4.1 多边形
教学目标
知识与技能
1．了解多边形的概念.
2．掌握多边形的外角和及内角和公式.
3．通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法．
过程与方法
1．让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法．
2．通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题．
情感、态度与价值观
通过学生间交流、探索、进一步激发学生的学习热情和求知欲望，养成良好的数学思维品质．
重点难点
重点
探索多边形的内角和公式及外角和．
难点
如何把多边形转化成三角形，用分割多边形方法推导多边形的外角和与内角和．
教学设计
一、复习
1．三角形的定义．
2．三角形的内角和与外角和．
学生回忆后思考回答．
二、探究
1．多边形的有关概念
(1)我们已经知道三角形的定义，那么能否模仿三角形的定义来给四边形、五边形下定义？
学生思考、讨论、交流，得出答案．
教师活动：鼓励、点评．
(2)教师引导、归纳得出：
一般地，由n条(n≥3)不在同一直线上的线段首尾顺次相接形成的图形称为n边形，又称多边形．
(3)活动：根据多边形的定义，自画一些多边形，同桌相互识别，判断是几边形．
学生画图，同桌互相交流．
注意：—般以顺时针或逆时针方向按顺序确定顶点字母．
(4)多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角.多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点.连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
(5)四边形的定理：四边形的内角和等于360°.
(6)课堂讨论，完成下表．
定义
边数
内角个数
外角个数
对角线条数
三角形
四边形
多边形
学生思考填表，讨论交流．
例1 如课本，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1:1:0.6:1.求它的四个内角的度数.
2．多边形的内角和与外角和.
(1)问题导引：三角形的内角和随三角形的形状大小而变化吗？
(2)类比猜想：四边形的内角和随四边形的形状大小而变化吗？
怎样把四边形转化为三角形来计算呢？
(3)思考：通过作对角线可以把四边形转化为三角形吗？
(4)类比的办法观察，过多边形的一个顶点能作多少条对角线？
把多边形分成多少个三角形？填表
多边形的边数
3
4
5
6
7
…
n
分成三角形的个数
1
2
…
多边形的内角和
…
学生填表，然后归纳．
归纳得出：n边形的内角和为(n-2)·180°．
(5)多边形的每一个外角与它相邻的内角之间是什么关系？
学生思考后回答．
(6)同三角形一样，多边形的几个外角与相对应的内角之和为多少？
学生分组讨论交流．
学生代表口答．
教师点评并总结：任何多边形的外角和为360°．
例2 一个六边形如图,已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF.求∠A+∠C+∠E的度数.
三、小结
1．多边形的有关概念．
2．多边形的内角和公式：(n-2)·180°．
3．任何多边形的外角和为360°．
4．类比、化归的数学思想方法．
学生回忆、思考、归纳．
四、布置作业
教材P80作业题第1，2题．
4.2 平行四边形及其性质
教学目标
知识与技能
1.掌握平行四边形的定义及对边相等、对角相等和对角线互相平分的性质.
2.了解平行线间的距离的概念及性质.
过程与方法
1.会证明平行四边形的性质.
2.进一步学习有条理地思考与表达，培养学生的探索能力和合作交流的习惯.尝试从不同角度寻求解决问题的多种方法，提高解决问题的能力.
情感、态度与价值观
感受数学学习的乐趣，增加学习数学的兴趣和自信心.
教学重点
平行四边形的性质.
教学难点
探索平行四边形的性质.
教学设计
一、创设情境，导入新课
展示图片(可用本章章前图），引导学生去阅读此内容.
从这段文字中，我们知道，平行四边形是我们生活中常见的一种图形，它有十分和谐的对称美，这就告诉我们平行四边形就在我们身边，与我们生活息息相关.
二、新知探究
探究1:平行四边形的定义
(1)让学生交流生活中见到的平行四边形，教师可投影部分平行四边形的图片.
(2)概括并板书:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.如果四边形ABCD是平行四边形，那么记作□ABCD.
思考：
（1）要识别一个图形是平行四边形，目前的方法有几个？
（2）平行四边形应该有几组对边平行？
说明:定义既是性质也是判定方法，现在判定一个四边形是平行四边形的方法只有一个，就是利用定义判定.平行四边形应该有2组对边平行.
探究2:平行四边形的性质
用两块相同的三角板拼一个平行四边形.讨论下面的问题：
(1)怎样能拼出一个平行四边形？你能拼出多少个形状不同的平行四边形？
(2)怎样证明你拼出的四边形是平行四边形？
(3)通过上述活动，你发现平行四边形有哪些性质？你能证明这些性质吗？
思考:请说出平行四边形的边、角之间的位置关系和数量关系.
在学生操作、讨论、交流、猜想出结论后，最后概括：
平行四边形的对边相等，对角相等.
思考:这个结论正确吗？你能用推理的方法证明吗？
教师引导学生画出图形，写出已知、求证，并让学生思考证明线段相等、角相等的方法，从而得出用全等三角形证明得到的结论.证明后得到平行四边形的性质：
性质定理1:平行四边形的对边相等.
性质定理2:平行四边形的对角相等.
例1如图，E，F分别是□ABCD的边AD，BC上的点，且AF∥CE.
求证:DE=BF，∠BAF=∠DCE.
探究3:平行线之间的距离
知识拓展
(1)想一想:在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的枕木是否一样长？
(2)试一试，准备一张方格纸，按下面步骤，完成如下作图，并按要求回答问题:
步骤1:在方格纸上画两条平行线:AB与CD；
步骤2:在直线AB上取点M，N，P，Q，…；
步骤3:分别作MM＇丄ＣＤ，ＮＮ＇丄ＣＤ，PP＇丄ＣＤ，ＱＱ＇丄ＣＤ，…；
步骤4：用刻度尺测量MM＇，ＮＮ＇，PP＇，ＱＱ＇…的长度.
问题1:经过测量你发现MM＇,ＮＮ＇,PP＇,ＱＱ＇…有何关系？
问题2:如果在直线AB上取M，N，P，Q，在直线CD上取M＇，Ｎ＇，P＇，Ｑ＇分别作MM＇∥ＮＮ＇∥PP＇∥ＱＱ＇，用刻度尺测量MM＇，ＮＮ＇，PP＇，ＱＱ＇…的长度，它们有什么关系？
从上述的操作中，我们可发现:这些平行线之间的垂直线段的长度相等且平行线间的平行线也相等.两条直线平行，其中一条直线的任一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离.
概括:平行线之间的距离处处相等.
例2 如图，放在墙角的立柜的上、下底面是一个等腰直角三角形，腰长为1.4 m.现要将这个立柜搬过宽为1.2 m的通道，能通过吗？
探究4:平形四边形的对角线互相平分
任意画一个平形四边形，连结它的两条对角线.你发现了什么？你能证明你发现的结论吗？
平行四边形还有如下性质：
平行四边形的对角线互相平分.
例3 已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O.过点O作直线EF，分别交
AB，CD于点E，F.求证：OE=OF.
三、课时小结
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.如果四边形ABCD是平行四边形，那么记作□ABCD.
2.平行线的性质：
（1）夹在平行线间的平行线段相等；
（2）夹在两条平行线间的垂直线段相等；
（3）平行线之间的距离处处相等.
3.平行四边形的性质：
性质定理1:平行四边形的对边相等.
性质定理2:平行四边形的对角相等.
性质定理3:平行四边形的对角线互相平分.
4.4 平行四边形的判定定理
教学目标
知识与技能
探索并掌握平行四边形的三个判定定理.
过程与方法
1．经历平行四边形判定条件的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法，并在与他人交流的过程中，能合理清晰地表述自己的思维过程.
2.在拼摆平行四边形的过程中，培养学生的动手实践能力及丰富的想象力，积累数学活动经验，增强学生的创新意识.
情感、态度与价值观
1.让学生主动参与探索的活动，在做“数学实验”的过程中，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，激发学生学习数学的热情和兴趣.
2.通过探索式证明学习，开拓学生的思路，发展学生的思维能力.
3.在与他人的合作过程中，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，培养学生的合作意识和团队精神.
教学重点
平行四边形的判定定理.
教学难点
平行四边形的判定定理的运用.
教学设计
—、课前导入
1.什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？（学生口答，教师板书)
2.将以上的性质定理，分别用命题形式叙述出来.（如果 ……，那么……）
根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其他性质，那么如何来判定一个四边形是平行四边形呢？除了定义还有什么方法？平行四边形的性质定理的逆命题是否成立？
二、自主探究
活动1:你知道平行四边形的判定方法吗？如何用几何语言表示？
(定义法)：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.几何语言表述定义法：
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
结论：一个四边形只要其两组对边分别平行，就可判定这个四边形是一个平行四边形.
活动2:设问:若一个四边形有一组对边平行且相等，能否判定这个四边形也是平行四边形呢？
课堂探究，用准备好的纸条(纸条的长度相等），先将纸条放置不平行位置，让学生设想若两纸条的端点为四边形的顶点，则组成的四边形是不是平行四边形？
设问:我们能否用推理的方法证明这个命题是正确的吗？(让学生找出题设、结论，然后写出已知、求证及证明过程）
小结:用几何语言表述定义法和刚才的证明方法证明一个四边形是平行四边形的方法为：
判定定理1：一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形.
用几何语言表述为：
∵AB=CD且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
例1 已知：如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.
求证:EF∥AD.
活动3:用做好的纸条拼成一个四边形，其中强调两组对边分别相等.你得到什么结论？
方法二:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
设问：这个命题的条件和结论是什么？
已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC.求证:四边形ABCD是平行四边形.
分析:判定平行四边形的依据目前只有定义，也就是要证明两组对边分别平行，当然是借助第三条直线证明角相等.连结BD，易证三角形全等.
板书证明过程.
小结:用几何语言表述定义法和刚才证明的方法证明一个四边形是平行四边形的方法为：
判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
活动4：设问：“对角线互相平分的四边形是平行四边形.”这一命题的前提是什么？结论又是什么？
活动:用事先准备好的纸条按课本探究方法做，让学生判定这个四边形是否是平行四边形.
判定定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
这个定理的前提是什么？结论又是什么？
已知:如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.求证：四边形
ABCD是平行四边形.
A D
B C
分析:证明这个四边形是平行四边形的方法有：（1）两组对边分别相等；(2)平行四边形的定义:两组对边分别平行.
板书证明过程.
小结：由刚才证明可得，只要对角线互相平分，就可判定这个四边形是平行四边形.
几何语言表述：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.
例2 已知：如图，在□ABCD中，E，F分别是BD上的两点，且∠BAE=∠DCF.求证：四边形AECF是平行四边形.
三、本课小结
今天我们主要研究了利用边和角的关系来判定平行四边形，注意满足的条件.
两组对边分别平行
两组对边分别相等 的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等
对角线互相平分
注意:若一组对边平行，另一组对边相等，是否可以判断为平行四边形，它可能是梯形.
四、布置作业
教材P97作业题第2,3题.
4.5 三角形的中位线
教学目标
1、了解三角形的中位线的定义．
2、理解并掌握三角形的中位线的性质．
3、能运用三角形的中位线的性质解决相关的几何问题．
教学重难点
重点：三角形的中位线的性质．
难点：三角形的中位线的性质的运用．
教学过程
一、课前游戏(猜一猜)
打一数学名词：齐头并进(平行)；风筝跑了(线段)．
二、合作学习
1、猜一猜
怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
2、合作学习
剪一刀，将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片．
a.如果要求剪得的两张纸片能拼成平行四边形，剪痕的位置有什么要求？
b．要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形作怎样的图形变换？
三、获取新知
1、归纳定义：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线．
几何语言描述：因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE为△ABC的中位线，同理DF，EF也为△ABC的中位线．
总结：三角形有三条中位线．
2、三角形的中位线和三角形的中线的区别．
3、探索三角形的中位线的性质
(1)猜想结论：已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，DE=BC．
引导学生用不同的方法去得出结论(三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半)
(2)应用．
“五一”放假的时候，小明去乡下老家玩，发现村头有一大水塘，于是小明拿一根皮尺去测量这水塘两端点AB之间的距离．可当他将皮尺的一端系在A处时发现皮尺短了，拉不到B处，怎样才能既测出AB间的距离又快捷方便呢？小明没辙了，聪明的你有办法解小明的难题吗？
利用所学知识解决实际生活中的问题．
(3)例 已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形．
四、练习
如图，已知△ABC，D，E，F分别是AB，AC，BC边上的中点．
(1)若∠ADE=60°，则∠B=________°，为什么？(口答)
(2)若BC=8 cm，则DE=_______cm，为什么？(口答)
(3)若△ABC的周长为18 cm，它的三条中位线围成的△DEF的周长是______，图中有
____个平行四边形．
五、小结
定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
应用：①证明平行问题．②证明一条线段是另一条线段的2倍或．
4.6 反证法
教学目标
1、了解反证法的含义.
2、了解反证法的基本步骤.
3、会利用反证法证明简单命题．
4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.
教学重难点
本节教学的重点是反证法的含义和运用.
课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点.
教学过程
一、情境导入
故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么？王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？
我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维．反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界．
那么什么叫反证法呢？(板书课题)
二、探究新知
(一)整体感知
证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的．这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件、公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定．既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了．
你能说出下列结论的反面吗？
1．a⊥b.
2．d是正数.
3．a≥0.
4.a∥b.
(二)师生互动
1、求证:在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交.
把本题改编成填空题：
已知:直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，l3与l1相交于点P.
求证: l3与l2相交.
证明: 假设____________即_________.
∵_________(已知)，
∴过直线l2外一点P有两条直线和l2平行，
这与“____________________________________”矛盾.
∴假设不成立，即求证的命题正确.
∴l3与l2相交.
教师简单引导学生小结：证明两直线相交的又一判定方法.
2、根据上述填空，请同学们归纳一下用反证法证题的步骤．(教师板书步骤)
生：①假定结论不成立(即结论的反面成立)；②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾；③由矛盾判定假设不正确；④肯定命题的结论成立．
明确用反证法证题的基本思路及步骤．
(三)学以致用，完善新知
1、课内练习
在运用反证法的过程中，往往要仔细分析结论的反面，特别要注意语句的转换及表达．
2、合作学习
求证:在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
(1)你首选的是哪一种方法？
(2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？
(3)能不用反证法吗？你准备怎样证明？
教师在例后要引导学生体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路，并指出本题的结论是判定两直线平行的又一判定定理.
三、实践应用，知识迁移
链接生活
反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，下面是有关的一个例子：
妈妈:小华，听说邻居小芳全家这几天在外出旅游.
小华:不可能，我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢！
在上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么？(小芳全家没外出旅游.)
他是如何推断该命题的正确性的？
在你的日常生活中也有类似的例子吗？请举一至两个例子.
议一议：
甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：
A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；
B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；
C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军；
D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军.
其中每个人都只说对一句，说错一句.你知道五人分别获哪项冠军吗？
四、学习小结
同学们，学了这节课，你们有何收获与体会？
(1)引导学生作知识总结，学习了反证法证题的思路与步骤．
(2)教师扩展：在直接法无法证明或很难证明的情况下选用反证法．
五、课后作业
1.教材P102作业题．
2.课外活动：收集反证法在生活中应用的例子，在班上交流.
4.3 中心对称
教学目标
知识与技能
1．知道中心对称与中心对称图形的意义．
2．知道成中心对称的两个图形的性质，会判断两个图形是否成中心对称，会画一个图形关于一个点成中心对称的图形．
过程与方法
经历观察发现探究中心对称图形的有关概念和基本性质的过程，积累一定的审美体验．
情感、态度与价值观
培养审美能力，增强对图形的审美意识．
重点难点
重点：中心对称图形的概念及基本性质．
难点：中心对称图形的判定．
教学设计
设置情境，引入课题
教师展示投影1：
教师提问：
1．这三种图形有何共同特征？
2．这三种图形的不同点在哪里？
教师归纳：
图上的3种图形，都是绕着一个中心点，旋转一定角度后能与自身重合的图形，所以这3个图形都是旋转对称图形，其不同点在于旋转的角度不一样，第一图旋转的角度为120°或240°，第二个图旋转的角度为90°或180°，第三个图旋转的角度为72°或144°或216°或288°．
今天我们就要研究中间这个特殊的旋转对称图形，我们把一个图形绕着某中心旋转180°后能与自身重合的图形称为中心对称图形，这个中心点叫做对称中心．
也就是说中心对称图形是旋转角为180°的旋转对称图形．
上面是对一个图形来说的．
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫对称中心．
这里是对两个图形说的．
大家一定要区分清楚．
这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点．
展示投影，提出问题
投影2：
教师提问：
1．这个图形是中心对称图形吗？
2．△ABC与△ADE成中心对称吗？
在同学交流、评判的过程中，老师进一步阐述中心对称图形与成中心对称的两个图形的区别．
在此基础上让学生回答：
△ABC与△ADE是成中心对称的两个三角形，点A是对称中心，点B关于对称中心A的对称点为______，点C关于对称中心A的对称点是______，点A关于对称中心A的对称点为______，B，A，D在______上，AD=______，C，A，E在______上，AC=______，ED=______．
展示投影3：
教师提问：
1．△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称吗？
2．你能从图中找到哪些等量关系？
3．找出图中平行的线段．
学生形成共识后让学生填空．
△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称．
在同一直线上的三点分别的________，_______，________．
AO=_______，BO=_______，CO=_______，AB=_______，AC=_______，BC=_______．
得到AB∥_______，AC∥_______，BC∥_______．
归纳总结，提高认识
在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分．
反过来，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．
范例分析，加深理解
例1 如图，已知△ABC和点O，作△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称.
例2 求证：在平面直角坐标系中，点A（x，y）与点B（-x，-y）关于原点成中心对称.
课堂小结
1．通过本节课的学习，我们知道了中心对称图形和中心对称的基本性质．
2．利用中心对称的基本性质，我们可以进行一些简单的作图．
本课作业
教材P91作业题第1，2，3，4题．
