初中数学浙教版八年级下册第二章 一元二次方程 章末检测

初中数学浙教版八年级下册第二章 一元二次方程 章末检测
一、单选题
1.下列方程是一元二次方程的是（?? ）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
2.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为（?? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?-1?????????????????????????????????????????C.?1或-1?????????????????????????????????????????D.?2
3.把方程 化为一元二次方程的一般形式后为（?? ）
A.???????????B.???????????C.???????????D.?
4.若 ，则 的值为(??? )
A.?7????????????????????????????????????????B.?-3????????????????????????????????????????C.?7或-3????????????????????????????????????????D.?21
5.解一元二次方程x2＋4x－1＝0，配方正确的是（? ）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
6.已知关于x的一元二次方程M为ax2+bx+c＝0、N为cx2+bx+a＝0（a≠c），则下列结论：①如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根；②如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；③如果方程M与方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1．其中正确的结论是（　　）
A.?①②????????????????????????????????????B.?①③????????????????????????????????????C.?②③????????????????????????????????????D.?①②③
7.用公式法解-x2+3x=1时，先求出a，b，c的值，则a，b，c依次为（ ??）
A.?-1，3，1???????????????????????????B.?1，3，1???????????????????????????C.?-1，3，-1???????????????????????????D.?1，-3，1
8.下列方程适合用因式分解法求解的是 (????? )
A.?x2－3 x＋2＝0????????????????B.?2x2＝x＋4????????????????C.?(x－1)(x＋2)＝70????????????????D.?x2－11x＝0
9.一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1 ， x2 ， 则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（??? ）
A.?10???????????????????????????????????????????B.?9???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?7
10.如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（?? ） www.21-cn-jy.com
A.?10m或5m????????????????????????????????B.?5m或8m????????????????????????????????C.?10m????????????????????????????????D.?5m
二、填空题
11.写出一个一元二次方程，使其有一个根为1，并且二次项系数也为1，方程为________．
12.已知 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 ________．
13.若关于x 的方程(a－1)x2－2x－1＝0有实数根，则实数a的取值范围是________.
14.已知关于x的方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是________
15.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为________． 21世纪教育网版权所有

16.设x1、x2是关于x的方程2x2﹣4mx+2m2+3m+2＝0的两个实根，当m＝________时，x12+x22有最小值为________. 2·1·c·n·j·y
三、解答题
17.解一元二次方程：
（1）(x+1)2－144=0 （2）x2－4x－32＝0
（3）x（x﹣5）=2（x﹣5） （4）
18.已知m是方程 的一个根，求 的值．
19.已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+ k2=0有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围。
（2）当k取最小整数时，求方程的解。
20.某公园要在一块长40m，宽30m的长方形空地上建成一个矩形花园，要求在花园中修三条纵向平行和两条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为500m2 ， 那么小道进出口的宽度应为多少米？ 【来源：21·世纪·教育·网】
21.已知关于x的一元二次方程x2?(3k+1)x+2k2+2k=0.
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好分别是这个方程的两个根，求k的值.
22.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． 【来源：21cnj*y.co*m】
（1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？
（2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？
（3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由．
23.在一元二次方程中，有著名的韦达定理:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根x1 ， x2 ， 那么x1+x2= ，x1+x2= (说明:定理成立的条件△≥0).比如方程2x2-3x-1=0中，△=17，所以该方程有两个不等的实数解.记方程的两根为x1 ， x2 ， 那么x1+x2= ，x1+x2= .请阅读材料回答问题: 21*cnjy*com
（1）已知方程x2-3x-2=0的两根为x1、x2 ， 求下列各式的值:
①x12+x22；② ；
（2）已知x1 ， x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
①是否存在实数k，使(2x1-x2)(x1-2x2)= 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
②求使 -2的值为整数的实数k的整数值.
24.某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内江水水质明显改善．
（1）求n的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加一个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年用甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5，求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．

答案解析部分
一、单选题
1. C
A、没有说明a是否为0，所以不一定是一元二次方程；
B、含分式 ，所以不是一元二次方程；
C、方程可整理为 ，所以是一元二次方程；
D、移项合并同类项后未知数的最高次为1，所以不是一元二次方程；
故答案为：C.
分析：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此判断即可.
2. B
解：把x=0代入原方程得 a2-1=0 解得a=±1 又∵a-1≠0 ∴a≠1 ∴a=-1. 21·cn·jy·com
故答案为：B.
分析：先将x=0代入原方程得 a2-1=0，从而可解得a=±1，根据一元二次方程的定义可知 a-1≠0，即a≠1，故可得a=-1.
3. D
解：将等号左边根据多项式乘以多项式法则展开，再移项合并同类项,方程整理得：3x2+x-12=0， 故答案为：D.
分析：二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）.
4. A
解：∵ ，
∴a2+b2-2=±5，
∴a2+b2=7或a2+b2=-3（舍去），
即a2+b2的值为7.
故答案为：A.
分析：把 两边开方得到a2+b2-2=±5，然后根据非负数的性质确定 的值.
5. C
∵x2+4x-1=0，故答案为：∴x2+4x+4=5，故答案为：∴（x+2）2=5，
故答案为：C．
分析：根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
6. A
①如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，方程两边同时除以25，
得a+ b+ c=0，即 c+ b+a=0，
所以 是方程N的一个根，故①符合题意，符合题意；
②如果方程M有两个不相等的实数根，那么△=b2-4ac＞0，
所以方程N也有两个不相等的实数根，故②符合题意，符合题意；
③如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，
解得：x=±1，故③不符合题意，不符合题意；
故答案为：A．
分析：根据一元二次方程的解的意义可对①进行判断；根据判别式的意义可对②进行判断；解方程ax2+bx+c=cx2+bx+a，即可对③进行判断．21*cnjy*com
7. C
解：将方程移项整理后变为-x2+3x-1=0 ∴a=-1，b=3，c=-1
故答案为：C。
分析：根据题意，首先将方程整理好再进行公式法的应用。
8. D
解：∵x2－11x＝x(x-11)=0，可提取公因式法x，故适合用因式分解求解.
故答案为：D.
分析：将各个方程整理成“ax2+bx+c=0 (a≠0）”的形式，观察方程的左边是否容易分解为两个因式的乘积形式，如能即可利用因式分解法求解.2-1-c-n-j-y
9. D
解：∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7。
故答案为：D。
分析：根据方程根的概念，将x=x1代入方程x2﹣3x+1＝0得出x12＝3x1﹣1，然后将x12＝3x1﹣1，代入 x12+3x2+x1x2﹣2 整理得3（x1+x2）+x1x2﹣3；根据方程根与系数的关系得出x1+x2＝3，x1x2＝1，再整体代入代数式即可算出答案。
10. C
解：设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，
根据题意得：（30﹣2x）x＝100，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10．
当x＝5时，30﹣2x＝20＞15，
∴x＝5舍去．
故答案为：C
分析：分别表示出一组邻边的长，然后以矩形面积作为相等关系列出方程求解即可。
二、填空题
11. 答案不唯一，如x2＝1
解：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（k≠0），一个二次项系数为1，即a=1，并且一个根也为1，可令b=0，c=－1，这样的一元二次方程是x2＝1． 【版权所有：21教育】
故答案为：答案不唯一，如x2＝1．
分析：开放性的命题，答案不唯一：根据一元二次方程根的定义及一元二次方程的相关概念即可写出答案.
12. -5
解：∵x=2是方程的解，
∴
∴ ，
∴ ．
故答案为：-5.
分析：把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值，然后计算可得结果．
13. a≥0
解：当a?1＝0，即a＝1时，有?2x-1＝0，
解得：x＝
∴a＝1符合题意；
当a?1≠0，即a≠1时，有△＝（?2）2+4（a?1）＝4a≥0，
解得：a≥0，
∴a≥0且a≠1.
综上可知：a的取值范围为a≥0.
故答案为：a≥0.
分析：此题需要分类讨论：当a?1＝0，即a＝1时，方程是一元一次方程，一定有实数根；当a?1≠0，即a≠1时方程是一元二次方程，只有当根的判别式的值不为负数的时候，才有实数根，从而列出不等式，求解得出a的取值范围，综上所述即可得出答案.21教育名师原创作品
14. ﹣1
解：∵方程x2﹣mx+2m﹣1=0有两实根，∴△≥0；
即（﹣m）2﹣4（2m﹣1）=m2﹣8m+4≥0，
解得m≥4+2 或m≤4﹣2 .
设原方程的两根为α、β，则α+β=m，αβ=2m﹣1.
α2+β2=α2+β2+2αβ﹣2αβ
=（α+β）2﹣2αβ
=m2﹣2（2m﹣1）
=m2﹣4m+2=7.
即m2﹣4m﹣5=0.
解得m=﹣1或m=5
∵m=5≤4+2 ，
∴m=5（舍去）
∴m=﹣1.
故答案为：﹣1
分析：因为方程x2﹣mx+2m﹣1=0有两实根，所以△≥0，从而列出不等式求解得出m的取值范围；设原方程的两根为α、β，根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=m，αβ=2m﹣1，然后根据完全平方公式的恒等变形把两实根的平方和变形为两根之积或两根之和的形式整体代入，列出方程，求解并检验即可.
15. 2:3
∵小正方形与大正方形的面积之比为1：13，
∴设大正方形的面积是13，
∴c2=13，
∴a2+b2=c2=13，
∵直角三角形的面积是 =3，
又∵直角三角形的面积是 ab=3，
∴ab=6，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25，
∴a+b=5．
则a、b是方程x2﹣5x+6=0的两个根，
故b=3，a=2，
∴ ．
故答案是：2:3．
分析： 根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求得（a+b）的值；则求b：a21教育网
16. - ；
解：∵x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m+2＝0的两个实根，
∴△＝（﹣4m）2﹣4×2×（2m2+3m+2）≥0，可得m≤﹣ ，
又∵x1+x2＝2m，x1x2＝ ，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2m）2﹣2× ＝2（m﹣ ）2﹣ ，
∵m≤﹣ ，
∴当m＝﹣ 时，x12+x22取得最小值为2×（﹣ ）2﹣ ＝ .
故答案为：﹣ ， .
分析：由方程有两个实数根得出其根的判别式应该不小于0，从而列出关于m的不等式，求解即可得出m的取值范围；根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝2m，x1x2＝ ， 进而根据完全平方公式的恒等变形将x12+x22变形为（x1+x2）2﹣2x1x2，整体代入再配成一个完全平方式减去一个常数，进而根据偶数次幂的非负性即可得出答案.21·世纪*教育网
三、解答题
17. （1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：a=1，b=-5，c=-1，
分析：（1）先把-144移到右边，然后用直接开平方法计算即可；（2）先把-32移到右边，然后配完全平方计算即可；（3）先把2（x﹣5）移到左边，再根据因式分解法解方程即可；（4）直接用公式法解方程即可.
18. 解：∵m是方程x2-3x=0的根，∴m2-3m=0，∴m=0或m=3，①当m=0时，∴（m-3）2+（m+2）（m-2），=（0-3）2+（0+2）（0-2），=9-4，=5；②当m=3时，∴（m-3）2+（m+2）（m-2），=（3-3）2+（3+2）（3-2），=0+5×1，=5；综上所述：（m-3）2+（m+2）（m-2）=5.
分析：解方程x2-3x=0从而可得m值，在分情况计算：①当m=0时，②当m=3时，分别将m值代入代数式，计算即可得出答案,
19. （1）解：∵关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+ k2=0有两个不相等的实数根，
∴(k+1)2-4× k2>0
∴k>
（2）解：∵k取最小整数，
∴k=0
原方程可化为x2+x=0．
∴x1=0，x2=-1
分析：（1）根据一元二次方程的根的情况判断出△的取值范围，并据此列出不等式，其解集即为k的取值范围； （2）在（1）中求得的k的取值范围中取出k的最小整数值为k=0，将k=0回代到方程中，求解即可。
20. 解:设小道进出口的宽度为x米，
依题意得(40 3x)(30 2x)=500.
整理，得3x2 85x+350=0.
解得，x1=5，x2= .
∵ (不合题意，舍去)，
∴x=5.
答：小道进出口的宽度应为5米.
分析：利用平移的方法，将纵横交错的几条路平移到大矩形的长和宽处，将种草区域拼成了一个矩形，该矩形的长为 (40 3x)米，宽为(30 2x) 米，根据矩形的面积计算方法，由 种植花草的面积为500m2 ， 列出方程求解并检验即可得出答案。www-2-1-cnjy-com
21. （1）证明：∵△=b2﹣4ac=（3k+1）2﹣4（2k2+2k）
=9k2+6k+1﹣8k2﹣8k
=k2﹣2k+1
=（k﹣1）2≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根
（2）解：解方程得：x1=2k，x2=k+1，不妨设b=2k，c=k+1，
①当b=c时，2k =k+1，∴k=1.
∴b=c=2.
∴△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②当a=b时， 2k=6，∴k=3
∴b=6，c=4.
∴△ABC三边为6，6，4，能构成三角形；
③当a=c时， k+1=6，∴k=5
∴b=10，c=6.
∴△ABC三边为6，6，10，能构成三角形.
∴k的值为3或5
分析：（1）利用一元二次方程根的判别式，求出b2﹣4ac的值，再将b2﹣4ac转化为（k﹣1）2 ， 利用平方的非负性由此可证得结论。 （2）解方程求出方程的两个根，可得到b，c的长，再根据等腰三角形的判定，分情况讨论：①当b=c时；②当a=b时；③当a=c时，分别建立关于k的方程，解方程求出k的值，然后利用三角形三边关系定理确定出k的值。【出处：21教育名师】
22. （1）解：设每箱饮料降价x元，商场日销售量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12﹣x）元；
依题意得：（12﹣3）（100+20×3）＝1440（元）
答：每箱降价3元，每天销售该饮料可获利1440元；
（2）解：要使每天销售饮料获利1400元，依据题意列方程得，
（12﹣x）（100+20x）＝1400，
整理得x2﹣7x﹣10＝0，
解得x1＝2，x2＝5；
∵为了多销售，增加利润，
∴x＝5，
答：每箱应降价5元，可使每天销售饮料获利1400元．
（3）解：不能，理由如下：
要使每天销售饮料获利1500元，依据题意列方程得，
（12﹣x）（100+20x）＝1500，
整理得x2﹣7x+15＝0，
因为△＝49﹣60＝﹣11＜0，
所以该方程无实数根，即不能使每天销售该饮料获利达到1500元．
分析：】（1）抓住题中关键的已知条件：每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱，因此设每箱饮料降价x元，分别用含x的代数式表示出商场日销售量和每箱饮料盈利，然后根据利润=商场日销售量每箱饮料的利润×降价后商场日销售量，列式计算可求值。 （2）根据商场日销售量每箱饮料的利润×降价后商场日销售量=1400，设未知数，列方程求出方程的解，再根据为了多销售，增加利润，确定出符合题意的x的值。 （3）根据商场日销售量每箱饮料的利润×降价后商场日销售量=1500，设未知数，列方程，再根据方程解得情况可作出判断。
23. （1）解：∵x2-3x-2=0，△=(-3)2-4×(-2)=17＞0，∴x1+x2=3，x1?x2=-2
①x12+x22=(x1+x2)2-2x1?x2=32-2×(-2)=9+4=13；
② = =-
（2）解：∵方程有两个实数根，
∴△=(-4k)2-4?4k(k+1)＞0；
∴k＜0，x1+x2=1，x1?x2= ，
①∵(2x1-x2)(x1-2x2)=2x12-5x1x2+2x22=2(x12+2x1x2+x22)-9x1x2=2(x1+x2)2-9x1x2 ， 21cnjy.com
∴2-9? =? ，
解得：k= ，与k＜0矛盾；
∴不存在k的值，使(2x1-x2)(x1-2x2)=- 成立.
② -2= = = = = = .
∵ -2= 的值为整数，
∴k+1=±1或±2或±4，
又∵k＜0，
∴k=-2或-3或-5
分析：（1）①利用韦达定理可求出 x1+x2和x1?x2的值， 再利用配方法将x12+x22转化为 (x1+x2)2-2x1?x2 ， 然后整体代入即可；②先通分，将代数式转化为含x1+x2和x1?x2的形式，然后整体代入可求值。 （2）①利用一元二次方程根的判别式求出k的取值范围，再求出x1+x2和x1?x2的值，然后将等式的左边转化为含x1+x2和x1?x2 ， 然后整体代入建立关于k的方程，解方程求出k的值，再根据k的取值范围可作出判断；②先通分将原代数式转化为含x1+x2和x1?x2 ， 然后整体代入可得到关于k的方程，再根据此代数式的值为整数，可得到k+1=±1或±2或±4， 解方程求出符合题意的k的值。
24. （1）解：由题意可得：40n＝12，
解得：n＝0.3
（2）解：由题意可得：40＋40（1＋m）＋40（1＋m）2＝190，
解得：m1＝ ，m2＝－ （舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1＋m）＝40（1＋50%）＝60（家）
（3）解：第二年用乙方案治理Q值降低了100n＝100×0.3＝30，
则（30－a）＋2a＝39.5，
解得：a＝9.5，
则Q＝20.5
分析：（1）抓住关键的已知条件：从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，据此列出关于n的方程，求解即可。 （2）此题的等量关系为：三年来用乙方案治理的工厂数量之和190，设未知数，列出关于m的方程，解方程求出m的值。 （3）先求出第二年用乙方案治理Q值降低量，再列方程求出a的值，然后就可求出Q的值。