浙教版八年级数学上册2.3 等腰三角形的性质定理 第1课时同步练习（解析版）

2.3 等腰三角形的性质定理
第1课时
基础闯关全练
1．（甘肃兰州中考）如图2-3-1，AB//CD，AD=CD，∠1= 65°，则∠2的度数是( )

图2-3-1
A.50° B.60° C.65° D.70°
2．（2019浙江温州龙港期中）如图2-3-2，在△ABC中，∠C= 29°，D为边AC上一点，且AB=AD，DB= DC，则∠A的度数为( )

图2-3-2
A．54° B．58° C.61° D.64°
（2016四川绵阳中考）如图2-3-3，AC//BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A =48°，则∠D=_________.

图2-3-3
4．（2019浙江杭州余杭期末）等边三角形中一个内角的度数是( )
A．30° B．60° C.45° D.90°
5．如图2-3-4，等边三角形ABC中，P为BC上一点，且∠1=∠2，则∠3等于（ ）

图2-3-4
A．50° B.60° C．75° D．无法确定
6．如图2-3-5，已知△ABC是等边三角形，AC=AD，且AC⊥AD，垂足为点A，则∠BEC的度数为__________.

图2-3-5
能力提升全练
1．（2018湖北黄冈中考）如图2-3-6，在△ABC中，直线DE是AC的垂直平分线，且分别交BC．AC于点D和E,∠B= 60°,∠C=25°，则∠BAD的度数为( )

图2-3-6
A．50° B.70° C.75° D.80°
2．（广西梧州中考）如图2-3-7，在△ABC中，AB=AC,∠C=70°，△AB'C’与△ABC关于直线EF对称．∠CAF= 10°，连结BB’，则∠ABB’的度数是( )

图 2-3-7
A.30° B.35° C.40° D.45°
3．如图2-3-8．等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿DE所在的直线折叠，点A落在点A’处，且点A’在△ABC外部，则阴影部分的周长为_____cm．

图2-3-8
4．（青海西宁中考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是________.
5．（2017湖北恩施州中考）如图2-3-9，△ABC，△CDE均为等边三角形，连结BD，AE交于点O，BC与AE交于点P．求证：∠AOB= 60°．

图2-3-9

三年模拟全练
选择题
1．（2019浙江台州期中．7．★★☆）如图2-3-10，AD= BC=BA，那么∠1与∠2的关系是( )

图 2-3-10
∠1=2∠2 B.2∠1+∠2=180°
C.∠1+3∠2=180° D.3∠1-∠2=180°
2．（2019浙江衢州一模．6．★★☆）如图2-3 -11，在射线OA，OB上分别截取OA?=OB?，连结A?B?；在B?A?，B?B上分别截取B?A?=B?B?，连结A?B?；……，按此规律作下去，若∠A?B?O=a，则∠A??B??O=( )

图2-3-11
B. C. D．
五年中考全练
一、选择题
1．（吉林中考）如图2-3-12．在△ABC中，以点B为圆心，BA长为半径画弧交边BC于点D，连结AD，若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是( )

图2-3-12
A．70° B．44° C．34° D．24°
2．（浙江绍兴中考）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．
（答案：35°）
例2 等腰三角形ABC中，∠A= 40°，求∠B的度数．
（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 等腰三角形ABC中，∠A= 80°，求∠B的度数．
(1)请你解答以上的变式题；
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围.




核心素养全练
1．如图2-3-13,AOB是一钢架，且∠AOB= 10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管的条数为( )

图2-3-13
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2019河南新乡期末）(1)问题：如图2-3 -14a，点A为线段BC外一动点，且BC=b，AB=a．填空：当点A位于_______时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_______；（用含a，b的式子表示）

图2-3-14
(2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1．如图2-3-14b所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连结CD ,BE.
①请找出图2-3 -14b中与BE相等的线段，并说明理由;
②直接写出线段BE长的最大值．






答案
A
解析：∵AB// CD,∴∠1 = ∠ACD = 65°,∵AD = CD, ∴∠ACD =∠CAD= 65° ,∴∠2 = 180°-65°-65°= 50°故选 A.
D
解析：∵DB = DC, ∠C = 29°, ∴∠DBC = ∠C = 29°, ∴∠ADB =∠C+ ∠DBC= 58°,∵AB=AD, ∴∠ABD = ∠ADB = 58°,∴∠A=180°-∠ABD-∠ADB=64°.故选 D.
3.答案 66°
解析 ∵AO=AC,∴∠C=∠AOC=。∵AC∥BD,∴∠D= ∠C=66°.
B
解析：等边三角形的三个内角都相等，都是60°．
B
解析：南题图可知∠APC= ∠B+ ∠1=∠3+∠2，∵∠1=∠2．∴∠3=∠B，又∵△ABC是等边三角形，∴∠3=∠B=60∵．故选B.
6．答案 75°
解析 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°,AB=AC,
∵AC⊥AD，
∴∠CAD=90°,
∴∠BAD= ∠BAC+∠CAD=150°,
∵AC=AD,AC=AB，∴AB=AD,
∴∠ABD=∠D==15°,
∴∠BEC= ∠ABD+∠BAC=15°+60°=75°.
能力提升全练
B
解析：∵直线DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC,又∵∠C=25°，∴∠DAC=∠C=25°,∵∠B=60°, ∠C= 25°,∴∠BAC=95°．∠BAD= ∠BAC-∠DAC=70°，故选B．
C
解析：∵△AB'C ‘与△ABC关于直线EF对称，∴△BAC≌△B’AC’,∵AB=AC,∠C=70°,∴∠ABC= ∠ACB’=∠AB'C’=70°（等边对等角），∴∠BAC=∠B'AC'=40°，
∵CAF= 10°,∴∠C’AF= 10°,∴∠BAB’=40°+10°+10°+40°= 100°，∴∠ABB’=∠AB’B=40°．故选C．
3．答案 3
解析 将△ADE沿DE所在的直线折叠，点A落在点A’处，所以AD=A’D，AE=A'E，则阴影部分的周长P BC+BD+CE+A'D+A’E= BC+BD+CF.+AD+AE=BC+AB+AC=3 cm.
4．答案 110°或70°
解析 此题要分情7兄讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时（如图1），腰上的高在三角形外部，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可得出顶角的度数是90。+20°= 110°；当等腰三角形的顶角是锐角时（如图2），腰上的高在三角形内部，故顶角的度数是90°-20°=70°．故答案为110°或70°．

图1 图2
5．证明 ∵△ABC,△CDE均为等边三角形，
∴AC=BC,∠ACB= ∠DCE,CE=CD,
∴∠ACB+∠BCE= ∠DCE+∠BCE,
∴∠ACE= ∠BCD,
在△ACE和△BCD中，

∴△ACE≌BCD( SAS) ,
∴ ∠CAE=∠CBD,
∴∠AOB =180° - ∠BAO - ∠ABO = 180° - ∠BAO - ∠ABC -∠CBD= 180°-∠ABC-∠BAO- ∠CAE= 180°- ∠ABC- ∠BAC=180°-60°-60°= 60°.
三年模拟全练
选择题
B
解析：∵BA=AD．∴∠B=∠2．∵BC= BA，∴∠1= ∠ACB.又∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∴∠1+∠2+∠1=180°，即2∠1+∠2= 180°．故选B．
B．
解析：∵B?A?=B?B?, ∠A?B?O=a，∴∠A?B?O=a，同理，
∠A?B?O=×a =a，∠A?B?O=a；……，,∴．故选B．
五年中考全练
一、选择题
1.C 解析：由作图过程可知BD=BA．∴∠BDA=∠BAD=×（180°-∠B)=×（180°-40°）=70°，由三角形的外角性质得∠DAC= ∠BDA-∠C=70°-36°=34°.
二、解答题
2．解析(1)若∠A为顶角，则∠B=（180°-∠A）÷2=50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B= 180°-2x80°=20°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B= 80°，
故∠B=50°或20°或80°．
(2)分两种情况：
①当90≤x<180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个．
②当0若∠A为顶角，则；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=(180-2x)°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°，
当且180- 2x≠x且，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0核心素养全练
B
解析：因为添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB= 10。，所以∠GEF=∠FGE= 20°．∠GFH=∠GHF= 30°，……，从题图中我们会发现有以下几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角的度数是10°，第二个等腰王角形的底角的度数是20°，第三个等腰三角形的底角的度数是30。，第四个等腰三角形的底角的度数是40°，第五个等腰三角形的底角的度数是50°，第六个等腰三角形的底角的度数是60°，第七个等腰三角形的底角的度数是70°，第八个等腰三角形的底角的度数是80°，第九个等腰三角形的底角的度数是90°（不符合三角形内角和定理，舍去）．所以最多能添加这样的钢管的条数为8．
2．解析(1)由题意可知，当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为AB+BC，即a+b，
故答案为CB的延长线上；a+b
(2)①DC=BE．
理由如下：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD= ∠CAE=60°,
∴∠CAD=∠EAB,
在△CAD和△EAB中，

∴△CAD△EAB(SAS)，
∴DC= BE．
②线段BE长的最大值是4．
由(1)得，点D在CB的延长线上时，CD的长取得最大值，最大值为DB+BC=AB+BC=4，
∵△CAD≌△EAB,
∴DC =BE．
∴线段BE长的最大值是4．