第四章 平行四边形单元能力测试题（含解析）

第四章 综合能力测试卷
（时间120分钟 满分120分）
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（2019秋?武冈市期中）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（　　）根木条．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2019秋?孝义市期中）凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，十五边形对角线的条数是（　　）
A．35条 B．77条 C．80条 D．90条
3．（2019?云南）一个十二边形的内角和等于（　　）
A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
4．（2019?白银）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
5．（2019?鞍山）如图，某人从点A出发，前进8m后向右转60°，再前进8m后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了（　　）
A．24m B．32m C．40m D．48m
6．（2019?盘锦）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（　　）
A．BE＝EF B．EF∥CD C．AE平分∠BEF D．AB＝AE
7．（2019?抚顺）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2018?东营）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（　　）
A．AD＝BC B．CD＝BF C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDF
9．（2019?铜仁市）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（　　）
A．12 B．14 C．24 D．21
10．（2017春?南开区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB=∠CBD②DE=BF③∠EDF=∠EBF④∠DEB=∠DFB⑤AE=CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每小题4分，共24分）
11．（2019?云南）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于　 　．
12．（2019?梧州）如图，?ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝　 　度．
13．（2019?鸡西）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　 　，使四边形ABCD是平行四边形．
14．（2016?邵阳）如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件　 　（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
15．（2019春?宿迁期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有　 　次．
16．（2018春?薛城区期中）已知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于应先假设　 　．
三．解答题（共66分）
17．（6分）（2019秋?蕲春县期中）如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形？少加的内角为多少度？
18．（6分）（2019?吉林）如图，在?ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．
19．（6分）（2019?广安）如图，点E是?ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，求?ABCD的周长．
20．（8分）（2016?张家界）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
21．（10分）（2019?遂宁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：
（1）△ADF≌△ECF．
（2）四边形ABCD是平行四边形．
22．（10分）（2020?锦江区模拟）在?ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，
AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
23．（10分）（2020?封开县一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝2，CE＝4；
（1）求证：四边形ACED是平行四边形．
（2）求BC的长．
24．（10分）（2019秋?睢宁县期中）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）AB＝6，AC＝4，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．

第四章 综合能力测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2019秋?武冈市期中）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（　　）根木条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
【解答】解：过五边形的一个顶点作对角线，有5﹣3＝2条对角线，所以至少要钉上2根木条．
故选：B．
2．（2019秋?孝义市期中）凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，十五边形对角线的条数是（　　）
A．35条 B．77条 C．80条 D．90条
【分析】n边形的对角线共有条，根据此关系式求解．
【解答】解：十五边形对角线的条数是（条），
即凸十五边形的对角线有90条．
故选：D．
3．（2019?云南）一个十二边形的内角和等于（　　）
A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）?180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【解答】解：十二边形的内角和等于：（12﹣2）?180°＝1800°；
故选：D．
4．（2019?白银）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果．
【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，
故选：C．
5．（2019?鞍山）如图，某人从点A出发，前进8m后向右转60°，再前进8m后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了（　　）
A．24m B．32m C．40m D．48m
【分析】从A点出发，前进8m后向右转60°，再前进8m后又向右转60°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，所走路径为正多边形，根据正多边形的外角和为360°，判断多边形的边数，再求路程．
【解答】解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，
则60n＝360，解得n＝6，
故他第一次回到出发点A时，共走了：8×6＝48（m）．
故选：D．
6．（2019?盘锦）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（　　）
A．BE＝EF B．EF∥CD C．AE平分∠BEF D．AB＝AE
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．
【解答】解：由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AF＝AB，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故选项A、C正确，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，故选项B正确；
故选：D．
7．（2019?抚顺）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
8．（2018?东营）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（　　）
A．AD＝BC B．CD＝BF C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDF
【分析】正确选项是D．想办法证明CD＝AB，CD∥AB即可解决问题；
【解答】解：正确选项是D．
理由：∵∠F＝∠CDF，∠CED＝∠BEF，EC＝BE，
∴△CDE≌△BFE，CD∥AF，
∴CD＝BF，
∵BF＝AB，
∴CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
9．（2019?铜仁市）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（　　）
A．12 B．14 C．24 D．21
【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，然后代入数据进行计算即可得解
【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝7，
∴四边形EFGH的周长＝7+5＝12．
故选：A．
10．（2017春?南开区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB=∠CBD②DE=BF③∠EDF=∠EBF④∠DEB=∠DFB⑤AE=CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】条件⑤可以判断四边形DEBF是平行四边形．根据平行四边形的判定方法一一证明即可；
【解答】解：⑤可以判断四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，OA=OC，∵AE=CF，∴OE=OF，∴四边形DEBF是平行四边形，故选：D．
二．填空题
11．（2019?云南）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于　16或8　．
【分析】过D作DE⊥AB于E，解直角三角形得到AB＝8，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝4，
∴DE＝AD＝2，AE＝AD＝6，
在Rt△BDE中，∵BD＝4，
∴BE＝＝＝2，
如图1，∴AB＝8，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB?DE＝8×2＝16，
如图2，AB＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB?DE＝4×2＝8，
故答案为：16或8．
12．（2019?梧州）如图，?ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝　61　度．
【分析】直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵∠ADC＝119°，DF⊥BC，
∴∠ADF＝90°，
则∠EDH＝29°，
∵BE⊥DC，
∴∠DEH＝90°，
∴∠DHE＝∠BHF＝90°﹣29°＝61°．
故答案为：61．
13．（2019?鸡西）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　AD∥BC（答案不唯一）　，使四边形ABCD是平行四边形．
【分析】可再添加一个条件AD∥BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD∥BC．
故答案为：AD∥BC（答案不唯一）．
14．（2016?邵阳）如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件　AD∥BC　（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的定义或判定定理即可解答．
【解答】解：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．
故答案是：AD∥BC．
15．（2019春?宿迁期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有　3　次．
【分析】首先设经过t秒，根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，
此时方程t＝0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，
解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，
解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，
解得：t＝9.6；
⑤点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣48）＝12﹣t，
解得：t＝16，
此时P点走的路程为16＞AD，此时不符合题意．
∴共3次．
故答案为：3．
16．（2018春?薛城区期中）已知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于应先假设　这五个数都小于　．
【分析】熟记反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可．
【解答】解：知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于应先假设这五个数都小于，
故答案为：这五个数都小于
三．解答题
17．（2019秋?蕲春县期中）如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形？少加的内角为多少度？
【分析】根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可．
【解答】解：1140°÷180°＝6…60°，
则边数是：6+1+2＝9；
他们在求九边形的内角和；
180°﹣60°＝120°，
少加的那个内角为120度．
18．（2019?吉林）如图，在?ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．
【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】证明：由题意可得：AE＝FC，
在平行四边形ABCD中，AB＝DC，∠A＝∠C
在△ABE和△CDF中，，
所以，△ABE≌△CDF（SAS）．
19．（2019?广安）如图，点E是?ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，求?ABCD的周长．
【分析】先证明△ADE≌△FCE，得到AD＝CF＝3，DE＝CE＝2，从而可求平行四边形的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF．
又ED＝EC，
∴△ADE≌△FCE（AAS）．
∴AD＝CF＝3，DE＝CE＝2．
∴DC＝4．
∴平行四边形ABCD的周长为2（AD+DC）＝14．
20．（2016?张家界）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
【分析】利用平行线的性质得出∠BAE＝∠CFE，由AAS得出△ABE≌△FCE，得出对应边相等AE＝EF，再利用平行四边形的判定得出即可．
【解答】解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，，
∴△ABE≌△FCE（AAS）；
∴AE＝EF，
又∵BE＝CE
∴四边形ABFC是平行四边形．
21．（2019?遂宁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：
（1）△ADF≌△ECF．
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DAF＝∠E，根据线段中点的定义得到DF＝CF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AD＝EC，等量代换得到AD＝BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△ADF与△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（AAS）；
（2）∵△ADF≌△ECF，
∴AD＝EC，
∵CE＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
22．（2020?锦江区模拟）在?ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，
AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CB，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，求得AD＝DF，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△DAE和△BCF中，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝＝＝4．
23．（2020?封开县一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝2，CE＝4；
（1）求证：四边形ACED是平行四边形．
（2）求BC的长．
【分析】（1）先根据垂直于同一条直线的两直线平行，得AC∥DE，又CE∥AD，所以四边形ACED是平行四边形；
（2）四边形ACED是平行四边形，可得DE＝AC＝2．由勾股定理和中线的定义得到结论．
【解答】解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE
又∵CE∥AD
∴四边形ACED是平行四边形．
（2）∵四边形ACED是平行四边形．
∴DE＝AC＝2．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝＝＝2．
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝4．
24．（2019秋?睢宁县期中）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）AB＝6，AC＝4，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．
【分析】（1）根据直角三角形的性质、中线的概念分别求出DE、AE、DF、AF，根据四边形的周长公式计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的判定定理解答．
【解答】解：（1）∵AD是高，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADB中，E是AB的中点，
∴DE＝AB＝3，AE＝AB＝3，
同理可得，AF＝DF＝AC＝2，
∴四边形AEDF的周长＝3+3+2+2＝10；
（2）EF垂直平分AD，
理由如下：∵EA＝ED，FA＝FD，
∴EF是AD的垂直平分线．