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八年级数学下册 第五章 特殊的平行四边形 单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，丝带重叠的部分一定是
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
2．能判定一个平行四边形是矩形的条件是
A．两条对角线互相平分 B．一组邻边相等
C．两条对角线相等 D．两条对角线互相垂直
3．矩形中，已知，，则长为
A．9 B．13 C．17 D．20
4．如图，正方形中，，则的长是
A．1 B． C． D．2
5．如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，，则菱形的面积为
A． B．12 C．15 D．
6．已知四边形中，，对角线，相交于点．下列结论一定成立的是
A． B． C． D．
7．如图所示，在平行四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定平行四边形为矩形的是
A． B． C． D．
8．如图，是伸缩衣架的实物图和示意图，它是由4条短木棒和4条长木棒组成的三个全等的菱形，其中，当由变为时，衣架的总长度拉长了
A． B． C． D．
9．如图，在正方形中，为中点，连结，过点作交的延长线于点，连结．若，则的值为
A．3 B． C． D．4
10．如图，点是矩形的边上一动点，矩形两边长、长分别为15和20，那么到矩形两条对角线和的距离之和是
A．6 B．12 C．24 D．不能确定
二．填空题（共10小题）
11．在菱形中，周长为16，，则其面积为 ．
12．在矩形中，再增加条件 （只需填一个）可使矩形成为正方形．
13．长方形的一条对角线的长为，一边长为，它的面积是 ．
14．如图， 点是矩形的对角线的中点，交于点，若，，则的长为 ．
15．如图，正方形的对角线是菱形的一边，菱形的对角线交于，则的度数为 ．
16．如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点，于，连接，则 度．
17．如图，已知点为内角平分线的交点，过点作，分别交于点、，若，
，则的周长是 ．
18．如图，菱形中，，于，对角线与相交于，连接，则 ．
19．如图，中，，，，折叠使落在处，折痕为，点、分别在、上，则 ．
20．如图，正方形的边长为，点，分别是，的中点，连结，，则图中阴影部分的面积是
三．解答题（共8小题）
21．如图：正方形中，点、分别在边、上，，连接，交于点，点为中点，连接，求证：．
22．如图，正方形中，，为边上一点，，于，于，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
23．如图，已知四边形是矩形，延长至点，连结，使得，过点作于点．
（1）求证：．
（2）连结，若，求的度数．
24．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接、，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若菱形的边长为6，，求的长．
25．如图，在中，分别是，的中点，，延长到点，使得，连
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
26．如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的周长．
27．如图，平行四边形中，，，，点、分别以、为起点，秒的速度沿、边运动，设点、运动的时间为秒
（1）求边上高的长度；
（2）连接、，当为何值时，四边形为菱形；
（3）作于，于，当为何值时，四边形为正方形．
28．如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，，点的坐标为，点的坐标为．动点从点出发，沿射线方向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点同时从点出发，到达点之后，继续沿射线运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点运动的时间为秒．
（1）当运动2秒时，求的面积．
（2）求点的坐标和平行四边形的周长；
（3）在整个运动过程中，为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．如图，丝带重叠的部分一定是
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
【解答】解：过点作于，于，因为两条彩带宽度相同，
所以，，．
四边形是平行四边形．
．又．
，
四边形是菱形．
故选：．
2．能判定一个平行四边形是矩形的条件是
A．两条对角线互相平分 B．一组邻边相等
C．两条对角线相等 D．两条对角线互相垂直
【分析】根据平行四边形的判定（对角线互相平分），矩形的判定（对角线互相平分且相等），菱形的判定（对角线互相平分且垂直或一组邻边相等的平行四边形）判断即可．
【解答】解：、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；
、一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形不一定是矩形，故本选项错误；
、根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；
、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误．
故选：．
3．矩形中，已知，，则长为
A．9 B．13 C．17 D．20
【分析】由勾股定理可求出长，由矩形的性质可得．
【解答】解：如图，矩形中，，，，
，
，
故选：．
4．如图，正方形中，，则的长是
A．1 B． C． D．2
【分析】在直角三角形中，利用勾股定理可直接求出的长；
【解答】解：在中，，
；
故选：．
5．如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，，则菱形的面积为
A． B．12 C．15 D．
【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质可得，，由三角形中位线定理可求，由勾股定理可求的长，即可求解．
【解答】解：如图，连接
四边形是菱形
，且点是中点
，
，分别是，的中点
菱形的面积
故选：．
6．已知四边形中，，对角线，相交于点．下列结论一定成立的是
A． B． C． D．
【分析】证出四边形是菱形，由菱形的性质即可得出结论．
【解答】解：四边形中，，
四边形是菱形，
；
故选：．
7．如图所示，在平行四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定平行四边形为矩形的是
A． B． C． D．
【分析】本题考查的是矩形的判定，平行四边形的性质有关知识，利用矩形的判定，平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可解答．
【解答】解：．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形为矩形，故此选项不符合题意；
．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形为矩形，故此选项不符合题意；
．不能判定平行四边形为矩形，故此选项符合题意；
．平行四边形中，，
，
又，
，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形为矩形，故此选项不符合题意．
故选：．
8．如图，是伸缩衣架的实物图和示意图，它是由4条短木棒和4条长木棒组成的三个全等的菱形，其中，当由变为时，衣架的总长度拉长了
A． B． C． D．
【分析】根据菱形的性质分别得出由变为前后的长，进而得出答案．
【解答】解：当时，连接，
四边形是菱形，则，
是等边三角形，
，
如图所示：过点作于点，
，
，
则，
故，
则，
可得衣架的总长度拉长了：．
故选：．
9．如图，在正方形中，为中点，连结，过点作交的延长线于点，连结．若，则的值为
A．3 B． C． D．4
【分析】根据题意可得，，可证，可得，根据勾股定理可得的长．
【解答】解：是正方形
，
且
且，
是中点
在中，
故选：．
10．如图，点是矩形的边上一动点，矩形两边长、长分别为15和20，那么到矩形两条对角线和的距离之和是
A．6 B．12 C．24 D．不能确定
【分析】由矩形可得：，又由，，可求得的长，则可求得与的长，又由，代入数值即可求得结果．
【解答】解：连接，如图所示：
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，，
，，
，
，
．
点到矩形的两条对角线和的距离之和是12．
故选：．
二．填空题（共10小题）
11．在菱形中，周长为16，，则其面积为 8 ．
【分析】如图，过点作于点，由菱形的性质可求，由直角三角形的性质可求，即可求解．
【解答】解：如图，过点作于点，
菱形的周长为16，
，
，，
，
菱形的面积，
故答案为：8．
12．在矩形中，再增加条件 （只需填一个）可使矩形成为正方形．
【分析】由添加条件得出，即可得出矩形为正方形．
【解答】解：，
矩形为正方形，
故答案为：．
13．长方形的一条对角线的长为，一边长为，它的面积是 48 ．
【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：长方形的一条对角线的长为，一边长为，
另一边长为，
它的面积为．
故答案为：48．
14．如图， 点是矩形的对角线的中点，交于点，若，，则的长为 ．
【分析】已知是的中位线， 再结合已知条件则的长可求出， 所以利用勾股定理可求出的长， 由直角三角形斜边上中线的性质则的长即可求出 ．
【解答】解：四边形是矩形，
，
是矩形的对角线的中点，，
是的中位线，
，
，
，
，
，
故答案为：
15．如图，正方形的对角线是菱形的一边，菱形的对角线交于，则的度数为 ．
【分析】根据菱形的性质对角线平分每一组对角以及正方形性质得出，，进而利用三角形外角性质求出即可．
【解答】解：正方形的对角线是菱形的一边，菱形的对角线交于，
，，
的度数为：．
故答案为：．
16．如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点，于，连接，则 25 度．
【分析】根据菱形的对角线互相平分可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边对等角求出，根据两直线平行，内错角相等求出，然后根据等角的余角相等解答即可．
【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
又，
，
在中，，
在中，，
，
故答案为：25．
17．如图，已知点为内角平分线的交点，过点作，分别交于点、，若，
，则的周长是 26 ．
【分析】根据角平分线性质和平行线的性质推出，推出，同理，代入三角形周长公式求出即可．
【解答】解：平分，
，
，
，
，
，
同理，
，
的周长是．
故答案为：26．
18．如图，菱形中，，于，对角线与相交于，连接，则 25 ．
【分析】由菱形的性质得出，，求出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出答案．
【解答】解：在菱形中，，
，，
，
，
，，
．
故答案为：25．
19．如图，中，，，，折叠使落在处，折痕为，点、分别在、上，则 ．
【分析】连接、．由题意四边形是菱形，设，在中，，，可得，，推出，在中，根据，列出方程即可解决问题．
【解答】解：连接、．
由题意四边形是菱形，设，
在中，，，
，，
，
在中，，
，
，
故答案为．
20．如图，正方形的边长为，点，分别是，的中点，连结，，则图中阴影部分的面积是
【分析】连接，可看出阴影部分的面积等于正方形的面积一个三角形的面积，用相似求出三角形的面积，阴影部分的面积可证．
【解答】解：连接，．
阴影部分的面积的面积的面积为与的交点），
的面积的面积正方形的面积，
点，分别是，的中点，
，，
，
，
的面积的面积．
的面积的面积的面积，
阴影部分的面积，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
21．如图：正方形中，点、分别在边、上，，连接，交于点，点为中点，连接，求证：．
【分析】证明，再推导出，在中，点是斜边中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得结论．
【解答】证明：四边形是正方形，
，，
又，
．
．
，
，即．
在中，点是斜边中点，
．
22．如图，正方形中，，为边上一点，，于，于，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
【分析】（1）易知，再利用同角的余角相等证明，由正方形的性质可知，则用可证；
（2）根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】证明：（1）四边形是正方形，
，
，，
．
，，
，
；
（2），
，
四边形的面积．
23．如图，已知四边形是矩形，延长至点，连结，使得，过点作于点．
（1）求证：．
（2）连结，若，求的度数．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和矩形的性质证出，由证明，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出，求出，即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接，如图所示：
，，
四边形是矩形，，，
，
，
，
，
在和 中，，
，
；
（2）解：，
，
四边形是矩形，
，
，
．
24．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接、，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若菱形的边长为6，，求的长．
【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形，即可；
（2）在中，利用勾股定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：四边形是菱形，，
，．
，
四边形是平行四边形，
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
．
（2）解：菱形的边长为6，
，，．
，，
是等边三角形，
，
中，，，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
．
25．如图，在中，分别是，的中点，，延长到点，使得，连
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【分析】（1）从所给的条件可知，是中位线，所以且，所以和平行且相等，所以四边形是平行四边形，又因为，所以是菱形；
（2）由是，可得为，即可得是等边三角形，求得，再过点作于点，求的高的长，即可求得答案．
【解答】（1）证明：、分别是、的中点，
且，
又，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
是等边三角形，
，
过点作于点，
，
．
26．如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的周长．
【分析】（1）先根据菱形的性质得出，，再证明，然后根据平行四边形的定义证明即可；
（2）先根据菱形的性质以及勾股定理得出，再由平行四边形的性质得出，，进而求出的周长．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，．
，即，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，，，
，，．
四边形是平行四边形，
，，
的周长．
27．如图，平行四边形中，，，，点、分别以、为起点，秒的速度沿、边运动，设点、运动的时间为秒
（1）求边上高的长度；
（2）连接、，当为何值时，四边形为菱形；
（3）作于，于，当为何值时，四边形为正方形．
【分析】（1）先由平行四边形的性质得出．再解直角，即可求出的长度；
（2）先证明四边形为平行四边形，则当时，四边形为菱形．根据列出方程，解方程即可；
（3）先证明四边形为矩形，则当时，四边形为正方形．根据列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）四边形是平行四边形，
．
在直角中，，，
；
（2）点、分别以、为起点，秒的速度沿、边运动，设点、运动的时间为秒，
，
，
四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形．
，，
，
，
解得．
故当为时，四边形为菱形；
（3）于，于，，
四边形为矩形，
当时，四边形为正方形．
，，
，
（注：分点在点的左右两种情况），
，
，
解得或．
故当为4.5或1.5秒时，四边形为正方形．
28．如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，，点的坐标为，点的坐标为．动点从点出发，沿射线方向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点同时从点出发，到达点之后，继续沿射线运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点运动的时间为秒．
（1）当运动2秒时，求的面积．
（2）求点的坐标和平行四边形的周长；
（3）在整个运动过程中，为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？
【分析】（1）如图1中，作轴于，轴于．求出．即可解决问题．
（2）利用平行四边形的性质解决问解即可．
（3）如图2中，当点在射线上时，时，，，，为顶点的四边形是平行四边形．由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，作轴于，轴于．
，，，
，，，
，，
当时，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
（2）四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，，
四边形的周长．
（3）如图2中，当点在射线上时，时，，，，为顶点的四边形是平行四边形．
，
解得或8，
为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
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八年级数学下册 第五章 特殊的平行四边形 单元测试卷
一．选择题（共 10 小题）
1．如图，丝带重叠的部分一定是 ( )
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
2．能判定一个平行四边形是矩形的条件是 ( )
A．两条对角线互相平分 B．一组邻边相等
C．两条对角线相等 D．两条对角线互相垂直
3．矩形 ABCD中，已知 5AB ? ， 12AD ? ，则 AC 长为 ( )
A．9 B．13 C．17 D．20
4．如图，正方形 ABCD中， 1AB ? ，则 AC 的长是 ( )
A．1 B． 2 C． 3 D．2
5．如图，在菱形 ABCD中， E， F 分别是 AB， AC 的中点，若 2EF ? ， 6AC ? ，则菱形 ABCD的
面积为 ( )
A． 6 7 B．12 C．15 D．10 5
6．已知四边形 ABCD中， AB BC CD DA? ? ? ，对角线 AC ，BD相交于点O．下列结论一定成立的
是 ( )
A． AC BD? B． AC BD? C． 90ABC? ? ? D． ABC BAC? ? ?
7．如图所示，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC 、 BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边
形 ABCD为矩形的是 ( )
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A． 90ABC? ? ? B． AC BD? C． AD AB? D． BAD ADC? ? ?
8．如图，是伸缩衣架的实物图和示意图，它是由 4条短木棒和 4条长木棒组成的三个全等的菱形，
其中 20AB cm? ，当 BAD? 由 60?变为120?时，衣架的总长度 BE 拉长了 ( )
A． (20 3 20)cm? B． (40 3 40)cm? C． (60 30 3)cm? D． (60 3 60)cm?
9．如图，在正方形 ABCD中，E为 AB中点，连结DE，过点D作DF DE? 交 BC的延长线于点 F ，
连结 EF ．若 1AE ? ，则 EF 的值为 ( )
A．3 B． 10 C． 2 3 D．4
10．如图，点 P是矩形 ABCD的边上一动点，矩形两边长 AB、 BC长分别为 15和 20，那么 P到矩
形两条对角线 AC 和 BD的距离之和是 ( )
A．6 B．12 C．24 D．不能确定
二．填空题（共 10 小题）
11．在菱形 ABCD中，周长为 16， 30ABC? ? ?，则其面积为 ．
12．在矩形 ABCD中，再增加条件 （只需填一个）可使矩形 ABCD成为正方形．
13．长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为 6cm，它的面积是 2cm ．
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14．如图， 点O是矩形 ABCD的对角线 AC 的中点， / /OM AB交 AD于点M ，若 2OM ? ，
6BC ? ，则OB的长为 ．
15．如图，正方形 ABCD的对角线 BD是菱形 BEFD的一边，菱形 BEFD的对角线 BF 交于 P，则 BPD?
的度数为 ．
16．如图，四边形 ABCD是菱形， 50DAB? ? ?，对角线 AC ， BD相交于点O，DH AB? 于H ，连
接OH ，则 DHO? ? 度．
17．如图，已知点O为 ABC? 内角平分线的交点，过点O作 / /MN BC ，分别交 AB于 AC 点M 、N，
若 12AB ? ，
14AC ? ，则 AMN? 的周长是 ．
18．如图，菱形 ABCD中， 130ADC? ? ?， BE CD? 于 E，对角线 AC 与 BD相交于O，连接OE，
则 BEO? ? ?．
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19．如图， ABCD? 中， 60B? ? ?， 3AB ? ， 4BC ? ，折叠 ABCD? 使C落在 A处，折痕为 EF ，点
E、 F 分别在 BC、 AD上，则 AF ? ．
20．如图，正方形 ABCD的边长为 4cm，点 E， F 分别是 BC，CD的中点，连结 BF ， DE，则图
中阴影部分的面积是 2cm
三．解答题（共 8 小题）
21．如图：正方形 ABCD中，点 E、 F 分别在边 BC、CD上， BE CF? ，连接 AE， BF 交于点O，
点M 为 AB中点，连接OM ，求证： 1
2
OM AB? ．
22．如图，正方形 ABCD中， AB AD? ，G为 BC边上一点， BE AG? ，于 E，DF AG? 于 F ，连
接DE．
（1）求证： ABE DAF? ? ? ；
（2）若 1AF ? ， 4EF ? ，求四边形 ABED的面积．
23．如图，已知四边形 ABCD是矩形，延长 AB至点 F ，连结CF ，使得CF AF? ，过点 A作 AE FC?
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于点 E．
（1）求证： AD AE? ．
（2）连结CA，若 70DCA? ? ?，求 CAE? 的度数．
24．如图，菱形 ABCD的对角线 AC 、 BD相交于点O，过点 D作 / /DE AC且 DE OC? ，连接CE 、
OE，连接 AE交OD于点 F ．
（1）求证：OE CD? ；
（2）若菱形 ABCD的边长为 6， 60ABC? ? ?，求 AE的长．
25．如图，在 ABC? 中，DE分别是 AB，AC的中点， 2BE DE? ，延长DE到点F ，使得 EF BE? ，
连CF
（1）求证：四边形 BCFE是菱形；
（2）若 6CE ? ， 120BEF? ? ?，求菱形 BCFE的面积．
26．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC ， BD相交于点O，过点 D作对角线 BD的垂线交 BA的延
长线于点 E．
（1）证明：四边形 ACDE是平行四边形；
（2）若 4AC ? ， 3BD ? ，求 ADE? 的周长．
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27．如图，平行四边形 ABCD中， 9AD cm? ， 3 2CD cm? ， 45B? ? ?，点M 、N分别以 A、C为
起点，1 /cm 秒的速度沿 AD、CB边运动，设点M 、 N运动的时间为 t秒 (0 6)t? ?
（1）求 BC边上高 AE的长度；
（2）连接 AN 、CM ，当 t为何值时，四边形 AMCN 为菱形；
（3）作MP BC? 于 P， NQ AD? 于Q，当 t为何值时，四边形MPNQ为正方形．
28．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC 是平行四边形， 60COA? ? ?，点 A的
坐标为 (6,0)，点 B的坐标为 (10,4 3)．动点 P从点O出发，沿射线OA方向以每秒 1 个单位的速度
匀速运动；动点Q同时从点 A出发，到达点 B之后，继续沿射线 BC运动，以每秒 2个单位的速度匀
速运动，设点 P运动的时间为 t秒 ( 0)t ? ．
（1）当运动 2秒时，求 APQ? 的面积．
（2）求点C的坐标和平行四边形OABC 的周长；
（3）在整个运动过程中， t为何值时，以 A， P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？
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参考答案
一．选择题（共 10 小题）
1．如图，丝带重叠的部分一定是 ( )
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边
相等，则重叠部分为菱形．
【解答】解：过点 A作 AE BC? 于 E， AF CD? 于 F ，因为两条彩带宽度相同，
所以 / /AB CD， / /AD BC ， AE AF? ．
?四边形 ABCD是平行四边形．
ABCDS BC AE CD AF? ? ? ??? ．又 AE AF? ．
BC CD? ? ，
?四边形 ABCD是菱形．
故选：C．
2．能判定一个平行四边形是矩形的条件是 ( )
A．两条对角线互相平分 B．一组邻边相等
C．两条对角线相等 D．两条对角线互相垂直
【分析】根据平行四边形的判定（对角线互相平分），矩形的判定（对角线互相平分且相等），菱形
的判定（对角线互相平分且垂直或一组邻边相等的平行四边形）判断即可．
【解答】解： A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形不一定是矩形，故本选项错误；
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C、根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；
D、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误．
故选：C．
3．矩形 ABCD中，已知 5AB ? ， 12AD ? ，则 AC 长为 ( )
A．9 B．13 C．17 D．20
【分析】由勾股定理可求出 BD长，由矩形的性质可得 13AC BD? ? ．
【解答】解：如图，矩形 ABCD中， 90BAD? ? ?， 5AB ? ， 12AD ? ，
? 2 2 2 25 12 13BD AB AD? ? ? ? ? ，
13AC BD? ? ? ，
故选： B．
4．如图，正方形 ABCD中， 1AB ? ，则 AC 的长是 ( )
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【分析】在直角三角形 ABC中，利用勾股定理可直接求出 AC 的长；
【解答】解：在Rt ABC? 中， 1AB BC? ? ，
2 2 2 21 1 2AC AB BC? ? ? ? ? ? ；
故选： B．
5．如图，在菱形 ABCD中， E， F 分别是 AB， AC 的中点，若 2EF ? ， 6AC ? ，则菱形 ABCD的
面积为 ( )
A． 6 7 B．12 C．15 D．10 5
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【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质可得 3AF FC? ? ，BF AC? ，由三角形中位线定理可求
4BC ? ，由勾股定理可求 BF 的长，即可求解．
【解答】解：如图，连接 BF
?四边形 ABCD是菱形
AB BC? ? ，且点 F 是 AC 中点
3AF FC? ? ? ， BF AC?
E? ， F 分别是 AB， AC 的中点
2 4BC EF? ? ?
2 2 7BF BC CF? ? ? ?
1 3 7
2ABC
S AC BF?? ? ? ? ?
?菱形 ABCD的面积 2 6 7ABCS?? ?
故选： A．
6．已知四边形 ABCD中， AB BC CD DA? ? ? ，对角线 AC ，BD相交于点O．下列结论一定成立的
是 ( )
A． AC BD? B． AC BD? C． 90ABC? ? ? D． ABC BAC? ? ?
【分析】证出四边形 ABCD是菱形，由菱形的性质即可得出结论．
【解答】解：?四边形 ABCD中， AB BC CD DA? ? ? ，
?四边形 ABCD是菱形，
AC BD? ? ；
故选： A．
7．如图所示，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC 、 BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边
形 ABCD为矩形的是 ( )
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A． 90ABC? ? ? B． AC BD? C． AD AB? D． BAD ADC? ? ?
【分析】本题考查的是矩形的判定，平行四边形的性质有关知识，利用矩形的判定，平行四边形的性
质对选项进行逐一判断即可解答．
【解答】解： A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形 ABCD为矩形，故此
选项不符合题意；
B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形 ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C．不能判定平行四边形 ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D．平行四边形 ABCD中， / /AB CD，
180BAD ADC?? ? ? ? ?，
又 BAD ADC? ? ?? ，
90BAD ADC?? ? ? ? ?，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形 ABCD为矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
8．如图，是伸缩衣架的实物图和示意图，它是由 4条短木棒和 4条长木棒组成的三个全等的菱形，
其中 20AB cm? ，当 BAD? 由 60?变为120?时，衣架的总长度 BE 拉长了 ( )
A． (20 3 20)cm? B． (40 3 40)cm? C． (60 30 3)cm? D． (60 3 60)cm?
【分析】根据菱形的性质分别得出 BAD? 由 60?变为120?前后 BE 的长，进而得出答案．
【解答】解：当 60BAD? ? ?时，连接 BD，
?四边形 ABCD是菱形，则 AB AD? ，
ABD?? 是等边三角形，
20AB BD cm? ? ? ，
如图所示：过点 A作 AF BD? 于点 F ，
120BAD? ? ?? ，
60BAF?? ? ?，
则 30B? ? ?，
故
3cos30 20 10 3( )
2
BF AB cm? ? ? ? ? ，
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则 20 3BD cm? ，
可得衣架的总长度 BE 拉长了： 3 20 3 3 20 60 3 60? ? ? ? ? ．
故选：D．
9．如图，在正方形 ABCD中，E为 AB中点，连结DE，过点D作DF DE? 交 BC的延长线于点 F ，
连结 EF ．若 1AE ? ，则 EF 的值为 ( )
A．3 B． 10 C． 2 3 D．4
【分析】根据题意可得 2AB ? ， ADE CDF? ? ? ，可证 ADE DCF? ? ? ，可得 1CF ? ，根据勾股定理
可得 EF 的长．
【解答】解： ABCD? 是正方形
AB BC CD? ? ? ， 90A B DCB ADC? ? ? ? ? ? ? ? ?
DF DE??
90EDC CDF?? ? ? ? ?且 90ADE EDC? ?? ? ?
ADE CDF?? ? ? 且 AD CD? ， 90A DCF? ? ? ? ?
ADE CDF?? ? ?
1AE CF? ? ?
E? 是 AB中点
2AB BC? ? ?
3BF? ?
在Rt BEF? 中， 2 2 10EF BE BF? ? ?
故选： B．
10．如图，点 P是矩形 ABCD的边上一动点，矩形两边长 AB、 BC长分别为 15和 20，那么 P到矩
形两条对角线 AC 和 BD的距离之和是 ( )
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A．6 B．12 C．24 D．不能确定
【分析】由矩形 ABCD可得： 1
4AOD ABCD
S S? ? 矩形 ，又由 15AB ? ， 20BC ? ，可求得 AC 的长，则可求
得OA与OD的长，又由 1 1
2 2AOD APO DPO
S S S OA PE OD PF? ? ?? ? ? ?? ? ，代入数值即可求得结果．
【解答】解：连接OP，如图所示：
?四边形 ABCD是矩形，
AC BD? ? ， 1
2
OA OC AC? ? ， 1
2
OB OD BD? ? ， 90ABC? ? ?，
1
4AOD ABCD
S S? ? 矩形 ，
1
2
OA OD AC? ? ? ，
15AB ?? ， 20BC ? ，
2 2 2 215 20 25AC AB BC? ? ? ? ? ? ， 1 1 15 20 75
4 4AOD ABCD
S S? ? ? ? ? ?矩形 ，
25
2
OA OD? ? ? ，
1 1 1 1 25( ) ( ) 75
2 2 2 2 2AOD APO DPO
S S S OA PE OD PF OA PE PF PE PF? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ，
12PE PF? ? ? ．
?点 P到矩形的两条对角线 AC 和 BD的距离之和是 12．
故选： B．
二．填空题（共 10 小题）
11．在菱形 ABCD中，周长为 16， 30ABC? ? ?，则其面积为 8 ．
【分析】如图，过点 A作 AE BC? 于点 E，由菱形的性质可求 4AB BC? ? ，由直角三角形的性质可
求 2AE ? ，即可求解．
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【解答】解：如图，过点 A作 AE BC? 于点 E，
?菱形 ABCD的周长为 16，
4AB BC? ? ? ，
30ABC? ? ?? ， AE BC? ，
1 2
2
AE AB? ? ? ，
?菱形 ABCD的面积 8BC AE? ? ? ，
故答案为：8．
12．在矩形 ABCD中，再增加条件 AB BC? （只需填一个）可使矩形 ABCD成为正方形．
【分析】由添加条件得出 AB BC? ，即可得出矩形 ABCD为正方形．
【解答】解： AB BC?? ，
?矩形 ABCD为正方形，
故答案为： AB BC? ．
13．长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为 6cm，它的面积是 48 2cm ．
【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：?长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为 6cm，
?另一边长为 2 210 6 8cm? ? ，
?它的面积为 28 6 48cm? ? ．
故答案为：48．
14．如图， 点O是矩形 ABCD的对角线 AC 的中点， / /OM AB交 AD于点M ，若 2OM ? ，
6BC ? ，则OB的长为 13 ．
【分析】已知OM 是 ADC? 的中位线， 再结合已知条件则DC的长可求出， 所以利用勾股定理可
求出 AC的长， 由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出 ．
【解答】解：?四边形 ABCD是矩形，
90D?? ? ?，
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O? 是矩形 ABCD的对角线 AC的中点， / /OM AB，
OM? 是 ADC? 的中位线，
2OM ?? ，
4DC? ? ，
6AD BC? ?? ，
2 2 2 13AC AD CD? ? ? ? ，
1 13
2
BO AC? ? ? ，
故答案为： 13
15．如图，正方形 ABCD的对角线 BD是菱形 BEFD的一边，菱形 BEFD的对角线 BF 交于 P，则 BPD?
的度数为 112.5? ．
【分析】根据菱形的性质对角线平分每一组对角以及正方形性质得出， 22.5DBF FBE? ? ? ? ?，进而
利用三角形外角性质求出即可．
【解答】解：?正方形 ABCD的对角线 BD是菱形 BEFD的一边，菱形 BEFD的对角线 BF 交于 P，
45DBC BDC?? ? ? ? ?， 22.5DBF FBE? ? ? ? ?，
BPD?? 的度数为： 90 22.5 112.5PBC BCP? ?? ? ? ? ? ? ?．
故答案为：112.5?．
16．如图，四边形 ABCD是菱形， 50DAB? ? ?，对角线 AC ， BD相交于点O，DH AB? 于H ，连
接OH ，则 DHO? ? 25 度．
【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD OB? ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
可得OH OB? ，然后根据等边对等角求出 OHB OBH? ? ? ，根据两直线平行，内错角相等求出
OBH ODC? ? ? ，然后根据等角的余角相等解答即可．
【解答】解：?四边形 ABCD是菱形，
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OD OB? ? ， 90COD? ? ?，
DH AB?? ，
1
2
OH BD OB? ? ? ，
OHB OBH?? ? ? ，
又 / /AB CD? ，
OBH ODC?? ? ? ，
在Rt COD? 中， 90ODC DCO? ?? ? ?，
在Rt DHB? 中， 90DHO OHB? ?? ? ?，
1 25
2
DHO DCO DAB?? ? ? ? ? ? ?，
故答案为：25．
17．如图，已知点O为 ABC? 内角平分线的交点，过点O作 / /MN BC ，分别交 AB于 AC 点M 、N，
若 12AB ? ，
14AC ? ，则 AMN? 的周长是 26 ．
【分析】根据角平分线性质和平行线的性质推出 MOB MBO? ? ? ，推出 BM OM? ，同理CN ON? ，
代入三角形周长公式求出即可．
【解答】解： BO? 平分 ABC? ，
MBO CBO?? ? ? ，
/ /MN BC? ，
MOB CBO?? ? ? ，
MOB MBO?? ? ? ，
OM BM? ? ，
同理CN NO? ，
BM CN MN? ? ? ，
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AMN?? 的周长是 12 14 26AN MN AM AN CN OM ON AB AC? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ．
故答案为：26．
18．如图，菱形 ABCD中， 130ADC? ? ?， BE CD? 于 E，对角线 AC 与 BD相交于O，连接OE，
则 BEO? ? 25 ?．
【分析】由菱形的性质得出
1 65
2
BDC ADC? ? ? ? ?，OB OD? ，求出 90 65 25OBE? ? ? ? ? ? ?，由直
角三角形斜边上的中线性质得出
1
2
OE BD OB? ? ，即可得出答案．
【解答】解：在菱形 ABCD中， 130ADC? ? ?，
1 65
2
BDC ADC?? ? ? ? ?，OB OD? ，
BE CD?? ，
90BED?? ? ?，
90 65 25OBE?? ? ? ? ? ? ?， 1
2
OE BD OB? ? ，
25BEO OBE?? ? ? ? ?．
故答案为：25．
19．如图， ABCD? 中， 60B? ? ?， 3AB ? ， 4BC ? ，折叠 ABCD? 使C落在 A处，折痕为 EF ，点
E、 F 分别在 BC、 AD上，则 AF ? 13
5
．
【分析】连接 AC 、CF ．由题意四边形 AECF 是菱形，设 AF CF CE AE x? ? ? ? ，在Rt ABH? 中，
3AB ? ， 60B? ? ?，可得 3
2
BH ? ， 3 3
2
AH ? ，推出 3 54
2 2
EH x x? ? ? ? ? ，在 Rt AEH? 中，根
据 2 2 2AH EH AE? ? ，列出方程即可解决问题．
【解答】解：连接 AC 、CF ．
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由题意四边形 AECF 是菱形，设 AF CF CE AE x? ? ? ? ，
在Rt ABH? 中， 3AB ? ， 60B? ? ?，
3
2
BH? ? ， 3 3
2
AH ? ，
3 54
2 2
EH x x? ? ? ? ? ? ，
在Rt AEH? 中， 2 2 2AH EH AE? ?? ，
2 2 23 3 5( ) ( )
2 2
x x? ? ? ? ，
13
5
x? ? ，
故答案为
13
5
．
20．如图，正方形 ABCD的边长为 4cm，点 E， F 分别是 BC，CD的中点，连结 BF ， DE，则图
中阴影部分的面积是
32
3
2cm
【分析】连接 BD，可看出阴影部分的面积等于 1
2
正方形的面积 ?一个三角形的面积，用相似求出三
角形的面积，阴影部分的面积可证．
【解答】解：连接 BD， EF ．
?阴影部分的面积 ABD? ? 的面积 BDG?? 的面积 (G为 BF 与DE的交点），
BCD?? 的面积 ABD? ? 的面积 1
2
? 正方形 ABCD的面积 28cm? ，
?点 E， F 分别是 BC，CD的中点，
/ /EF BD? ， 1
2
EF BD? ，
GEF GBD?? ?∽ ，
2DG GE? ? ，
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BDE?? 的面积 1
2
BCD? ? 的面积．
BDG?? 的面积 2
3
BDE? ? 的面积 1
3
BCD? ? 的面积 28
3
cm? ，
?阴影部分的面积 2
8 328
3 3
cm? ? ? ，
故答案为：
32
3
．
三．解答题（共 8 小题）
21．如图：正方形 ABCD中，点 E、 F 分别在边 BC、CD上， BE CF? ，连接 AE， BF 交于点O，
点M 为 AB中点，连接OM ，求证： 1
2
OM AB? ．
【分析】证明 ABE BCF? ? ? ，再推导出 90AOB? ? ?，在Rt ABO? 中，M 点是斜边 AB中点，根据直
角三角形斜边中线的性质可得结论．
【解答】证明：?四边形 ABCD是正方形，
AB BC? ? ， 90ABE BCF? ? ? ? ?，
又 BE CF? ，
( )ABE BCF SAS?? ? ? ．
BAE CBF?? ? ? ．
90ABO CBF? ? ? ? ?? ，
90ABO BAO?? ? ? ? ?，即 90AOB? ? ?．
在Rt ABO? 中，M 点是斜边 AB中点，
1
2
OM AB? ? ．
22．如图，正方形 ABCD中， AB AD? ，G为 BC边上一点， BE AG? ，于 E，DF AG? 于 F ，连
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接DE．
（1）求证： ABE DAF? ? ? ；
（2）若 1AF ? ， 4EF ? ，求四边形 ABED的面积．
【分析】（1）易知 90AFD BEA? ? ? ? ?，再利用同角的余角相等证明 BAE ADF? ? ? ，由正方形的
性质可知 AD AB? ，则用 AAS 可证 ABE DAF? ? ? ；
（2）根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】证明：（1）?四边形 ABCD是正方形，
AB AD? ? ，
DF AG?? ， BE AG? ，
90AEB DFA?? ? ? ? ?．
90BAE DAF?? ? ? ? ?， 90DAF ADF? ?? ? ?，
BAE ADF?? ? ? ，
( )ABE DAF AAS?? ? ? ；
（2） ABE DAF? ? ?? ，
1 4 5DF AE AF EF? ? ? ? ? ? ? ，
?四边形 ABED的面积 1 12 1 5 5 4 15
2 2ABE ADE DFE
S S S? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ．
23．如图，已知四边形 ABCD是矩形，延长 AB至点 F ，连结CF ，使得CF AF? ，过点 A作 AE FC?
于点 E．
（1）求证： AD AE? ．
（2）连结CA，若 70DCA? ? ?，求 CAE? 的度数．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和矩形的性质证出 FCA DCA? ? ? ，由 AAS 证明 ADC CAE? ? ? ，
即可得出结论；
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（2）由全等三角形的性质得出 CAE CAD? ? ? ，求出 90 20CAD DCA? ? ? ? ? ? ?，即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接 AC ，如图所示：
CF AF?? ， FCA CAF?? ? ? ，
?四边形 ABCD是矩形， / /DC AB? ?， DCA CAF? ? ? ，
FCA DCA?? ? ? ，
AE FC?? ，
90CEA?? ? ?，
90CDA CEA?? ? ? ? ?，
在 ADC? 和 CAE? 中，
CDA CEA
DCA FCA
AC AC
? ? ??
?? ? ??
? ??
，
ADC CAE?? ? ? ( )AAS ，
AD AE? ? ；
（2）解： ADC CAE? ? ?? ，
CAE CAD?? ? ? ，
?四边形 ABCD是矩形，
90D?? ? ?，
90 90 70 20CAD DCA?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?，
20CAE?? ? ?．
24．如图，菱形 ABCD的对角线 AC 、 BD相交于点O，过点 D作 / /DE AC且 DE OC? ，连接CE 、
OE，连接 AE交OD于点 F ．
（1）求证：OE CD? ；
（2）若菱形 ABCD的边长为 6， 60ABC? ? ?，求 AE的长．
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【分析】（1）只要证明四边形OCED是平行四边形， 90COD? ? ?即可；
（2）在Rt ACE? 中，利用勾股定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：?四边形 ABCD是菱形， 1
2
DE AC? ，
AC BD? ? ， DE OC? ．
/ /DE AC? ，
?四边形OCED是平行四边形，
AC BD?? ，四边形OCED是平行四边形，
?四边形OCED是矩形，
OE CD? ? ．
（2）解：?菱形 ABCD的边长为 6，
6AB BC CD AD? ? ? ? ? ， BD AC? ， 1
2
AO CO AC? ? ．
60ABC? ? ?? ， AB BC? ，
ABC?? 是等边三角形，
6AC AB? ? ? ，
AOD?? 中 BD AC? ， 6AD ? ， 3AO ? ，
2 2 3 3OD AD AO? ? ? ? ，
?四边形OCED是矩形，
3 3CE OD? ? ? ，
?在Rt ACE? 中， 6AC ? ， 3 3CE ? ，
2 2 2 26 (3 3) 3 7AE AC CE? ? ? ? ? ? ．
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25．如图，在 ABC? 中，DE分别是 AB，AC的中点， 2BE DE? ，延长DE到点F ，使得 EF BE? ，
连CF
（1）求证：四边形 BCFE是菱形；
（2）若 6CE ? ， 120BEF? ? ?，求菱形 BCFE的面积．
【分析】（1）从所给的条件可知，DE是 ABC? 中位线，所以 / /DE BC且2DE BC? ，所以BC和
EF 平行且相等，所以四边形 BCFE是平行四边形，又因为 BE FE? ，所以是菱形；
（2）由 BEF? 是120?，可得 EBC? 为60?，即可得 BEC? 是等边三角形，求得 6BE BC CE? ? ? ，
再过点 E作EG BC? 于点G，求的高 EG的长，即可求得答案．
【解答】（1）证明： D? 、 E分别是 AB、 AC的中点，
/ /DE BC? 且 2DE BC? ，
又 2BE DE?? ， EF BE? ，
EF BC? ? ， / /EF BC，
?四边形 BCFE是平行四边形，
又 BE EF?? ，
?四边形 BCFE是菱形；
（2）解： 120BEF? ? ?? ，
60EBC?? ? ?，
EBC?? 是等边三角形，
6BE BC CE? ? ? ? ，
过点 E作EG BC? 于点G，
3sin 60 6 3 3
2
EG BE? ? ? ? ? ?? ，
6 3 3 18 3BCFES BC EG? ? ? ? ? ?菱形 ．
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26．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC ， BD相交于点O，过点 D作对角线 BD的垂线交 BA的延
长线于点 E．
（1）证明：四边形 ACDE是平行四边形；
（2）若 4AC ? ， 3BD ? ，求 ADE? 的周长．
【分析】（1）先根据菱形的性质得出 / /AB CD， AC BD? ，再证明 / /DE AC，然后根据平行四边
形的定义证明即可；
（2）先根据菱形的性质以及勾股定理得出 2 2 2.5AD CD AO DO? ? ? ? ，再由平行四边形的性质得
出 2.5AE CD? ? ， 4DE AC? ? ，进而求出 ADE? 的周长．
【解答】（1）证明：?四边形 ABCD是菱形，
/ /AB CD? ， AC BD? ，
/ /AE CD? ， 90AOB? ? ?．
DE BD?? ，即 90EDB? ? ?，
AOB EDB?? ? ? ，
/ /DE AC? ，
?四边形 ACDE是平行四边形；
（2）解：?四边形 ABCD是菱形， 4AC ? ， 3BD ? ，
2AO? ? ， 1.5DO ? ， 2 2 2.5AD CD AO DO? ? ? ? ．
?四边形 ACDE是平行四边形，
2.5AE CD? ? ? ， 4DE AC? ? ，
ADE?? 的周长 2.5 2.5 4 9AD AE DE? ? ? ? ? ? ? ．
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27．如图，平行四边形 ABCD中， 9AD cm? ， 3 2CD cm? ， 45B? ? ?，点M 、N分别以 A、C为
起点，1 /cm 秒的速度沿 AD、CB边运动，设点M 、 N运动的时间为 t秒 (0 6)t? ?
（1）求 BC边上高 AE的长度；
（2）连接 AN 、CM ，当 t为何值时，四边形 AMCN 为菱形；
（3）作MP BC? 于 P， NQ AD? 于Q，当 t为何值时，四边形MPNQ为正方形．
【分析】（1）先由平行四边形的性质得出 3 2AB CD cm? ? ．再解直角 ABE? ，即可求出 AE的长度；
（2）先证明四边形 AMCN 为平行四边形，则当 AN AM? 时，四边形 AMCN 为菱形．根据 AN AM?
列出方程 2 2 23 (6 )t t? ? ? ，解方程即可；
（3）先证明四边形MPNQ为矩形，则当QM QN? 时，四边形MPNQ为正方形．根据QM QN? 列出
方程 | 2 6 | 3t ? ? ，解方程即可．
【解答】解：（1）?四边形 ABCD是平行四边形，
3 2AB CD cm? ? ? ．
在直角 ABE? 中， 90AEB? ? ?? ， 45B? ? ?，
2sin 3 2 3( )
2
AE AB B cm? ? ? ? ? ?? ；
（2）?点M 、 N分别以 A、C为起点，1 /cm 秒的速度沿 AD、CB边运动，设点M 、 N运动的时
间为 t秒 (0 6)t? ? ，
AM CN t? ? ? ，
/ /AM CN? ，
?四边形 AMCN 为平行四边形，
?当 AN AM? 时，四边形 AMCN 为菱形．
3BE AE? ?? ， 6EN t? ? ，
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2 2 23 (6 )AN t? ? ? ? ，
2 2 23 (6 )t t? ? ? ? ，
解得
15
4
t ? ．
故当 t为15
4
时，四边形 AMCN 为菱形；
（3） MP BC?? 于 P， NQ AD? 于Q， / /QM NP，
?四边形MPNQ为矩形，
?当QM QN? 时，四边形MPNQ为正方形．
AM CN t? ?? ， 3BE ? ，
9 3 6AQ EN BC BE CN t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
| (6 ) | | 2 6 |QM AM AQ t t t? ? ? ? ? ? ? ? （注：分点Q在点M 的左右两种情况），
3QN AE? ?? ，
| 2 6 | 3t? ? ? ，
解得 4.5t ? 或 1.5t ? ．
故当 t为 4.5或 1.5秒时，四边形MPNQ为正方形．
28．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC 是平行四边形， 60COA? ? ?，点 A的
坐标为 (6,0)，点 B的坐标为 (10,4 3)．动点 P从点O出发，沿射线OA方向以每秒 1 个单位的速度
匀速运动；动点Q同时从点 A出发，到达点 B之后，继续沿射线 BC运动，以每秒 2个单位的速度匀
速运动，设点 P运动的时间为 t秒 ( 0)t ? ．
（1）当运动 2秒时，求 APQ? 的面积．
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（2）求点C的坐标和平行四边形OABC 的周长；
（3）在整个运动过程中， t为何值时，以 A， P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？
【分析】（1）如图 1中，作QE x? 轴于 E， BF x? 轴于 F ．求出 PA．QE即可解决问题．
（2）利用平行四边形的性质解决问解即可．
（3）如图 2中，当点Q在射线 BC上时，CQ PA? 时， A， P，Q，C为顶点的四边形是平行四边
形．由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图 1中，作QE x? 轴于 E， BF x? 轴于 F ．
(6,0)A? ， (10B ， 4 3)，
6OA? ? ， 10OF ? ， 4 3BF ? ，
10 6 4AF? ? ? ? ， 2 2 8AB AF BF? ? ? ，
当 2t ? 时， 2OP ? ， 4PA ? ， 4AQ ? ，
?四边形OABC 是平行四边形，
60BAF COA?? ? ? ? ?，
QE AE?? ，
90AEQ?? ? ? ，
sin 60 2 3EQ AQ? ? ? ?? ，
1 1 4 2 3 4 3
2 2PAQ
S PA QE?? ? ? ? ? ?? ? ．
（2）?四边形OABC 是平行四边形，
6OA BC? ? ? ， / /BC OA，
(10B? ， 4 3)，
(4C? ， 4 3)，
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6OA BC? ?? ， 8OC AB? ? ，
?四边形OABC 的周长 2 (6 8) 28? ? ? ? ．
（3）如图 2中，当点Q在射线 BC上时，CQ PA? 时， A， P，Q，C为顶点的四边形是平行四边
形．
|14 2 | | 6 |t t? ? ? ? ，
解得
20
3
t ? 或 8，
t? 为 20
3
s或8s时，以 A， P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．
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