第四章 平行四边形小结与复习题（含答案）

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小结　 　　　　　
类型之一　多边形的内角和与外角和
1.[2019·泰州] 八边形的内角和为　　　　°.?
2.[2019·岳阳] 若一个多边形的内角和等于它的外角和,则这个多边形的边数为　　　　.?
类型之二　中心对称与中心对称图形
3.[2018·宁波期中] 在图4-X-1的图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 (　　)

图4-X-1
4.如图4-X-2,△ABC绕点O旋转180°得到△DEF,下列说法错误的是 (　　)

图4-X-2
A.点B和点E关于点O对称
B.CE=BF
C.△ABC≌△DEF
D.△ABC与△DEF关于点B中心对称
类型之三　平行四边形的性质和判定
5.下列说法错误的是 (　　)
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.平行四边形的对边相等,对角相等
D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形
6.如图4-X-3,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若AC+BD=10,BC=4,则△BOC的周长为(　　)

图4-X-3
A.8 B.9 C.10 D.14
7.如图4-X-4,在?ABCD中,BD是对角线,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F.求证:四边形AECF为平行四边形.

图4-X-4

8.[2019·鄂州模拟] 如图4-X-5,四边形ABCD是平行四边形,E,F是对角线AC上的两点,∠1=∠2.
求证:(1)AE=CF;
(2)四边形EBFD是平行四边形.

图4-X-5





9.如图4-X-6,在?ABCD中,E是AB的中点,DE与CB的延长线交于点F.
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)若DF平分∠ADC,连结CE.试判断CE和DF的位置关系,并说明理由.

图4-X-6




10.如图4-X-7,△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,O为AC的中点,连结BO并延长到点E,使OE=OB,过点A作AD∥BE交CE的延长线于点D.
(1)求证:四边形ABED是平行四边形;
(2)若AB=1,求△ACD的周长.

图4-X-7





类型之四　三角形的中位线
11.如图4-X-8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点.若CD=5 cm,则EF=
　　　　cm.?

图4-X-8
12.[2018·宁波模拟] 如图4-X-9,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D是线段AB上的动点,M,N分别是AD,CD的中点,连结MN,当点D由点A向点B运动的过程中,线段MN所扫过的区域的面积为　　　　.?

图4-X-9
13.[2019·温州苍南县一模] 如图4-X-10,△ABC的周长为26,点D,E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P.若BC=10,则PQ=　　　　.?

图4-X-10
14.如图4-X-11,O是△ABC内一点,连结OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连结,得到四边形DEFG.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.

图4-X-11


类型之五　反证法
15.[2017·温州二模] 用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,第一步应先假设 (　　)
A.a不垂直于c B.b不垂直于c
C.c不平行于b D.a不平行于b
类型之六　数学活动
16.如图4-X-12①,在三角形纸片ABC中,沿着中位线DE剪切后,将△ADE绕着点E顺时针旋转180°拼接到△CFE的位置,则四边形BCFD是平行四边形.
类似地,如图②所示的多边形中,AE=CD,AE∥CD,你能像上面的剪切方法一样,沿一条直线剪切拼成一个平行四边形吗?若能,画出示意图,并简要说明理由.

图4-X-12




详解详析
1.1080　[解析] (8-2)·180°=6×180°=1080°.
故答案为1080.
2.4　[解析] 设多边形的边数为n,
则(n-2)×180°=360°,
解得n=4.
故答案为4.
3.B　4.D
5.D　[解析] A项,两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,故正确;B项,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,故正确;C项,平行四边形的对边相等,对角相等,故正确;D项,一组对边相等,另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形,例如等腰梯形,故错误.故选D.
6.B　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=BD,CO=AC.
∵AC+BD=10,∴BO+CO=5,
∴△BOC的周长为5+4=9.故选B.
7.证明:在?ABCD中,AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°,
∴△ABE≌△CDF,
∴AE=CF.
又易知∠AED=∠CFB=90°,
∴AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
8.证明:(1)如图所示.

∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴∠3=∠4.
∵∠1=∠3+∠5,∠2=∠4+∠6,∠1=∠2,
∴∠5=∠6.
在△ADE与△CBF中,

∴△ADE≌△CBF(ASA),
∴AE=CF.
(2)∵∠1=∠2,
∴DE∥BF.
又由(1)知△ADE≌△CBF,
∴DE=BF,
∴四边形EBFD是平行四边形.
9.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
又∵点F在CB的延长线上,
∴AD∥CF,
∴∠ADE=∠F.
∵E是AB边的中点,
∴AE=BE.
在△ADE与△BFE中,
∴△ADE≌△BFE.
(2)CE⊥DF.理由如下:
由(1)知△ADE≌△BFE,∠ADE=∠F,
∴DE=FE,即E是DF的中点.
∵DF平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∴∠CDE=∠F,
∴CD=CF,∴CE⊥DF.
10.解:(1)证明:如图,连结AE.

∵OA=OC,OB=OE,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴CD∥AB.
又∵AD∥BE,
∴四边形ABED是平行四边形.
(2)∵四边形ABCE是平行四边形,
∠ABC=90°,
∴∠BCE=90°.
∵∠ACB=30°,
∴∠ACD=60°.
∵四边形ABCE和四边形ABED都是平行四边形,
∴AB=CE=ED=1,AC=2AB=2,
∴CD=AC=2,
∴△ACD是等边三角形,
∴△ACD的周长为6.
11.5
12.12　[解析] 分别取△ABC三边AC,AB,BC的中点E,F,G,并连结EG,FG,

根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是?AFGE的面积.
∵AC=6,BC=8,
∴AE=AC=3,GC=BC=4.
∵∠ACB=90°,
∴S四边形AFGE=AE·GC=3×4=12,
∴线段MN所扫过区域的面积为12.
故答案为12.
13.3　[解析] ∵△ABC的周长为26,BC=10,
∴AB+AC=26-10=16.
∵∠ABC的平分线垂直于AE,
∴∠ABQ=∠EBQ,
∠AQB=∠EQB.
又∵BQ=BQ,
∴△ABQ≌△EBQ,
∴AQ=EQ,AB=BE.
同理,AP=DP,AC=CD,
∴DE=BE+CD-BC=AB+AC-BC=16-10=6.
∵AQ=EQ,AP=DP,
∴PQ是△ADE的中位线,
∴PQ=DE=3.
故答案是3.
14.[解析] (1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,可得EF∥BC且EF=BC,DG∥BC且DG=BC,从而得到DG=EF,DG∥EF,再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明即可;
(2)先判断出∠BOC=90°,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,求出EF即可.
解:(1)证明:∵D,G分别是AB,AC的中点,
∴DG∥BC,DG=BC.
∵E,F分别是OB,OC的中点,
∴EF∥BC,EF=BC,
∴DG=EF,DG∥EF,
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)∵∠OBC和∠OCB互余,
∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=90°.
∵M为EF的中点,OM=3,
∴EF=2OM=6.
由(1)知四边形DEFG是平行四边形,
∴DG=EF=6.
15.D
16.解:能.如图,取AB,BC的中点G,H,连结GH并延长,分别交AE,CD于点P,Q,则四边形PQDE即为所求.理由:过点B作BM∥AP交GH于点M.∵BM∥AP,∴∠A=∠GBM,∠APG=∠BMG.
又∵GA=GB,∴△AGP≌△BGM,∴AP=BM.
同理,CQ=BM,∴AP=CQ,∴PE=QD.又∵AE∥CD,即PE∥QD,∴四边形PQDE是平行四边形.





































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