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八年级数学下册 第五章 特殊的平行四边形 单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．正方形具有而菱形不具有的性质是
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
2．下列给出的条件中不能判定一个四边形是矩形的是
A．一组对边平行且相等，一个角是直角
B．对角线互相平分且相等
C．有三个角是直角
D．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等
3．如图，添加下列条件仍然不能使成为菱形的是
A． B． C． D．
4．如图，矩形的对角线交于点．若，则等于
A． B． C． D．
5．如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则的度数为
A． B． C． D．
6．如图，矩形的对角线交于点，，，则的周长是
A．7 B．8 C．9 D．10
7．如图，四边形为平行四边形，延长到点，使连接，，．添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是
A． B． C． D．
8．已知：如图，是正方形内的一点，且，则的度数为
A． B． C． D．
9．如图，已知菱形的对角线，交于点，则下列结论不一定成立的是
A． B． C． D．
10．如图，矩形中，与交于点，于点，平分，交的延长线于点，，，则为
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积是 ．
12．已知，如图，矩形中，，分别是，的中点，若，则 ．
13．如图，在矩形中，对角线，交于点，要使矩形成为正方形，应添加的一个条件是 ．
14．如图，菱形中，，，则以为边长的正方形的周长是 ．
15．如图，在矩形中，对角线与相交于点，平分交于点，若，则的度数等于 ．
16．如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，连接．若，，则菱形的周长为 ．
17．如图，在正方形中，以为顶点作等边三角形，交边于点，交边于点，若的边长为2，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，菱形中，，点是直线上的一点．已知的面积为6，则线段的长是 ．
19．如图，在菱形中，过点作交对角线于点，且，若，则 ．
20．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：
①；
②；
③点到各边的距离相等；
④设，，则．
其中正确的结论是 ．（填序号）
三．解答题（共7小题）
21．如图，过正方形的顶点作直线，过点，作的垂线，垂足分别为，，若，，求的长．
22．如图，已知正方形中，，点，在对角线上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
23．如图，已知菱形的对角线，相交于点，过作，交的延长线于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的度数．
24．如图，已知在中，为的中点，连接，为的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）当四边形为矩形时，与应满足怎样的数量关系？请说明理由．
25．如图，点，，，依次在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，已知，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，当四边形是菱形时，求的长．
26．如图，已知正方形的边长为12，点在边上，点在的延长线上，设正方形的面积为，以线段和为邻边的矩形的面积为，且．
（1）求线段的长．
（2）若为边上一点，，连接，，判断的形状．
27．已知，如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，连接．
（1）如图1，若，求证四边形为正方形；
（2）如图2，若，求的面积；
（3）当为何值时，的面积最小．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．正方形具有而菱形不具有的性质是
A ． 对角线互相平分 B ． 对角线相等
C ． 对角线平分一组对角 D ． 对角线互相垂直
【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断 ．
【解答】解： 正方形和菱形都满足： 四条边都相等， 对角线平分一组对角， 对角线垂直且互相平分；
菱形的对角线不一定相等， 而正方形的对角线一定相等 ．
故选：．
2．下列给出的条件中不能判定一个四边形是矩形的是
A．一组对边平行且相等，一个角是直角
B．对角线互相平分且相等
C．有三个角是直角
D．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等
【分析】利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项．
【解答】解：、正确．一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形；
、正确．对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
、正确．有三个角是直角的四边形是矩形；
、错误．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等，等腰梯形满足此条件，不是矩形；
故选：．
3．如图，添加下列条件仍然不能使成为菱形的是
A． B． C． D．
【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．
【解答】解：、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故本选项错误；
、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故本选项错误；
、四边形是平行四边形和不能推出，平行四边形是菱形，故本选项正确；
、四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，故本选项错误；
故选：．
4．如图，矩形的对角线交于点．若，则等于
A． B． C． D．
【分析】根据矩形的性质可得，再依据三角形外角性质可知．
【解答】解：四边形是矩形，
．
．
．
故选：．
5．如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则的度数为
A． B． C． D．
【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质可得，由三角形中位线定理可得，即可求解．
【解答】解：四边形是菱形
，且
，分别是，的中点，
故选：．
6．如图，矩形的对角线交于点，，，则的周长是
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由矩形的性质得出，由勾股定理求出，即可求出的周长．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，，，
，
在中，，
，
的周长；
故选：．
7．如图，四边形为平行四边形，延长到点，使连接，，．添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是
A． B． C． D．
【分析】先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【解答】解：四边形为平行四边形，
，，
又，
，且，
四边形为平行四边形，
、，，，为矩形，故本选项错误；
、对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；
、，，为矩形，故本选项错误；
、，，为矩形，故本选项错误．
故选：．
8．已知：如图，是正方形内的一点，且，则的度数为
A． B． C． D．
【分析】利用等边三角形和正方形的性质求得，然后利用等腰三角形的性质求得的度数，从而求得的度数，利用三角形的内角和求得的度数．
【解答】解：，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
故选：．
9．如图，已知菱形的对角线，交于点，则下列结论不一定成立的是
A． B． C． D．
【分析】直接利用菱形的四条边相等、对角线平分对角、对角线互相垂直且平分进而分析即可．
【解答】解：四边形是菱形，
，故选项正确，不合题意；
，故选项正确，不合题意；
无法得到，故选项不正确，符合题意；
，故选项正确，不合题意；
故选：．
10．如图，矩形中，与交于点，于点，平分，交的延长线于点，，，则为
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质可得，，结合角平分线的定义可求得，可证明，结合矩形的性质可得，根据三角形的面积公式得到，于是得到结论．
【解答】证明：四边形为矩形，
，，，
，
又，
，
，
，
又平分，
，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
二．填空题（共10小题）
11．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积是 24 ．
【分析】根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．
【解答】解：如图，在菱形中，．
菱形的周长为20，，
，，
，．
面积．
故答案为 24．
12．已知，如图，矩形中，，分别是，的中点，若，则 10 ．
【分析】连接，由三角形中位线的性质可得到的长，然后依据矩形的性质可得到．
【解答】解：如图所示：连接．
，分别是，的中点，，
．
为矩形，
．
故答案为：10．
13．如图，在矩形中，对角线，交于点，要使矩形成为正方形，应添加的一个条件是 （答案不唯一） ．
【分析】根据正方形的判定添加条件即可．
【解答】解：添加的条件可以是．理由如下：
四边形是矩形，，
四边形是正方形．
故答案为：（答案不唯一）．
14．如图，菱形中，，，则以为边长的正方形的周长是 20 ．
【分析】根据菱形得出，得出等边三角形，求出的长度，根据正方形的性质得出，求出即可．
【解答】解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
正方形的周长是，
故答案是：20．
15．如图，在矩形中，对角线与相交于点，平分交于点，若，则的度数等于 ．
【分析】由矩形，得到，根据平分，得到等边三角形，推出，求出、的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，，，
，，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
．
故答案为．
16．如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，连接．若，，则菱形的周长为 ．
【分析】由菱形的性质得出，，，，证出是的中位线，由三角形中位线定理得出，得出，由勾股定理求出，即可求出菱形的周长．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，，
，
、分别是、边上的中点，
是的中位线，
，
，
，
菱形的周长；
故答案为：．
17．如图，在正方形中，以为顶点作等边三角形，交边于点，交边于点，若的边长为2，则图中阴影部分的面积为 1 ．
【分析】先根据直角边和斜边相等，证出，得到为等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可得到阴影部分面积．
【解答】解：是等边三角形，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：1．
18．如图，菱形中，，点是直线上的一点．已知的面积为6，则线段的长是 ．
【分析】作于，由菱形的性质得出，，由直角三角形的性质得出，由的面积，即，解得：即可．
【解答】解：作于，如图所示：
四边形是菱形，
，，
，
，
的面积，
即，
解得：；
故答案为：．
19．如图，在菱形中，过点作交对角线于点，且，若，则 1 ．
【分析】根据菱形的性质及等腰三角形的性质可知，从而可求，在中可求值，由可求的长．
【解答】解：四边形是菱形，
，
．
，
．
，
在中，，
．
，
．
；
故答案为：1．
20．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：
①；
②；
③点到各边的距离相等；
④设，，则．
其中正确的结论是 ①②③ ．（填序号）
【分析】由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故①正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设，，则，故④错误．
【解答】解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故②正确；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故①正确；
过点作于，作于，连接，
在中，和的平分线相交于点，
，；故④错误；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故③正确．
故答案是：①②③
三．解答题（共7小题）
21．如图，过正方形的顶点作直线，过点，作的垂线，垂足分别为，，若，，求的长．
【分析】先利用判定，从而得出，，最后得出的长．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，，
．
22．如图，已知正方形中，，点，在对角线上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【分析】（1）利用平行线性质和正方形的性质可得，，，则借助可证明；
（2）过点作，交于点，证明，得到．设，则．根据，构造关于的方程，解方程即可．
【解答】证明：（1），
．
．
四边形是正方形，
，，
．
（2）过点作，交于点，
．
，
．
又，
．
．
设，
则．
，解得．
所以．
23．如图，已知菱形的对角线，相交于点，过作，交的延长线于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的度数．
【分析】（1）直接利用菱形的性质对角线互相垂直，得出，进而得出答案；
（2）利用菱形、平行四边形的性质得出，进而利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
，，
又，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
24．如图，已知在中，为的中点，连接，为的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）当四边形为矩形时，与应满足怎样的数量关系？请说明理由．
【分析】（1）利用得到，所以，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形；
（2）利用等腰三角形的性质以及矩形的性质得出即可．
【解答】（1）证明：，
，．
，
，
又，
，
四边形为平行四边形；
（2）四边形为矩形时；
理由：四边形为矩形，
，
，
为的中点，
，
四边形为矩形时．
25．如图，点，，，依次在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，已知，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，当四边形是菱形时，求的长．
【分析】（1）想办法证明即可解决问题．
（2）利用全等三角形的性质证明即可解决问题．
【解答】（1）证明：，
，
，
，，
，
，，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是菱形，，
是等边三角形，
，
，，
．
26．如图，已知正方形的边长为12，点在边上，点在的延长线上，设正方形的面积为，以线段和为邻边的矩形的面积为，且．
（1）求线段的长．
（2）若为边上一点，，连接，，判断的形状．
【分析】（1）设正方形的边长为，则，由．得出方程，解得：，得出；
（2）由勾股定理得出，，求出，得出即可．
【解答】解：（1）设正方形的边长为，
正方形的边长为12，
，
．
，
解得：，或（舍去），
；
（2）是等腰三角形；理由如下：
四边形和四边形是正方形，
，，，
，，
，，
，
是等腰三角形．
27．已知，如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，连接．
（1）如图1，若，求证四边形为正方形；
（2）如图2，若，求的面积；
（3）当为何值时，的面积最小．
【分析】（1）由于四边形为矩形，四边形为菱形，那么，，而，易证，从而有，等量代换可得，易证四边形为正方形；
（2）过作，交延长线于，连接，由于，可得，同理有，利用等式性质有，再结合，，可证，从而有（即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值，进而可求三角形面积；
（3）先设，由第（2）小题得，，在中，，利用勾股定理可得，在中，再利用勾股定理可得，进而可求，从而可得当时，的面积最小．
【解答】解：（1）四边形为矩形，四边形为菱形，
，，又，
，
，
，
，
，
四边形为正方形；
（2）过作，交延长线于，连接，
，
，
，
，
，
在和中，，，
，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2，
因此；
（3）设，则由第（2）小题得，，在中，，
，
，
，
的最小值为，此时，
当时，的面积最小为．
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八年级数学下册 第五章 特殊的平行四边形 单元测试卷
一．选择题（共 10 小题）
1．正方形具有而菱形不具有的性质是 ( )
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
2．下列给出的条件中不能判定一个四边形是矩形的是 ( )
A．一组对边平行且相等，一个角是直角
B．对角线互相平分且相等
C．有三个角是直角
D．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等
3．如图，添加下列条件仍然不能使 ABCD? 成为菱形的是 ( )
A． AB BC? B． AC BD? C． 90ABC? ? ? D． 1 2? ? ?
4．如图，矩形 ABCD的对角线交于点O．若 55BAO? ? ?，则 AOD? 等于 ( )
A．110? B．115? C．120? D．125?
5．如图，在菱形 ABCD中，E，F 分别是 AB，AC 的中点，若 50B? ? ?，则 AFE? 的度数为 ( )
A． 50? B． 60? C． 65? D． 70?
6．如图，矩形 ABCD的对角线交于点O， 3AB ? ， 5AC ? ，则 AOD? 的周长是 ( )
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A．7 B．8 C．9 D．10
7．如图，四边形 ABCD为平行四边形，延长 AD到点 E，使 DE AD? 连接 EB， EC，DB．添加一
个条件，不能使四边形 DBCE成为矩形的是 ( )
A． AB BE? B． 90ADB? ? ? C． BE DC? D．CE DE?
8．已知：如图，M 是正方形 ABCD内的一点，且MC MD AD? ? ，则 AMB? 的度数为 ( )
A．120? B．135? C．145? D．150?
9．如图，已知菱形 ABCD的对角线 AC ， BD交于点O，则下列结论不一定成立的是 ( )
A． AB AD? B． AO BD? C． 90BAD? ? ? D． CAB CAD? ? ?
10．如图，矩形 ABCD中， AC 与 BD交于点O， BE AC? 于点 E，DF平分 ADC? ，交 EB的延长
线于点 F ， 6BC ? ， 3CD ? ，则 BE
BF
为 ( )
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A． 2
3
B． 3
4
C． 2
5
D． 3
5
二．填空题（共 10 小题）
11．已知菱形的周长为 20cm，一条对角线长为 6cm，则这个菱形的面积是 2cm ．
12．已知，如图，矩形 ABCD中， E， F 分别是 AB， AD的中点，若 5EF ? ，则 AC ? ．
13．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC ， BD交于点O，要使矩形 ABCD成为正方形，应添加的一
个条件是 ．
14．如图，菱形 ABCD中， 60B? ? ?， 5AB ? ，则以 AC 为边长的正方形 ACFE的周长是 ．
15．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点 O ， AE 平分 BAD? 交 BC 于点 E ，若
15CAE? ? ?，则 BOE? 的度数等于 ．
16．如图，菱形 ABCD的对角线 AC 、BC相交于点O，E、F 分别是 AB、BC边上的中点，连接 EF ．若
3EF ? ， 4BD ? ，则菱形 ABCD的周长为 ．
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17．如图，在正方形 ABCD中，以 A为顶点作等边三角形 AEF ，交 BC边于点 E，交 DC边于点 F ，
若 AEF? 的边长为 2，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，菱形 ABCD中， 30ABC? ? ?，点 E是直线 BC上的一点．已知 ADE? 的面积为 6，则线段
AB的长是 ．
19．如图，在菱形 ABCD中，过点C 作CE BC? 交对角线 BD于点 E，且 DE CE? ，若 3AB ? ，
则DE ? ．
20．如图，在 ABC? 中， ABC? 和 ACB? 的平分线相交于点O，过点O作 / /EF BC 交 AB于 E，交 AC
于 F ，过点O作OD AC? 于D，下列四个结论：
① EF BE CF? ? ；
②
190
2
BOC A? ? ? ? ? ；
③点O到 ABC? 各边的距离相等；
④设OD m? ， AE AF n? ? ，则 AEFS mn? ? ．
其中正确的结论是 ．（填序号）
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三．解答题（共 7 小题）
21．如图，过正方形 ABCD的顶点 B作直线 l，过点 A，C 作 l的垂线，垂足分别为 E，F ，若 1AE ? ，
3CF ? ，求 AB的长．
22．如图，已知正方形 ABCD中， 4AB ? ，点 E， F 在对角线 BD上， / /AE CF ．
（1）求证： ABE CDF? ? ? ；
（2）若 2ABE BAE? ? ? ，求DF的长．
23．如图，已知菱形 ABCD的对角线 AC ， BD相交于点O，过C作CE AC? ，交 AB的延长线于点
E．
（1）求证：四边形 BECD是平行四边形；
（2）若 50E? ? ?，求 DAB? 的度数．
24．如图，已知在 ABC? 中， D为 BC的中点，连接 AD， E为 AD的中点，过点 A作 BC的平行线
交 BE 的延长线于点 F ，连接CF ．
（1）求证：四边形 ADCF为平行四边形．
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（2）当四边形 ADCF为矩形时， AB与 AC 应满足怎样的数量关系？请说明理由．
25．如图，点 A，B，C，D依次在同一条直线上，点 E，F 分别在直线 AD的两侧，已知 / /BE CF ，
A D? ? ? ， AE DF? ．
（1）求证：四边形 BFCE是平行四边形．
（2）若 10AD ? ， 3EC ? ， 60EBD? ? ?，当四边形 BFCE是菱形时，求 AB的长．
26．如图，已知正方形 ABCD的边长为 12，点 E在DC边上，点G在 BC的延长线上，设正方形CEFG
的面积为 1S ，以线段 AD和DE为邻边的矩形的面积为 2S ，且 1 2
4
3
S S? ．
（1）求线段DE的长．
（2）若H 为 BC边上一点， 5CH ? ，连接DH ， DG ，判断 DHG? 的形状．
27．已知，如图，矩形 ABCD中， 6AD ? ， 7DC ? ，菱形 EFGH的三个顶点 E，G ，H 分别在矩
形 ABCD的边 AB，CD，DA上， 2AH ? ，连接CF ．
（1）如图 1，若 2DG ? ，求证四边形 EFGH 为正方形；
（2）如图 2，若 4DG ? ，求 FCG? 的面积；
（3）当 DG 为何值时， FCG? 的面积最小．
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参考答案
一．选择题（共 10 小题）
1．正方形具有而菱形不具有的性质是 ( )
A ． 对角线互相平分 B ． 对角线相等
C ． 对角线平分一组对角 D ． 对角线互相垂直
【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断 ．
【解答】解： 正方形和菱形都满足： 四条边都相等， 对角线平分一组对角， 对角线垂直且互相平
分；
菱形的对角线不一定相等， 而正方形的对角线一定相等 ．
故选： B．
2．下列给出的条件中不能判定一个四边形是矩形的是 ( )
A．一组对边平行且相等，一个角是直角
B．对角线互相平分且相等
C．有三个角是直角
D．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等
【分析】利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项．
【解答】解： A、正确．一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形；
B、正确．对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
C、正确．有三个角是直角的四边形是矩形；
D、错误．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等，等腰梯形满足此条件，不是矩形；
故选：D．
3．如图，添加下列条件仍然不能使 ABCD? 成为菱形的是 ( )
A． AB BC? B． AC BD? C． 90ABC? ? ? D． 1 2? ? ?
【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．
【解答】解： A、?四边形 ABCD是平行四边形， AB BC? ，
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?平行四边形 ABCD是菱形，故本选项错误；
B、?四边形 ABCD是平行四边形， AC BD? ，
?平行四边形 ABCD是菱形，故本选项错误；
C、?四边形 ABCD是平行四边形和 90ABC? ? ?不能推出，平行四边形 ABCD是菱形，故本选
项正确；
D、?四边形 ABCD是平行四边形，
/ /AB CD? ，
2 ADB?? ? ? ，
1 2? ? ?? ，
1 ADB?? ? ? ，
AB AD? ? ，
?平行四边形 ABCD是菱形，故本选项错误；
故选：C．
4．如图，矩形 ABCD的对角线交于点O．若 55BAO? ? ?，则 AOD? 等于 ( )
A．110? B．115? C．120? D．125?
【 分 析 】 根 据 矩 形 的 性 质 可 得 55BAO ABO? ? ? ? ? ， 再 依 据 三 角 形 外 角 性 质 可 知
55 55 110AOD BAO ABO? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?．
【解答】解：?四边形 ABCD是矩形，
OA OB? ? ．
55BAO ABO?? ? ? ? ?．
55 55 110AOD BAO ABO?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?．
故选： A．
5．如图，在菱形 ABCD中，E，F 分别是 AB，AC 的中点，若 50B? ? ?，则 AFE? 的度数为 ( )
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A． 50? B． 60? C． 65? D． 70?
【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质可得 65BCA BAC? ? ? ? ?，由三角形中位线定理可得
/ /EF BC，即可求解．
【解答】解：?四边形 ABCD是菱形
AB BC? ? ，且 50B? ? ?
65BCA BAC?? ? ? ? ?
E? ， F 分别是 AB， AC 的中点，
/ /EF BC?
65AFE BCA?? ? ? ? ?
故选：C．
6．如图，矩形 ABCD的对角线交于点O， 3AB ? ， 5AC ? ，则 AOD? 的周长是 ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由矩形的性质得出OA OD? ，由勾股定理求出 BC，即可求出 AOD? 的周长．
【解答】解：?四边形 ABCD是矩形，
1
2
OA AC? ? ， 1
2
OD BD? ， AC BD? ， 90BAD? ? ?， 5AC ? ，
5
2
OA OD? ? ? ，
在Rt BAC? 中， 2 2 2 25 3 4BC AC AB? ? ? ? ? ，
4AD BC? ? ? ，
AOD?? 的周长 5 5 4 9
2 2
OA OD AD? ? ? ? ? ? ? ；
故选：C．
7．如图，四边形 ABCD为平行四边形，延长 AD到点 E，使 DE AD? 连接 EB， EC，DB．添加一
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个条件，不能使四边形 DBCE成为矩形的是 ( )
A． AB BE? B． 90ADB? ? ? C． BE DC? D．CE DE?
【分析】先证明四边形 BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【解答】解：?四边形 ABCD为平行四边形，
/ /AD BC? ， AD BC? ，
又 AD DE?? ，
/ /DE BC? ，且 DE BC? ，
?四边形 BCED为平行四边形，
A、 AB BE?? ，DE AD? ， BD AE? ? ， DBCE?? 为矩形，故本选项错误；
B、?对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；
C、 90ADB? ? ?? ， 90EDB?? ? ?， DBCE?? 为矩形，故本选项错误；
D、 CE DE?? ， 90CED?? ? ?， DBCE?? 为矩形，故本选项错误．
故选： B．
8．已知：如图，M 是正方形 ABCD内的一点，且MC MD AD? ? ，则 AMB? 的度数为 ( )
A．120? B．135? C．145? D．150?
【分析】利用等边三角形和正方形的性质求得 30ADM? ? ?，然后利用等腰三角形的性质求得 MAD?
的度数，从而求得 BAM ABM? ? ? 的度数，利用三角形的内角和求得 AMB? 的度数．
【解答】解： MC MD AD CD? ? ?? ，
MDC?? 是等边三角形，
60MDC DMC MCD?? ? ? ? ? ? ?，
90ADC BCD? ? ? ? ?? ，
30ADM?? ? ?，
75MAD AMD?? ? ? ? ?，
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15BAM?? ? ?，
同理可得 15ABM? ? ?，
180 15 15 150AMB?? ? ? ? ? ? ? ? ?，
故选：D．
9．如图，已知菱形 ABCD的对角线 AC ， BD交于点O，则下列结论不一定成立的是 ( )
A． AB AD? B． AO BD? C． 90BAD? ? ? D． CAB CAD? ? ?
【分析】直接利用菱形的四条边相等、对角线平分对角、对角线互相垂直且平分进而分析即可．
【解答】解：?四边形 ABCD是菱形，
AB AD? ? ，故选项 A正确，不合题意；
AO BD? ，故选项 B正确，不合题意；
无法得到 90BAD ? ?，故选项C不正确，符合题意；
CAB CAD? ? ? ，故选项 D正确，不合题意；
故选：C．
10．如图，矩形 ABCD中， AC 与 BD交于点O， BE AC? 于点 E，DF平分 ADC? ，交 EB的延长
线于点 F ， 6BC ? ， 3CD ? ，则 BE
BF
为 ( )
A． 2
3
B． 3
4
C． 2
5
D． 3
5
【分析】由矩形的性质可得 2COB CDO? ? ? ， EBO BDF F? ? ? ? ? ，结合角平分线的定义可求得
F BDF? ? ? ，可证明 BF BD? ，结合矩形的性质可得 AC BF? ，根据三角形的面积公式得到 BE ，
于是得到结论．
【解答】证明：?四边形 ABCD为矩形，
AC BD? ? ， 90ADC? ? ?，OA OD? ，
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2COD ADO?? ? ? ，
又 BE AC?? ，
90EOB EBO?? ? ? ? ?，
EBO BDF F? ? ? ??? ，
2 90ADO BDF F? ? ? ? ? ? ? ?，
又 DF? 平分 ADC? ，
1 45
2
ADO BDF ADC?? ?? ? ? ? ?，
2 45 90ADO BDF F ADO F? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?，
45ADO F?? ?? ? ?，
又 45BDF ADO? ?? ? ?? ，
BDF F?? ? ? ，
BF BD? ? ，
AC BF? ? ，
6BC ?? ， 3CD ? ，
6AD? ? ，
2 26 3 3 5BF AC? ? ? ? ? ，
1 1
2 2ABC
S AC BE AB BC? ? ?? ? ? ，
3 6
3 5
BE ?? ? ，
?
6
25
53 5
BE
BF
? ? ，
故选：C．
二．填空题（共 10 小题）
11．已知菱形的周长为 20cm，一条对角线长为 6cm，则这个菱形的面积是 24 2cm ．
【分析】根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．
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【解答】解：如图，在菱形 ABCD中， 6BD ? ．
?菱形的周长为 20， 6BD ? ，
5AB? ? ， 3BO ? ，
2 25 3 4AO? ? ? ? ， 8AC ? ．
?面积
1 6 8 24
2
S ? ? ? ? ．
故答案为 24．
12．已知，如图，矩形 ABCD中， E， F 分别是 AB， AD的中点，若 5EF ? ，则 AC ? 10 ．
【分析】连接 BD，由三角形中位线的性质可得到 BD的长，然后依据矩形的性质可得到 AC BD? ．
【解答】解：如图所示：连接 BD．
E? ， F 分别是 AB， AD的中点， 5EF ? ，
2 10BD EF? ? ? ．
ABCD? 为矩形，
10AC BD? ? ? ．
故答案为：10．
13．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC ， BD交于点O，要使矩形 ABCD成为正方形，应添加的一
个条件是 AB BC? （答案不唯一） ．
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【分析】根据正方形的判定添加条件即可．
【解答】解：添加的条件可以是 AB BC? ．理由如下：
?四边形 ABCD是矩形， AB BC? ，
?四边形 ABCD是正方形．
故答案为： AB BC? （答案不唯一）．
14．如图，菱形 ABCD中， 60B? ? ?， 5AB ? ，则以 AC 为边长的正方形 ACFE的周长是 20 ．
【分析】根据菱形得出 AB BC? ，得出等边三角形 ABC，求出 AC 的长度，根据正方形的性质得出
5AF EF EC AC? ? ? ? ，求出即可．
【解答】解：?四边形 ABCD是菱形，
AB BC? ? ，
60B? ? ?? ，
ABC?? 是等边三角形，
5AC AB? ? ? ，
?正方形 ACEF 的周长是 4 5 20AC CE EF AF? ? ? ? ? ? ，
故答案是：20．
15．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点 O ， AE 平分 BAD? 交 BC 于点 E ，若
15CAE? ? ?，则 BOE? 的度数等于 75? ．
【分析】由矩形 ABCD，得到OA OB? ，根据 AE平分 BAD? ，得到等边三角形OAB，推出 AB OB? ，
求出 OAB? 、 OBC? 的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB BE? ，根据三角形的内角
和定理即可求出答案．
【解答】解：?四边形 ABCD是矩形，
/ /AD BC? ， AC BD? ，OA OC? ，OB OD? ， 90BAD? ? ?，
OA OB? ? ， DAE AEB? ? ? ，
AE? 平分 BAD? ，
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45BAE DAE AEB?? ? ? ? ? ? ? ，
AB BE? ? ，
15CAE? ? ?? ，
45 15 30DAC?? ? ? ? ? ? ?，
60BAC? ? ?，
BAO?? 是等边三角形，
AB OB? ? ， 60ABO? ? ?，
90 60 30OBC?? ? ? ? ? ? ?，
AB OB BE? ?? ，
1 (180 30 ) 75
2
BOE BEO?? ? ? ? ? ? ? ? ?．
故答案为 75?．
16．如图，菱形 ABCD的对角线 AC 、BC相交于点O，E、F 分别是 AB、BC边上的中点，连接 EF ．若
3EF ? ， 4BD ? ，则菱形 ABCD的周长为 4 7 ．
【分析】由菱形的性质得出 AB BC CD AD? ? ? ，AC BD? ， 1
2
OA AC? ， 1 2
2
OB BD? ? ，证出 EF
是 ABC? 的中位线，由三角形中位线定理得出 2 2 3AC EF? ? ，得出 3OA ? ，由勾股定理求出
AB，即可求出菱形的周长．
【解答】解：?四边形 ABCD是菱形，
AB BC CD AD? ? ? ? ， AC BD? ， 1
2
OA AC? ， 1 2
2
OB BD? ? ，
90AOB?? ? ?，
E? 、 F 分别是 AB、 BC边上的中点，
EF? 是 ABC? 的中位线，
2 2 3AC EF? ? ? ，
3OA? ? ，
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2 2 2 2( 3) 2 7AB OA OB? ? ? ? ? ? ，
?菱形 ABCD的周长 4 4 7AB? ? ；
故答案为： 4 7．
17．如图，在正方形 ABCD中，以 A为顶点作等边三角形 AEF ，交 BC边于点 E，交 DC边于点 F ，
若 AEF? 的边长为 2，则图中阴影部分的面积为 1 ．
【分析】先根据直角边和斜边相等，证出 ABE ADF? ? ? ，得到 ECF? 为等腰直角三角形，根据三角
形的面积公式即可得到阴影部分面积．
【解答】解： AEF?? 是等边三角形，
AE AF? ? ，
?四边形 ABCD是正方形，
AB AD? ? ， 90B D? ? ? ? ?，
Rt ABE Rt ADF(Hl)? ? ? ? ，
BE DF? ? ，
EC CF? ? ，
又 90C? ? ?? ，
ECF?? 是等腰直角三角形，
2cos45 2 2
2
EC EF? ? ? ? ? ? ，
1 2 2 1
2ECF
S S?? ? ? ? ? ?阴影 ，
故答案为：1．
18．如图，菱形 ABCD中， 30ABC? ? ?，点 E是直线 BC上的一点．已知 ADE? 的面积为 6，则线段
AB的长是 2 6 ．
【分析】作 AF BC? 于 F ，由菱形的性质得出 AB AD? ， / /AD BC ，由直角三角形的性质得出
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1 1
2 2
AF AB AD? ? ，由 ADE? 的面积 1 6
2
AD AF? ? ? ，即 21 6
2
AB ? ，解得： 2 3AB ? 即可．
【解答】解：作 AF BC? 于 F ，如图所示：
?四边形 ABCD是菱形，
AB AD? ? ， / /AD BC ，
30ABC? ? ?? ，
1 1
2 2
AF AB AD? ? ? ，
ADE?? 的面积 1 6
2
AD AF? ? ? ，
即 2
1 6
4
AB ? ，
解得： 2 6AB ? ；
故答案为： 2 6．
19．如图，在菱形 ABCD中，过点C 作CE BC? 交对角线 BD于点 E，且 DE CE? ，若 3AB ? ，
则DE ? 1 ．
【分析】根据菱形的性质及等腰三角形的性质可知 2 2BEC EDC EBC? ? ? ? ? ，从而可求 30EBC? ? ?，
在Rt BCE? 中可求 EC值，由 DE EC? 可求DE的长．
【解答】解：?四边形 ABCD是菱形，
3CD BC AB? ? ? ? ，
EDC EBC?? ? ? ．
DE CE?? ，
EDC ECD?? ? ? ．
2 2BEC EDC EBC?? ? ? ? ? ，
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在Rt BCE? 中， 90EBC BEC? ? ? ? ?，
30EBC?? ? ?．
3BC EC? ? ，
3 1
3
EC? ? ? ．
1DE EC? ? ? ；
故答案为：1．
20．如图，在 ABC? 中， ABC? 和 ACB? 的平分线相交于点O，过点O作 / /EF BC 交 AB于 E，交 AC
于 F ，过点O作OD AC? 于D，下列四个结论：
① EF BE CF? ? ；
②
190
2
BOC A? ? ? ? ? ；
③点O到 ABC? 各边的距离相等；
④设OD m? ， AE AF n? ? ，则 AEFS mn? ? ．
其中正确的结论是 ①②③ ．（填序号）
【分析】由在 ABC? 中， ABC? 和 ACB? 的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角
和定理，即可求得②
190
2
BOC A? ? ? ? ? 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出 BEO? 和
CFO? 是等腰三角形得出 EF BE CF? ? 故①正确；由角平分线的性质得出点O到 ABC? 各边的距
离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设 OD m? ，
AE AF n? ? ，则 1
2AEF
S mn? ? ，故④错误．
【解答】解：?在 ABC? 中， ABC? 和 ACB? 的平分线相交于点O，
1
2
OBC ABC?? ? ? ， 1
2
OCB ACB? ? ? ， 180A ABC ACB? ?? ?? ? ?，
190
2
OBC OCB A?? ?? ? ? ? ? ，
1180 ( ) 90
2
BOC OBC OCB A?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ；故②正确；
?在 ABC? 中， ABC? 和 ACB? 的平分线相交于点O，
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OBC OBE?? ? ? ， OCB OCF? ? ? ，
/ /EF BC? ，
OBC EOB?? ? ? ， OCB FOC? ? ? ，
EOB OBE?? ? ? ， FOC OCF? ? ? ，
BE OE? ? ，CF OF? ，
EF OE OF BE CF? ? ? ? ? ，
故①正确；
过点O作OM AB? 于M ，作ON BC? 于 N，连接OA，
?在 ABC? 中， ABC? 和 ACB? 的平分线相交于点O，
ON OD OM m? ? ? ? ，1 1 1 1 1( )
2 2 2 2 2AEF AOE AOF
S S S AE OM AF OD OD AE AF mn? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ；故
④错误；
?在 ABC? 中， ABC? 和 ACB? 的平分线相交于点O，
?点O到 ABC? 各边的距离相等，故③正确．
故答案是：①②③
三．解答题（共 7 小题）
21．如图，过正方形 ABCD的顶点 B作直线 l，过点 A，C 作 l的垂线，垂足分别为 E，F ，若 1AE ? ，
3CF ? ，求 AB的长．
【分析】先利用 AAS 判定 ABE BCF? ? ? ，从而得出 AE BF? ， BE CF? ，最后得出 AB的长．
【解答】解：?四边形 ABCD是正方形，
90CBF FBA?? ?? ? ?， AB BC? ，
CF BE?? ，
90CBF BCF?? ?? ? ?，
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BCF ABE?? ? ? ，
90AEB BFC? ? ? ? ?? ， AB BC? ，
( )ABE BCF AAS?? ? ?
1AE BF? ? ? ， 3BE CF? ? ，
2 2 1 9 10AB AE BE? ? ? ? ? ? ．
22．如图，已知正方形 ABCD中， 4AB ? ，点 E， F 在对角线 BD上， / /AE CF ．
（1）求证： ABE CDF? ? ? ；
（2）若 2ABE BAE? ? ? ，求DF的长．
【分析】（1）利用平行线性质和正方形的性质可得 AEB CFD? ? ? ， ABE CDF? ? ? ， AB CD? ，
则借助 AAS 可证明 ABE CDF? ? ? ；
（ 2 ） 过 点 E 作 HE BE? ， 交 AB 于 H 点 ， 证 明 HAE HEA? ? ? ， 得 到 AH HE? ． 设
BE DF HE AH x? ? ? ? ，则 2HB x? ．根据 4AB ? ，构造关于 x的方程，解方程即可．
【解答】证明：（1） / /AE CF? ，
AEF CFB?? ? ? ．
AEB CFD?? ? ? ．
?四边形 ABCD是正方形，
ABE CDF?? ? ? ， AB CD? ，
( )ABE CDF AAS?? ? ? ．
（2）过点 E作 HE BE? ，交 AB于H 点，
45BHE HBE?? ? ? ? ?．
2ABE BAE? ? ?? ，
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2BHE BAE?? ? ? ．
又 BHE HAE AEH? ? ? ??? ，
HAE HEA?? ? ? ．
AH HE? ? ．
设 BE DF HE AH x? ? ? ? ，
则 2HB x? ．
? 2 4x x? ? ，解得 4 2 4x ? ? ．
所以 4 2 4DF ? ? ．
23．如图，已知菱形 ABCD的对角线 AC ， BD相交于点O，过C作CE AC? ，交 AB的延长线于点
E．
（1）求证：四边形 BECD是平行四边形；
（2）若 50E? ? ?，求 DAB? 的度数．
【分析】（1）直接利用菱形的性质对角线互相垂直，得出 / /BD EC，进而得出答案；
（2）利用菱形、平行四边形的性质得出 50CEA DBA? ? ? ? ?，进而利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】（1）证明：?四边形 ABCD是菱形，
AC BD? ? ， / /DC BE，
又 CE AC?? ，
/ /BD EC? ，
?四边形 BECD是平行四边形；
（2）解：?四边形 ABCD是菱形，
AD AB? ? ，
ADB ABD?? ? ? ，
?四边形 BECD是平行四边形，
/ /DB CE? ，
50CEA DBA?? ? ? ? ?，
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50ADB?? ? ?，
180 50 50 80DAB?? ? ? ? ? ? ? ? ?．
24．如图，已知在 ABC? 中， D为 BC的中点，连接 AD， E为 AD的中点，过点 A作 BC的平行线
交 BE 的延长线于点 F ，连接CF ．
（1）求证：四边形 ADCF为平行四边形．
（2）当四边形 ADCF为矩形时， AB与 AC 应满足怎样的数量关系？请说明理由．
【分析】（1）利用 AEF DEB? ? ? 得到 AF DB? ，所以 AF DC? ，根据一组对边平行且相等的四边
形是平行四边形可证明四边形 ADCF为平行四边形；
（2）利用等腰三角形的性质以及矩形的性质得出即可．
【解答】（1）证明： / /AF BC? ，
FAE EDB?? ? ? ， AFE EBD? ? ? ．
( )AEF DEB AAS?? ? ? ，
AF DB? ? ，
又 BD DC?? ，
AF DC? ? ，
?四边形 ADCF为平行四边形；
（2）四边形 ADCF为矩形时 AB AC? ；
理由：?四边形 ADCF为矩形，
AD BC? ? ，
90ADC?? ? ?，
D? 为 BC的中点，
AB AC? ? ，
?四边形 ADCF为矩形时 AB AC? ．
25．如图，点 A，B，C，D依次在同一条直线上，点 E，F 分别在直线 AD的两侧，已知 / /BE CF ，
A D? ? ? ， AE DF? ．
（1）求证：四边形 BFCE是平行四边形．
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（2）若 10AD ? ， 3EC ? ， 60EBD? ? ?，当四边形 BFCE是菱形时，求 AB的长．
【分析】（1）想办法证明 BE CF? 即可解决问题．
（2）利用全等三角形的性质证明 AB CD? 即可解决问题．
【解答】（1）证明： / /BE CF? ，
EBC FCB?? ? ? ，
EBA FCD?? ? ? ，
A D? ? ?? ， AE DF? ，
( )ABE DCF AAS?? ? ? ，
BE CF? ? ， AB CD? ，
?四边形 BFCE是平行四边形．
（2）解：?四边形 BFCE是菱形， 60EBD? ? ?，
CBE?? 是等边三角形，
3BC EC? ? ? ，
10AD ?? ， AB DC? ，
1 7(10 3)
2 2
AB? ? ? ? ．
26．如图，已知正方形 ABCD的边长为 12，点 E在DC边上，点G在 BC的延长线上，设正方形CEFG
的面积为 1S ，以线段 AD和DE为邻边的矩形的面积为 2S ，且 1 2
4
3
S S? ．
（1）求线段DE的长．
（2）若H 为 BC边上一点， 5CH ? ，连接DH ， DG ，判断 DHG? 的形状．
【分析】（1）设正方形CEFG的边长为 a，则 12DE a? ? ，由 1 2
4
3
S S? ．得出方程 2 4 12 (12 )
3
a a? ? ? ? ，
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解得： 8a ? ，得出 4DE ? ；
（2）由勾股定理得出 2 2 13DH CH CD? ? ? ， 2 2 4 13DG CD CG? ? ? ，求出 13GH CG CH? ? ? ，
得出 DH GH? 即可．
【解答】解：（1）设正方形CEFG的边长为 a，
?正方形 ABCD的边长为 12，
12DE a? ? ? ，
1 2
4
3
S S?? ．
2 4 12 (12 )
3
a a? ? ? ? ? ，
解得： 8a ? ，或 24a ? ? （舍去），
12 8 4DE? ? ? ? ；
（2） DHG? 是等腰三角形；理由如下：
?四边形 ABCD和四边形CEFG是正方形，
90DCH DCG?? ? ? ? ?， 12CD ? ， 8CG ? ，
2 2 2 25 12 13DH CH CD? ? ? ? ? ? ， 2 2 2 212 8 4 13DG CD CG? ? ? ? ? ，
5CH ?? ， 13GH CG CH? ? ? ? ，
DH GH? ? ，
DHG?? 是等腰三角形．
27．已知，如图，矩形 ABCD中， 6AD ? ， 7DC ? ，菱形 EFGH的三个顶点 E，G ，H 分别在矩
形 ABCD的边 AB，CD，DA上， 2AH ? ，连接CF ．
（1）如图 1，若 2DG ? ，求证四边形 EFGH 为正方形；
（2）如图 2，若 4DG ? ，求 FCG? 的面积；
（3）当 DG 为何值时， FCG? 的面积最小．
【分析】（1）由于四边形 ABCD为矩形，四边形 HEFG为菱形，那么 90D A? ? ? ? ?， HG HE? ，
而 2AH DG? ? ，易证 AHE DGH? ? ? ，从而有 DHG HEA? ? ? ，等量代换可得 90AHE DHG? ?? ? ?，
易证四边形HEFG为正方形；
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（2）过 F 作 FM DC? ，交 DC延长线于M ，连接GE，由于 / /AB CD，可得 AEG MGE? ? ? ，同
理有 HEG FGE? ? ? ，利用等式性质有 AEH MGF? ? ? ，再结合 90A M? ? ? ? ?， HE FG? ，可证
AHE MFG? ? ? ，从而有 2FM HA? ? （即无论菱形 EFGH如何变化，点 F 到直线CD的距离始终为
定值 2)，进而可求三角形面积；
（3）先设DG x? ，由第（2）小题得， 7FCGS x? ? ? ，在 AHE? 中， 7AE AB ?? ，利用勾股定理可得
2 53HE ? ，在Rt DHG? 中，再利用勾股定理可得 2 16 53x ? ? ，进而可求 37x? ，从而可得当 37x ?
时， GCF? 的面积最小．
【解答】解：（1）?四边形 ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，
90D A?? ? ? ? ?，HG HE? ，又 2AH DG? ? ，
Rt AHE Rt DGH(HL)? ? ? ? ，
DHG HEA?? ? ? ，
90AHE HEA? ? ? ? ?? ，
90AHE DHG?? ? ? ? ?，
90EHG?? ? ?，
?四边形HEFG为正方形；
（2）过 F 作 FM DC? ，交 DC延长线于M ，连接GE，
/ /AB CD? ，
AEG MGE?? ? ? ，
/ /HE GF? ，
HEG FGE?? ? ? ，
AEH MGF?? ? ? ，
在 AHE? 和 MFG? 中， 90A M? ? ? ? ?，HE FG? ，
AHE MFG?? ? ? ，
2FM HA? ? ? ，即无论菱形 EFGH如何变化，点 F 到直线CD的距离始终为定值 2，
因此
1 1 2 (7 6) 1
2 2
S FCG FM GC? ? ? ? ? ? ? ? ? ；
（3）设 DG x? ，则由第（2）小题得， 7FCGS x? ? ? ，在 AHE? 中， 7AE AB ?? ，
2 53HE? ? ，
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2 16 53x? ? ? ，
37x? ? ，
FCGS?? 的最小值为 7 37? ，此时 37DG ? ，
?当 37DG ? 时， FCG? 的面积最小为 (7 37)? ．
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