第二章 直线与圆的位置关系单元测试卷B（含解析）

直线与圆位置关系单元测试卷(B)
一、单选题
1．如图，、分别切⊙于、两点，点在优弧上，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
2．如图，已知AB是⊙O直径，BC是弦，∠ABC=40°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB为（ ）

A．20° B．25° C．30° D．35°
3．已知，如图，在中，，以为直径作分别交，于，两点，过点的切线交的延长线于点．下列结论：
①；②两段劣弧=；③与相切；④．
其中一定正确的有（ ）个．

A． B． C． D．
4．如图，AB为的直径，P点在AB的延长线上，PM切于M点，若，那么的周长是( )

A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，若以顶点A为圆心，3cm长为半径作⊙A，则BC与⊙A的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
6．如图，在中，，，分别与边，相切，切点分别为，，则的半径是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE的度数为（　　）

A．50° B．62° C．66° D．70°
8．如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，⊙O与边AB相切于点D，与线段AO相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD=35°，则∠BAC的度数为（　　）

A．20° B．35° C．55° D．70°
9．如图，直线l是⊙O的切线，点A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C，D是优弧AC上一点，连接AD，CD．若∠ABO=40°.则∠D的大小是（ ??）

A．50° B．40° C．35° D．25°



10．如图，⊙O中，PC切⊙O于点C，连PO交于⊙O点A、B，点F是⊙O上一点，连PF，CD⊥AB于点D，AD=2，CD=4，则PF：DF的值是（?? ）

A．2 B． C．5：3 D．4：3


二、填空题
11．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是________．

12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°．

13．如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为 ．

14．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作当与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．

15．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为_____．

16．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_____度．


三、解答题
17．如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）的半径为，，求的长．

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心OC为半径作半圆．
(1)求证：AB为⊙O的切线；
(2)如果tan∠CAO＝，求cosB的值．

19．如图，是的直径，切于，于，于，交于，连接、．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，则与是否平行？请说明理由．

20．如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆在的左侧，．
当时，点在半圆________，当时，点在半圆________；
当为何值时，的边与半圆相切？
当为何值时，的边与半圆相切？

21．如图，的半径长为，垂直弦于点，的延长线交于点，与过点的的切线交于点，已知．
若，求、的长；
求的最大值．



22．如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，CB∥PO．
（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=6，CB=4，求PC的长．

23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：KE=GE；
（2）若KG2=KD?GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．

24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过F作AB的垂线交AD于P，交AB于M，交⊙O于G，连接GE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若tan∠G=，BE=4，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求AP的长．




参考答案
1．A【解析】∵PA是圆的切线．

∴∠OAP=90°，同理∠OBP=90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-80°=100°，
∴∠C=∠AOB=50°．故选A．
2．B【解析】∵OD⊥BC，∠ABC=40°，∴在Rt△OBE中，∠BOE=50°（直角三角形的两个锐角互余）．又∵∠DCB=∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DCB=25°．故选B．

3．C【解析①∵AB=AC，OB=OE，∴∠ABC=∠ACB，∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠ACB，∴OE∥AC，故①正确；②连接OD，如图所示：
∵OE∥AC，∴∠BOE=∠OAD，∠EOD=∠ADO．
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠BOE=∠EOD，∴=，故②正确；
③在△OBF和△ODF中，∵，∴△OBF≌△ODF（SAS），∴∠OBF=∠ODF．
∵BF与⊙O相切于点B，∴∠OBF=90°，∴∠ODF=90°，∴DF与⊙O相切，故③正确；
④∵OE∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴=（）2=（）2=，而△BDE的面积≠△BOE的面积，故④不正确；正确的有3个．故选C．

4．C
【解析】

连接OM，∵PM是圆O的切线，∴OM⊥PM，
∵OA=a，∴OM=a，∴tan∠MOP==，
∴∠MOP=60°，∴△MOB是等边三角形，∠P=30°，
∴MB=OB，OP=2a，∴C△PMB=PM+PB+MB=PM+PB+OB=PM+OP=a+2a=（2+）a.故选C.
5．B【解析】做AD⊥BC，

∵∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A为圆心3cm为半径作⊙A，
∴BC=5，∴AD×BC=AC×AB，即AD×5=4×3解得：AD=2.4，2.4＜3，
∴直线BC与⊙A的位置关系是：相交．故选：B．
6．A
【解析】∵AE=AC=5，AC=5，BC=12，
∴AB=13，∴BE=8；
∵BE2=BD?BC，∴BD=，
∴CD=，∴圆的半径是，故选A.
7．D【解析】∵PA、PB、CD分别切⊙O于A. B.?E，CD交PA、PB于C.?D两点，
∴CE=CA，DE=DB，∴∠CAE=∠CEA，∠DEB=∠DBE，
∴∠PCD=∠CAE+∠CEA=2∠CAE，∠PDC=∠DEB+∠DBE=2∠DBE，
∴∠CAE=∠PCD，∠DBE=∠PDC，即∠PAE=∠PCD，∠PBE=∠PDC，
∵∠P=40，∴∠PAE+∠PBE=∠PCD+∠PDC=(∠PCD+∠PDC)=(180?∠P)=70.
故答案选：D.
8．A【解析】连接OD，

∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AD，
∴∠ADO=90°，∵∠EPD=35°，
∴∠EOD=2∠EPD=70°，∴∠BAC=90°-∠EOD=20°．故选A.
9．D【解析】∵直线l是⊙O的切线，点A为切点，∴∠OAB=90°，∴∠AOB=90°－40°=50°，∴∠D=∠AOB=25°．故选D．
10．C【解析】连接AC、OC、OF、BC．如图所示：

∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CAD=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，∴，
∴，∴DB=8，OA=OB=5，OD=3，
∵PC是切线，∴OC⊥PC，
∵∠DOC=∠POC，∠ODC=∠OCP，
∴△ODC∽△OCP，∴，
∴OC2=OD?OP，
∴OF2=OD?OP，∴，
∵∠DOF=∠POF，∴△DOF∽△FOP，∴，故选C．
11．8【解析】如图，连接OC．

∵AB是⊙O切线，∴OC⊥AB，AC=BC，
在Rt△ACO中，∵∠ACO=90°，OC=OD=2tan∠OAB=，
∴，∴AC=4，∴AB=2AC=8，故答案为8
12．115°
【解析】解：连接OC，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=65°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，∴∠D=115°，故答案为：115°．
13．【解析】连接OD，如图所示，
由已知可得，∠BOA=90°，OD=OC=3，∠B=30°，∠ODB=90°，
∴BO=2OD=6，∠BOD=60°，
∴∠ODC=∠OCD=60°，AO=BOtan30°=6×=2，
∵∠COE=90°，OC=3，
∴OE=OCtan60°=3×=3，
∴AE=OE﹣OA=3-2=，

14．3或【解析】如图1中，当与直线CD相切时，设，

在中，，
，，，；
如图2中当与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形，

，
，，
在中，，
综上所述，BP的长为3或．
15．（，2）或（﹣，2）
【解析】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是2或-2．
当y=2时， x2-1=2，解得x=±
当y=-2时， x2-1=-2，方程无解
故P点的坐标为（）或（-）

16．26【解析】：连接OC，

由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，∴∠D=90°-∠COD=26°，故答案为：26．
17．（1）答案见解析；（2）2．
【解析】（1）连接OC．
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．
∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠ACO=∠A=∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线．
（2）在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，
∴OD==5，
∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．

18．（1）证明见解析（2）
【解析】(1)证明：作OM⊥AB于M，
∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，
∴OC＝OM．∴AB是⊙O的切线．
(2)设BM＝x，OB＝y，
则y2－x2＝1．①∵tan∠CAO＝ ，∴AC＝AM＝3．
∵cosB＝ ，∴ ．∴x2＋3x＝y2＋y．②
由①②可得y＝3x－1，∴(3x－1)2－x2＝1．
∴x＝ ，y＝ ．∴cosB＝ ＝．
19．（1）见解析；（2）．理由解析.
【解析】（1）证明：连接；
∵是的直径，∴．
∵切圆于，∴，又．
∴．即是的平分线．

（2）解：．理由如下：
∵于于，∴．
∴．∵是的平分线，
∴．∴（圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角），
∴．∴．
20．（1）外，外；（2）2或14；（3）8或32.
【解析】（1）AC=BC·tan30°=12×=4＞6，
∴t无论为何值，点A始终在半圆O外，
∴当t=0(s)时，点A在半圆O外，当t=8(s)时，点A在半圆O外；
（2）①如图，半圆O位于AC左侧时，
OC=6cm，t=（8﹣6）÷1=2（s）；

②如图，半圆O位于AC右侧时，
OC=6cm，t=（8+6）÷1=14（s）；
∴当t=2或14时，△ABC的边AC与半圆O相切；
（3）①如图，半圆O与AB相切于点F，连接OF，
∴OF⊥AB，∵OF=6cm，∠ABC=30°，
∴BO==12cm，∴点O与点C重合，
∴t=8÷1=8（s）；

②如图，半圆O与AB的延长线相切于点Q，连接OQ，
∵∠OBQ=∠ABC=30°，OQ=6cm，∴BO==12cm，∴t=（12+12+8）÷1=32（s）.

∴当t=8或32时，△ABC的边AB与半圆O相切；
21．（1）；（2）的最大值为．
【解析】（1）EC=2，则CO=5﹣2=3．
∵CO⊥AB，∴AB=2CB．在Rt△BCO中，BO=5，∴BC===4，∴AB=8．
∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF．
在△BOC和△OBF中，∵∠OCB=∠FBO=90°，∠BOC=∠BOF，∴△BOC∽△OBF，∴=，∴=，解得：BF=；
（2）∵∠CBF+∠OBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，∴∠CBF=∠BOC，又∠BCF=∠BCO=90°，∴△BCO∽△FCB，∴=，∴BC2=OC×FC．
∵OC=5﹣x，OB=5，∴BC2=BO2﹣CO2=25﹣（5﹣x）2，∴25﹣（5﹣x）2=CO×FC=（5﹣x）×FC，∴FC=，∴EF×CO2=（FC﹣EC）×CO2
=（﹣x）（5﹣x）2=5x（5﹣x）=﹣5（x﹣）2+
∴EF×CO2的最大值为．
22．（1）PC是⊙O的切线，理由见解析；（2）
【解析】（1）结论：PC是⊙O的切线．
证明：连接OC
∵CB∥PO∴∠POA=∠B，∠POC=∠OCB
∵OC=OB∴∠OCB=∠B
∴∠POA=∠POC又∵OA=OC，OP=OP
∴△APO≌△CPO∴∠OAP=∠OCP
∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°
∴∠OCP=90°∴PC是⊙O的切线．

（2）连接AC
∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°（6分）
由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC∵∠ACB=∠PCO
∴△ACB∽△PCO∴
∴．
23．（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= ．
【解析】（1）如图1，连接OG．

∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，
又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．
（2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示．

∵KG2=KD?GE，即 ，∴ ，
又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，又∵∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，∴AC∥EF；
（3）连接OG，OC，如图3所示，

∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，
又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．∵sinE=sin∠ACH=
，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，
∴CK=AC=5t，∴HK=CK-CH=t．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，
即（3t）2+t2=（2 ）2，解得t= ．
设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，
即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r= t=．∵EF为切线，
∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH= ，
∴FG=
24．（1）证明见解析；（2）6；（3）
【解析】（1）证明：连结OD．∵DE⊥AD，∴AE是⊙O的直径，即O在AE上．
∵AD是角平分线，∴∠1=∠2． ∵OA=OD，∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．∴OD∥AC．
∵∠C=90°，∴OD⊥BC．∴BC是⊙O的切线． （2）解：∵OD∥AC，∴∠4=∠EAF．
∵∠G=∠EAF，∴∠4=∠G． ∴tan∠4=tan∠G=．
设BD=4k，则OD=OE=3k．在Rt△OBD中，由勾股定理得（3k）2+（4k）2=（3k+4）2，
解得，k1=2，k2=（舍），（注：也可由OB=5k=3k+4得k=2），
∴3k=6，即⊙O的半径为6．
　
（3）解：连结AG，则∠AGE=90°，∠EGM=∠5．
∴tan∠5=tan∠EGM=，即，，
∴，∴AM=AE==．
∵OD∥AC，∴，，即，．
∴AC=，CD=． ∵∠1=∠2，∠ACD=∠AMP=90°，∴△ACD∽△AMP．
∴，∴PM==． ∴AP==．













试卷第1页，总3页


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