第一章 解直角三角形单元测试卷B（含解析）

解直角三角形单元测试卷（B）
一、单选题
1．在△ABC中，∠C=90°，tanA=, 那么sinA的值是（? ）
A． B． C．? D．
2．如图，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是(　 　)

A． B．12 C．14 D．21
3．在正方形网格中△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ）

A． B．
C． D．
4．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）

A． B． C． D．
5．如图，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1m，则旗杆PA的高度为(　 　)

A．m B．m C． m D． m
6．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB=，BD=5，则AH的长为（　　）

A． B． C． D．
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB两侧的点，若∠D=30°，则tan∠ABC的值为（　　）

A． B． C． D．
8．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
9．已知为锐角，下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么；④，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为（　　）

A． B． C． D．


二、填空题
11．如图，四条直线l1：y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣x，OA1=1，过点A1作A1A2⊥x轴，交l1于点A2，再过点A2作A2A3⊥l1交l2于点A3，再过点A3作A3A4⊥l2交y轴于点A4…，则点A2017坐标为________．

12．如图，甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼，乙沿南偏东30°方向以每小时10海里的速度航行，甲沿南偏西75°方向以每小时10海里的速度航行，当航行1小时后，甲在A处发现自己的渔具掉在乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东60°方向追赶乙船，正好在B处追上．则甲船追赶乙船的速度为________海里/小时？

13．如图。矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为 ．

14．如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1=∠2，则tan∠OCA=________．

15．若，为锐角，则的值是________．
16．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，则最小角的正弦值为____．

三、解答题
17．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．




18．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BE：AB=3：5，若CE= ，cos∠ACD= ，求tan∠AEC的值及CD的长．

19．两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB=25，CD=17．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）角度，如图2所示．
（1）利用图2证明AC=BD且AC⊥BD；
（2）当BD与CD在同一直线上（如图3）时，求AC的长和α的正弦值．

20．）如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=．
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15°的值.

21．已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）经过秒时，求△PBQ的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．

22．计算：
(1)3tan245°－ (sin 60°－2tan 30°)；
(2)＋cos225°＋sin225°.
23．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．
（1）求∠BCD的度数．
（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）

24．如图，小明要测量河内小岛B到河边公路AD的距离，在点A处测得∠BAD＝37°，沿AD方向前进150米到达点C，测得∠BCD＝45°．求小岛B到河边公路AD的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）




参考答案
1．B【解析】tanA=，BC=x，AC=3x，
由勾股定理，得AB=x，sinA=，故选B．
2．A【解析】过点A作AD⊥BC，

∵△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，
∴cosB==，∴∠B=45°，∵sinC===，
∴AD=3，∴CD==4，∴BD=3，
则△ABC的面积是：×AD×BC=×3×（3+4）=．故选：A．
3．B【解析】由图可得，故选B.

4．A【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，∴，∴EF=AF，∴EF=AE，∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得：AE=DE，∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，∴DF=x，∴tan∠BDE= .故选A．
5．A【解析】设PA=PB=PB′=x，
在RT△PCB′中，sinα=，∴=sinα，∴x-1=xsinα，
∴（1-sinα）x=1，∴x=．故选A．

6．B【解析】连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴AB⊥CD，
∴∠OHD=∠BHD=90°，∵sin∠CDB=，BD=5，∴BH=3，
∴DH==4，设OH=x，则OD=OB=x+3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2，解得：x=，
∴OH=，∴AH=OA+OH=+3+=，故选B．
7．C【解析】∵，∴∠BAC=∠D=30°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠ABC=60°，∴tan∠ABC=， 故选C．
8．D【解析】如图，连接BE，

根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，∵∠AEB=∠D+∠DBE，∴∠AEB>∠D，∴∠C>∠D，
根据锐角三角形函数的增减性，可得，sin∠C>sin∠D，故①正确；cos∠Ctan∠C>tan∠D，故③正确；故选D．

9．C【解析】①如果α=30°，那么sinα=，cosα=，sinα+cosα=≠1，错误；
②∵90°＞α＞45°，∴0°＜90°-α＜45°＜α，∴sinα＞sin（90°-α），∴sinα＞cosα，正确；③∵cos60°=，锐角余弦函数随角的增大而减小，∴如果cosα＞，则α＜60°，正确；④∵sinα≤1，∴sinα-1≤0，∴=|sinα-1|=1-sinα，正确．故选：C．
10．C【解析】设小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，
∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的边长是a，
∵图中的四个直角三角形是全等的，∴AE=DH，
设AE=DH=x，在Rt△AED中，AD2=AE2+DE2，
即13a2=x2+（x+a）2解得：x1=2a，x2=-3a（舍去），
∴AE=2a，DE=3a，∴tan∠ADE=.故选C.
11．（（）2016，0）
【解析】解：∵l1：y1=x，l2：y2=x，l3：y3=-x，l4：y4=-﹣x，
∴x轴、l1、l2、y轴、l3、l4依次相交为30的角，∵2017=168×12+1，
∴点A2017在x轴的正半轴上，∵OA2==，OA3=（）2，
OA4=（）3，
…
OA2017=（）2016，
∴点A2017坐标为（（）2016，0）．
故答案为（（）2016，0）．
12．
【解析】如图：乙沿南偏东30°方向航行则∠DOB=30°，甲沿南偏西75°方向航行，则∠AOD=75°，当航行1小时后甲沿南偏东60°方向追赶乙船，则∠2=90°﹣60°=30°．
∵∠3=∠AOD=75°，∴∠1=90°﹣75°=15°，故∠1+∠2=15°+30°=45°．
过O向AB作垂线，则∠AOC=90°﹣∠1﹣∠2=90°﹣15°﹣30°=45°．
∵OA=10，∠OAB=∠AOC=45°，∴OC=AC=OA?sin45°=10×=10．
在Rt△OBC中，∠BOC=∠AOD+∠BOD﹣∠AOC=75°+30°﹣45°=60°，∴BC=OC?tan60°=10，∴AB=AC+BC=10+10．
因为OC=10海里，∠B=30°，所以OB=2OC=2×10=20，乙船从O到B所用时间为20÷10=2小时，由于甲从O到A所用时间为1小时，则从A到B所用时间为2﹣1=1小时，甲船追赶乙船的速度为（10+10）海里/小时．

13．。
【解析】如图，过点O作OH⊥AE于点H，连接CE。

∵矩形ABCD中，AO=BO，AB⊥BC，BC=4，
∴由三角形的中位线定理，得OH=2。
∵△AOE的面积为5，∴AE=5。
∵AO=OC，OE⊥AC，即EO是AC的垂直平分线，∴CE= AE=5。
在Rt△EBC中，BC=4，CE="5," 由勾股定理得EB=3。
∵OE⊥AC，AB⊥BC，即∠EBC=∠EOC=900，
∴点O，C，B，E在以CE为直径的圆上，∴∠BOE=∠BCE。∴sin∠BOE=sin∠BCE=。
14．2【解析】∵∠1=∠2，根据等角的余角相等,可得:
∴∠BAO=∠ACO，∵A(2,0),B(0,4)，∴
故答案为：2.
15．
【解析】∵sinA+cosA=，
∴sin2A+cos2A+2sinAcosA=，即1+2sinAcosA=，
∴sinAcosA=.故答案为
16． 或
【解析】当3和4是直角边时，
则设AC=3，BC=4，AB=5，∴∠B是最小的角，
∴sinB=；当3是直角边，4是斜边时，
∴另一条直角边为：，则设AC=，BC=3，AB=4，
∴∠B是最小的角，∴sinB=．故答案是： 或.
17．故大坝的截面的周长是（6+30+98）米，面积是1470平方米．
【解析】∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，DE=30m，
∴AE=18米，在RT△ADE中，AD==6米
∵背水坡坡比为1：2，∴BF=60米，
在RT△BCF中，BC==30米，∴周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=6+10+30+88=（6+30+98）米，
面积=（10+18+10+60）×30÷2=1470（平方米）．
故大坝的截面的周长是（6+30+98）米，面积是1470平方米．
18．tan∠AEC=3, CD=
【解析】在RT△ACD与RT△ABC中∵∠ABC+∠CAD=90°, ∠ACD+∠CAD=90°∴∠ABC=∠ACD, ∴cos∠ABC=cos∠ACD= 在RT△ABC中， 令BC=4k,AB=5k 则AC=3k
由 ,BE=3k 则CE=k,且CE= 则k=，AC=3
∴RT△ACE中，tan∠AEC==3
∵RT△ACD中cos∠ACD= ,，CD=.
19．（1）证明见解析；（2）AC=7；sinα=.
（1）如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E．

∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠DOB，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，
∵∠DBO+∠GOB=90°，∵∠OGB=∠AGE，
∴∠CAO+∠AGE=90°，∴∠AEG=90°，∴BD⊥AC．
（2）如图3中，设AC=x，
∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴x2+（x+17）2=252，
解得x=7，∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°,∠ABC+∠DBO=45°,
∴∠α=∠ABC，∴sinα=sin∠ABC==．
20．（1）16-2；（2）2-
【解析】（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：

在Rt△ADC中，AC=4，∵∠C=150°，
∴∠ACD=30°，∴AD=AC=2，
CD=AC?cos30°=4×=2，
在Rt△ABD中，tanB=，
∴BD=16，∴BC=BD-CD=16-2；
（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示：

∵∠ACB=150°，∴∠AMC=∠MAC=15°，
tan15°=tan∠AMD=.

21．（1）；（2）t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．（3）无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．
【解析】（1）经过秒时，AP=cm，BQ=cm，
∵△ABC是边长为3cm的等边三角形，
∴AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=3-=cm，
∴△PBQ的面积=BP?BQ?sin∠B=×××=；
（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=（3-t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=BP，即t=（3-t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=BQ，3-t=t，t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
（3）过P作PM⊥BC于M，

△BPM中，sin∠B=，∴PM=PB?sin∠B=（3-t），
∴S△PBQ=BQ?PM=?t?（3-t），∴y=S△ABC-S△PBQ=×32×-×t×（3-t）
=t2-t+，∴y与t的关系式为y=t2-t+，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，
则S四边形APQC=S△ABC，∴t2-t+=××32×，∴t2-3t+3=0，
∵（-3）2-4×1×3＜0，∴方程无解，∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．
22．（1）3.5；（2）-1.
【解析】(1)原式＝3×12－
＝3－ ＝3＋＝3.5.
(2)原式＝
＝－2＋1＝－1.
23．（1）38°；（2）20.4m．
【解析】（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；
（2）由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE?tan20°≈10.80m，在Rt△CDE中，DE=CD?tan18°≈9.60m，∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．

24．小岛B到河边公路AD的距离为450米.
【解析】设BE＝x米，在Rt△ABE中利用锐角三角函数表示AE的长，在Rt△CBE中再利用锐角三角函数关系得出CE的长，依据AC＝AE－CE，即可得出答案．
试题解析：过B作BE⊥CD垂足为E，设BE＝x米，

在Rt△ABE中，tanA＝，AE＝＝＝x，
在Rt△CBE中，tan∠BCD＝，CE＝＝＝x，
AC＝AE－CE，x－x＝150x＝450
答：小岛B到河边公路AD的距离为450米.













试卷第1页，总3页


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