5.2.1 菱形同步测试题（含解析）

5.2 菱形测试卷（1）
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题7分，共42分）
1．（2019秋?罗湖区校级期中）若菱形ABCD的周长为8cm，则AB的长为（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
2．（2019?天津）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（　　）
A． B．4 C．4 D．20
3．（2018?大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（　　）
A．8 B．7 C．4 D．3
4．（2018?贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．9
5．（2019秋?茂名期中）菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标是（4，2），则点B的坐标是（　　）
A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（2，﹣6） D．（2，6）
6．（2019秋?罗湖区期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．若四边形AEFD为菱形，则t的值为（　　）
A．20 B．15 C．10 D．5
二．填空题（每小题7分，共28分）
7．（2019秋?乐安县期中）在菱形ABCD中，对角线AC＝30，BD＝50，则菱形ABCD的面积为　 　．
8．（2019春?南岗区校级期中）菱形两邻角的比为1：3，边长为2．则该菱形的面积为　 　．
9．（2019春?寿光市期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为4，坐标系原点O是AD的中点，则点C的坐标为　 　．
10．（2019秋?金牛区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则B4的坐标是　 　．
三．解答题（共30分）
11．（8分）（2019秋?凤翔县期中）如图，在菱形ABCD中，作BE⊥AD于E，BF⊥CD，求证：AE＝CF．
12．（10分）（2019秋?景泰县校级期中）如图，在?ABCD中，E、F分别为边BC和AD的中点，连接AE、CF，且BC＝2AB＝4．
（1）求证：△ABE≌△CDF．
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
13．（12分）（2019春?武昌区校级期中）如图，△ABC中AB＝6，AC＝8，D是BC边上一动点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）若BC＝10，判断四边形AEDF的形状并证明；
（2）在（1）的条件下，若四边形AEDF是正方形，求BD的长；
（3）若∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，则BD＝　 　．

5.2 菱形测试卷（1）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2019秋?罗湖区校级期中）若菱形ABCD的周长为8cm，则AB的长为（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】根据菱形的四边相等即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∵AB+BC+CD+DA＝8cm，
∴AB＝2cm，
∴AB的长为2cm．
故选：B．
2．（2019?天津）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（　　）
A． B．4 C．4 D．20
【分析】根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），
∴AB＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形的周长为4，
故选：C．
3．（2018?大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（　　）
A．8 B．7 C．4 D．3
【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可；
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
根据勾股定理，得：OB＝＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
故选：A．
4．（2018?贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．9
【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长＝4BC问题得解．
【解答】解：∵E是AC中点，
∵EF∥BC，交AB于点F，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC，
∴BC＝6，
∴菱形ABCD的周长是4×6＝24．
故选：A．
5．（2019秋?茂名期中）菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标是（4，2），则点B的坐标是（　　）
A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（2，﹣6） D．（2，6）
【分析】首先连接AB交OC于点D，根据菱形的性质可得AB⊥OC，OD＝CD＝4，AD＝BD＝2，即可求得点B的坐标．
【解答】解：如图，连接AB，交OC于点D，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB⊥OC，OD＝CD，AD＝BD，
∴点B和点A关于x轴对称，BD＝AD＝2，OD＝4，
∵点A的坐标是（4，2），
∴点B的坐标为：（4，﹣2）．
故选：B．
6．（2019秋?罗湖区期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．若四边形AEFD为菱形，则t的值为（　　）
A．20 B．15 C．10 D．5
【分析】由DF∥AE且DF＝AE，即四边形ADFE是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即AD＝AE，可得关于t的方程，求解即可知．
【解答】解：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即60﹣4t＝2t，解得t＝10．
∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形．
故选：C．
二．填空题
7．（2019秋?乐安县期中）在菱形ABCD中，对角线AC＝30，BD＝50，则菱形ABCD的面积为　750　．
【分析】由菱形的性质和面积公式即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴菱形ABCD的面积为AC×BD＝×30×50＝750；
故答案为：750．
8．（2019春?南岗区校级期中）菱形两邻角的比为1：3，边长为2．则该菱形的面积为　2　．
【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，由两个邻角∠A与∠B的比是1：3，可求得∠A＝45°，然后由三角函数，求得DE的长，继而求得这个菱形的面积．
【解答】解：如图：过点D作DE⊥AB于点E．
∵菱形ABCD的两个邻角∠A与∠B的比是1：3，
∴∠A＝45°，AB＝AD＝2，
∴DE＝AD?sin45°＝2×＝，
∴菱形ABCD的面积＝AB?DE＝2×＝2．
故答案为：2．
9．（2019春?寿光市期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为4，坐标系原点O是AD的中点，则点C的坐标为　（4，）　．
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝AD＝4，AD∥BC，由勾股定理可求BO的长，即可求点C坐标．
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为4
∴AB＝BC＝AD＝4，AD∥BC
∵坐标系原点O是AD的中点，
∴AO＝2，
∴BO＝＝2
∴点C坐标（4，2）
故答案为：（4，2）
10．（2019秋?金牛区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则B4的坐标是　（19，4）　．
【分析】根据题意和图形可以求得前几个菱形的边长，然后根据锐角三角函数即可求得点B4的坐标．
【解答】解：∵直线y＝，
∴当y＝0时，x＝﹣1，
设直线y＝与x轴的交点为D，则点D的坐标为（﹣1，0），
∴DA1＝2，
∵C1B1＝OA1＝1，C1B1∥OA1，
∴C2A1＝2B1A1＝2OA1＝2，
同理可得，
C3A2＝4，C4A3＝8，C5A4＝16，
∵∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，
∴B4的横坐标是：（16﹣1）+8?cos60°＝15+8×＝19，纵坐标是：8?sin60°＝8×＝4，
故答案为：（19，4）．
三．解答题
11．（2019秋?凤翔县期中）如图，在菱形ABCD中，作BE⊥AD于E，BF⊥CD，求证：AE＝CF．
【分析】依据菱形的性质即可得到BA＝BC，∠A＝∠C，再根据AAS即可判定△ABE≌△CBF，进而得出AE＝CF．
【解答】证明：∵菱形ABCD，
∴BA＝BC，∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°，
在△ABE与△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF．
12．（2019秋?景泰县校级期中）如图，在?ABCD中，E、F分别为边BC和AD的中点，连接AE、CF，且BC＝2AB＝4．
（1）求证：△ABE≌△CDF．
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得到∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，再证出BE＝DF，即可运用SAS证明△ABE≌△CDF；
（2）由（1）知△ABE为等边三角形．可求菱形的高，用面积公式可求得．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵E、F分别为边BC、AD的中点，
∴DF＝AD，BE＝BC，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵四边形AECF为菱形，
∴AE＝EC．
又∵点E是边BC的中点，
∴BE＝EC，即BE＝AE．
又BC＝2AB＝4，
∴AB＝BC＝BE，
∴AB＝BE＝AE，即△ABE为等边三角形，如图，
过点A作AH⊥BC于H，
∴BH＝BE＝1，
∴AH＝＝＝，
∴菱形AECF的面积为2．
13．（2019春?武昌区校级期中）如图，△ABC中AB＝6，AC＝8，D是BC边上一动点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）若BC＝10，判断四边形AEDF的形状并证明；
（2）在（1）的条件下，若四边形AEDF是正方形，求BD的长；
（3）若∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，则BD＝　　．
【分析】（1）首先判定平行四边形，然后证明一个内角为90°，从而判定矩形；
（2）首先根据面积法求得DE的长，然后利用勾股定理求得BD的长即可；
（3）根据面积求得BD：CD＝3：4，然后求得BD的长．
【解答】解：（1）AEDF是矩形，理由如下
∵AB2+AC2＝62+82＝BC2＝102，
由勾股定理得∠BAC＝90°
∵DE∥AF、DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形；
（2）由（1）得，当DE＝DF时，四边形AEDF是正方形．
设DE＝DF＝x，建立面积方程S△ABC＝AC?BD＝DE（AB+AC）；
即：×6×8＝x×（6+8），
解得：x＝，
∴DE＝AE＝，BE＝AB﹣AE＝，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：BD＝＝＝；
（3）依题意得，当AD是∠BAC角平分线时，四边形AEDF是菱形．
点B作AC的垂线段交于点G，
又∵∠BAG＝60°，
∴AG＝3，CG＝5，BG＝，
由勾股定理得：BC＝，
∵AD平分∠BAC，
∴S▲ABD：S▲ACD＝AB：AC＝BD：CD，
即BD：CD＝3：4．
∴，
故答案为：．