4.6 反证法同步测试题（含解析）

4.6 反证法测试卷
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题7分，共42分）
1．（2019春?萧山区期中）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应（　　）
A．假设四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角
B．.假设四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角
C．假设四边形ABCD中最多有一个角是钝角或直角
D．假设四边形ABCD中没有一个角是锐角
2．（2019春?武侯区期中）用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于60°”时，第一步应是（　　）
A．假设三角形三内角中至多有一个角不大于60°
B．假设三角形三内角中至少有一个角不小于60°
C．假设三角形三内角中至少有一个角大于60°
D．假设三角形三内角中没有一个角不大于60°（即假设三角形三内角都大于60°）
3．（2019秋?宜宾期末）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，运用反证法证明这个结论，第一步应先假设（　　）成立．
A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠A＞90° D．∠A≥90°
4．（2019秋?恩阳区 期末）对于命题“已知a∥b，b∥c，求证：a∥c”，如果用反证法，应先假设（　　）
A．a不平行于b B．b不平行于c C．a不平行于c D．a⊥c
5．（2019?嘉兴二模）用反证法证明“在同面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时应假设（　　）
A．a不垂直于b B．a⊥b
C．a与b相交 D．a，b不垂直于c
6．（2019?滦南县一模）已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A．③④①② B．③④②① C．①②③④ D．④③①②
二．填空题（每小题7分，共28分）
7．（2019?赤峰一模）用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，先假设　 　成立，然后经过推理与平行公理相矛盾．
8．（2019?大埔县模拟）用反证法证明：“三角形中至少有两个锐角”时，首先应假设这个三角形中　 　．
9．（2019?海宁市一模）用反证法证明命题“三角形中至少有两个锐角”，第一步应假设　 　．
10．（2018?成都模拟）用反证法证明“若a＞b＞0，则a2＞b2”，应假设　 　．
三．解答题（共30分）
11．（8分）（2017秋?洛宁县期末）证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．
12．（10分）（2017秋?庆元县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）
13．（12分）（2016?湖里区模拟）阅读以下证明过程：
已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB＝c，AC＝b，BC＝a．求证：a2+b2≠c2．
证明：假设a2+b2＝c2，则由勾股定理逆定理可知∠C＝90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．
请用类似的方法证明以下问题：
已知：a，b是正整数，若关于x的一元二次方程x2+2a（1﹣bx）+2b＝0有两个实根x1和x2，求证：x1≠x2．

4.6 反证法测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2019春?萧山区期中）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应（　　）
A．假设四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角
B．.假设四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角
C．假设四边形ABCD中最多有一个角是钝角或直角
D．假设四边形ABCD中没有一个角是锐角
【分析】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确．
【解答】解：假设正确的是：假设四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角．
故选：A．
2．（2019春?武侯区期中）用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于60°”时，第一步应是（　　）
A．假设三角形三内角中至多有一个角不大于60°
B．假设三角形三内角中至少有一个角不小于60°
C．假设三角形三内角中至少有一个角大于60°
D．假设三角形三内角中没有一个角不大于60°（即假设三角形三内角都大于60°）
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：不大于的反面是大于，
则第一步应是假设三角形三内角都大于60°．
故选：D．
3．（2019秋?宜宾期末）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，运用反证法证明这个结论，第一步应先假设（　　）成立．
A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠A＞90° D．∠A≥90°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，∠B＜90°的反面是∠B≥90°．
【解答】解：已知△ABC中，AB＝AC，
求证：∠B＜90°，
运用反证法证明这个结论，第一步应先假设∠B≥90°，
故选：A．
4．（2019秋?恩阳区 期末）对于命题“已知a∥b，b∥c，求证：a∥c”，如果用反证法，应先假设（　　）
A．a不平行于b B．b不平行于c C．a不平行于c D．a⊥c
【分析】根据命题：“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”的反面是：“a不平行c”，可得假设内容．
【解答】解：由于命题：“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”的反面是：“a不平行c”，
故用反证法证明：“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”，应假设“a不平行c”，
故选：C．
5．（2019?嘉兴二模）用反证法证明“在同面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时应假设（　　）
A．a不垂直于b B．a⊥b
C．a与b相交 D．a，b不垂直于c
【分析】用反证法解题时，要假设结论不成立，即假设a与b不平行，即a与b相交．
【解答】解：反证法证明“在同面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时应假设a与b相交，
故选：C．
6．（2019?滦南县一模）已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A．③④①② B．③④②① C．①②③④ D．④③①②
【分析】通过反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；理顺证明过程即可．
【解答】解：由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；
所以题目中“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°”．
用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
应该为：假设∠B≥90°；
那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°
所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，；
因此假设不成立．∴∠B＜90°；
原题正确顺序为：③④①②．
故选：A．
二．填空题
7．（2019?赤峰一模）用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，先假设　平行于同一条直线的两条直线相交　成立，然后经过推理与平行公理相矛盾．
【分析】先根据已知条件和反证法的特点进行假设，即可求出答案．
【解答】解：根据反证法的第一步：从结论的反面出发假设命题不成立，
故用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，
第一个步骤是：先假设平行于同一条直线的两条直线相交．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线相交．
8．（2019?大埔县模拟）用反证法证明：“三角形中至少有两个锐角”时，首先应假设这个三角形中　三角形三个内角中最多有一个锐角　．
【分析】“至少有两个”的反面为“最多有一个”，据此直接写出逆命题即可．
【解答】解：∵至少有两个”的反面为“最多有一个”，而反证法的假设即原命题的逆命题正确；
∴应假设：三角形三个内角中最多有一个锐角．
故答案为：三角形三个内角中最多有一个锐角
9．（2019?海宁市一模）用反证法证明命题“三角形中至少有两个锐角”，第一步应假设　同一三角形中最多有一个锐角　．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，第一步应假设同一三角形中最多有一个锐角．
故答案为：同一三角形中最多有一个锐角．
10．（2018?成都模拟）用反证法证明“若a＞b＞0，则a2＞b2”，应假设　a2≤b2　．
【分析】根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答．
【解答】解：用反证法证明“若a＞b＞0，则a2＞b2”的第一步是假设a2≤b2，
故答案为：a2≤b2，
三．解答题
11．（2017秋?洛宁县期末）证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．
【分析】当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．
【解答】证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°；
那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°；
这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，原命题正确．
12．（2017秋?庆元县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）
【分析】运用反证法进行求解：
（1）假设结论PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．
（2）从假设出发推出与已知相矛盾．
（3）得到假设不成立，则结论成立．
【解答】证明：假设PB≥PC．
把△ABP绕点A逆时针旋转，使B与C重合，
∵PB≥PC，PB＝CD，
∴CD≥PC，
∴∠CPD≥∠CDP，
又∵AP＝AD，
∴∠APD＝∠ADP，
∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP，即∠APC≥∠ADC，
又∵∠APB＝∠ADC，
∴∠APC≥∠APB，与∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB≥PC不成立，
综上所述，得：PB＜PC．
13．（2016?湖里区模拟）阅读以下证明过程：
已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB＝c，AC＝b，BC＝a．求证：a2+b2≠c2．
证明：假设a2+b2＝c2，则由勾股定理逆定理可知∠C＝90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．
请用类似的方法证明以下问题：
已知：a，b是正整数，若关于x的一元二次方程x2+2a（1﹣bx）+2b＝0有两个实根x1和x2，求证：x1≠x2．
【分析】假设x1＝x2，则方程x2﹣2abx+2a+2b＝0有两个相等的实数根，即判别式△＝0，据此即可得到a和b的关系，然后根据a、b是正整数从而得到错误的结论，从而证明△＝0错误，得到所证的结论．
【解答】证明：假设x1＝x2，
则方程x2﹣2abx+2a+2b＝0有两个相等的实数根，
∴△＝4a2b2﹣8a﹣8b＝4a2b2﹣4（2a+2b）＝0，
则a2b2＝2a+2b，a2b2＝2（a+b）．
∵a、b是正整数，
∴2（a+b）是偶数，
∴a2b2也是偶数，
又∵a、b为正整数，
∴a、b中必有一个是2的倍数，不妨设a是偶数，即a是2的倍数，则a2是4的倍数．
∴a2b2是4的倍数．
∴a+b是2的倍数．
∵a是2的倍数，a2b2＝2（a+b），
∴＝a+b，＝，
＝+．
∵a、b是偶数，
∴位正偶数，
∴+为正整数．
又∵a、b位偶数，
∴a＝b＝2，
此时，a2b2＝16，而2（a+b）＝8，
a2b2≠2（a+b）与事实不符．
∴△≠0，即x1≠x2．