第3章 实数单元测试卷B（含解析）

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实数单元测试卷（B）
一、单选题
1．已知：是整数，则满足条件的最小正整数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．定义新运算，，若a、b是方程（）的两根，则的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
3．下列说法正确的是( )
A．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数一定是零
B．一个数的立方根和这个数同号，零的立方根是零
C．一个数的立方根不是正数就是负数
D．负数没有立方根
4．定义运算，比如2?3=，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2?（﹣3）=；②此运算中的字母均不能取零；③a?b=b?a；④a?（b+c）=a?c+b?c，其中正确是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
5．设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
6．下列说法：π的相反数是-π；若，则x=；若a为实数，则a的
倒数是；④若=-x,则x<0.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．按一定规律排列的一列数：，，，，…，其中第6个数为(　　)
A． B． C． D．

8．一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，an=（n为不小于2的整数）则a100=（ ）
A． B．2 C．﹣1 D．﹣2
9．的算术平方根是（　　）
A．2 B．±2 C． D．
10．下列说法中正确的是 ( )
A．若，则 B．是实数，且，则
C．有意义时， D．0.1的平方根是

二、填空题
11．已知an＝(n＝1，2，3，…)，记b1＝2(1－a1)，b2＝2(1－a1)(1－a2)，…，bn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，则通过计算推测出表达式bn＝________ (用含n的代数式表示)．
12．若的整数部分为，小数部分为，则的值是___.
13．请观察下列等式的规律：
，，
，，
…
则______．
14．在下列说法中 ①0.09是0.81的平方根；②－9的平方根是±3；③的算术平方根是－5；④是一个负数；⑤0的相反数和倒数都是0；⑥；⑦如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数是1或0；⑧全体实数和数轴上的点一一对应．正确的有_________．
15．已知数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，那么数轴上到点B的距离与点A到点B的距离相等的另一点C表示的数是______________．

16．如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点、，则点表示的数为______.


三、解答题
17．已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，一个正数的两个平方根分别是和，求的平方根．
18．小学的时候我们已经学过分数的加减法法则：“同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，转化为同分母分数，再加减．”如：，反之，这个式子仍然成立，即：.
（1）问题发现
观察下列等式：
①，
②，
③，…，
猜想并写出第个式子的结果： ．（直接写出结果，不说明理由）
（2）类比探究
将（1）中的的三个等式左右两边分别相加得：
，
类比该问题的做法，请直接写出下列各式的结果：
① ；
② ；
（3）拓展延伸
计算：．
19．用“”规定一种新运算：对于任意有理数和，规定．如： .
（1）求的值；
（2）若=32，求的值；
（3）若，（其中为有理数），试比较m、n的大小．
20．先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足，求ba的值．
解：由题意得，
因为a、b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，
由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0，
所以a=3，b=﹣2， 所以．
问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值．
21．对有理数、、，在乘法运算中，满足：①交换律：；②对加法的分配律：.现对这种运算作如下定义，规定：.
（1）这种运算是否满足交换律？
（2）举例说明：这种运算是否满足对加法的分配律？
22．定义：如果，那么称b为n的布谷数，记为.
例如：因为，所以，
因为，
所以.
（1）根据布谷数的定义填空：g（2）=________________,g（32）=___________________.
（2）布谷数有如下运算性质：
若m，n为正整数，则，.
根据运算性质解答下列各题：
①已知，求和的值；
②已知.求和的值.
23．阅读理解
∵在，即，∴.∴的整数部分为1，小数部分为.
解决以下问题：
已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根.
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）记作（-3）④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把 （a≠0）记作a?，读作“a的圈?n次方”．
（1）直接写出计算结果：2③=___，（）⑤=___；
（2）关于除方，下列说法错误的是___
A．任何非零数的圈2次方都等于1；??????????
B．对于任何正整数n，1?=1；
C．3④=4③；??
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（深入思考）
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（-3）④=___；?5⑥=___；（-）⑩=___．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于___；
（3）算一算：÷(?)④×(?2)⑤?(?)⑥÷



参考答案
1．D【解析】∵=，且是整数，
∴2是整数，即5n是完全平方数，
∴n的最小正整数为5．故选D．
2．A【解析】根据题意可得，又因为a，b是方程的两根，所以，化简得，同理，，代入上式可得，故选A．
3．B【解析】
A. 如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数一定是零或 ；
C. 一个数的立方根不是正数就是负数，还有0；D. 负数有一个负的立方根
4．B
【解析】①2?（﹣3）==，①正确；
②∵，
∴a≠0且b≠0，∴②正确；
③∵，，
∴a?b=b?a，∴③正确；
④∵a?（b+c）= ，a?c+b?c=，
∴a?（b+c）≠a?c+b?c，∴④错误.
综上，正确的结论为①②③，故选B.
5．C
【解析】根据勾股定理，边长为3的正方形的对角线长为，是无理数，故说法①正确．
根据实数与数轴上的一点一一对应的关系，a可以用数轴上的一个点来表示，故说法②正确．
∵，∴，故说法③错误．
∵，∴根据算术平方根的定义，a是18的算术平方根，故说法④正确．
综上所述，正确说法的序号是①②④．故选C．
6．A
【解析】根据相反数的意义，可知π的相反数为-π，故①正确；根据绝对值的意义，可知若，则x=，故②不正确；根据0没有倒数，可知若a为实数（a≠0），则a的倒数是，故③不正确；根据二次根式的性质，可知若=-x,则x≤0，故④不正确.
故选A.
7．D
【解析】根据一列数：，，，，…，可知
第n个数分母是n，分子是(n＋1)2－1的算术平方根，
据此可知：第六个数是＝，
故答案为：.
8．A
【解析】根据题意得，a2==2，
a3==﹣1，
a4==，
a5==2，
…，
依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，
∵100÷3=33…1，
∴a100是第34个循环组的第一个数，与a1相同，
即a100=．故选A．
9．C【解析】首先根据立方根的定义求出的值2，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．故选：C.
10．C【解析】
根据算术平方根的意义，可知=|a|＞0，故A不正确；
根据一个数的平方为非负数，可知a≥0，故不正确；
根据二次根式的有意义的条件可知-x≥0，求得x≤0，故正确；
根据一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根，故不正确.
故选C
11．．
【解析】根据题意按规律求解：b1=2(1-a1)=，b2=2(1-a1)(1-a2)=，…，所以可得：bn=．
12．3
【解析】因为,
所以,
因为6－的整数部分为x,小数部分为y,
所以x=2, y=,
所以(2x＋)y=,
故答案为:3.
13．
【解析】
=
=
===．
14．１【解析】①0.09是0.81的算术平方根，故①说法错误；
②-9没有平方根，9的平方根是土3，故②说法错误；
③（-5）2的算术平方根是5，故③说法错误；
④无意义，故④说法错误；
⑤0的相反数是0，而0没有倒数，故⑤说法错误；
⑥表示4的算术平方根是2，故⑥说法错误；
⑦立方根是其数的本身的数是1或0或-1，故⑦错误；
⑧全体实数和数轴上的点一一对应，故说法正确.
正确的只有1个，故答案为1.
15．【解析】根据数轴上点的对称性，可知AB=|-1-（-）|=，因此可知C点的数值为-1+=.
16．.
【解析】∵正方形的面积为3，
∴正方形的边长为 ，
∴A点距离0的距离为
∴点A表示的数为.
17．
【解析】根据题意，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的平方根为：.
18．(1) ；(2)①；②；(3) ．
【解析】（1）由题目中的式子可得，
，
故答案为：；
（2）①


，
故答案为：；
②


，
故答案为：；
（3）



．
19．（1）0；（2）x=1；（3）
【解析】（1）∵
∴=；
（2）∵=32，
∴可列方程为；
解方程得：x=1；
（3）∵=，；
∴；
∴
20．7或-1.
【解析】∵，
∴，
∴=0，=0
∴x=±4，y=3
当x=4时，x+y=4+3=7
当x=-4时，x+y=-4+3=-1
∴x+y的值是7或-1.
21．（1）运算满足交换律；（2）加法的分配律不满足．
【解析】（1）∵，，
∴，
∴该运算满足交换律；
（2）根据规定，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴对加法的分配律不满足．
22．（1）1；5；（2）①3.807，0.807；②；.
【解析】（1）g（2）=g（21）=1，
g（32）=g（25）=5；
故答案为1，32；
（2）①g（14）=g（2×7）=g（2）+g（7），
∵g（7）=2.807，g（2）=1，
∴g（14）=3.807；

g（4）=g（22）=2，
∴=g（7）-g（4）=2.807-2=0.807；
故答案为3.807，0.807；
②∵.
∴；
.
23．平方根为
【解析】∵，即4<<5，∴1<-3<2，
∴-3的整数部分为1，小数部分为-4，
即a=1，b=-4，
∴(-a)3+(b+4)2=-1+17=16，
16的平方根是±4，
即(-a)3+(b+4)2的平方根是±4.
24．初步探究：（1），8;（2）C；深入思考：（1），，；（2）；（3）-5.
【解析】初步探究：
（1）2③=2÷2÷2=
（）⑤=
（2）A：任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1，故选项A错误;
B：因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1?都等于1，故选项B错误；
C：3④=3÷3÷3÷3=，4③=4÷4÷4=，3④≠4③，故选项C正确；
D：负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数；负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数，故选项D错误；
故答案选择：C.
深入思考：
（1）（-3）④=(-3)÷(-3)÷(-3) ÷(-3)=
?5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=
（-）⑩=
（2）a?=a÷a÷a…÷a=
（3）原式=
===-5













试卷第1页，总3页


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