第一章 解直角三角形单元测试卷A（含解析）

解直角三角形单元测试卷（A）
一、单选题
1．的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；③Rt△ABC中，∠B=90°，则sin2A+cos2A=1；④Rt△ABC中，∠A=90°，则tanC?sinC=cosC．其中正确的命题有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6 cm，那么BC等于(　 　)
A．8 cm B． cm C． cm D． cm
4．已知等腰△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为5，如果底边BC的长为6，则底角的正切值为(　 　)

A．3 B． C． D．3或
5．将的三边分别扩大倍，得到，则（ ）
A．sinA=sinA' B．sinA>sinA'
C．sinA6．已知一山坡的坡度为，某人沿斜坡向上走了，则这个人升高了 ．
A． B． C． D．
7．已知为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是

A． B． C． D．
9．如图一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）

A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
10．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（　　）

A． B． C．2 D．

二、填空题
11．已知α为锐角，且2cos2α－5cosα＋2＝0，则α＝________．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列式子：①a=c?sinB，②a=c?cosB，③a=c?tanB，④a= ，必定成立的是________．
13．在△ABC中，∠C＝90°，a＝35，c＝35，则∠A＝_______，b＝_______．
14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的
位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= ▲ ．


15．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______．
16．如图。在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是__________．


三、解答题
17．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．

（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
18．先化简，再求值：（1﹣x+）÷，其中x=tan45°+（）﹣1．
19．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，求切线长PQ的最小值.

20．一副直角三角板如图所示放置，点在的延长线上，，，，，，试CD的长.

21．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．已知AE=5，tan∠AED=，求BE+CE的值
22．计算：
(1)＋tan60°；
(2)2cos45°·sin45°－2sin30°·tan45°＋·tan60°.
23．已知：在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件，解直角三角形．
(1)BC＝8，∠B＝60°；
(2)AC＝，AB＝2.
24．热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处于地面距离为420米，求这栋楼的高度．




参考答案
1．C【解析】根据特殊角的三角函数值,可知:
故选C.
2．C【解析】①根据锐角三角函数的定义知所有的锐角三角函数值都是正数，故正确；
②两个元素中，至少得有一条边，故错误；
③根据锐角三角函数的概念，以及勾股定理，得则 = =1，故正确；
④根据锐角三角函数的概念，得tanC=，sinC=，cosC=，则tanC?cosC=sinC，故错误．故选C．
3．A【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA==，AC=6cm，
∴AB=10cm，∴BC==8cm．故选：A．
4．D【解析】

如图（1），可求得AD=OA+OD=9，tan∠ABD==3，
如图（2），可求得AD=OA-OD=1，tan∠ABD==，综上，tan∠ABD=3或．故选：D．
5．A【解析】Rt△ABC的三边分别扩大2倍，得到Rt△A′B′C′，对边与斜边的比值不变，
故A正确；故选：A．
6．B【解析已知i=1:3，则BC=3AB，

∵AC==10m，
∴BC=3，AB=故答案为：．


7．C【解析】∵为锐角，且,
∴=== ．故选C．
8．A【解析】过点C作CE⊥AB于点E，

∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°．
在Rt△CBE中，BC=50m，
∴CE=BC?sin60°=．故选A．
9．B【解析】由题意得∠ABC=60°，AB=BC=40
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=40海里．故选B．
10．D【解析】∵∠DAB=∠DEB，
∴tan∠DEB= tan∠DAB=，故选D．
11．60°【解析】设cosα=A，
则原式= ,
解得，A=2（因为cosα≠2，舍）或，
∴cosα=，∴α=60°.故答案为：60°．
12．②【解析】 在中，，分别是的对边，
则:
即: 必定成立的是②.故答案为: ②.
13．45° 35
【解析】（1）∵在△ABC中，∠C=90°，，
∴sinA=，∴∠A=45°；
（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∴.
14．5.5【解析】在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴=，即=，
解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m
15． 【解析】如图所示：

∵∠C=90°，tanA=，∴设BC=x，则AC=2x，故AB=x，
则sinB=.故答案为： ．
16．【解析】∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC==． 故答案为：．
17．（1）3；（2）∠DEF的大小不变，tan∠DEF=；（3）或．
【解析】（1）当t=3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），∴OA=8，OC=6，∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE=OA=4，∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠OAB=∠DEA=90°，又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF=AE=3；
（2）∠DEF的大小不变；理由如下：
作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：

∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴, ，∵点D为OB的中点，∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM=AB=3，DN=OA=4，∵∠EDF=90°，∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，∴△DMF∽△DNE，∴，
∵∠EDF=90°，∴tan∠DEF=；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，

由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），∴AF=4+MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，∴G（，），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得： ，
解得： ，∴直线AD的解析式为y=﹣x+6，把G（，）代入得：t=；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，

由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），∴AF=4﹣MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，∴G（，），代入直线AD的解析式y=﹣x+6得：t=；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或.
18．- 【解析】原式=（）÷
=
=，
当x=tan45°+（）﹣1=1+2=3时，原式=．
19．．
【解析】如图，作AP⊥直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，∵A的坐标为（?1，0），设直线与x轴，y轴分别交于C，B，
∴B（0，3），C（4，0），∴OB＝3，AC＝5，
∴BC＝∴AC＝BC，
在△APC与△BOC中，
，∴△APC≌△BOC，
∴AP＝OB＝3，∴PQ＝．
∵PQ2＝PA2?1，此时PA最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为.

20．15-5
【解析】过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，
∴∠ABC=30°，BC=AC×tan60°=10，
∵AB∥CF，
∴BM=BC×sin30°=10×=5，
CM=BC×cos30°=15，
在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，
∴∠EDF=45°，
∴MD=BM=5，
∴CD=CM-MD=15-5
21．BE+CE=6或16
【解析】有两种情形，需要分类讨论：
①∠BAC为锐角，如图所示，

∵AB的垂直平分线是DE，
∴AE=BE，ED⊥AB，
∵AE=5，tan∠AED
∴sin∠AED
∴AD=AE?sin∠AED=3．
∴AB=6．
∴BE+CE=AE+CE=AC=AB=6．
②若∠BAC为钝角，如图所示，同理可求得：BE+CE=16．
综上所述，BE+CE=6或16
22．（1）；（2）3.
【解析】(1)原式＝；
(2)原式＝==..
23．【解析】(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝8，
∴∠A＝30°，AB＝＝16，AC＝8tan60°＝8；
(2)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝2，
∴cosA＝，
∴∠A＝45°，
∴∠B＝45°，BC＝.
24．280．【解析】过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，在Rt△ACD中，∵∠CAD=30°，AD=420米，∴CD=AD?tan30°==（米），∴AE=CD=140米．在Rt△ABE中，∵∠BAE=30°，AE=米，∴BE=AE?tan30°=×=140（米），∴BC=AD﹣BE=420﹣140=280（米）．
答：这栋楼的高度为280米．














试卷第1页，总3页


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