4.5 三角形的中位线同步测试题（含解析）

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4.5
三角形的中位线测试卷
（时间45分钟
满分100分）
一．选择题（每小题7分，共42分）
1．（2019 盐城）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（　　）
A．2
B．
C．3
D．
2．（2019秋 长春期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是（　　）
A．9°
B．18°
C．27°
D．36°
3．（2019春 嘉祥县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　）
A．2
B．5
C．7
D．9
4．（2019春 相城区期中）如图，△ABC中，AB＝9，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且DF＝3EF，当AF⊥BF时，BC的长是（　　）
A．9
B．10.5
C．12
D．18
5．（2019 南充模拟）如图，在△ABC中，动点P在AB边上由点A向点B以3cm/s的速度匀速运动，则线段CP的中点Q运动的速度为（　　）
A．3cm/s
B．2cm/s
C．1.5cm/s
D．1cm/s
6．（2020 郑州模拟）如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（　　）
A．6
B．9
C．12
D．18
二．填空题（每小题7分，共28分）
7．（2019春 交城县期中）如图，AB是池塘两端，设计一方案测量AB的距离，首先取一点C，连接AC，BC，再取它们的中点D，E，测得DE＝15米，则AB＝　
　米．
8．（2019秋 卧龙区期中）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AM平分∠BAC，CM⊥AM于点M，N为BC的中点，连结MN，则MN的长为　
　．
9．（2019秋 大丰区期中）如图，△ABC中，BC边上的中线AD将∠BAC分成了两角∠BAD、∠DAC分别为70°和40°，若中线AD长为2.4cm，则AC长为　
　cm．
10．（2019秋 儋州期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在BC上，ED是∠AEF的平分线，若∠C＝80°，则∠EFB的度数是　
　．
三．解答题（共30分）
11．（8分）（2019秋 德惠市期末）如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD＝CA，CF平分∠ACB，AE＝EB，求证：EF＝BD．
12．（10分）（2019秋 泰兴市期末）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）AB＝12，AC＝9，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．
13．（12分）（2019春 睢宁县期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．
4.5
三角形的中位线测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2019 盐城）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（　　）
A．2
B．
C．3
D．
【分析】直接利用中位线的定义得出DE是△ABC的中位线，进而利用中位线的性质得出答案．
【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边BA、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝1.5．
故选：D．
2．（2019秋 长春期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是（　　）
A．9°
B．18°
C．27°
D．36°
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF＝BC，PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝18°，
∴∠PEF＝∠PFE＝18°．
故选：B．
3．（2019春 嘉祥县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　）
A．2
B．5
C．7
D．9
【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．
【解答】解：连接DN，
∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝＝＝13，
∴EF的最大值为6.5．
∵∠A＝90°，AD＝5，
∴DN≥5，
∴EF≥2.5，
∴EF长度的可能为5；
故选：B．
4．（2019春 相城区期中）如图，△ABC中，AB＝9，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且DF＝3EF，当AF⊥BF时，BC的长是（　　）
A．9
B．10.5
C．12
D．18
【分析】延长AF交BC于H，根据直角三角形的性质求出DF，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：延长AF交BC于H，
∵AF⊥BF，D是AB的中点，
∴DF＝AB＝4.5，
∵DF＝3EF，
∴EF＝1.5，
则DE＝DF+EF＝6，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2DE＝12，
故选：C．
5．（2019 南充模拟）如图，在△ABC中，动点P在AB边上由点A向点B以3cm/s的速度匀速运动，则线段CP的中点Q运动的速度为（　　）
A．3cm/s
B．2cm/s
C．1.5cm/s
D．1cm/s
【分析】取AC的中点H，连接QH，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：取AC的中点H，连接QH，
当点P与点A重合时，点Q与点H重合，
∵点Q是线段CP的中点，点H为AC的中点，
∴QH＝AP，
∵动点P在AB边上由点A向点B以3cm/s的速度匀速运动，
∴点Q运动的速度为1.5cm/s，
故选：C．
6．（2020 郑州模拟）如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（　　）
A．6
B．9
C．12
D．18
【分析】延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M＝∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM＝∠CBM，从而得到∠M＝∠PBM，根据等角对等边可得BP＝PM，求出EP+BP＝EM，再根据CQ＝CE求出EQ＝2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠M＝∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM＝∠CBM，
∴∠M＝∠PBM，
∴BP＝PM，
∴EP+BP＝EP+PM＝EM，
∵CQ＝CE，
∴EQ＝2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴＝2，
∴EM＝2BC＝2×6＝12，
即EP+BP＝12．
故选：C．
二．填空题
7．（2019春 交城县期中）如图，AB是池塘两端，设计一方案测量AB的距离，首先取一点C，连接AC，BC，再取它们的中点D，E，测得DE＝15米，则AB＝　30　米．
【分析】证明DE是△ABC的中位线，根据中位线定理可得AB＝2DE＝30米．
【解答】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB，
∵DE＝15米，
∴AB＝2DE＝30米，
故答案为：30．
8．（2019秋 卧龙区期中）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AM平分∠BAC，CM⊥AM于点M，N为BC的中点，连结MN，则MN的长为　1　．
【分析】延长CM交AB于H，证明△AMH≌△AMC，根据全等三角形的性质得到AH＝AC＝6，CM＝MH，根据三角形中位线定理解答．
【解答】解：延长CM交AB于H，
在△AMH和△AMC中，
，
∴△AMH≌△AMC（ASA）
∴AH＝AC＝6，CM＝MH，
∴BH＝AB﹣AH＝2，
∵CM＝MH，CN＝BN，
∴MN＝BH＝1，
故答案为：1．
9．（2019秋 大丰区期中）如图，△ABC中，BC边上的中线AD将∠BAC分成了两角∠BAD、∠DAC分别为70°和40°，若中线AD长为2.4cm，则AC长为　4.8　cm．
【分析】如图，作CE∥AD交BA的延长线于E．首先证明EC＝AD，再证明AC＝CE即可解决问题．
【解答】解：如图，作CE∥AD交BA的延长线于E．
∵AD∥CE，BD＝CD，
∴AB＝AE，
∴EC＝2AD＝4.8cm，
∵∠E＝∠BAD＝70°，∠ACE＝∠DAC＝40°，
∴∠CAE＝180°﹣∠ACE﹣∠E＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠E＝∠CAE＝70°，
∴AC＝EC＝4.8cm．
10．（2019秋 儋州期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在BC上，ED是∠AEF的平分线，若∠C＝80°，则∠EFB的度数是　100°　．
【分析】利用三角形中位线定理、平行线的性质、角平分线的性质以及邻补角的定义求得∠FEC，再由三角形内角和定理和邻补角的定义来求∠EFB的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是中位线，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝80°．
又DE是∠AEF的角平分线，
∴∠DEF＝∠AED＝80°，
∴∠FEC＝20°，
∴∠EFB＝180°﹣∠C﹣∠FEC＝100°．
故答案为：100°．
三．解答题
11．（2019秋 德惠市期末）如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD＝CA，CF平分∠ACB，AE＝EB，求证：EF＝BD．
【分析】首先根据等腰三角形的性质可得F是AD中点，再根据三角形的中位线定理可得EF＝BD．
【解答】证明：∵CD＝CA，CF平分∠ACB，
∴F是AD中点，
∵AE＝EB，
∴E是AB中点，∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD．
12．（2019秋 泰兴市期末）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）AB＝12，AC＝9，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．
【分析】（1）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得ED＝EB＝AB，DF＝FC＝AC，再由AB＝12，AC＝9，可得答案；
（2）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线证明．
【解答】解：（1）∵AD是高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴ED＝EB＝AB，DF＝FC＝AC，
∵AB＝12，AC＝9，
∴AE+ED＝12，AF+DF＝9，
∴四边形AEDF的周长为12+9＝21；
（2）EF⊥AD，
理由：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴点E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF⊥AD．
13．（2019春 睢宁县期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．
【分析】（1）先证明AB＝AD，根据等腰三角形的三线合一，推出BE＝ED，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）结论：EF＝（AB﹣AC），先证明AB＝AP，根据等腰三角形的三线合一，推出BE＝ED，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴AB＝AD，∵AE⊥BD，
∴BE＝DE，∵BF＝FC，
∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．
（2）结论：EF＝（AB﹣AC），
理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．
∵AE⊥BP，
∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，
∵∠BAE＝∠PAE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴AB＝AP，
∵AE⊥BD，
∴BE＝PE，
∵BF＝FC，
∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．
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精品试卷·第
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