第五章 特殊平行四边形单元测试卷B（含解析）

特殊平行四边形单元测试卷（B）
一、单选题
1．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且BG=CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC=.其中正确结论的个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，由两个长为，宽为的全等矩形叠合而得到四边形，则四边形面积的最大值是（ ）

A．15 B．16 C．19 D．20
4．在矩形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为（　　）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或6
5．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（　　）

A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n D．2n
6．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+．其中正确结论的序号是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
7．如图，ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且连接AE、AF、EF、AC，EF交AB于点则下列结论：≌；?；若，，则；?若，E为DC的中点，则其中正确结论的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3?个 D．4?个
8．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是(???? )

A．3 B． C．5 D．
9．如图，平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°，连接 BD，将△BCD 绕点 B 旋转，当 BD（即 BD′）与 AD 交于一点 E，BC（即 BC′）同时与 CD 交于一点 F 时，下列结论正确的是（ ）
①AE=DF；②∠BEF=60°；③∠DEB=∠DFB；④△DEF 的周长的最小值是4+2

A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④
10．如图：已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动,甲点依顺时针方向环行,乙点依逆时针方向环行,若乙的速度是甲的速度的3倍,则它们第2018次相遇在边 （ ）上.

A．AB B．BC C．CD D．DA


二、填空题
11．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=_____．

12．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为______．

13．如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2，则MF的长是___________

14．如图，已知是矩形内一点，且，，，那么的长为________．

15．如图，矩形ABCD中，AD＝6，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是_____．

16．如图，矩形中，，．点从向以每秒个单位的速度运动，以为一边在的右下方作正方形．同时垂直于的直线也从向以每秒个单位的速度运动，当经过________秒时．直线和正方形开始有公共点？


三、解答题
17．如图，在矩形ABCD中，AB=10cm,AD=8cm,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动.
(1)几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
(2)几秒后，△DPQ的面积是24cm2.

18．在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化.
（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
（2）当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，
请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).
(3) 如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若 , ,求四边形的面积.



19．在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．

（感知）如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）
（探究）如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．
（1）求证：BE=FG．
（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为　 　．
（应用）如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为　 　．
20．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=AE；
（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=2，CE=2，求线段AE的长．





21．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．

（1）求证：AE=EF；
（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？　　；（填“成立”或“不成立”）；
（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．
22．如图，矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒．
（1）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，则：AP=　　cm；QC=　　cm．（用含t的代数式表示）
（2）若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间PD=PQ，使△DPQ为等腰三角形？
（3）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间，四边形BPDQ为菱形？

23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P从点A开始沿折线AC﹣CB﹣BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．
（1）当t=5秒时，点P走过的路径长为　　；当t=　　秒时，点P与点E重合；
（2）当点P在AC边上运动时，连结PE，并过点E作AB的垂线，垂足为H．若以C、P、E为顶点的三角形与△EFH相似，试求线段EH的值；
（3）当点P在折线AC﹣CB﹣BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点Q．在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值．

24．（1）如图①，点 M 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，点 N 是 CD 延长线上一点， 且BM=DN，则线段 AM 与 AN 的关系．
（2）如图②，在正方形 ABCD 中，点 E、F分别在边 BC、CD上，且∠EAF=45°，判断 BE，DF，EF 三条线段的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，在四边形 ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，点E、F分别在边 BC、CD 上，且∠EAF=45°，若 BD=5，EF=3，求四边形 BEFD 的周长．




参考答案
1．C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC–BE=CD–DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，

∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，a2+（a–）2=4，解得a=，则a2=2+，∴S正方形ABCD=2+，④说法正确，∴正确的有①②④．故选C．
2．D【解析】①正确．理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．理由：
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE．
又∵∠BAD=90°，∴∠EAG=45°；
③正确．理由：
设DE=x，则EF=x，EC=12-x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得：（12﹣x）2+62=（x+6）2，解得：x=4，∴DE=x=4，CE=12-x=8，∴CE=2DE；
④正确．理由：
∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；

⑤正确．理由：
∵S△ECG=GC?CE=×6×8=24．
∵S△FCG===．
故选D．
3．A
【解析】如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
，
∵AD∥BC,AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形的宽都是3，
∴AE=AF=3，
∵S四边形ABCD=AE?BC=AF?CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
如图2，
，
设AB=BC=x，则BE=9?x，
∵BC2=BE2+CE2，
∴x2=(9?x)2+32，
解得x=5，∴四边形ABCD面积的最大值是：5×3=15.故选A.
4．D【解析】∵AD=8，AB=6，四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=8，∠B=90°，∴AC==10．
△EFC为直角三角形分两种情况：
①当∠EFC=90°时，如图1所示．
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，∴点F在对角线AC上，∴AE平分∠BAC，∴，即，∴BE=3；
②当∠FEC=90°时，如图2所示．
∵∠FEC=90°，∴∠FEB=90°，∴∠AEF=∠BEA=45°，∴四边形ABEF为正方形，∴BE=AB=6．
综上所述：BE的长为3或6．
故选D．

5．B【解析】第一个正方形的面积为1=20，
第二个正方形的面积为（）2=2=21，
第三个正方形的边长为22，
…
第n个正方形的面积为2n﹣1，
故选B．
6．A【解析】①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∵在△APD和△AEB中，

∴△APD≌△AEB（SAS）；
故此选项成立；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；
故此选项成立；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE= ，
∴BF=EF= ，
故此选项正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP= ，
又∵PB=，
∴BE=，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD﹣S△BDP=S正方形ABCD﹣×DP×BE=×（4+）﹣××=+．
故此选项不正确．
综上可知其中正确结论的序号是①②③，

故选：A．
7．B【解析】，，，
≌，故正确．
≌，
，．
，
，即，
为等腰直角三角形，
，故正确．
，，
．
．
，故错误；
，E为DC的中点，
，
依据勾股定理可知：，则，则，故错误．
故选：B．
8．C【解析】将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=15，
∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，
所以S2=x+4y=5，
故答案为5．
9．C【解析】∵AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°，
∴△ABD，△BCD为等边三角形，∴∠A=∠BDC=60°．
∵将△BCD绕点B旋转到△BC'D'位置，
∴∠ABD'=∠DBC'，且AB=BD，∠A=∠DBC'，
∴△ABE≌△BFD，
∴AE=DF，BE=BF，∠AEB=∠BFD，
∴∠BED+∠BFD=180°．
故①正确，③错误；
∵∠ABD=60°，∠ABE=∠DBF，
∴∠EBF=60°．
故②正确；
∵△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，
∴当EF最小时．∵△DEF的周长最小．
∵∠EBF=60°，BE=BF，∴△BEF是等边三角形，
∴EF=BE，
∴当BE⊥AD时，BE长度最小，即EF长度最小．
∵AB=4，∠A=60°，BE⊥AD，
∴EB=2，
∴△DEF的周长最小值为4+2．
故④正确．
故选C．
10．C【解析】正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为,乙行的路程为8-2=6，在AD边相遇；
②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为,乙行的路程为16-4=12，在DC边相遇；
③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为,乙行的路程为16-4=12，在CB边相遇；
④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为,乙行的路程为16-4=12，在AB边相遇；
……
∴甲、乙相遇位置每四次为一个循环周期．可列表如下：



故选C．
11．3+2．【解析】设，则，
把翻折，点落在边上的点处，
，，，
四边形为正方形，
，
把翻折，点落在线段上的点处，折痕为，点在上，
，
，
，
在中，，
，
整理得，解得，（舍去），
即的长为.
故答案为：.


12．1或．【解析】分两种情况进行讨论：①如图所示，当∠CFE=90°时，△ECF是直角三角形．

由折叠可得：∠PFE=∠A=90°，AE=FE=DE，
∴∠CFP=180°，
即点P，F，C在一条直线上．
在Rt△CDE和Rt△CFE中，，
∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），
∴CF=CD=4，设AP=FP=x，则BP=4﹣x，CP=x+4．
在Rt△BCP中，BP2+BC2=PC2，即（4﹣x）2+62=（x+4）2，
解得：x，即AP；
②如图所示，当∠CEF=90°时，△ECF是直角三角形．

过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE=∠D=90°．
又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED，
∴∠FEQ=∠ECD，
∴△FEQ∽△ECD，
∴，即，
解得：FQ，QE，
∴AQ=HF，AH，
设AP=FP=x，则HPx．
∵Rt△PFH中，HP2+HF2=PF2，
即（x）2+（）2=x2，解得：x=1，即AP=1．
综上所述：AP的长为1或．
13．
【解析】∵AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，∠B=90°，
∴AB=AM，BE=EM=3，
又∵AE=2，
∴AM=，
设MD=a，MF=x，
∵在△ADM和△DFM中，∠AMD=∠DMF，∠ADM=∠DFM
∴△ADM∽△DFM，
∴，
∴DM2=AM?MF，
∴a2=x，
∵∠DMF=∠C，∠MDF=∠MDF，
∴△DMF∽△DCE，
∴，即：．
∴，
∴，
解之得：，
故答案是：．
14．【解析】如图，过O作EF⊥AD于E，交BC于F；过O作GH⊥DC于G，交AB于H.

设CF=x，FB=y，AH=s，HB=t，
∴OG=x，DG=s，
∴OF2=OB2-BF2=OC2-CF2，
即42-x2=32-y2，
∴x2-y2=16-9=7①
同理：OH2=12-s2=32-t2
∴t2-s2=32-12=8②
又∵OH2+HB2=OB2，即y2+t2=9；
①-②得（x2+s2）-（y2+t2）=-1，
∴OD2=x2+s2=（y2+t2）-1=9-1=8，
∴OD=2.
故答案为2．
15．6
【解析】

解：作点A关于直线CD的对称点E，作EP⊥AC于P，交CD于点Q．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴DQ⊥AE，
∵DE＝AD，
∴QE＝QA，
∴QA+QP＝QE+QP＝EP，
∴此时QA+QP最短（垂线段最短），
∵∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°，
在RT△APE中，∵∠APE＝90°，AE＝2AD＝12，
∴EP＝AE?sin60°＝12× ＝6 ．
故答案为：6．
16．
【解析】过F作FQ⊥DC于Q，

∵四边形AEFG是正方形，
∴∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠DEA+∠FEQ=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠FEQ=∠DAE，
在△ADE和△EQF中，
∵∠D=∠EQF=90°，∠DAE=∠FEQ，AE=EF，
∴△ADE≌△EQF，
∴AD=EQ=4，
当直线MN和正方形AEFG开始有公共点时，DQ+CM≥10，
∴2t+4+3t≥10，
解得t≥，
∴当经过秒时．直线MN和正方形AEFG开始有公共点.
故答案为：．
17．（1）3；（2）4.
【解析】(1)设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，
∴PD=2PQ
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°
∴PD2=AP2+AD2 ，PQ2=BP2+BQ2
∵PD2=4 PQ2,∴82+(2t)2=4[(10-2t)2+t2],
解得：t1=3，t2=7；
∵t=7时10-2t＜0,∴t=3
(2) 设x秒后△DPQ的面积是24cm2，
∴
整理得x2-8x+16=0
解得x1=x2=4
即4秒后，△DPQ的面积是24cm2.
18．（1）BP=CE； CE⊥AD；（2）成立，理由见解析；（3） .
【解析】（1）①BP=CE，理由如下：
连接AC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE ，∠PAE=60° ，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE；

②CE⊥AD ，
∵菱形对角线平分对角，
∴，
∵△ABP≌△ACE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴CF⊥AD ，即CE⊥AD；
（2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：

连接AC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=120° ，
∠BAP=120°＋∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE ， ∠PAE=60° ，
∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，，
∴∠DCE=30° ，∵∠ADC=60°，
∴∠DCE＋∠ADC=90° ， ∴∠CHD=90° ，∴CE⊥AD，
∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立；
(3) 连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ABC ，
∵∠ABC=60°，，
∴∠ABO=30° ，∴ ， BO=DO=3，
∴BD=6，
由(2)知CE⊥AD，
∵AD∥BC，∴CE⊥BC，
∵ ， ，
∴，
由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5，
∴，
∵△APE是等边三角形，∴ ， ，
∵，
∴，
=
=
=，
∴四边形ADPE的面积是 .
19．（1）证明见解析；（2）2，9.
【解析】感知：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA）；
探究：（1）如图②，

过点G作GP⊥BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABPG是矩形，
∴PG=AB，∴PG=BC，
同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，
在△PGF和△CBE中，
，
∴△PGF≌△CBE（ASA），
∴BE=FG；
（2）由（1）知，FG=BE，
连接CM，
∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，
∴BE=2CM=2，
∴FG=2，
故答案为：2．
应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，
∴ME=3，
同探究（1）得，CG=BE=6，
∵BE⊥CG，
∴S四边形CEGM=CG×ME=×6×3=9，故答案为：9．
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4.
【解析】（1）如图1．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF．∵AB=AC，∴AC=DF．∵DE=EC，∴AE=EF．∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED．∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE．∵∠DKC=∠C，∴DK=DC．∵DF=AB=AC，∴KF=AD．在△EKF和△EDA中，，∴△EKF≌△EDA（SAS），∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE．
（3）如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，依据AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，∴EH=DH=CH=，Rt△ACH中，AH==3，∴AE=AH+EH=4．

21．（1）证明见解析；（2）成立；（3）成立，证明见解析.
【解析】（1）证明：取AB中点M，连接EM，

∵AB=BC，E为BC中点，M为AB中点，
∴AM=CE=BE，
∴∠BME=∠BME=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）成立，理由是：如图，在AB上截取BM=BE，连接ME，

∵∠B=90°，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵AB=BC，BM=BE，
∴AM=EC，
在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（3）成立．
证明：如图，在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE，

∴BN=BE，
∴∠N=∠NEC=45°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCE=45°，
∴∠N=∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA，即∠DAE+90°=∠BEA+90°，
∴∠NAE=∠CEF，
∴△ANE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
22．（1）3t，3t；（2）当t=2时，PD=PQ，△DPQ为等腰三角形；（3）当 时，四边形BPDQ是菱形．
【解析】（1） , ；
（2）过点P作PE⊥CD于点E ∴ ∠PED＝90° ∵ PD＝PQ ∴ DE＝DQ
在矩形ABCD中，∠A＝∠ADE＝90°,CD＝AB＝16㎝
∴ 四边形PEDA是矩形 ∴ DE＝AP＝3 又∵ CQ＝2 ∴ DQ＝16－
∴ 由DE＝DQ ∴ ∴
∴ 当时，PD＝PQ，△DPQ为等腰三角形
（3）在矩形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，依题知AP＝CQ＝3
∴ PB＝DQ ∴ 四边形BPDQ是平行四边形
当PD＝PB时，四边形BPDQ是菱形 ∴ PB＝AB－AP＝16－3
在Rt△APD中，PD＝
由PD＝PB ∴ 即： 解得：
∴ 当时，四边形BPDQ是菱形.
23．（1）19；3 ；（2）EH=或；（3）满足要求的t值为t＝，
【解析】
（1）19；3 （2）注意到△EFH为直角边3:4的直角三角形，若△CPE与之相似，也应如此.
而CP＝6－3t，CE＝t，分别令CP:CE＝3:4或4:3，解得t＝或
当t＝时，EH＝；当t＝时，EH＝
（3）当点P在AC上运动时，若四边形PEQF为菱形，连结PQ，则PQ垂直平分EF.

故有EF＝2CP，于是 (8－t)＝2(6－3t)，解得t＝＜2，符合
当点 P在CB上运动时，显然不构成四边形.
当点 P在BA上运动时，若四边形PEQF为菱形，有4＜t＜，且PE＝PF.
在Rt△BEF中，可知P为BF的中点，故有BF＝2BP，于是 (8－t)＝2×5(t－4)，
解得t＝，也符合
综上所述，满足要求的t值有两个，t＝，

24．（1）结论：AM=AN，AM⊥AN．理由见解析；（2）BE+DF=EF；（3）四边形BEFD的周长为11．
【解析】（1）结论：AM=AN，AM⊥AN．
理由：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADN=∠BAD=90°，
∵BM=DN，
∴△ABM≌△ADN，
∴AM=AN，∠BAM=∠DAN，
∴∠AMN=∠BAD=90°，
∴AM⊥AN，
（2）如图②中，过点 A 作 AG⊥AE 交 CD 延长线于点 G．

∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠BAD=∠ADC=90°．
∴∠B=∠ADG=90°，∠BAE+∠EAD=90°．
∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°．
∴∠BAE=∠DAG．
在△ABE 和△ADG 中，
，
∴△ABE≌△ADG．
∴AE=AG，BE=DG．
∵∠EAF=45°，AG⊥AE，
∴∠EAF=∠GAF=45°．
在△FAE 和△FAG 中，
，
∴△AEF≌△AGF．
∴EF=FG．
∵FG=DF+DG=DF+BE，
∴BE+DF=EF．
（3）如图③中，过点 A 作 AG⊥AE 交 CD 延长线于点 G．

∵AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°
∴∠ABE=∠ADG，
∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°．
∵∠BAE+∠EAD=90°
∴∠BAE=∠DAG．
在△ABE 和△ADG 中，
，
∴△ABE≌△ADG．
∴AE=AG，BE=DG．
∵∠EAF=45°，AG⊥AE，
∴∠EAF=∠GAF=45°．
在△FAE 和△FAG 中，
，
∴△AEF≌△AGF．
∴EF=FG．
∵FG=DF+DG=DF+BE，
∴BE+DF=EF．
∴四边形BEFD的周长为EF+（BE+DF）+DB=3+3+5=11．













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