2.1 一元二次方程
教学内容
一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式及有关概念．
教学目标
了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念；应用一元二次方程的概念解决一些简单题目．
1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义．
2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
3．解决一些概念性的题目.
4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重难点
重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程
一、情景导入
学生活动：列方程．
问题(1)古算趣题：“执竿进屋”
笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭.
有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足.
借问竿长多少数，谁人算出我佩服.
如果假设门的高为x尺，那么这个门的宽为_______尺，长为_______尺.
根据题意，得________．
整理、化简，得__________．
二、探索新知
学生活动：请口答下面问题．
(1)上面方程整理后含有几个未知数？
(2)按照整式中的多项式的规定，它的最高次数是几次？
(3)有等号吗？还是与多项式一样只有式子？
老师点评：(1)只含一个未知数x；(2)它的最高次数是2；(3)有等号，是方程．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0
(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)9x2=5-4x； (2)(2-x)(3x+4)=3.
例2 已知一元二次方程的两个根分别为x1=和x2=，求这个方程.
三、巩固练习
判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)3x+2=5y-3； (2) x2=4； (3)3x2-=0； (4) x2-4=(x+2)2 ； (5)ax2+bx+c=0.
四、应用拓展
求证：关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
证明：m2-8m+17=(m-4)2+1.
∵(m-4)2≥0,
∴(m-4)2+1>0，即(m-4)2+1≠0,
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
练习:1.方程(2a—4)x2—2bx+a=0， 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
2.当m为何值时，方程(m+1)x|4m|-4+27mx+5=0是关于x的一元二次方程.
五、归纳小结(学生总结，教师点评)
本节课要掌握：
(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其运用．
2.2 一元二次方程的解法
教学目标
会利用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解一元二次方程；能利用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况．
重难点
重点：四种一元二次方程的解法和一元二次方程根的判别式的意义.
难点：用因式分解法和配方法解一元二次方程．
教学过程
一、探究新知
上节课我们学习了一元二次方程的有关概念，同学们还记得吗？谁能说一说？
教师：我们知道“能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）”，那么我们怎么求一元二次方程的解呢？
学生思考，教师引入新课.
二、例题导学
1.因式分解法
例1 解下列方程:
(1)x2-3x=0. (2)25x2=16.
解：（1）将原方程的左边分解因式，得x（x-3）=0，则x=0，或x-3=0，解得x1=0，x2=3.
移项，得25x2-16=0.将方程的左边分解因式，得（5x-4）（5x+4）=0，则5x-4=0，
或5x+4=0，解得x1=，x2=.
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
例2 解下列一元二次方程：
(1)(x-5)(3x-2)=10.
(2)(3x-4)2=(4x-3)2.
学生独立完成，教师巡视、指导.
2.开平方法
一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x1=，x2=-.这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
例3 用开平方法解下列方程：
(1)3x2-48=0. (2)(2x-3)2=7.
解：（1）移项，得3x2=48.方程的两边同除以3，得x2=16.解得x1=4，x2=-4.
（2）由原方程，得2x-3=，或2x-3=-，解得x1=，x2=.
3.配方法
将一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
例4 用配方法解下列一元二次方程：
x2+6x=1. (2)x2+5x-6=0.
解：（1）方程的两边同加上9，得x2+6x+9=1+9，即（x+3）2=10.则x+3=，或x+3=-，解得x1=-3+，x2=-3-.
（2）移项，得x2+5x=6.方程的两边同加上，得x2+5x+=6+，即.
则，或，解得x1=1，x2=-6.
4.公式法
(1)ax2－7x+3 =0. (2)ax2+bx+3=0.
(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2+bx+c=0(a≠0)，试推导它的两个根x1=，x2=(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)
解：移项，得ax2+bx=-c.
二次项系数化为1，得x2+x=-.
配方，得x2+x+()2=-+()2，
即(x+)2=.
∵4a2>0，当b2-4ac≥0时，≥0,
∴(x+)2=()2，
直接开平方，得x+=±，即x=，
∴x1=，x2=.
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a，b，c代入式子x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六种运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性)
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
例5 用公式法解下列一元二次方程：
(1)2x2-5x+3=0； (2)4x2+1=-4x； (3）x2-2x-=0.
解：（1）对方程2x2-5x+3=0，a=2,b=-5,c=3,b2-4ac=（-5）2-4×2×3=1，∴x=，∴x1=，x2=.
（2）移项，得4x2+4x+1=0，则a=4,b=4,c=1,b2-4ac=42-4×4×1=0，∴，
∴.
方程的两边同乘4，得3x2-8x-2=0.则a=3,b=-8,c=-2,b2-4ac=（-8）2-4×3×（-2）=88，∴，∴，.
从一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导过程中不难看出，方程的根的情况由代数式b2-4ac的值来决定.因此b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：
b2-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
b2-4ac＜0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
2.4 一元二次方程根与系数的关系
教学目标
1、了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的运用.
2、能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．
教学重难点
1.了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的运用．
2.能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．
教学设计
探索发现
观察下表，你能发现下列一元二次方程根与系数有什么关系吗？
x1
x2
1
2
－1
－2
2
3
－2
－3
0
3
解释规律
你能解释刚才的发现吗？
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果b2－4ac≥0，它的两个根分别是x1，x2．
总结发现
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果b2－4ac≥0，它的两个根分别是x1，x2．
那么，．
例题精讲
例1 设x1，x2是一元二次方程的两个根，求x12+x22和的值.
例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是，1.写出这个方程.
尝试与交流
小明在一本课外读物中读到如下一段文字：
“一元二次方程x2－ x ＝0的两个根分别是和”，
你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？
达标练习
教材P46课内练习第1，2题．
课堂小结
1．一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，那么x1+x2=；x1x2=.
2．运用一元二次方程根与系数的关系时，先要把方程化成一般形式.
3．运用一元二次方程根与系数的关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac≥0时，才能运用一元二次方程根与系数的关系．
课后作业
适当补充针对性练习．
2.3 一元二次方程的应用
教学目标
1.让学生在经历运用一元二次方程解决实际问题的过程中体会一元二次方程的应用价值.
2.在运用一元二次方程解决实际问题的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力.
重难点
重点：建立一元二次方程模型解决实际问题.
难点：将实际问题转化成一元二次方程模型.
教学过程
一、复习引入
1、回顾：不解一元二次方程，你如何判断根的情况？
2、复习列方程解应用题的一般步骤：
(1)审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；
(2)设未知数：用字母(如x)表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x；
(3)列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；
(4)解方程：求出所给方程的解；
(5)检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；
(6)作答：根据题意，选择合理的答案.
二、讲解例题
例1 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.当每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为10元，则每盆应植多少株？
分析：本题涉及的主要数量有每盆的花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利，主要数量关系有：平均单株盈利×株数=每盆盈利；平均单株盈利=3-0.5×每盆增加的株数.
解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（3+x）株，平均单株盈利为（3-0.5x）元.
由题意，得（x+3）（3-0.5x）=10.
化简、整理，得x2-3x+2=0.
解这个方程，得x1=1，x2=2.
经检验，x1=1，x2=2都是方程的解，且符合题意.
答：要使每盆的盈利为10元，则每盆应植入4株或5株.
教师：想一想，列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗？列一元二次方程解应用题时，你认为有哪些地方更需引起注意？
学生：列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同.列一元二次方程解应用题时，应该注意求出来的根是否满足题意.
教师引导做教材P40例2和教材P41例3.
三、课堂小结：
列一元二次方程解决实际问题的步骤，审、设、找、列、解、检、答，注意一定要检验求出的根是否满足题意.
