5.1.1 矩形同步测试题（含解析）

5.1 矩形测试卷（1）
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题7分，共42分）
1．（2019?十堰）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．（2019秋?巴州区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AE⊥BD于F，则线段AF的长是（　　）
A．6 B．5 C．4.8 D．4
3．（2019秋?建邺区期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（　　）
A．14.8 B．15 C．15.2 D．16
4．（2019春?海淀区校级期中）如图，矩形ABCD和矩形BDEF，点A在EF边上，设矩形ABCD和矩形BDEF的面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系为（　　）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．3S1＝2S2
5．（2019秋?青岛期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，则∠AOE的度数为（　　）
A．120° B．135° C．145° D．150°
6．（2019秋?平顶山期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边O在x轴上，OC在y轴上，OA＝6，OC＝4，PC＝BC．将矩形OABC绕点O以每秒45°的速度沿顺时针方向旋转，则第2019秒时，点P的坐标为（　　）
A．（3，） B．（2，﹣1） C．（，﹣3） D．（﹣1，2）
二．填空题（每小题7分，共28分）
7．（2019秋?茂名期中）如图，在矩形ABCD中，AC＝4，AB＝2，则BC的长是　 　．
8．（2019秋?温州期中）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，长方形内有一个点P，连结AP，BP，CP，已知∠APB＝90°，CP＝CB，延长CP交AD于点E，则AE＝　 　．
9．（2019春?江岸区校级期中）已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝4，点P是矩形内一点，则S△ABP+S△CDP＝　 　．
10．（2019秋?海淀区校级期中）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形则满足条件的点P有 个．
三．解答题（共30分）
11．（8分）（2019春?崇川区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，求线段AP的长．
12．（12分）（2019春?西陵区期中）如图，四边形ABCD是矩形，E为CD边上一点，且AE，BE分别平分∠DAB，∠ABC．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）已知AD＝2，求AB的长度．
13．（10分）（2019春?泰兴市期中）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为36cm，求AE的长．

5.1 矩形测试卷（1）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2019?十堰）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：C．
2．（2019秋?巴州区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AE⊥BD于F，则线段AF的长是（　　）
A．6 B．5 C．4.8 D．4
【分析】由矩形的性质可得∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝8，由勾股定理可求BD的长，由面积法可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝8，
∴BD＝＝＝10，
∵S△ABD＝×AB×AD＝×BD×AF，
∴6×8＝10AF，
∴AF＝4.8
故选：C．
3．（2019秋?建邺区期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（　　）
A．14.8 B．15 C．15.2 D．16
【分析】由勾股定理求出AC＝10，由题意得出AP+CP＝AC＝10，求出BP的最小值即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，BC＝AD＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵P是AC上的一个动点，
∴AP+CP＝AC＝10，
当BP⊥AC时，BP最小，
∵BP＝＝＝4.8，
∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8；
故选：A．
4．（2019春?海淀区校级期中）如图，矩形ABCD和矩形BDEF，点A在EF边上，设矩形ABCD和矩形BDEF的面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系为（　　）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．3S1＝2S2
【分析】由于矩形ABCD的面积等于2个△ABD的面积，而△ABD的面积又等于矩形BDEF的一半，所以可得两个矩形的面积关系．
【解答】解：∵矩形ABCD的面积S1＝2S△ABD，S△ABD＝S矩形BDEF，
∴S1＝S2．
故选：A．
5．（2019秋?青岛期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，则∠AOE的度数为（　　）
A．120° B．135° C．145° D．150°
【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO是等边三角形，根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB+∠BOE计算即可得解．
【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形中OA＝OB，
∴△ABO是等边三角形，
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE，
＝60°+75°，
＝135°．
故选：B．
6．（2019秋?平顶山期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边O在x轴上，OC在y轴上，OA＝6，OC＝4，PC＝BC．将矩形OABC绕点O以每秒45°的速度沿顺时针方向旋转，则第2019秒时，点P的坐标为（　　）
A．（3，） B．（2，﹣1） C．（，﹣3） D．（﹣1，2）
【分析】将矩形OABC绕点O以每秒45°的速度沿顺时针方向旋转，360°÷45°＝8，8秒循环一次，因为2019÷8＝252余数为3，推出第2019秒时，点P旋转到如图P′处，作C′E⊥OC于E，P′F⊥C′E，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵将矩形OABC绕点O以每秒45°的速度沿顺时针方向旋转，360°÷45°＝8，
∴8秒循环一次，
∵2019÷8＝252余数为3，
∴第2019秒时，点P旋转到如图P′处，作C′E⊥OC于E，P′F⊥C′E，
由题意△P′C′F，△OEC′都是等腰直角三角形，
∴OE＝C′E＝×4＝2，P′F＝C′F＝×2＝，
∴P′（，﹣3），
故选：C．
二．填空题
7．（2019秋?茂名期中）如图，在矩形ABCD中，AC＝4，AB＝2，则BC的长是　2　．
【分析】由矩形的性质和勾股定理即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴BC＝＝＝2；
故答案为：2．
8．（2019秋?温州期中）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，长方形内有一个点P，连结AP，BP，CP，已知∠APB＝90°，CP＝CB，延长CP交AD于点E，则AE＝　　．
【分析】延长AP交CD于F，根据已知条件得到∠CPF+∠CPB＝90°，根据矩形的性质得到∠DAB＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝3，根据余角的性质得到∠EAP＝∠ABP，推出AE＝PE，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：延长AP交CD于F，
∵∠APB＝90°，
∴∠FPB＝90°，
∴∠CPF+∠CPB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝3，
∴∠EAP+∠BAP＝∠ABP+∠BAP＝90°，
∴∠EAP＝∠ABP，
∵CP＝CB＝3，
∴∠CPB＝∠CBP，
∴∠CPF＝∠ABP＝∠EAP，
∵∠EPA＝∠CPF，
∴∠EAP＝∠APE，
∴AE＝PE，
∵CD2+DE2＝CE2，
∴42+（3﹣AE）2＝（3+AE）2，
解得：AE＝，
故答案为：．
9．（2019春?江岸区校级期中）已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝4，点P是矩形内一点，则S△ABP+S△CDP＝　8　．
【分析】根据三角形的面积的计算方法列式计算即可．
【解答】解：过点P作EF⊥AB与点E，
∵AB＝4，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为4×4＝16，
∴S△ABP+S△CDP＝AB?EP+CD?FP＝AB?EF＝S矩形ABCD＝8，
故答案为：8．
10．（2019秋?海淀区校级期中）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形则满足条件的点P有 个．
【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：①作AB或DC的垂直平分线交l于P；②在长方形内部在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC．
【解答】解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P， 如图，在l上作点P，使PA=AB，同理，在l上作点P，使PC=DC， 如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD=DC， 综上所述，符合条件的点P有5个．
故答案为：5．
三．解答题
11．（2019春?崇川区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，求线段AP的长．
【分析】先根据勾股定理得到AC的长，再根据AQ＝AD，得出CP＝CQ＝2，进而得到BP的长，最后在Rt△ABP中，依据勾股定理即可得到AP的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，
又∵AQ＝AD＝3，AD∥CP，
∴CQ＝5﹣3＝2，∠CQP＝∠AQD＝∠ADQ＝∠CPQ，
∴CP＝CQ＝2，
∴BP＝3﹣2＝1，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP＝＝＝．
12．（2019春?西陵区期中）如图，四边形ABCD是矩形，E为CD边上一点，且AE，BE分别平分∠DAB，∠ABC．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）已知AD＝2，求AB的长度．
【分析】（1）根据角平分线定义及矩形性质可知∠DAE＝∠EBE，AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，利用ASA可证明全等；
（2）证明DE＝DA，CE＝BC，可求CD长，则AB可知．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，AE，BE分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．
∴△ADE≌△BCE（ASA）；
（2））∵四边形ABCD是矩形，AE平分∠DAB，
∴∠D＝90°，∠DAE＝45°．
∴∠DEA＝45°．
∴∠DAE＝∠DEA．
∴DE＝AD＝2．
同理可得CE＝BC＝2．
∴CD＝DE+CE＝4．
所以AB＝CD＝4．
13．（2019春?泰兴市期中）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为36cm，求AE的长．
【分析】先证∠AEF＝∠ECD，再证Rt△AEF≌Rt△DCE，然后结合题目中已知的线段关系求解．
【解答】解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，EF⊥CE．
∴∠FEC＝90°．
∴∠AEF+∠DEC＝90°．
而∠ECD+∠DEC＝90°．
∴∠AEF＝∠ECD．（3分）
在Rt△AEF与Rt△DCE中，
∵，
∴Rt△AEF≌Rt△DCE（AAS）．
∴AE＝CD．
AD＝AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32cm．
∴2（AE+ED+DC）＝36，即2（2AE+4）＝36，
整理得：2AE+4＝18，
解得：AE＝7（cm）．