5.1.2 矩形同步测试题（含解析）

5.2 矩形测试卷（2）
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题7分，共42分）
1．（2019秋?大田县期中）在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量其中三个角是否都为直角
B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等
D．测量对角线是否相互平分
2．（2019春?如皋市期中）在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．∠ABC＝90° B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACD＝∠CDB
3．（2019春?莱州市期中）如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD
C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
4．（2019春?姑苏区期中）已知?ABCD中，对角线AC，BD交于O点，如果能够判断?ABCD为矩形，还需添加的条件是（　　）
A．AB＝BC B．AB＝AC C．OA＝OB D．AC⊥BD
5．（2018春?海淀区校级期中）如图所示的?ABCD，再添加下列某一个条件，不能判定?ABCD是矩形的是（　　）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝∠BCD
6．（2015?临沂）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
二．填空题（每小题7分，共28分）
7．（2018?黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件　 　，使平行四边形ABCD是矩形．
8．（2019春?长汀县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足分别为M、N，则MN最小值是　 　．
9．（2018春?无锡期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是　 　．
10．（2017春?滨海县期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P在BC边上由点B向点C运动，点Q在DA边上由点D向点A运动，两点同时运动同时停止，若点P与点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则经过　 　s后，四边形ABPQ成为矩形．
三．解答题（共30分）
11．（8分）（2019春?思明区校级期中）在平行四边形ABCD中，AB＝6，AC＝10，AD＝8．求证：平行四边形ABCD是矩形．
12．（10分）（2019春?巴南区期中）如图，AE＝AC，点B是CE的中点，且AD∥CE，AD＝．
（1）若AE＝25，CE＝14，求△ACE的面积；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．
13．（12分）（2019春?金坛区期中）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AD＝BE，CF＝3，BF＝4，求AF的长．

5.2 矩形测试卷（2）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2019秋?大田县期中）在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量其中三个角是否都为直角
B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等
D．测量对角线是否相互平分
【分析】由矩形的判定定理和平行四边形的判定定理即可得出答案．
【解答】解：A、测量其中三个角是否都为直角，能判定矩形；
B、测量对角线是否相等，不能判定平行四边形；
C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
D、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
故选：A．
2．（2019春?如皋市期中）在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．∠ABC＝90° B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACD＝∠CDB
【分析】根据矩形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：
A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、根据四边形ABCD是平行四边形和AC⊥BD不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、∵∠ACD＝∠CDB，
∴OD＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（2019春?莱州市期中）如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD
C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
【分析】矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
【解答】解；A、∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°根据有三个角是直角的四边形是矩形可判定为矩形，故此选项错误；
BAB∥CD，AB＝CD，可以判定为平行四边形，又有AB⊥AD，可判定为矩形，故此选项错误；
C、AO＝BO，CO＝DO，不可以判定为平行四边形，所以不可判定为矩形，故此选项正确；
D、AO＝BO＝CO＝DO，可以得到对角线互相平分且相等，据此可以判定矩形，故此选项错误．
故选：C．
4．（2019春?姑苏区期中）已知?ABCD中，对角线AC，BD交于O点，如果能够判断?ABCD为矩形，还需添加的条件是（　　）
A．AB＝BC B．AB＝AC C．OA＝OB D．AC⊥BD
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形得出即可．
【解答】解：添加AO＝BO，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴?ABCD为矩形，
故选：C．
5．（2018春?海淀区校级期中）如图所示的?ABCD，再添加下列某一个条件，不能判定?ABCD是矩形的是（　　）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝∠BCD
【分析】矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
【解答】解：由对角线相等的平行四边形是矩形，可得当AC＝BD时，能判定?ABCD是矩形．
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当AB⊥BC时，能判定?ABCD是矩形．
由平行四边形四边形对边平行，可得AD∥BC，即可得∠1＝∠2，所以当∠1＝∠2时，不能判定?ABCD是矩形．
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当∠ABC＝∠BCD时，能判定?ABCD是矩形．
故选：C．
6．（2015?临沂）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
【分析】先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AD＝DE，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴?DBCE为矩形，故本选项错误；
B、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；
C、∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴?DBCE为矩形，故本选项错误；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴?DBCE为矩形，故本选项错误．
故选：B．
二．填空题
7．（2018?黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件　AC＝BD或∠ABC＝90°　，使平行四边形ABCD是矩形．
【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题；
【解答】解：若使?ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形），∠ABC＝90°等（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
故答案为：任意写出一个正确答案即可，如：AC＝BD或∠ABC＝90°．
故答案为AC＝BD或∠ABC＝90°
8．（2019春?长汀县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足分别为M、N，则MN最小值是　　．
【分析】首先证明四边形PMCN是矩形，推出MN＝PC，根据垂线段最短即可解决问题；
【解答】解：如图，连接MN，PC．
在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠PMC＝∠PNC＝∠C＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴MN＝PC，
∴当PC⊥AB时，PC的值最小，此时MND最小值＝PC＝＝，
故答案为．
9．（2018春?无锡期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是　≤AM＜2　．
【分析】首先连接AP，由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，可证得四边形AEPF是矩形，即可得AP＝EF，即AP＝2AM，然后由当AP⊥BC时，AP最小，可求得AM的最小值，又由AP＜AC，即可求得AM的取值范围．
【解答】解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP＝EF，
∵∠BAC＝90°，M为EF中点，
∴AM＝EF＝AP，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC＝×3×4＝×5×AP，
∴AP＝，即AP的范围是AP≥，
∴2AM≥，
∴AM的范围是AM≥，
∵AP＜AC，
∴AP＜4，
∴AM＜2，
∴≤AM＜2．
故答案为：≤AM＜2．
10．（2017春?滨海县期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P在BC边上由点B向点C运动，点Q在DA边上由点D向点A运动，两点同时运动同时停止，若点P与点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则经过　5　s后，四边形ABPQ成为矩形．
【分析】根据矩形的性质得出AD＝BC，得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝20cm，
∴AD＝BC＝20cm，
要使四边形ABPQ是矩形，必须AQ＝BP，即20﹣t＝3t，
解得；t＝5，
故答案为；5．
三．解答题
11．（2019春?思明区校级期中）在平行四边形ABCD中，AB＝6，AC＝10，AD＝8．求证：平行四边形ABCD是矩形．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ABC＝90°，从而判定矩形．
【解答】解：∵AC＝10，
∴BD＝AC＝10，
∵AB＝6，AD＝8，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
12．（2019春?巴南区期中）如图，AE＝AC，点B是CE的中点，且AD∥CE，AD＝．
（1）若AE＝25，CE＝14，求△ACE的面积；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一性质与勾股定理求出AB的长，然后计算△ACE的面积；
（2）由AD∥CE，AD＝．可知四边形ABCD是平行四边形，由AB⊥EC，即∠ABC＝90°，即证明四边形ABCD是矩形．
【解答】解：（1）∵AE＝AC，点B是CE的中点，
∴AB⊥EC，
∵AE＝25，CE＝14
∴BE＝7，
∴AB＝＝＝24，
∴S△ACE＝＝＝168；
（2）∵AD∥CE，AD＝．
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥EC，即∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
13．（2019春?金坛区期中）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AD＝BE，CF＝3，BF＝4，求AF的长．
【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，BE＝DF，
∴∠BFC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，
∴BC＝5，
∵AD＝BE，DF＝BE，
∴AD＝DF，
∵AD＝BC，
∴DF＝BE＝BC＝5，
∵AB＝CD＝8，
∴AF＝＝＝4．