4.2 平行四边形及其性质同步测试题（含解析）

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4.2
平行四边形及其性质
（时间90分钟
满分120分）
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（2019春 思明区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠A＝65°，则∠C的度数是（　　）
A．65°
B．105°
C．115°
D．125°
2．（2019春 侯马市期中）如图，已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6，BD＝10，AB＝4，则△OCD的周长为（　　）
A．8
B．10
C．12
D．14
3．（2019春 思明区校级期中）平行四边形的一条边长为8，则它的两条对角线可以是（　　）
A．6和12
B．6和10
C．6和8
D．6和6
4．（2019春 西湖区校级期中）如图，E为平行四边形ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E＝55°，则∠A的度数为（　　）
A．105°
B．100°
C．125°
D．135°
5．（2019春 西湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，CD＝6cm，∠D＝40°，BE平分∠ABC，下列结论错误的是（　　）
A．AE＝6cm
B．ED＝2cm
C．∠BED＝150°
D．∠C＝140°
6．（2019春 长春期中）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝3，则 ABCD的周长是（　　）
A．12
B．
C．
D．
7．（2019春 南岗区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A（在原点O）、B、D的坐标分别如图所示，则点C的坐标为（　　）
A．（3，7）
B．（5，3）
C．（7，3）
D．（8，2）
8．（2019春 仓山区期中）已知：在平行四边形ABCD中，∠A＝3∠B，则∠A的度数是（　　）
A．120°
B．60°
C．45°
D．135°
9．（2019春 西城区校级期中）如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（　　）
A．1
B．
C．2
D．3
10．（2019春 西湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，PQ∥AD，若AD＝4cm，AP＝6cm，则△ABP的面积等于（　　）cm2．
A．30
B．
C．24
D．
二．填空题（每小题3分，共24分）
11．（2019春 江城区期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝3cm，AB＝2cm，则平行四边形ABCD的周长等于　
　．
12．（2019秋 博兴县期中）如图，平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O，点A的坐标为（﹣3，2），点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点C的坐标为　
　．
13．（2019春 西湖区校级期中）如图，在 ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.5，则四边形BCEF的周长为　
　．
14．（2019春 越城区校级期中）如图，在 ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE，CF分别是∠ABC与∠BCD的平分线，交AD于点E、F，则线段EF的长为　
　．
15．（2019春 海淀区校级期中）如图，在 ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，若∠A＝120°，AD＝2，则CE＝　
　．
16．（2019春 瑞安市期中）如图， ABCD和 DCFE的周长相等，且∠DAE＝25°，∠BCD＝60°，则∠F＝　
　°．
17．（2019春 句容市期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°．BE⊥CD．BF⊥AD，垂足分别为E．F．BE＝1，BF＝2．则DF＝　
　．
18．（2019 云南）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于　
　．
三．解答题（共66分）
19．（12分）（2019 济南）如图，在 ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF＝DE．
20．（12分）（2019春 万年县期中）如图，已知E、F是 ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．
（1）请写出图中全等三角形（不再添加辅助线）．
（2）求证：△ABE≌△CDF；
21．（14分）（2019春 方城县期中）如图所示，已知四边形ABCD为平行四边形，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）若∠AEB＝25°，求∠C的度数；
（2）若AE＝5cm，求CD的长度．
22．（14分）（2019春 方城县期中）如图：平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝10，BD＝26．
（1）求BC的长；
（2）求平行四边形ABCD的面积．
23．（14分）（2019春 合浦县期中）如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD．
（1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度；
（2）求证：AG＝CG．
4.2
平行四边形及其性质
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2019春 思明区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠A＝65°，则∠C的度数是（　　）
A．65°
B．105°
C．115°
D．125°
【分析】由平行四边形的对角相等即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝65°，
故选：A．
2．（2019春 侯马市期中）如图，已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6，BD＝10，AB＝4，则△OCD的周长为（　　）
A．8
B．10
C．12
D．14
【分析】平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，OA＝OC＝3，OB＝OD＝5，
∴△OCD的周长＝3+4+5＝12，
故选：C．
3．（2019春 思明区校级期中）平行四边形的一条边长为8，则它的两条对角线可以是（　　）
A．6和12
B．6和10
C．6和8
D．6和6
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OB与OC的长，然后根据三角形的三边关系，即可求得答案．
【解答】解：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
若BC＝8，
根据三角形三边关系可得：|OB﹣OC|＜8＜OB+OC．
A、6和12，则OB+OC＝3+6＝9＞8，OB﹣OC＝6﹣3＝3＜8，能组成三角形，故本选项符合题意；
B、6和10，则OB+OC＝3+5＝8，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、6和8，则OB+OC＝3+4＝7＜8，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、6和6，则OB+OC＝3+3＝6＜8，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．（2019春 西湖区校级期中）如图，E为平行四边形ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E＝55°，则∠A的度数为（　　）
A．105°
B．100°
C．125°
D．135°
【分析】由四边形内角和定理可求∠C＝125°，由平行四边形的性质可求解．
【解答】解：∵EB⊥BC，ED⊥CD，
∴∠EBC＝∠EDC＝90°，
∵∠E+∠EBC+∠EDC+∠C＝360°，
∴∠E+∠C＝180°，且∠E＝55°，
∴∠C＝125°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝125°，
故选：C．
5．（2019春 西湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，CD＝6cm，∠D＝40°，BE平分∠ABC，下列结论错误的是（　　）
A．AE＝6cm
B．ED＝2cm
C．∠BED＝150°
D．∠C＝140°
【分析】由 ABCD中，BC＝8cm，CD＝6cm，∠D＝40°，根据平行四边形的性质，可求得∠C＝140°；又由BE平分∠ABC，易求得∠AEB＝∠ABE＝∠EBC＝20°，∠BED＝160°，继而可求得AE＝AB＝CD＝6cm，ED＝AD﹣AE＝2cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝50°，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠D＝40°，
∴∠C＝180°﹣∠D＝140°，故D正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC＝20°，
∴∠AEB＝∠EBC＝20°，
∴∠BED＝180°﹣∠AEB＝160°，故C错误；
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝6cm，故A正确；
AD＝BC＝8cm，
∴ED＝AD﹣AE＝2cm，故B正确．
故选：C．
6．（2019春 长春期中）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝3，则 ABCD的周长是（　　）
A．12
B．
C．
D．
【分析】要求平行四边形的周长就要先求出AB、AD的长，利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出．
【解答】解：∵∠EAF＝45°，
∴∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠EAF＝135°，
∴∠B＝∠D＝180°﹣∠C＝45°，
则AE＝BE，AF＝DF，
设AE＝x，则AF＝3﹣x，
在Rt△ABE中，
根据勾股定理可得，AB＝x
同理可得AD＝（3﹣x）
则平行四边形ABCD的周长是2（AB+AD）＝2[x+（3﹣x）]＝6，
故选：D．
7．（2019春 南岗区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A（在原点O）、B、D的坐标分别如图所示，则点C的坐标为（　　）
A．（3，7）
B．（5，3）
C．（7，3）
D．（8，2）
【分析】平行四边形的对边相等且互相平行，所以AB＝CD，AB＝6，D的横坐标为1，加上6为7，所以C的横坐标为7，因为CD∥AB，D的纵坐标和C的纵坐标相同为3．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，
∵AB∥CDAB＝6，
∴CD＝6，
∵D点的横坐标为1，
∴C点的横坐标为1+6＝7，
∵AB∥CD，
∴D点和C点的纵坐标相等为3，
∴C点的坐标为（7，3）．
故选：C．
8．（2019春 仓山区期中）已知：在平行四边形ABCD中，∠A＝3∠B，则∠A的度数是（　　）
A．120°
B．60°
C．45°
D．135°
【分析】先根据平行四边形的性质得出∠A+∠B＝180°，再根据∠A＝3∠B，可求出∠A的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝3∠B，
∴4∠B＝180°，
∴∠B＝45°，∠A＝135°，
故选：D．
9．（2019春 西城区校级期中）如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（　　）
A．1
B．
C．2
D．3
【分析】根据平行四边形的对边相等且平行和利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∴∠ABE＝∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝CB＝5，
∴DF＝CF﹣CD＝5﹣3＝2，
故选：C．
10．（2019春 西湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，PQ∥AD，若AD＝4cm，AP＝6cm，则△ABP的面积等于（　　）cm2．
A．30
B．
C．24
D．
【分析】根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA＝180°，求出∠PAB+∠PBA＝90°，在△APB中求出∠APB＝90°，由勾股定理求出BP，证出AD＝DP＝4cm，BC＝PC＝4cm，得出DC＝8cm＝AB，再利用直角三角形面积求法即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA＝（∠DAB+∠CBA）＝90°，
在△APB中，∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝90°；
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠DPA
∴∠DAP＝∠DPA
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD＝DP＝4cm，
同理：PC＝CB＝4cm，
即AB＝DC＝DP+PC＝8cm，
在Rt△APB中，AB＝8cm，AP＝6cm，
∴BP＝＝＝2cm，
∴△ABP的面积＝×AP×BP＝6cm2，
故选：B．
二．填空题
11．（2019春 江城区期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝3cm，AB＝2cm，则平行四边形ABCD的周长等于　10cm　．
【分析】根据平行四边形的对边相等的性质可得出平行四边形ABCD的周长＝2（AD+AB），继而代入可得出答案．
【解答】解：由平行四边形的性质可得，AD＝BC，AB＝CD，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2×5＝10cm．
故答案为：10cm．
12．（2019秋 博兴县期中）如图，平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O，点A的坐标为（﹣3，2），点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点C的坐标为　（3，﹣2）　．
【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为（3，﹣2）．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O，
∴A点与C点关于原点对称，
∴C点坐标为（3，﹣2）．
故选：C．
13．（2019春 西湖区校级期中）如图，在 ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.5，则四边形BCEF的周长为　10　．
【分析】根据平行四边形的中心对称性，可知EF把平行四边形分成两个相等的部分，先求平行四边形的周长，再求EF的长，即可求出四边形BCEF的周长．
【解答】解：根据平行四边形的中心对称性得：OF＝OE＝1.5，
∵ ABCD的周长＝（4+3）×2＝14，
∴四边形BCEF的周长＝× ABCD的周长+3＝10．
故答案为：10．
14．（2019春 越城区校级期中）如图，在 ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE，CF分别是∠ABC与∠BCD的平分线，交AD于点E、F，则线段EF的长为　1cm　．
【分析】根据平行四边形的性质可知∠AEB＝∠EBC，依据BE平分∠ABC，即可得到∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE＝3，同理可证FD＝3，继而可求得EF＝AE+DE﹣AD．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝3cm，
同理可得：DF＝DC＝3cm，
∴EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1（cm）．
故答案为：1cm．
15．（2019春 海淀区校级期中）如图，在 ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，若∠A＝120°，AD＝2，则CE＝　　．
【分析】根据平行线的性质和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵在 ABCD中，∠A＝120°，AD＝2，
∴AD＝BC＝2，∠B＝60°，
∵CE⊥AB，
∴CE＝，
故答案为：
16．（2019春 瑞安市期中）如图， ABCD和 DCFE的周长相等，且∠DAE＝25°，∠BCD＝60°，则∠F＝　110　°．
【分析】由 ABCD与 DCFE的周长相等，可得到AD＝DE，即△ADE是等腰三角形，可得∠ADE＝130°，由平行四边形的性质可得∠ADC＝120°，即可求出∠F的度数．
【解答】解：∵ ABCD与 DCFE的周长相等，且CD＝CD，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝25°，
∴∠ADE＝130°，
∵∠BCD＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠CDE═∠F＝360°﹣130°﹣120°＝110°．
故答案为：110．
17．（2019春 句容市期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°．BE⊥CD．BF⊥AD，垂足分别为E．F．BE＝1，BF＝2．则DF＝　2﹣2　．
【分析】根据含30°的直角三角形的性质得出BC＝AD＝2，AF的长，进而解答即可．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠A＝30°．
∴∠C＝30°，
∵BE⊥CD．BF⊥AD，BE＝1，BF＝2．
∴BC＝2，AF＝2，
∵BC＝AD＝2，
∴DF＝AF﹣AD＝2﹣2，
故答案为：2﹣2
18．（2019 云南）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于　16或8　．
【分析】过D作DE⊥AB于E，解直角三角形得到AB＝8，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝4，
∴DE＝AD＝2，AE＝AD＝6，
在Rt△BDE中，∵BD＝4，
∴BE＝＝＝2，
如图1，∴AB＝8，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝8×2＝16，
如图2，AB＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝4×2＝8，
故答案为：16或8．
三．解答题
19．（2019 济南）如图，在 ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF＝DE．
【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，证出∠BAF＝∠DCE，证明△ABF≌△CDE（ASA），即可得出BF＝DE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，
∵∠DAF＝∠BCE，
∴∠BAF＝∠DCE，
在△ABF和△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴BF＝DE．
20．（2019春 万年县期中）如图，已知E、F是 ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．
（1）请写出图中全等三角形（不再添加辅助线）．
（2）求证：△ABE≌△CDF；
【分析】（1）依据E、F是 ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，即可得到图中全等三角形；
（2）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，推出∠BAE＝∠FCD，根据垂直的定义得到∠AEB＝∠CFD＝90°，根据AAS即可得到答案．
【解答】解：（1）△ABC≌△CDA；△ABE≌△CDF；△CBE≌△ADF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠FCD，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
21．（2019春 方城县期中）如图所示，已知四边形ABCD为平行四边形，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）若∠AEB＝25°，求∠C的度数；
（2）若AE＝5cm，求CD的长度．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，即可得出答案；
（2）易证得△ABE是等腰三角形，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠C＝∠A，AB＝CD，
∴∠CBE＝∠AEB＝25°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝25°，
∴∠ABE＝∠AEB＝25°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°，
∴∠C＝130°；
（2）由（1）得：∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝5cm，
∴CD＝AB＝5cm．
22．（2019春 方城县期中）如图：平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝10，BD＝26．
（1）求BC的长；
（2）求平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质和勾股定理即可得出答案；
（2）由平行四边形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝13，
∵AC⊥BC，
∴BC＝＝12；
（2）平行四边形ABCD的面积＝BC×AC＝12×10＝120．
23．（2019春 合浦县期中）如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD．
（1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度；
（2）求证：AG＝CG．
【分析】（1）首先求得CE＝2，然后利用平行四边形的性质求得CF＝CE＝2，从而求得EF＝CE＝；
（2）证得∴△BCG≌△EAG后即可证得AG＝CG．
【解答】解：（1）∵CG⊥AB，
∴∠AGC＝∠CGB＝90°，
∵BG＝1，BC，
∴CG＝3，
∵∠ABF＝45°，
∴BG＝EG＝1，
∴CE＝2，
∵四边形
ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GCD＝∠BGC＝90°，∠EFG＝∠GBE＝45°，
∴CF＝CE＝2，
∴EF＝CE＝；
（2）如图，延长
AE交
BC于
H，
∵四边形
ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠AHB＝∠HAD，
∵AE⊥AD，
∴∠AHB＝∠HAD＝90°，
∴∠BAH+∠ABH＝∠BCG+∠CBG＝90°，
∴∠GAE＝∠GCB，
在△BCG与△EAG中，，
∴△BCG≌△EAG（AAS），
∴AG＝CG．
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精品试卷·第
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