2.3.2 一元二次方程的应用同步测试题（含解析）

2.3（2） 一元二次方程的应用测试卷
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题7分，共42分）
1．（2019秋?江津区期中）从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁皮的边长是（　　）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
2．（2019秋?覃塘区期中）若一个直角三角形的两条直角边长之和为14，面积为24，则其斜边的长是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．10
3．（2019秋?锡山区期中）如图，在长20m、宽18m的矩形草坪上，修筑同样宽的三条（横向一条，纵向两条矩形）道路，要使草坪面积达到306m2，则道路宽度是（　　）
A．27m B．26m C．2m D．1m
4．（2018秋?金凤区校级期中）如图，在一块长为30m，宽为24m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知小路的占地面积为53m2，那么小路的宽为多少？（　　）
A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m
5．（2019秋?越秀区校级月考）如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2cm/秒的速度向点C匀速移动，当P、Q两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动．运动（　　）秒后，△PBQ面积为5cm2．
A．0.5 B．1 C．5 D．1或5
6．（2018秋?高邮市校级月考）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．若苗圃园的面积为72平方米，则x为（　　）
A．12 B．10 C．15 D．8
二．填空题（每小题7分，共28分）
7．（2019?宁夏）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是　 　．（只填序号）
8．（2019秋?青岛期中）如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm和30cm，且折成的长方体盒子表面积是950cm2，此时长方体盒子的体积为　 　cm3．
9．（2019秋?会宁县期中）现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度应是　 　m．
10．（2019春?西湖区校级期中）将一条长为56cm的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形，使这两个正方形的面积之和等于100cm2，则较小的一个正方形的边长为　 　cm．
三．解答题（共30分）
11．（10分）（2019?徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？
12．（10分）（2019?襄阳）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？
13．（10分）（2019?南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

2.3（2） 一元二次方程的应用测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2019秋?江津区期中）从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁皮的边长是（　　）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
【分析】设原来的正方形铁皮的边长为xcm，利用余下的面积＝正方形的面积﹣剪去长方形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设原来的正方形铁皮的边长为xcm，
依题意，得：x2﹣2x＝48，
解得：x1＝8，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．
故选：B．
2．（2019秋?覃塘区期中）若一个直角三角形的两条直角边长之和为14，面积为24，则其斜边的长是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．10
【分析】设一边长为x，然后表示出另一边，然后利用直角三角形的面积的计算方法列出方程即可；然后再根据勾股定理求得斜边长．
【解答】解：设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边为（14﹣x），根据题意得：x（14﹣x）＝24，
整理得：x2﹣14x+48＝0．
解得x1＝6，x2＝8，
所以斜边长为：＝10．
故选：D．
3．（2019秋?锡山区期中）如图，在长20m、宽18m的矩形草坪上，修筑同样宽的三条（横向一条，纵向两条矩形）道路，要使草坪面积达到306m2，则道路宽度是（　　）
A．27m B．26m C．2m D．1m
【分析】设道路的宽度为xm，将剩余部分合成矩形，利用矩形的面积公式及草坪面积为306m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设道路的宽度为xm，
根据题意得：（20﹣2x）（18﹣x）＝306，
化简得：x2﹣28x+27＝0，
解得：x1＝1，x2＝27．
∵20﹣2x＞0，
∴x＜10，
∴x＝1．
故选：D．
4．（2018秋?金凤区校级期中）如图，在一块长为30m，宽为24m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知小路的占地面积为53m2，那么小路的宽为多少？（　　）
A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（30﹣x）（24﹣x）＝30×24﹣53，
解得：x＝53（舍去）或x＝1．
答：修建的路宽为1米．
故选：A．
5．（2019秋?越秀区校级月考）如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2cm/秒的速度向点C匀速移动，当P、Q两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动．运动（　　）秒后，△PBQ面积为5cm2．
A．0.5 B．1 C．5 D．1或5
【分析】设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm2，得到BP＝6﹣x，BQ＝2x，根据三角形的面积公式得出方程×（6﹣x）×2x＝5，求出即可．
【解答】解：设经过x秒钟，使△PBQ的面积为5cm2，
BP＝6﹣x，BQ＝2x，
∵∠B＝90°，
∴BP×BQ＝5，
∴×（6﹣x）×2x＝5，
∴x1＝1，x2＝5（舍去），
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过1秒钟，使△PBQ的面积为5cm2．
故选：B．
6．（2018秋?高邮市校级月考）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．若苗圃园的面积为72平方米，则x为（　　）
A．12 B．10 C．15 D．8
【分析】根据等量关系列方程求解即可．
【解答】解：根据题意得：x×（30﹣2x）＝72
解得：x1＝12，x2＝3
当x＝12时，30﹣2x＝6＜18
当x＝3时，30﹣2x＝24＞18（不合题意舍去）
故选：A．
二．填空题
7．（2019?宁夏）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是　②　．（只填序号）
【分析】仿造案例，构造面积是（x+x﹣4）2的大正方形，由它的面积为4×12+42，可求出x＝6，此题得解．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣12＝0即x（x﹣4）＝12，
∴构造如图②中大正方形的面积是（x+x﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42，
据此易得x＝6．
故答案为：②．
8．（2019秋?青岛期中）如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm和30cm，且折成的长方体盒子表面积是950cm2，此时长方体盒子的体积为　1500　cm3．
【分析】设剪掉的小正方形的边长为xcm，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，求出所求即可．
【解答】解：设剪掉的小正方形的边长为xcm，
根据题意，得：2x2+20x×2＝30×40﹣950，
x2+20x﹣125＝0，
解这个方程得：x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，应舍去），
当x＝5时，长方体盒子的体积为：x（30﹣2x）（20﹣x）＝5×（30﹣2×5）×（20﹣5）＝1500（cm2），
答：此时长方体盒子的体积1500cm3
故答案为：1500．
9．（2019秋?会宁县期中）现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度应是　2　m．
【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为864m2列出方程求解即可．
【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（40﹣2x）（26﹣x）＝864，
整理，得x2﹣46x+88＝0．
解得，x1＝2，x2＝44．
∵44＞40（不合题意，舍去），
∴x＝2．
答：小道进出口的宽度应为2米．
故答案为：2．
10．（2019春?西湖区校级期中）将一条长为56cm的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形，使这两个正方形的面积之和等于100cm2，则较小的一个正方形的边长为　6　cm．
【分析】这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（14﹣x），根据“两个正方形的面积之和等于100cm2”作为相等关系列方程，解方程即可求解；
【解答】解：设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（14﹣x）cm，
依题意列方程得x2+（14﹣x）2＝100，
整理得：x2﹣14x+48＝0，
（x﹣6）（x﹣8）＝0，
解方程得x1＝6，x2＝8，
故答案为：6；
三．解答题
11．（2019?徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？
【分析】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，根据长方体盒子的侧面积为200cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，
依题意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200，
整理，得：2x2﹣25x+50＝0，
解得：x1＝，x2＝10．
当x＝10时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去．
答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．
12．（2019?襄阳）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？
【分析】设小路的宽应为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x）；那么根据题意得出方程，解方程即可．
【解答】解：设小路的宽应为xm，
根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，
解得：x1＝1，x2＝16．
∵16＞9，
∴x＝16不符合题意，舍去，
∴x＝1．
答：小路的宽应为1m．
13．（2019?南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【分析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答．
【解答】解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，
依题意得：3x?2x?100+30（3x?2x﹣50×40）＝642000
解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．
所以3x＝90，2x＝60，
答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．