第二章：一元二次方程培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．关于x的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ）
A．2 B．0 C．2或﹣2 D．﹣2
3.若等腰三角形的两边分别是一元二次方程的两根，则等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．11 C．10或11 D．以上都不对
4.方程与仅有一个公共根，那么的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
5.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )
A.x(x－1)＝45 B.x(x＋1)＝45 C．x(x－1)＝45 D．x(x＋1)＝45
6．已知x是实数且满足，那么的值为（ ）
A．3 B．﹣3或1 C．1 D．﹣1或3
7．关于x的方程的两根互为相反数，则的值为（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．不能确定
8.是方程的一个根，则代数式的值是（ ?? ）
A.?2018???????????????B.?2019?????????????C.?2020????????????D.?2021
9．某服装原价元，连续两次涨价，每次都涨后的价格为元，则是（ ）
A． B． C． D．
10．如果关于x的方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（ ）
A． -2＜a＜2 B． ＜a≤2 C． ?＜a≤2 D． ?≤a≤2
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围为
12.两个奇数，其中一个为另一个的平方，较大奇数与较小奇数的差为110，两个奇数分别为
13.当 ________时，方程的两个根互为相反数.
14.设a、b是整数，方程的一根是，则的值为____________
15.已知实数满足，则的值是______________
16.设α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α2+β的值为_____________
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）已知关于x的方程
（1）若方程有两相等实数根，求m的取值；（2）若方程其中一根为，求其另一根及m的值．
18.（本题8分）已知关于x的方程的一个根大于1，另一个根小于1，求实数k的取值范围．
19（本题8分）设a、b、c是等腰△ABC的三条边，关于x的方程有两个相等的实数根，且a、b为方程的两根，求m的值．
20（本题10分）．已知关于的一元二次方程．
（1）为何值时，方程有一根为零？
（2）为何值时，方程的两个根互为相反数？
（3）是否存在，使方程的两个根互为倒数？若存在，请求出的值；不存在，请说明理由．
21（本题10分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4cm，BC=10cm，点P从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C移动，问：经过多少秒后，点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1？
22．(本题12分)如图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°．
（1）求证：EF=BE+DF；
（2）若线段EF、AB的长分别是方程x2﹣5x+6=0的两个根，求△AEF的面积．
23（本题12分）.小明的父母承包了一块荒山地种植一批梨树，今年收获一批密梨，小明的父母打算以m元/斤的零售价销售5000斤密梨；剩余的5000(m＋1)斤密犁以比零售价低1元的批发价批给外地客商，预计总共可赚得55000元的毛利润.
（1）求小明的父母今年共收获密梨多少斤？
（2）若零售密梨平均每天可售出200斤，每斤盈利2元.为了加快销售和获得较好的售价，采取了降价措施，发现销售单价每降低0.1元，平均每天可多售出40斤，应降价多少元？每天销售利润为600元.
第二章：一元二次方程培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：∵一元二次方程的
∴方得瑟有两个不相等的实数根，故选择B
2.答案：D
解析：∵一元二次方程的一个根为0，
且，∴，故选择D
3.答案：C
解析：∵一元二次方程的两根为，
∴等腰三角形的周长为或，
故选择C
4.答案：A
解析：设它们的公共根为，∴与，
两式相减，得，
整理得，代入，
整理得（p+2）（﹣p2﹣16）=0，
解得p=﹣2．故选A．
5.答案：A
解析：∵有x支球队参加篮球比赛，每支队伍共有场比赛，共比赛了45场
∴，故选择A
6.答案：C
解析：由y＝x2+3x，
则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，可化为：y2+2y﹣3＝0，
分解因式，得，（y+3）（y﹣1）＝0，
解得，y1＝﹣3，y2＝1，
当x2+3x＝﹣3时，经△＝32﹣3×4＝﹣3＜0检验，可知x不是实数
当x2+3x＝1时，经检验，符合题意．
故选：C．
7.答案：C
解析：设原方程的两根为x1、x2，则x1+x2＝4﹣k2；
由题意，得4﹣k2＝0；
∴k1＝2，k2＝﹣2；
又∵△＝（k2﹣4）2﹣4（k﹣1）＝﹣4（k﹣1），
∴当k1＝2时，△＝﹣4＜0，原方程无实根；
当k2＝﹣2时，△＝12＞0，原方程有实根．
∴k＝﹣2．
故选：C．
8.答案：B
解析：由题意可知：a2＋a?1＝0，
∴a2＋a＝1，
∴原式＝a3＋a2＋a2＋2018
＝a（a2＋a）＋a2＋2018
＝a＋a2＋2018，
＝1＋2018
＝2019，
故答案为：B.
9.答案：C
解析：由题意可得：200（1＋a%）2＝242，
解得：a1＝10，a2＝?210（不合题意舍去），
答：a的值为10．故选：C．
10.答案：C
解析：∵△=a2-4（a2-3）=12-3a2 （1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2， 若a=2，此时方程x2-2x+1=0的根x=1符合条件， 若a=-2，此时方程x2+2x+1=0的根x=-1不符舍去， （2）当方程有两个根时，△＞0可得-2＜a＜2， ①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，
则有a2-3≤0，解可得-≤a≤，而a=-时不合题意，舍去． ?所以-＜a≤符合条件， ②若方程有两个正根，则?， 解可得 a＞， 综上可得，-＜a≤2．
故选：C
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：∵关于x的一元二次方程有实数解，
∴，
解得：
故答案为：
12.答案：11和121
解析：设较小奇数为x，则较大奇数为x2，根据题意得x2﹣x=110
解得x1=11，x2=10（不合题意，舍去）
所以较大奇数为x2=121．所以这两个奇数分别为，11和121
13.答案：2
解析：当，即时，
方程有两互为相反数根，
14.答案：
解析：∵方程的一根是，
∵，
∴
∴解得：
∴
15.答案：或
解析：∵
∴
∴
∴或
16.答案：2020
解析：由题意可知：α+β＝1，
且α2＝α+2019，
∴α2+β＝α+β+2019
＝1+2019＝2020，
故答案为：2020．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）依题意得：△＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×3×2＝m2﹣24＝0，
解得：m＝±．
故m的取值为±．
（2）设方程的另一根为x2，
由根与系数的关系得：，
解得：．
故另一根为1，m的值为5．
18.解析：设两根为
那么x1﹣1＞0，x2﹣1＜0．
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0．
x1x2﹣（x1+x2）+1＜0．
∴k﹣0.25﹣2k+1＜0．
解得k＞．
由判别式△＞0，（2k﹣1）2＞0；k≠
综上：k的取值范围为k＞
19.解析：∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0，
即：4b﹣4×（2c﹣a）=0，
∴a+b﹣2c=0，
即a+b=2c，
∵a、b、c是等腰△ABC的三条边，
∴a=b=c．
∵a、b为方程x2+mx﹣3m=0的两根，
∴方程x2+mx﹣3m=0有两个相等的实数根，
∴m2﹣4×（﹣3m）=0，解得m=﹣12或m=0（舍去）．
∴
20.解析：（1）若方程的一个根为零，
则m?7=0，解得m=7，
(2)若方程的两个根互为相反数，
则两根之和为0，故 =0，解得m=1，
(3)若方程两根互为倒数，
则=1，解得m=15，
当m=15时，方程是8x2?14x+8=0，即4x2?7x+4=0，根的判别式△=?15<0，
故不存在实数m，使方程的两个根互为倒数．
21.解析：假设当P点移到E点时可满足本题的条件，那么就有△ABE为直角三角形，BE=PB，EA=PA，由题意得PA2﹣8PB=1，
设经过x秒后点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1，
由题意得BE=PB=1×x=xcm，AE2=PA2=42+x2
∴42+x2﹣8x=1
解得x1=3，x2=5．
答：经过3秒或5秒后，点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1．
22.解析：（1）延长CB到G，使GB=DF，连接AG（如图），
∵AB=AD，∠ABG=∠D=90°，GB=DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠3=∠2，AG=AF，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠1+∠2=45°，∴∠GAE=∠1+∠3=45°=∠EAF，
∵AE=AE，∠GAE=∠EAF，AG=AF，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GB+BE=EF，
∴EF=BE+DF． （2）解：∵，∴，
23.（1）解析：根据题意得：
5000m＋5000(m＋1)(m－1)＝55000
解得：m1＝3，m2＝－4(不符合题意，舍去)
当m＝3时，小明的父母今年共收获密犁为
5000＋5000(m＋1)＝25000斤
小明的父母今年共收获密犁25000斤 （2）解：设降了x个0.1元，根据题意得
(200＋40x)(2－0.1x)＝600
解得：x1＝5，x2＝10
当x＝5时，售价为2－ 0.1x＝1.5元
当x2＝10时，售价为2－ 0.1x＝1元
∵为了加快销售和获得较好的售价
∴x＝5
∴应降价0.5元，每天销售利润为600元
