可求得它们的乘积；
（3）作直径，构造了直角三角形，也构造了弦切角所夹的弧所对的圆周角．根据等角的余角相等证明∠DAC＝∠ACD，从而证明结论．
【解答】（1）证明：连接OC，则OC⊥DC，（1分）
∴∠DCA＝90°﹣∠ACO＝90°﹣∠B．
∵∠DAC＝∠BAE＝90°﹣∠B，
∴∠DAC＝∠DCA．
∴DA＝DC．

（2）解：∵DF：EF＝1：8，
∵DF＝，
∴EF＝8DF＝8．
∵DC为⊙O的切线，
∴DC2＝DF?DE＝×9＝18．
∵DC＝3，
∴AF＝2，AE＝6．
∴AB?AC＝AE?AF＝24．

（3）解：结论DA＝DC仍然成立．
理由如下：延长BO交⊙O于K，连接CK，则∠KCB＝90°；
∵DC为⊙O的切线，
∴∠DCA＝∠CKB＝90°﹣∠CBK．
∵∠CBK＝∠HBA，
∴∠BAH＝90°﹣∠HBA＝90°﹣∠CBK．
∴∠DCA＝∠BAH．
∴DA＝DC．

28．如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．
（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；
（2）求四边形CDPF的周长；
（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF?FG＝CF?OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据切线长定理得到FB＝FE，PE＝PA；
（2）根据切线长定理，发现：该四边形的周长等于正方形的三边之和；
（3）根据若要满足结论，则∠BFO＝∠GFC，根据切线长定理得∠BFO＝∠EFO，从而得到这三个角应是60°，然后结合已知的正方形的边长，也是圆的直径，利用30°的直角三角形的知识进行计算．
【解答】解：（1）FB＝FE，PE＝PA．

（2）四边形CDPF的周长为
FC+CD+DP+PE+EF＝FC+CD+DP+PA+BF
＝BF+FC+CD+DP+PA
＝BC+CD+DA
＝×3＝．

（3）存在．
∵BF?FG＝CF?OF
∴
∵cos∠OFB＝，cos∠GFC＝
∴∠OFB＝∠GFC
∵∠OFB＝∠OFE
∴∠OFE＝∠OFB＝∠GFC＝60°
∴在Rt△OFB中，FE＝FB＝＝1
∴在Rt△GFC中
∵CG＝CF?tan∠GFC＝CF?tan60°＝（2﹣1）tan60°＝6﹣
∴DG＝CG﹣CD＝6﹣3
∴DP＝DG?tan∠PGD＝DG?tan30°＝2﹣3
∴AP＝AD﹣DP＝2﹣（2﹣3）＝3．
29．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD＝BC，CE⊥AD于E，BE交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE＝PC．

【分析】连接OC，可证明PC为⊙O的切线，则PC2＝PF?PA，又由△PEF∽△PAE，可证明PC＝PE．
【解答】证明：连接OC，
则OC∥AD，可证明PC为⊙O的切线，
∴PC2＝PF?PA，
又∵CE⊥AD于E，AB为⊙O的直径，
∴∠PEA＝∠PFE＝90°，
又∵∠EPF＝∠EPF，
∴△PEF∽△PAE，得PE2＝PF?PA，
故PC2＝PE2．
即PC＝PE．

30．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．
（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB＝∠MBF，得出OM∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；
（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB，可得，即可求CM的长．
【解答】证明：（1）连接OM，

∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM，
∵BM平分∠ABD，
∴∠OBM＝∠MBF，
∴∠OMB＝∠MBF，
∴OM∥BF，
∵MF⊥BD，
∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，
∴MF是⊙O的切线；
（2）如图，连接AN，ON

∵＝，
∴AN＝BN＝4
∵AB是直径，＝，
∴∠ANB＝90°，ON⊥AB
∴AB＝＝4
∴AO＝BO＝ON＝2
∴OC＝＝＝1
∴AC＝2+1，BC＝2﹣1
∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC
∴△ACN∽△MCB
∴
∴AC?BC＝CM?CN
∴7＝3?CM
∴CM＝











第1页（共1页）