专题训练五 图形操作探究题（含答案）

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专题训练(五)　图形操作探究题　 　　　　　
?　类型之一　翻折问题
1.如图5-ZT-1,在?ABCD中,点E,F分别在边DC,AB上,DE=BF,把平行四边形沿直线EF折叠,使得点B,C分别落在点B',C'处,线段EC'与线段AF交于点G,连结DG,B'G.
求证:(1)∠1=∠2;(2)DG=B'G.


图5-ZT-1



2.如图5-ZT-2,在?ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F处.
(1)请直接写出两组相等的线段;
(2)若△FDE的周长为9,△FCB的周长为23,求?ABCD的周长.


图5-ZT-2








?　类型之二　动点问题
3.如图5-ZT-3,在四边形ABCD中,已知AD∥BC,BC=24 cm,AD=26 cm,点P从点C出发,以1 cm/s的速度向点B运动;点Q从点A同时出发,以3 cm/s的速度向点D运动.规定其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,从运动开始,需经过多长时间才能使四边形ABPQ为平行四边形?并说明理由.


图5-ZT-3



4.如图5-ZT-4,四边形ABCD是平行四边形,P为AD上一动点,连结CP并延长交BA的延长线于点M,过点M作MN⊥BC,垂足为N,连结AN,NP.设点P运动的时间为t s,解答下列问题:
(1)若AD=6 cm,点P从 点A出发沿AD方向运动至点D,速度为3 cm/s,连结AC,MD,当t为何值时,四边形ACDM是平行四边形?
(2)若CD=2 cm,∠B=45°,在(1)的条件下,是否存在某一时刻t,使四边形ANPM是平行四边形?若存在,求出相应的t的值;若不存在,请说明理由.

图5-ZT-4










?　类型之三　存在性问题
5.已知直线y=2x+4与x轴,y轴分别交于点A,B,y轴上点C的坐标为(0,2),P是平面直角坐标系中的任意一点.若以P,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,请求出点P的坐标.










6.如图5-ZT-5,在平面直角坐标系中,A(4,2),B(-1,-3),P是x轴上的一点,Q是y轴上的一点,若以A,B,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.

图5-ZT-5










?　类型之四　开放探究问题
7.如图5-ZT-6,在?ABCD中,E,F分别为BC,AD上的点,且DF=BE.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)在(1)的基础上小明继续探究发现:如图②,连结BF,DE,分别交AE,CF于点G,H,得到的新四边形EHFG也是平行四边形.
请补全小明的证明思路.
由(1)知:四边形AECF是平行四边形,可得AE∥CF.要证明四边形EHFG为平行四边形,只要再证　　　　.由已知,BE=DF,又由　　　　,所以四边形BEDF为平行四边形,进而可证得到四边形EHFG为平行四边形.?

图5-ZT-6




8.在△ABC中,AB=AC,点D在BC所在的直线上,过点D作DF∥AC交AB于点F,DE∥AB交AC于点E.
(1)当点D在BC上时,如图5-ZT-7①.求证:DE+DF=AC.
(2)当点D在BC的延长线上时,如图②;当点D在BC的反向延长线上时,如图③.请分别写出图②,图③中DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明.
(3)若AC=6,DE=4,则DF=　　　　　　.?

图5-ZT-7




详解详析
1.[解析] (1)根据平行四边形的性质得出DC∥AB,从而推出∠2=∠FEC,由折叠的性质得出∠1=∠FEC=∠2,即可得出答案;
(2)由∠1=∠2得EG=FG,由平行四边形的性质推出∠DEG=∠EGF,由折叠得出B'F∥EC',从而推出∠B'FG=∠EGF,又∵DE=BF=B'F,即可证明△DEG≌△B'FG.
证明:(1)∵在?ABCD中,DC∥AB,
∴∠2=∠FEC.
由折叠的性质得∠1=∠FEC,∴∠1=∠2.
(2)∵∠1=∠2,∴EG=FG.
∵AB∥DC,∴∠DEG=∠EGF.
由折叠的性质得EC'∥B'F,
∴∠B'FG=∠EGF,∴∠DEG=∠B'FG.
∵DE=BF,BF=B'F,∴DE=B'F.
在△DEG和△B'FG中,
∴△DEG≌△B'FG,∴DG=B'G.
2.解:(1)AB=CD,AD=BC,AE=EF,AB=BF,CD=BF(答案不唯一,任写两组即可).
(2)依题意,得△ABE≌△FBE,
∴AE=EF,AB=BF.
又∵
∴DE+AE+DF+CF+BC+AB=32,∴AD+CD+BC+AB=32,
∴?ABCD的周长为32.
3.[解析] 利用平行四边形的性质得到PB=AQ,然后列出有关t的方程,从而求得时间.
解:需经过6 s才能使四边形ABPQ为平行四边形.理由如下:
设需经过t s,才能使四边形ABPQ为平行四边形,由题意知0∵四边形ABPQ为平行四边形,∴AQ=PB.
由题意可知AQ=3t cm,PB=(24-t)cm,
∴3t=24-t,∴t=6,
∴需经过6 s才能使四边形ABPQ为平行四边形.
4.解:(1)如图.易知AM∥CD,∴∠MAP=∠CDP,∠AMP=∠PCD.若AP=PD,则△AMP≌△DCP,∴MP=PC,∴四边形ACDM是平行四边形.故当AP=PD时,四边形ACDM是平行四边形.易知AP=3t,DP=6-3t,∴3t=6-3t,解得t=1,∴t=1时,四边形ACDM是平行四边形.

(2)不存在.理由:
∵MN⊥BC,∴∠MNB=90°.∵∠B=45°,∴∠BMN=45°=∠B,∴BN=MN.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AP∥BC.假设存在某一时刻t,使四边形ANPM为平行四边形,则此时PN∥AM,PN=AM,∴PN∥AB.∵AP∥BN,∴四边形ABNP是平行四边形,∴PN=AB=2,BN=AP=3t,∴AM=2,BM=3t.又∵BM=AB+AM=4,∴3t=4,解得t=,∴当t=时,四边形ANPM是平行四边形,此时PN∥AM∥CD,PN=AM=CD,∴AM平行且等于CD,∴四边形ACDM是平行四边形.这与(1)中当t=1时,四边形ACDM是平行四边形相矛盾,∴不存在使四边形ANPM是平行四边形的时刻t.
5.解:如图,由直线y=2x+4可知:A(-2,0),B(0,4).
又∵C(0,2),∴BC=2,AB=2.

①当BC????AP1时,四边形AP1CB是平行四边形,∴AP1=2,∴P1(-2,-2).
②当BC????AP2时,四边形AP2BC是平行四边形,∴P2(-2,2).
③当AB????CP3时,四边形ABP3C是平行四边形,∴P3(2,6).
故满足条件的点P共有3个,为(-2,-2),(-2,2),(2,6).
6.解:如图所示.

①当四边形ABQ2P2是平行四边形时,AB=P2Q2,AP2=BQ2,
∴点Q2的坐标是(0,-5).
②当四边形QPBA是平行四边形时,AB=PQ,QA=PB,
∴点Q的坐标是(0,5).
③当AB为对角线,即当四边形P1AQ1B是平行四边形时,
AP1=Q1B,AQ1=BP1,
∴点Q的坐标是(0,-1).
综上所述,符合题意的点Q的坐标为(0,-5)或(0,5)或(0,-1).
7.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴AF∥CE.
∵DF=BE,
∴AF=CE,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)由(1)知,四边形AECF是平行四边形,可得AE∥CF.
∵BE=DF,BE∥DF,
∴四边形BEDF为平行四边形,
∴BF∥DE,
∴四边形EHFG为平行四边形.
故答案为FG∥EH,AD∥BC.
8.[解析] (1)证明四边形AFDE是平行四边形,且△DEC和△BDF是等腰三角形即可;
(2)与(1)的证明方法相同;
(3)根据(1)(2)中的结论直接求解.
解:(1)证明:∵DF∥AC,DE∥AB,
∴四边形AFDE是平行四边形,∴AF=DE.
∵DF∥AC,∴∠FDB=∠C.
又∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠FDB=∠B,∴DF=BF,
∴DE+DF=AF+BF=AB=AC.

(2)图②:AC+DE=DF.
图③:AC+DF=DE.
(3)当如题图①的情况时,DF=AC-DE=6-4=2;
当如题图②的情况时,DF=AC+DE=6+4=10.
故答案是2或10.










































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