第五章 特殊平行四边形尖子生单元测试题（含答案）

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浙教八下特殊四边形尖子生测试卷（含答案）
一、单选题（共10题；共30分）
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是(?? )
A.?四条边都相等???????????B.?对角线互相垂直且平分???????????C.?对角线相等???????????D.?对角线平分一组对角
2.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC 到点E，使CE=AC ，连结AE交CD于点F，则∠AFC等于（?? ）
A.112.5°???????????????????????????????????B.125°??????????????????????????????????C.?135°????????????????????????????????D.?150°








3.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ??）
A.?5???????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
4.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（　　）

?AF=CF??????? ?B.?∠DCF=∠DFC????
?C.?图中与△AEF形状相同的三角形共有5个????????D.?AD=3CD
5.如图，菱形ABCD和菱形ECGF 的边长分别为4和6，∠A=120°，则阴影部分的面积是(? ?????)
A.????????????????????????????????B.?????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
6.如图,由四个全等的直角三角形拼成的图形,设CE=a,HG=b 则斜边BD的长是（??? ） A.?????????????????????????B.?????????????????????????????C.??????????????????????D.?









7.我们知道，勾股定理反映了直角三角形三条边的关系：a2+b2=c2 ， 而a2 ， b2 ， c2又可以看成是以a，b，c为边长的正方形的面积.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，O为AB的中点，分别以AC，BC为边向△ABC外作正方形ACFG，BCED，连结OF，EF，OE，则△OEF的面积为(??? )
A.?????????????????????B.????????????????????C.?????????????????????????D.?
8.如图，正方形ABCD 中，点P,F分别是边BC，AB的中点，连接 AP 、DF 交于点E ，则下列结论错误的是（? ?）
?
A.?AP=DF?????????????????????B.AP┴DF?????????????????????C.?CE=CD?????????????????????D.?CE=EP+EF
9.在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（??? ）

A.???????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?1
10.将矩形OABC如图放置，O为原点．若点A（﹣1，2），
点B的纵坐标是，则点C的坐标是（ ??）

?（4，2）??????????????????????? ?B.?（2，4）????????????????????
??C.???????????????????? ?????D.?
二、填空题（共8题,共24分）
11.在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积为________.
12.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数是________度．









13.如图,四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,A B.CD,是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8,BD=10，那么四边形的面积为________.
14.如图，直线AB的解析式，交x轴于点A，交y轴于点B，点P为线段AB上一个动点，作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，则线段EF的最短长度为________.

15.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边COOA分别在x轴，y轴上，点E在边BC上，将该长方形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的点F处，若OA=8，CF=4，则AE所在直线的表达式为________.

16.如图，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1 ， A3B3C3C2 ， …按如图所示的方式放置．点A1 ， A2 ， A3 ， …和点C1 ， C2 ， C3 ， …分别在直线 和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是________．










17.如图，在边长为1的正方形ABCD的各边上，截取AE＝BF＝CG＝DH＝x，连接AF、BG、CH、DE构成四边形PQRS.用x的代数式表示四边形PQRS的面积S.则S＝________.
18.如图，边长一定的正方形ABCD，Q是CD上一动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于N点，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP= BD；③BN+DQ=NQ；④ 为定值．其中一定成立的是________.

三、解答题（共6题；共48分）
19.(本题6分)如图，用3个全等的菱形构成活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？







20..(本题6分)有一块两直角边长分别为AC=3cm和BC=4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图(1)；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图(2).用计算说明两种情形下正方形的面积哪个大？




21.(本题8分)如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E ， F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P ， 求∠FPC ．




22.(本题8分)如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是由△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根，且OC＞BC.

（1）求直线BD的解析式.

（2）求△OFH的面积.

（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.


23.(本题8分)如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，连结AM、BD．

（1）AM与BD的关系是：________ ．
（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α，它不变（如图2）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．

（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4，BC＝2，求AB2+DM2的值．
24..(本题10分)如图1，已知△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和△OFA均为边长为a的等边三角形，点P为边BC上任意一点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．

（1）那么∠MPN=________，并求证PM+PN=3a；
（2）如图2，联结OM、ON．求证：OM=ON；
（3）如图3，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形，并说明理由．



答案或解析
一、单选题
1. C 2. A 3. D 4. D 5. C
6.B 7. D 8.D 9.A 10. D
二、填空题
11. 24 12.22.5 13. 20
14. 15. 16.
17. .
【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝AB，∠EAD＝∠HDC＝∠GCB＝∠FBA＝90°，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴△EAD≌△FBA≌△GCB≌△HDC（SAS），
∴∠EAP＝∠HDE＝∠FBQ＝∠HCD，
∴∠QPS＝∠ADE+∠DAP＝∠BAF+∠DAP＝∠BAD＝90°，
同理∠PSR＝90°，∠SRQ＝90°，
∴四边形PSRQ是矩形，
∵∠HSD＝∠GRC＝∠APE＝∠BQF＝90°，∠GCR＝∠HDS＝∠EAP＝∠QBF，CG＝HD＝AE＝BF，
∴△CGR≌△BFQ≌△AEP≌△DHS，
∴CR＝DS＝AP＝BQ，GR＝HS＝EP＝QF，
∵△EAD≌△FBA≌△GCB≌△HDC，
∴DE＝AF＝BG＝CH，
∴SR＝SP，
∴矩形SPQR是正方形，
又∵S△ADE＝ ，
设△DHS的面积是a，设四边形HSPA的面积是b，
CH∥AF，S四边形PQRS＝1×1﹣4（a+b）＝ ，
.
18.①②③④
【解答】①如图1，作AU⊥NQ于U，交BD于H，连接AN，AC，

∵∠AMN=∠ABC=90°，
∴A，B，N，M四点共圆，
∴∠NAM=∠DBC=45°,∠ANM=∠ABD=45°，
∴∠ANM=∠NAM=45°，
∴AM=MN；
②由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，
∴Rt△AHM≌Rt△MPN，
∴MP=AH= AC= BD；
③∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，
∴在∠NAM作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，
∴△ABN≌△UAN,△DAQ≌△UAQ，有∠UAN=∠UAQ，BN=NU，DQ=UQ，
∴点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ；
④如图2，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，

∴四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，
∴△AMS≌△NMW
∴AS=NW，
∴AB+BN=SB+BW=2BW，
∵BW:BM=1: ，
三、解答题
19.【答案】解：连接AC，BD交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AO= AC=12厘米，AC⊥BD，
∴BO==5厘米，
∴BD=2BO=10厘米，
∴BM=3BD=30厘米．
20.【答案】解：如图，过点C作CH⊥AB交ABGFH，交DG于Q，

在直角三角形ABC中，由勾股定理得，AB=5．
由AB×CH=AC×BC得，CH=．第一种边长为,第二种情况下边长为
故第二种情况的正方形面积较大.
21.【答案】解答：解：延长PF交AB的延长线于点G ， ，在△BGF与△CPF中， ，∴△BGF≌△CPF ， ∴GF＝PF ， ∴F为PG中点．又∵EP⊥CD ， ∴∠BEP＝90°，∴EF＝ PG ，
∵PF＝ PG（中点定义），∴EF＝PF ， ∴∠FEP＝∠EPF ， ∵∠BEP＝∠EPC＝90°，∴∠BEP－∠FEP＝∠EPC－∠EPF ， 即∠BEF＝∠FPC ， ∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC ， ∠ABC＝180°－∠A＝70°，∵E ， F分别为AB ， BC的中点，∴BE＝BF ， ∠BEF＝∠BFE＝ （180°－70°）＝55°，∴∠FPC＝55°．
?

22.【答案】 （1）解：解方程x2-6x+8=0可得x=2或x=4，
∵BC、OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根，且OC＞BC，
∴BC=2，OC=4，
∴B（-2，4），
∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，
∴OD=OC=4，DE=BC=2，
∴D（4，0），
设直线BD解析式为y=kx+b，∴直线BD的解析式为

（2）解：由（1）可知E（4，2）， S△OFH=.

（3）解：∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，
∴△DFM为直角三角形，
①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，

由（2）可知OF=，OD=4，
则有△MOF与△FOD形状要、相同，得OM= ，
∴，且D（4，0），∴，点N的坐标为
②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，

此时
③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如图3，

可求得
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为或或．
23.【答案】 （1）相等且垂直
（2）成立，
理由：∵四边形ACDE正方形，四边形BCMN正方形，
∴AC=CD? ? MC=BC? ?∠ACD=∠BCM=90°，
∴?∠ACD+∠DCM=∠BCM+∠DCM，
即∠ACM=∠BCD，
在△ACM与△DCB中，
∴AACM≌△DCB（SAS），
∴AM=BD ，∠MAC=∠BDC，
同（1）可证AM⊥DB，
∴AM=BD且AM⊥DB.

（3）解：如图，

∵AM⊥DB，
∴∠DOM=∠AOB=∠AOD=∠BOM=90°，
由勾股定理得OD2+OM2=DM2 ， OD2+OA2=AD2 ， OB2+OM2=MB2 ， OA2+OB2=AB2 ，
∴AB2+DM2=OD2+OM2+OA2+OB2=AD2+BM2 ，
∵AD=AC＝4 ， BM=BC＝2?，
∴AB2+DM2=（4）2+（2）2=40.


∵四边形ACDE正方形，四边形BCMN正方形，
∴AC=CD? ? MC=BC? ?∠ACD=∠BCM=90°，
∴△ACM≌DCB（SAS），
∴AM=BD ，∠MAC=∠BDC，
∵∠DMH=∠AMC，
∴∠DHM=∠ACM=90°，
∴AM⊥DB，
故答案为：相等且垂直.

24.【答案】（1）60°
（2）解：证明：由（1）得：六边形ABCDEF是正六边形，AB∥MP，PN∥DC，
∴AM=BP=EN，
∵∠MAO=∠OEN=60°，OA=OE，
在△OMA和△ONE中，
，A∴△OMA≌AONE（SAS）
∴OM=ON．

（3）解：四边形MONG是菱形；理由如下：
由（2）得，△OMA≌△ONE，
∴∠MOA=∠EON，
∵EF∥AO，AF∥OE，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∴∠AFE=∠AOE=120°，
∴∠MON=120°，
∴∠GON=60°，
∵∠GOE=60°﹣∠EON，∠DON=60°﹣∠EON，
∴∠GOE=∠DON，
∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，
在△GOE和△DON中，
∴△GOD≌△NOD（ADA），
∴OG=ON，
又∵∠GON=60°，
∴△ONG是等边三角形，
∴ON=NG，
又∵OM=ON，∠MOG=60°，
∴△MOG是等边三角形，
∴MG=GO=MO，
∴MO=ON=NG=MG，
∴四边形MONG是菱形．
【解析】【解答】（1）解：∵△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和△OFA均为边长为a的等边三角形
∴六边形ABCDEF是边长为a的正六边形，
∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°
又∴PM∥AB，PN∥CD，
∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，
∴∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC=180°﹣60°﹣60°=60°，
故答案为：60°；
作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，如图所示：

MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN
∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，
∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，
∴GM= AM，HP= BP，PL= PC，NK= ND，
∵AM=BP，PC=DN，
∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，
∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a．


第2题图 第3题图 第4题图 第5题图




第6题图 第7题图 第8题图 第9题图




第10题图

第12题图 第13题图 第14题图 第15题图




第16题图 第17题图 第18题图





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