中小学教育资源及组卷应用平台
平行四边形经典考题26题（八年级用）（含解答）
一、基础题（6题）
1.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF.
求证：DE=BF.
2.如图，点E是□ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F，CF=3,CE=2，求□ABCD的周长．
3.已知：如图，A、C是□DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE=CF.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长.
5.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G.求证：AF=GB
6.如图，已知□ABCD的对角线AC，BD相交于点O ，直线EF经过点O ，且分别交AB，CD于点E ， F.求证：四边形BFDE是平行四边形．
二、稍难题（10题）
7.在□ABCD中，E是BC边上一点，F为DE上一点，若∠B=∠AFE，AB=AF．求证：△ADF≌△DEC．
8.如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
9.如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积．
10.如图，△ABC中，D为BC的中点。DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点．证明：EF=2PD．
11.在△ABC中，AH⊥BC于H，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点．求证：DE=HF．
12.如图，在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．
13.如图,已知BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在边AB,BC上,ED∥BC,EF∥AC.求证:BE=CF.
14.如图,在□ABCD中,E是DC的中点,F是AE的中点,FC与BE交于G.求证:GF=GC.
15.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=24 cm,BC=30 cm,点P自点A向D以1 cm/s的速度运动,到D点即停止.点Q自点C向B以2 cm/s的速度运动,到B点即停止,直线PQ截梯形为两个四边形.P,Q同时出发,几秒后其中一个四边形为平行四边形?
16.如图，在?ABCD中，∠BCD=120°，分别以BC和CD为边作等边△BCE和等边△CDF． 求证：AE=AF．
三、较难题（10题）
17.在图1、图2中，线段AC=CE，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点，四边形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中点是M．如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，容易证明FM=MH，FM⊥HM；现将图1的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，判断△FMH的形状，并证明你的结论．
18.【问题发现】小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．
（1）小明发现，过点D作DF//AC，交AC于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：________；
（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件
不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，
请直接写出△ABC与△ADE的面积之比．
19.在梯形ABCD中，AD∥BC ，AB=CD，∠AOD=60°，E为OA的中点，F为OB的中点，G为CD的中点，试判断△EFG的形状并说明理由 ．
?
20.在平行四边形ABCD中，E为边上一点，连结AE并延长交直线DC于F，且CE=CF.
（1）如图1，求证：AF是∠BAD的平分线；
（2）如图2，若∠ABC=90°，点G是线段EF上一点，连接DG、BD、CG，若∠BDG=45°，求证：.
21.已知四边形ABCD中AD//BC ， AD：BC=1：2， S△AOF：S△DOE=1：3，S△BEF=24 cm2 ， 求S△AOF的面积．
22.如图：在△ABC中，∠BAC = ，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：AG=GF.
23.在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明；
（3）若AC=6，DE=4，则DF的值．
24.如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．
（1）求证：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；
（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，四边形AEBD能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．
25.如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形．
（1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD=90°，求证：△ABR≌△CRD；
（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？?
26.如图1，已知□ABCD，AB//x轴，AB=6，点A的坐标为（1，-4），点D的坐标为（-3,4），点B在第四象限，点P是□ABCD边上的一个动点.
?
（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标.
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上，求点P的坐标.
（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）.
21世纪教育网 www．21CNjy．COM 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www．21CNjy．COM)
中小学教育资源及组卷应用平台
答案解析部分(供参考，但解法不唯一)
一、解答题
1.【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中， ，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE=BF.
2.【答案】 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又 ，
．
∴平行四边形ABCD的周长为
3.【答案】 证明：如图，连接BD，交AC于点O.
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴OD=OB，OE=OF.
又∵AE=CF，
∴AE+OE=CF+OF，即OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
4.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形ABCD
∴BC=AD=12,CD=AB=13，OB= ?BD
∵BD⊥AD,∴BD= = =5
∴OB=
5.【答案】证明：在平行四边形ABCD中，
∵CF，DG分别为∠ADC与∠BCD的平分线，
∴∠BFC=∠BCF，即BF=BC，
同理，AD=AG，
∴AG=BF，
∴AF=GB.
6.【答案】证明：∵□ABCD的对角线AC ， BD相交于点O ，
∴OA＝OC ， OB＝OD ， ∠DCO=∠BAO
又∵∠AOE=∠COD，
∴△AOE≌△COF ，
得OE＝OF ，
∴四边形BFDE是平行四边形．
7.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADC=∠DEC，
∵∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠B=∠AFE，
∴∠AFD=∠C，
∵AB=AF，
∴AF=CD，
在△AFD和△DCE中 ，
∴△ADF≌△DEC（AAS）
8.【答案】（1）解：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，
∴△AEF≌△DEB（AAS）
（2）解：连接DF，
∵AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵△AEF≌△DEB，
∴BE=FE，
∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB，
∵AB=AC，
∴DF=AC，
∴四边形ADCF是矩形
9.【答案】解：∵如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴BC2=AB2+AC2 ，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，
∴S?AEFD=AD?（DF?sin30°）=3×（4× ）=6．
答四边形AEFD的面积是6．
10.【答案】 解：∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，
∴∠EDF=90°，
又∵BE⊥DE，∴∠BED=90°=∠EDF，
∴BE∥DF，∠EBD=∠FDC，
∵BE⊥DE，CF⊥DF，
∴∠BED=∠DFC=90°，
∵D为BC的中点，∴BD=DC，
∴△BED≌△DFC，BE=DF，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD∥EF，
∴∠BDE=∠FED，
又DE平分∠ADB，
∴∠BDE=∠PDE，∠PDE=∠FED，
∴PE=PD，
同理可得：PF=PD，
∴EF=2PD。
11.【答案】解：∵D、E分别是BC、CA的中点，∴DE= AB．
又∵点F是AB的中点，AH⊥BC，∴FH= AB，∴DE=HF．
12.【答案】解：延长BD交AC于点F．
?∵∠BAD=∠FAD，AD=AD，∠ADB=∠ADF=90°．
∴△ABD≌△AFD，?
∴AB=AF=6，BD=DF．
又∵E为BC中点，
∴DE= FC= （AC-AF）= （10-6）=2
13.【答案】证明:∵ED∥BC,EF∥AC,
∴四边形EFCD是平行四边形.
∴DE=CF.
∵BD平分∠ABC,
∴∠EBD=∠DBC.
∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC.
∴∠EBD=∠EDB.
∴BE=ED.
∴BE=CF.
14.【答案】证明:如图,取BE的中点H,连接FH,CH.
∵F是AE的中点,H是BE的中点,
∴FH是△ABE的中位线.
∴FH∥AB且FH= AB.
在?ABCD中,AB∥DC,AB=DC.
又∵点E是DC的中点,
∴EC= DC= AB.
∴FH=EC.
又∵AB∥DC,∴FH∥EC.
∴四边形EFHC是平行四边形.
∴GF=GC
15.【答案】出发8 s或10 s后其中一个四边形是平行四边形
16.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，BC=AD，∠ABC=∠ADC，
∵△BCE和△CDF为等边三角形，
∴DC=DF，BC=BE，∠EBC=∠CDF=60°，
∴AB=DF，BE=DA，∠ABE=∠FDA，
在△ABE和△FDA中， ，
∴△ABE≌△FDA（SAS），
∴AE=AF
17.【答案】解：△FMH是等腰直角三角形，
证明：连接BM,MD,MF交AC于P,
∵B、D.?M分别是AC、CE、AE的中点，
∴MD∥BC, ?
MB∥CD, ?
∴四边形BCDM是平行四边形，
∴∠CBM=∠CDM，
∵ ?
∴∠FBM=∠MDH，
∵FB=HD，BM=DM，
∴△FBM≌△HDM，
∴FM=MH，∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠DHM，
∴ ?
∴△FMH是等腰直角三角形.
18.【答案】（1）AD=DE
（2）AD=DE。
证明：如图2，过点D作DF//AC，交AC于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．
又∵DF//AC，
∴∠BDF=∠BFD=60°
∴△BDF是等边三角形，BF=BD，∠BFD=60°，
∴AF=CD，∠AFD=120°．
∵EC是外角的平分线，
∠DCE=120°=∠AFD．
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD．
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，
∴∠FAD=∠EDC．
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE
（3）
19.【答案】解：△EFG为等边三角形；证明如下：
如图，连接DE、CF；
∵AD∥BC ， AB=CD ，
∴四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC=BD；
在△ABD与△DCA中，
AB＝DC
AD＝DA
BD＝AC
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠OAD=∠ODA ， AO=DO；而∠AOD=60°，
∴△AOD为等边三角形，AD=OD；
∵AE=OE ，
∴DE⊥AO ， △CDE为直角三角形，
∵DG=CG ，
∴EG= CD；同理可求：FG= CD；
∵E为OA的中点，F为OB的中点，
∴EF为△OAB的中位线，
∴EF= AB；而AB=CD ，
∴EG=FG=EF ，
∴△EFG为等边三角形 ． ?
20.【答案】证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠AEB=∠EAD
∵CE=CF,∴∠CEF=∠CFE
∴∠AEB=∠CFE
∴∠BAF=∠DAF
∴AF是∠BAD的平分线
（2）连接BG，
∵在平行四边形ABCD中，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵CE=CF，∠BCD=∠ECF=90°，
∴△CEF为直角三角形，
∴∠CEF=45°
∴∠BAE=45°，
∴∠EAB=45°，
∵∠BDG=45°，
∴ABGD四点共圆 （同弦BG）
又四边形ABCD是矩形
∴ABCD四点共圆
即ABGCD五点共圆
∴∠ECG=45°，
∵△CEF为直角三角形，∠ECG=45°，
∴CG是RT△CEF斜边EF上的中线，
∴CG=EF.
21.【答案】6
22.【答案】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），
∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CE=CE，∴由勾股定理得：AC=CF，
∵△ACG和△FCG中
?
∴△ACG≌△FCG，
∴∠CAD=∠CFG，
∵∠B=∠CAD
∴∠B=∠CFG，
∴GF∥AB，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
即AG∥EF，AE∥GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE=EF，
∴平行四边形AEFG是菱形．
23.【答案】解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∴AF=DE，
∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠C
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠FDB=∠B
∴DF=BF
∴DE+DF=AB=AC；
（2）图②中：AC+DE=DF．
图③中：AC+DF=DE．
（3）当如图①的情况，DF=AC﹣DE=6﹣4=2；
当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10．
故答案是：2或10．
24.【答案】证明：（1）∵正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF
∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°
在Rt△CDG和Rt△CBG中
∴△CDG≌△CBG（HL），
（2）解：∵△CDG≌△CBG
∴∠DCG=∠BCG，DG=BG
在Rt△CHO和Rt△CHD中∴△CHO≌△CHD（HL）
∴∠OCH=∠DCH，OH=DH
∴
? HG=HD+DG=HO+BG
（3）解：四边形AEBD可为矩形
如图，
连接BD、DA、AE、EB
因为四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB中点的时候．
因为DG=BG，所以此时同时满足DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形．
所以当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形．
∵四边形DAEB为矩形
∴AG=EG=BG=DG
∵AB=6
∴AG=BG=3
设H点的坐标为（x，0）
则HO=x
∵OH=DH，BG=DG
∴HD=x，DG=3
在Rt△HGA中
∵HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x
∴（x+3）2=32+（6﹣x）2
∴x=2
∴H点的坐标为（2，0）．
25.【答案】（1）证明：∵∠ABD=90°，AB∥CR，
∴CR⊥BD．
∵BC=CD，
∴∠BCR=∠DCR．
∵四边形ABCR是平行四边形，
∴∠BCR=∠BAR．
∴∠BAR=∠DCR．
又∵AB=CR，AR=BC=CD，
∴△ABR≌△CRD（SAS）．
（2）解：由PS∥QR，PS∥RD（四边形PRDS为平行四边形）知，点R在QD上，
又∵PS∥BC，PS∥RD，
故BC∥AD．
又由AB=CD知∠A=∠CDA，
因为SR∥PQ∥BA，
所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD．
由PS∥BC
∴△DCB∽△DSP，
∵BC=CD，
∴SP=SD．而SP=DR，
所以SR=SD=RD，
故∠CDA=60°．
因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°．
（注：若推出的条件为BC∥AD，∠BAD=60°或BC∥AD，∠BCD=120°等亦可．）
26.【答案】（1）解：在□ABCD中， CD=AB=6，
所以点P与点C重合，
所以点P的坐标为（3,4）.
（2）解：①当点P在边AD上时，
由已知得，直线AD的函数表达式为y=-2x-2，
设P（a,-2a-2），且-3≤a≤1，
若点P关于x轴对称点Q1（a,2a+2）在直线y=x-1上，
所以2a+2=a-1，解得a=-3，此时P（-3,4）。
若点Ｐ关于y轴对称点Q2（-a,-2a-2）在直线y=x-1上，
所以-2a-2=-a-1，解得a=-1，此时P（-1,0）.
②当点P在边AB上时，设P（a,-4）,且1≤a≤7，
若点P关于x轴对称点Q3（a，4）在直线y=x-1上，
所以4=a-1，解得a=5,此时P（5，-4）.
若点P关于y轴对称点Q4（-a,-4）在直线y=x-1上，
所以-4=-a-1，解得a=3,此时P（3，-4）.
综上所述，点P的坐标为（-3,4）或（-1,0）或（5，-4）或（3，-4）.
（3）解：因为直线AD为y=-2x-2，所以G（0,-2）.
①如图，当点P在CD边上时，可设P（m，4）,且-3≤m≤3,
则可得M′P=PM=4+2=6,M′G=GM=|m|，
易证得△OGM′~△HM′P，
则 ,
即 ，
则OM′= ，
在Rt△OGM′中，
由勾股定理得， ，
解得m= 或 ，
则P（ ，4）或（ ，4）；
②如下图，当点P在AD边上时，设P（m,-2m-2）,
则PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|,
易证得△OGM′~△HM′P，
则 ,
即 ，
则OM′= ，
在Rt△OGM′中，
由勾股定理得， ，
整理得m= ,
则P（ ，3）；
如下图，当点P在AB边上时，设P（m，-4），
此时M′在y轴上，则四边形PM′GM是正方形，
所以GM=PM=4-2=2，
则P（2，-4）.
综上所述，点P的坐标为（2，-4）或（ ，3）或（ ，4）或（ ，4）.
21世纪教育网 www．21CNjy．COM 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www．21CNjy．COM)
