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答案
一、单选题
1． B 2． A 3．C 4．D 5．C
6．A 7． D 8． B 9．C 10．D
二、填空题
11．【答案】6或10或12
12．【答案】k≥－1且k≠0
13．【答案】3
14．【答案】；2
15．【答案】1
16．【答案】2020
17．【答案】 且
18．【答案】
三、解答题
19．【答案】 （1）（2）
20．【答案】（1）解：根据题意得
所以m的最小整数值为。
（2）解：根据题意得，，
整理得 ，解得 ∴m的值为2
21．【答案】证明：一元二次方程 ，
∴无论k取何值，此方程总有两个实数根
22．【答案】解：设环形跑道周长为a，甲的速度为x，乙的速度为y，
根据题意可得：，
∵a＞0，
∴ ，
去分母并整理得：，
∵y＞0，
解得：(负值舍负）．
答：甲的速度是乙的 倍
23．【答案】（1）解：延长CB到G，使GB=DF，连接AG（如图），
∵AB=AD，∠ABG=∠D=90°，GB=DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠3=∠2，AG=AF，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠1+∠2=45°，∴∠GAE=∠1+∠3=45°=∠EAF，
∵AE=AE，∠GAE=∠EAF，AG=AF，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GB+BE=EF，
∴EF=BE+DF．
（2）解：∵x2-5x+6=0，∴x1= 2，x2= 3，
S△AEF=S△AGE=3
24．【答案】（1）解：如图2所示：
（2）证明：在图1中，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D．
根据题意可得m（5-m）=2．
∴m2-5m+2=0．
∴m是方程x2-5x+2=0的实数根．
（3）解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为模仿研究小组作法可得：或等．
（4）解：以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,
设方程的根为x，根据三角形相似可得．．
上式可化为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0．
又ax2+bx+c=0,
即．
比较系数可得：m1+m2=．
m1m2+n1n2=．
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浙教版八下数学一元二次方程尖子生
测试题（含答案）
一、单选题（共10题，共30分）
1．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（?? ）
A．?﹣1????????????????????????????????????B．?0??????????????????????????????????????????C．?1??????????????????????????????????????????D．?2
2．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实根，则的范围是（?? ?）
A．?k<1??????????????????????????????????B．?k>1?????????????????????????????????C．?k≤1?????????????????????????????????????D．?k≥1
3．把方程化成的形式，则的值是（??? ）
A．?6，3?????????????????????????B．?-6，-3???????????????????????????C．?-6，3??????????????????????????????????D．?6，-3
4．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则方程的根的情况是 (?? )
A．?有两个不相等的实数根?? ?B．?有两个相等的实数根???
C．?可能有且只有一个实数根???? D．?没有实数根
5．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为(?? )
A．?－10?????????????????????B．?4??????????????????????????????????C．?－4????????????????????????????????????????D．?10
6．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（?? ?）
A．?a=c????????????????????????????????????B．?a=b????????????????????????C．?b=c????????????????????????????????????D．?a=b=c
7．已知a是方程的一个根，则的值为(???? )
A．???????????????????????????B．??????????????????????????????C．?－1??????????????????????????????D．?1
8．欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，以和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝ ，则图中哪条线段的长是方程x2+ax＝b2的解？答：是（? ??）
?AC?????????????????????????????B．?AD????????????????????????????????C．?AB????????????????????????????????????????D．?BC
9．设a、b是整数，方程的一根是，则的值为（?? ）
A．?2????????????????????????????B．?0??????????????????????????????????????????C．?-2??????????????????????????????????????????D．?-1
10．关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③．其中正确结论的个数是（?? ）
A．?0个?????????????????????????B．?1个??????????????????????????C．?2个???????????????????????????????????????D．?3个
二、填空题（共8题，共24分）
11．三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长是________．
12．若关于x的方程kx2-2x-1=0有两个实数根，则实数k的取值范围是________．
13．已知m是方程2x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式6m2﹣3m的值等于________．
14．已知方程的两根分别是 ，则 b= ________， c= ________．
15．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中
修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草
的面积为532m2 ， 那么小道进出口的宽度应为________米．
16．已知x2+y2-2x-4y+5=0，分式的值为________．
17．已知方程组有两组不相等的实数解，则k的取值范围________．
18．如图，长方形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点B的坐标为
（ ，1）点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将
△OAD对折后，点A落到点P处，并满足△PCB是等腰三角形，
则P点坐标为________．
三、解答题（共6题；共46分）
19．(本题6分)解下列方程：
（1）；
（2）
20．(本题8分)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2?2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为， 且，求m的值．
21．(本题6分)求证：无论k取何值，关于 x的一元二次方程总有实数根．
22．(本题8分)甲、乙两人同时从环形跑道上同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即背转方向，以原来的速度沿逆时针方向跑去，当两人再次相遇时，乙恰好跑了四圈，求甲的速度是乙的几倍？
23．(本题8分)如图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°．
（1）求证：EF=BE+DF；
（2）若线段EF、AB的长分别是方程x2﹣5x+6=0的两个根，求△AEF的面积．
24．(本题10分)在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程，操作步骤是：
第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根.
（1）在图2 中，按照“第四步“的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）
（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地,当与之间满足怎样的关系时，点就是符合要求的一对固定点？
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